國立師範大學附屬高級中學
96 學年度 高一數理資優 實驗班 第一次段考數學科題目卷
一、填充題(每題 4 分，共 24 分) 1.如下圖(一)，直線 L 的方程式為x y 1 a b ，則a b =________。 2.如下圖(二)，直線L L L1, ,2 3的斜率依次為 p, m ,n，已知L1//L2且L1 L3，則pm + pn=_______。 圖(一) 圖(二) 3. 已知 x,y 為有理數，若 ( 12 6) 23 0 2 27 x y ，求(x,y)=________。 4. 若 a1249b 為六位數且為 36 的倍數，則a－b 的所有可能值為___________。 5. 設a b, 均為實數，i 1，且
303 27 97 102 i i a bi i i ，則a b =_________。 6. 試問共有多少個正整數 n 使得坐標平面上通過點A(n,5)與點 B(－1,3) 的直線亦可通過點P(2, k)，其中k 為某一正 整數？答：_________個。 二、填充題(每題 5 分，共 55 分) 1. 設 a 為自然數，且 a 除以 185667 的餘數為 85214，求(a,185667,3421)=_________。 2. 直線 4x－3y=12 上與原點 O 距離最近的點為 A，若 A 點的坐標為(a,b)，則 b=_______。 3. 設x y R, ，i 1，且x y，已知 1 3 1 2 x x i i y y ，今將 1 2 ( x ) y 化簡為標準式a bi ，其中a b, 均為實數， 則數對 (a b, )=_______。 4. 設a是實數，i 1， 3 2 2 ( 3 2 ) ( ) ( 3 2 )( 3 ) i a i z i a i ，若 7 2 z ，求a2之值=_______。 5. 若a b, 均為整數，其中a b ，且滿足 a2b2 9 a b 3，則數對( , )a b 共有______組。 6. 若三直線 x+2y－4=0，4x＋3y＋9=0，mx＋y＋355=0 不能圍成三角形，則 m 之所有可能值的乘積 =_______。 7. 已知數線上有相異四點 A(x), B(2x),C(0),D(3)。若AC BD =6，則 x 所有可能值為__________。8. 已知 x、y 均為自然數，x>1，且 x 是 4y+3 與y2－2y+5 兩數的公因數，則 x 的最小值 =___________。
9. 已知方程式x2mx21 0 有二負根，且兩根絕對值之比為3：1，求實數 m 之值為__________。 10.將
n
個邊長為8 公分的正方形排成下圖
n2
，使得前後之間重疊寬x
公分之長條，且x
為正整數，最後得一大 長方形，其面積為512 平方公分，則n
可為何數？ (有 4 個解) 11、設 x,y 為實 數， x1 3， y3 3，則xyxy5的範圍為 1三、計算題(共 21 分) 1、在坐標平面上有 A(1,2)，B(3,6)，C(5,－2)三點。 (1) 求△ABC 的重心 G 的坐標。(3 分) (2) 求△ABC 的外心 O 的坐標。(3 分 (3) 求△ABC 的垂心 R 的坐標。(3 分) (4) 試判斷 G ,O,R 三點是否共線，並證明你的答案。(2 分) 2、設 a1、a2
