探討認知師徒制在數學學習之應用－以「因數」學習

探討認知師徒制在數學學習之應用

-以「因數」學習為例

陳蕙茹

高師大科教所博士班 高雄市新興高中

壹、數學教育的轉變

Butterworth(1992)認 為 近 二十 年 來 認 知發 展 研 究 ，有 三 個 明 顯的 改 變 ， 在 「認 知 」 方 面從 強 調 個 體內 在 的 認 知歷 程 轉 變 成強 調 認 知 發展 源 於 社 會 情 境； 在 「 研 究方 向 」 也 從認 知 歷 程 的研 究 轉 變 成認 知 現 象 的研 究 ； 並 強 調 知識 的 獲 得 與「 社 會 脈 絡」 有 關 。 根 據過 去 十 年 的研 究 所 發 現傳 統 數 學 的缺 點，數 學教 育 不 應 是填 鴨 學 生 的學 知 識 ， 也不 應 該 只 是教 數 學 技 巧與 一 般 的 認知 技 巧 ， 而是 應 該 把 數 學 當作 建 構 個 人經 驗 的 文 化發 展 活 動。把 數 學 教 育視 為 濡 化 (enculturuation) 的 形式 ， 其 中 所謂 的 「 濡 化」 是 指 在 環境 中 把 數 學融 入 不 同 的實 務 ， 學 生 與 老師 因 此 產 生數 學 意 義 。因 此 數 學 活動 可 以 製 造歷 史 且 變 成我 們 社 群 文 化 遺產 的 一 部 分（ van Oers ,1996）。 目 前國 中 數 學 在教 材 上 面 臨兩 個 主 要 的問 題 ， 首 先是 中 小 學 教材 銜 接 的 問題 ； 再 者 因教 科 書 版 本眾 多 且 編 排方 式 差 異 很大 ， 造 成 學生 學 習 與 教 師 教學 上 的 困 擾， 尤 其 是 轉學 生 的 問 題顯 現 出 版 本的 銜 接 問 題。 老 師 必 須 隨 時檢 驗 學 生 的程 度 ， 並 了解 學 生 的 先備 知 識 才 能幫 助 學 生 有學 習 。 已 公 佈 在教 育 部 網 站的 九 十 四 年數 學 課 程 綱要 中 ， 發 現「 因 數 、 倍數 」 的 部 分 在 國中 小 有 重 疊之 處 ， 在 不學 制 的 銜 接下 易 造 成 遺漏 ， 因 此 筆者 嘗 試 整 理 國 中小 因 數 單 元的 教 材 內 容從 認 知 師 徒探 討 相 關 的數 學 學 習 。

貳、把學習視為有意義的活動

一、內化 知 識的 獲 得 不 管是 來 自 他 人的 發 現 或 傳送、還 是 互動 中 產 生 的經 驗，傳 統上 將 學習 視 為 學 習者 內 化 知 識的 歷 程 ； 內化 在 不 同 的解 釋 中 所 扮演 的 角 色 也不 同 （Lave,1991）。Piaget 認 為內 化 指 個 體在 適 應 環 境時 ， 依 賴 外界 物 理 環 境的 成 分 漸 減， 而 運 用 內在 結 構 認 知來 思 考 的 成分 增 加 ， 其中 包 含 了 同化 (assimilation)、 調 整(accommodation)、 平 衡作 用 (equilibrium)(張 新仁 等 ,2003)。Vygotsky 則 把 外 在 操 作的 內 在 重 建稱 為 內 化。內 化的 過 程包 含 一 系 列的 轉 換。最 初 代表 外 在活 動 的 操 作被 重 新 建 構，並 且 開 始 發 生 於 內 在；從 人 際 間 的 過 程 轉 化 成 個 體 內 的 過 程 ， 而 人際 間 過 程 到個 體 內 過 程的 轉 化 是 長期 一 系 列 發展 事 件 的 結果 (蔡 敏 玲 陳 正 乾, 1997) 。 二、濡化過程中產生的「意義」 Leont＇ev(1975)提到，在 濡化（ enculturation）的 過 程 中，產 生 的 意 義 可 區別 出 兩 種，分 別 為 文 化意 義（ cultural meaning）和 個 人 意義（personal meaning）。 （ 一） 文 化 意 義（ cultural meaning） 指 在處 理 由 文 化的 歷 史 所 建立 的 世 界 時，所 產 生 的知 識 和 技 能 。 包 含陳 述 性 知 識和 程 序 性 知識 。 文 化 意義 是 由 「 符號 」 所 表 徵出 來 ， 最 常用 的 是「 語 言 」。Leont＇ ev(1975)提 到「 語 言 」雖 然 是 意義 的 攜 帶 者 （carrier）， 但不 是 意 義 的創 造 者 （ creator）。 （ 二） 個 人 意 義（ personal meaning） 基 於動 機 觀 點 是個 人 對 活 動中 發 展 的 行動 與 目 的 時， 所 產 生 價值 的 歸因。表 示 個人 在 文 化 活動 中 的 重 要 性，考 慮 有 關 動 機、社 會 地 位 、 生 活目 標 與 抱 負。 文 化意 義 可 以 轉變 成 課 程 內容 ， 可 以 被教 ； 個 人 意義 無 法 被 教， 只 能在 參 與 產 生。 兩 者 並 非獨 立 處 理 。如 傳 統 教 學只 傳 遞 文 化意 義 而

不 考慮 個 人 意 義， 就 產 生 「記 憶 性 」 學習 。 有 意 義的 學 習 包 含了 這 兩 種 意義 ， 有 意 義的 學 習 過 程指 的 是 將 個人 意 義 依 附在 所 涉 及 到的 行 動 、規 則 、 方 法和 結 果 上 (Leont＇ ev， 1975)。

參、將數學視為文化活動

Griffith 認 為 在解 題 中，數學 的 特 徵 是「 凌 亂 的 活動 」，當 猜測 或 沒 有 共同 的 正 明方 式 時 ， 有時 候 是 錯 的且 用 不 同 的語 言 符 號 表達 。「 Real mathematics」 被 設 想 為人 類 透 過 推論、討 論、判 斷，追 求物 理、文 化世 界 意 義 化的 歷 史 發 展。數 學 是 用來 組 織 心 智與 經 驗 的 工具 並 依 賴 於符 號 的 使 用。Vygotsky 證 明 了 人 類獲 得 文 化 環境 的 接 觸 管道 是 透 過 在社 會 文 化 活動 中 以 初 學者 身 分 的 參與，當 年 輕兒 童 不 能 自己 執 行 活 動時 ， 必 須 藉由 父 母 或 年長 兒 童 的 協助 。 （ 一） 近 側 發 展區 的 學 習 近 側發 展 區 是 指兒 童 可 以 與較 高 發 展 成效 學 習 的 活動 環 境 。 近側 發 展區 在 不 同 的解 釋 中 所 扮演 的 角 色 也不 同 。 它 是指 學 習 者 獨自 工 作 的 解題 能 力 與 透過 協 助 或 與有 經 驗 者 合作 所 得 的 解題 能 力 間 的距 離 ； 因 此對 初 學 者 提供 鷹 架 的 教學 ， 但 到 最後 的 執 行 就沒 有 協 助 。它 也 是 指 由社 會 歷 史 背景 所 提 供 的「 文 化 知 識 」（ 一 般 來自 教 學 ）與 個 人 每 天 的 經驗 間 的 距 離。 Hedegaard(1988)認 為是 來 自 於 教學 的 已 知 知識 （understood knowledge） 和 來 自 於 個 體的 主 觀 知 識（ active knowledge） 間 的差 異 。

以 上兩 種 詮 釋 法大 部 分 將 學習 的 社 會 特質 侷 限 在 「將 內 化 視 為個 體 從 文 化環 境 中 獲 得過 程 」。並 未 顧及 學 習在 社 會 世 界中 的 地 位。第 三種 則 是 Engestrom 所定 義 的，個 體 每天 活 動和 從 歷 史 角度 看 社 會 活動 的 新 形 式 間的 差 異 。 而這 社 會 活 動的 新 形 式 可以 解 決 每 天活 動 中 的 問題 。

（ 二） 學 習 的 行動 心 理 學 （action-psychological） 方法

Vygotsky 的 學 習和 發 展 方 法的 本 質 與 學習 的 行 動 心理 學 有 關 。 「 action」是 指從 一 些 對 象（ material or mental）原 始 的 形 式改 變 成 另 一 種 形式 。 例 如心 智 程 度 的轉 換 ： 2＋ 2 4 or 5－ 1 的 形 式， 也 是 action。 人 類可 以 反 省 行動 的 執 行 ，而 後 改 進 或根 本 的 改 變執 行 。 行 動的 反 省 部 分稱 為「 定 向 」（orientation）其 重 點是 放 在 相 關的 對 象 的 行動、改 變 此 對象 的 方 法 、如 何 評 價 結果 上 。 其 意指 在 給 定 的情 境 中 ， 找出 適 當 的 改變 。 人 們 運用 的 是 可 得的 文 化 工 具如 知 識 、 規則 、 方 法 、概 念 。 此 觀點 將 學 習 視為 一 個 活 動或 行 動 的 品質 改 變 的 過程 。 至 少 區別 出 兩 種 變形 ： （1） 延 伸 ： 藉由 增 加 新 的行 動 來 擴 展原 有 的 行 動。 （2）Microgenetic 發 展 ： 行 動 可 以 變的 更 流 暢 、精 簡 、 轉 移到 其 他 情 境 、自 動 化 等 等。 兒 童 可 以用 新 的 方 法執 行 舊 的 行動 。 學 習重 要 的 時 刻是 當 行 動 變成 相 關 的 信號 或 符 號 的時 候 。 從 那 時 候起 ， 行 動 就變 成 符 號 的一 部 分 。 當然 行 動 可 以溝 通 並 存 在記 憶 裡 。 （ 三） 將 符 號 形成 的 角 色 扮演 符 號 指 的 是 相關 行 動 的 特殊 化 儲 存 。他 促 使 學 習者 不 必 實 際執 行 行 動，指透 過 思 考其 行 動 來 完成 行 動，並 鞏固 了 共 享意 義 的 發 展。在 持 續 調 查 的活 動 中 -假設、 檢 定、諮 商 相 關 的符 號 -發 展符 號 的 意 義， 並 藉 由 和他 人 溝通 來 了 解 或精 緻 符 號 的意 義。Vygotsky 認 為 文字 意 義 的 發展 與 系 統 化 過 程是 學 校 概 念形 成 的 核 心。概 念 形 成是 一 種 持 續的 人 類 學 習活 動，學 習 如 何有 系 統 去 說有 關 真 實 世界 的 一 些 部分 ， 這 屬 於社 會 文 化 學習 活 動 。 符 號-概 念 的 形成 是 透 過「寫 」的 形 式所 呈 現 意 義的 互 動，符號 紀 錄 形 式 ， 對 讀寫 能 力 而 言，在 文 化 歷史 方 法 中 是重 要 的。符 號 系 統 與 行 動 的 關 係 。 如 下圖 所 示 ：

（ 四） 學 習 活 動中 教 師 與 學習 者 的 角 色 學 習活 動 是 意 義的 諮 商 、 學生 意 義 與 他人 意 義 的 比較 與 交 換 。學 習 活 動包 含 以 上 兩種 討 論 ， 稱為 多 數 談 話。 在 學 習 活動 中 教 師 的主 要 工 作 是 促進 諮 商 和 引導 學 生 討 論並 重 構 文 化共 享 意 義 。學 習 者 的 角色 是 反 省 者 、評 鑑 者 ， 提供 新 的 或 對照 觀 點 。 因此 新 的 學 習過 程 的 產 生是 指 教 師 與 學習 者 在 社 會共 享 活 動 中， 融 入 新 的活 動 、 角 色、 或 社 會 功能 。

肆、數學認知師徒制

數 學應 該 發 生 在學 生 有 意 願參 與 並 有 能力 參 與 社 會活 動 的 環 境中 。 教 師從 此 引 導 出有 方 向 性 的活 動 中 的 行動 ， 即 引 出有 意 義 部 分的 活 動 。 其 中關 鍵 的 問 題就 是 執 行 的方 法 。 教 師的 主 要 工 作是 ： 確 定 解題 活 動 可 以 真實 化 以 及 組織 共 享 活 動時 所 需 的 數學 內 容 。 剛 開始 學 生 無 法自 己 完 成 活動 中 的 觀 點， 所 以 老 師要 協 助 學 生解 題 ，提 供 數 學 活動 的 暗 示 ，詳 細 檢 查 結果 ， 並 表 達反 對 的 理 由、 提 出 不 同 解題 方 法 ， 最後 老 師 要 評估 最 後 的 答案 。 從 認知 師 徒 制 的觀 點 ， 學 習是 在 認 知 及後 設 認 知 上經 由 專 家 的引 導，更 勝 於 只 有物 質、技 巧和 過 程。任 務 目 標 技 能 的 執 行 過 程 是 被 外 顯 ， 因 此師 生 可 以 觀察 、 給 意 見、 修 正 以 朝向 完 全 。 具體 化 的 過 程及 方 法 讓 師 徒制 朝 向 成 功。在 所 有 階段 的 透 明 關係，促 進 學習 者 診 斷 和 反 思 錯 誤 。 以 Schoenfeld(1983)提 倡 小組 合 作 解 題為 例 ， 他 認為 當 學 生 以半 獨 立 狀 態 進 行解 題 時 ， 提供 機 會 給 老師 指 導 學 生解 題 ； 實 際上 老 師 無 法有 效 的 指 導 學生 回 家 功 課及 課 堂 問 題。 當 學 生 練習 「 控 制 過程 」 時 ， 在二 選 一 的 解 題方 法 的 選 擇以 導 致 連 接過 程 中 ， 透過 討 論 、 辯論 而 作 小 組決 定 是 有 必 要性 的 。 這 決定 促 使 在 進行 監 控 、 評價 某 人 的 改進 時 ， 是 可以 發 展 後

相關行動的儲存

說出語言

紀錄符號

設 認知 技 能 的 。實 際 上 ， 學生 在 學 校 很少 有 機 會 可以 參 與 合 作工 作 ， 小 組 解題 讓 他 們 以合 作 的 形 態執 行 真 實 世界 的 解 題 。大 部 分 學 生對 他 們 的 能 力沒 有 安 全 感， 尤 其 是 遇到 較 困 難 的題 目 時 。 當他 看 到 其 他同 學 的 掙 扎 時就 減 輕 的 一些 不 安 全 感， 因 為 他 了解 到 不 是 只有 他 很 難 理解 ， 因 此 而 提高 自 我 信 念。 其 他 重 要的 理 由 是 在解 較 複 雜 的問 題 時 ， 可以 將 角 色 與 活動 區 別 與 具體 化 。 成 功的 解 題 ， 在解 題 過 程 中在 不 同 的 點中 至 少 需 要 三個 不 同 的 角色 ： 調 節 者或 執 行 者 ；提 供 選 擇 路徑 的 發 展 者； 選 擇 的 批 判者 。 小 組 合作 解 題 區 別、 具 體 化 這些 角 色 ： 不同 的 人 自 然扮 演 不 同 的 角色 ， 解 題 是沿 著 這 些 路徑 展 開 。 小組 討 論 與 作決 定 塑 造 了一 個 相 互 作 用模 式 -在 過程 中 的 個 體必 須 內 化 到成 為 一 個 成功 解 題 者 。當 相 互 教 學 時，學 生 可 能 扮演 不 同 的 角色，他 們 需要 內 化 所 以再 活 動 中 會 實 務 參 與 。 Lave & W e n g e r （ 1991） 綜 合 一 些 學者 的 理 論 提出 認 知 師 徒制 六 個 教 學 方 法： 示 範 、 訓練 、 鷹 架 、闡 明 、 反 思、 探 究 。

伍、數學教室中之應用--以因數為例

「 數學 概 念 」 就如 一 棟 數 學建 築 物 的 基石 ， 然 而 有些 老 師 ， 認為 數 學 概念 的 教 學 太過 簡 單 ， 往往 直 接 就 以三 兩 句 話 帶過 ， 將 重 點擺 在 高 層 次 的問 題 上 ， 就深 怕 漏 教 了一 題 ， 卻 忽略 了 學 生 的想 法 。 在 傳統 的 教 學 法 裡， 學 生 無 法直 接 接 觸 到老 師 解 題 的想 法 ， 因 此我 們 希 望 透過 認 知 師 徒 制， 發 展 學 習活 動 ， 讓 學生 能 夠 更 有效 學 習 數 學。 目 前國 中 數 學 教科 書 的 版 本很 多，且 教材 編 寫 方 式有 些 不 同。例 如 在 九 年一 貫 暫 行 綱要 的 能 力 指標「N-3-20 能 察 覺 整 數的 最 大 公 因數、最 小 公 倍 數、質 數 和 合數，並 能 將一 個 數 做 質因 數 分 解」部 份，各 版本 對「 質 因 數 分解 」與「 標 準 分解 式 」的 定義 有 些微 不 同，不 過 每個 版 本都 有 提 到 將 一 數化 成 質 因 數的 乘 積，並 表 為 指 數 形式。九 年 一貫 暫 行 綱 要內 有 關「因 數 」部 份的 能 力指 標 除 了「 N-3-20 能 察覺 整 數 的 最大 公 因 數、最 小公 倍 數、 質 數和 合 數，並 能 將 一 個 數做 質 因 數 分解 」以 外，還 有「 N-3-18 能 察 覺 整 數 的因 數 、 倍 數、 公 因 數 、公 倍 數 」。 以 下 筆 者 就「 將因 數 教材 轉 化 為 數學 活 動 之 探討 」、「 認 知師 徒 制 在 數學 教 室

中 之應 用 」 兩 部分 來 說 明 ： 一、將「因數」教材轉化為數學活動之探討 在 濡化 （ enculturation） 的過 程 中 ， 產生 的 文 化 意義 可 以 轉 變成 課 程 內容 ， 由 「 符號 」 所 表 徵出 來 。 例 如 ，「（ a,b）」 表 a,b 的 最 大 公 因 數 。 符 號指 的 是 相 關行 動 的 特 殊化 儲 存 ， 在持 續 調 查 的活 動 中 -假設 、 檢 定 、 諮 商 相 關 的 符 號 -發 展 符 號 的 意 義 ， 並 藉 由 和 他 人 溝 通來 了 解 或 精 緻符 號 的 意 義在 設 計 。 例 如 ， 透 過 舖 地 磚 的 活 動 ， 透 過 教 （ 學 ） 具 實 際 操 作 ， 讓 學 生 思 考 問 題 ， 提 出 假 設 ， 互 相 溝 通 討 論 ， 了 解 最 大 公 因 數 的 含 意 。 符號 -概 念 的形 成 是 透 過「 寫」的 形式 所 呈 現 意義 的 互 動，符 號 紀 錄 形式，對 讀 寫能 力 而 言，在文 化 歷 史方 法 中 是 重要 的。此 觀點 將 學 習 視為 一 個 活 動或 行 動 的 品質 改 變 的 過程 。 例 如 ， 短 除 法 的 教 學 以 910 為 例， 學 生 的 先 備 知 識 為 能 將 寫 成 質 因 數 乘 積 的 形 態 ， 短 除 法 教 學 步 驟 （1） 先 讓 學 生看 懂 短 除 法 的 紀 錄 格 式

＝

＝

910

910

＝ 2 × 455

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2

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＝ 2 × 455

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×

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2

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（2） 讓 學 生了 解 短 除 法 的 紀 錄 格 式 的 含 （3） 讓 學 生 應用短 除 法 的 紀 錄 格 式 。 其教 學 運 作 模 式 如下 ： 「Real mathematics」被 設 想為 人 類 透 過推 論、討 論、判 斷，追求 物 理 、文 化 世 界 意義 化 的 歷 史發 展 。 數 學是 用 來 組 織心 智 與 經 驗的 工 具 並 依 賴於 符 號 的 使用 。 從 我 們每 天 的 數 學社 群 中 了 解「 真 實 」。 例 如 ， 透 過 生 活 情 境 題 ， 如 工 廠 排 值 班 問 題 、 鋪 設 地 磚 等 實 際 問 題 讓 學 生 了 解 數 學 的 真 實 性 。 二、認知師徒制在數學教室中之應用 （ 一） 透 過 認 知師 徒 制 模 式幫 助 學 生 「內 化 」、「 濡化 」 知 識 Lave & W e n g e r (1991)提到 認 知 師 徒制 的 六 種 教學 方 法 ： 示範 、 訓 練 、 鷹 架、 闡 明 、 反思 、 探 究 。 （1） 從 「 示 範」 到 「 訓 練」 談 起 「 示範 」是 指 學生 可 以 透 過觀 察 專 家 的執 行，建 立解 決 問 題 的 過程 的 概 念 模式，要 求 內部（ 認 知）過 程 及 活 動的 具 體 化。「 訓 練」則 是 觀 察 學生 執 行 任 務的 情 形，可 直 接 指 導 學生 以 前 所 未注 意 到的 方 面 ， 或提 醒 學 生 他知 道 、 卻 被忽 略 的 方 面。Piaget 認 為 內 化指 個 體 在 適應 環 境 時，依 賴 外 界 物理 環 境 的 成分 漸 減，而 運 用 內在 結 構 認 知來 思 考 的 成分 增 加，其中 包 含 了 同化、調 整、平 衡 作用 (張 新 仁等 ,2003)。Vygotsky 則把 外 在 操 作的 內 在 重 建稱 為 內 化(蔡 敏 玲 陳正 乾 , 1997) 。Griffith 認 為 在 解 題中，數 學 的特 徵 短 除 法 學 習 的 儲 說 出 短 除 法 的 含 紀 錄 短 除 法 格

是 「凌 亂 的 活 動 」， 當 猜 測或 沒 有 共 同的 正 明 方 式時 ， 有 時 候是 錯 的且 用 不 同 的語 言 符 號 表達 。 因 此建 議 教 師 在「 示 範 」時先 考 慮 情 境問 題，運 用問 答 方 式 來 示範 解 題 ， 讓學 生 了 解 專家 思 考 模 式； 而 在 「 訓練 」 過 程 中， 拋 出「 凌 亂 的 活動 」似 的 情境 問 題，製造 學 生 的 認知 衝 突，教師 於 其中 給 予 提 示或 暗 示 來 幫助 學 生 解 題。 例 如，「 示 範 求 最 大 公 因 數 」的 解 法 時，老 師 可 佈 個 情 境 問 題， 並 示 範 解 題 策 略 ； 當 不 提 給 學 生 練 習 訓 練 學 生 求 最 大 公 因 數 時 ， 可 提 供 學 生 許 多 各 式 各 樣 的 正 方 形 塊 ， 並 給 每 組 一 塊 木 板 ， 讓 學 生 用 正 方 形 快 將 它 填 滿 ， 發 現 最 大 公 因 數 的 意 義 與 解 法 。 （2） 從 「 鷹 架」 談 起 「 鷹架 」 是 指 教師 提 供 支 援以 幫 助 學 生執 行 任 務 ，這 些 支 援 可 以是 建 議 及 幫助 的 形 態 。鷹 架 必 須 能是 能 診 斷 學生 現 在 的 技能 程 度或 遇 到 的 困難 。 因 此 建議 老 師 再 提供 鷹 架 時 可以 與 評 量 結 合 ，不 僅 可 以 診斷 學 生 的 學習 困 難 ， 也可 適 時 提 供補 救 教 學 。 例 如 ， 小 櫻 求 36 和 60 的 最 大 公 因 數 時 的 作 法 如 下 因 為 36=4×9 , 60 =3×4 ×5 所 以 (36, 60) = 4。 你 認 為 對 嗎 ？ 你 的 理 由 是 ： （3） 從 「 闡 明 」、「 反 思 」談 起 「 闡明 」 是 透 過提 問 的 方 法， 引 導 學 生闡 明 或 精 緻原 始 理 論，讓 學生 在 合作 活 動 中，扮 演批 判 者與 控 制 者。「 反思 」是 促 使 學生 比 較 自 己和 專 家 、 其他 學 生 等 的解 題 過 程 ，和 最 後 的 專 家 認知 模 式 。 因 此在 教 學 活 動設 計 上 除 了讓 學 生 扮 演解 題 者 外 ，也 該 讓 他 們同 時 扮 演 批改 者 的 角 色。 當 然 也 可配 合 多 元 評量 ， 如 二 階

段 診斷 評 量 、 複式 評 量 、 概念 圖 、 、 、等 。 （4） 從 「 探 究」 談 起 「 探究 」是 指 教 師 淡 出 到 最後，要 能 促使 學 生 自 己去 進 行 問 題 解決 。 例 如 ，請 學 生 設 計與 最 大 公 因數 有 關 的 數學 遊 戲 ， 如 撲 克牌 遊 戲 、 賓果 遊 戲 、 、、 等 。 三、透過認知師徒制模式探討數學活動運作模式 （1）Schoenfeld 的 經 驗 Schoenfeld(1983)提 倡 小 組合 作 解 題，除 了 提 出 學生 解 題 時 所需 的 捷思 策 略 外，還 強 調 解 題時 的 後 設 認知 策 略，如 監 控 策 略。小 組 合 作解 題 時 不 同的 人 自 然 扮演 不 同 的 角色 。 因 此 若要 實 施 合 作解 題，建 議 採 用 異質 性 分 組，學 習 成 就 較低 的 學 生 可以 從 高 成 就組 員 的 解題 策 略 中，學 習 解 題 技巧；只 是 教師 應 留 意 組員 合 作 意 願，適 時 給予 鼓 勵。除 了 合 作 解 題外，組 員 也可 嘗 試 合 作擬 題，透 過擬 題 過 程， 反 思 數 學概 念 。 （2） 教 師 的 角色 Vygotsky 證 明 了人 類 獲 得 文化 環 境 的 接觸 管 道 是 透過 在 社 會 文 化活 動 中 以 初學 者 身 分 的參 與 ， 當 年輕 兒 童 不 能自 己 執 行 活動 時 ，必 須 藉 由 父母 或 年 長 兒童 的 協 助 。因 此 在 教 學前 教 師 是 課程 設 計者 ， 將 數 學意 義 轉 化 為學 可 以 接 受的 學 習 活 動， 營 造 學 習氣 氛 ；在 教 學 中 ，不 僅 要 示 範解 題 ， 也 要引 導 學 生 解題 ， 並 適 時的 提 供鷹 架 ， 來 幫助 學 生 學 習。 （3） 學 習 者 的角 色 在 學 習 過 程 中 ，學 習 者 應 是主 動 的 意 義建 構 者 ， 是積 極 的 參 與 者， 不 僅 觀 察教 師 與 其 他同 學 解 題 模式 ， 也 要 參與 討 論 溝 通， 不 僅扮 演 解 題 者， 也 是 批 判者 ， 甚 至 是探 究 創 造 者。

陸、結論

把 數學 教 育 視 為濡 化 (enculturu- ation)的 形 式，其中 所 謂 的「濡 化 」是 指 在 環境 中 把 數 學融 入 不 同 的實 務 ， 學 生與 老 師 因 此產 生 數 學 意義 。 學 習 活 動 是意 義 的 諮 商、 學 生 意 義與 他 人 意 義的 比 較 與 交換 。 新 的 學習 過 程 的 產 生 是指 教 師 與 學習 者 在 社 會共 享 活 動 中， 融 入 新 的活 動 、 角 色、 或 社 會 功 能 。 從 認知 師 徒 制 的觀 點 ， 學 習是 在 認 知 及後 設 認 知 上經 由 專 家 的 引導 ， 更 勝 於只 有 物 質 、技 巧 和 過 程。 小 組 討 論與 作 決 定 塑造 了 一 個 相 互 作用 模 式 -在過 程 中 的 個體 必 須 內 化到 成 為 一 個成 功 解 題 者。 當 相 互 教學 時 ，學 生 可 能 扮演 不 同 的 角色 ， 他 們 需要 內 化 所 以在 活 動 中 會實 務 參 與 。 九 年一 貫 課 程 強調 的 是 帯 的走 的 能 力 ，當 學 習 者 可闡 明 、 反 思數 學 知 識 ， 進 而探 究 數 學 知識 ， 則 學 習者 則 已 獲 得數 學 能 力 。

參考文獻

張 新 仁 主 編 （ 2003）。學 習 與 教 學 新 趨 勢。 心 裡 出 版 社 。

Vygotsky, L.S.著 ， 蔡 敏 玲 與陳 正 乾 譯 （ 民 86）。 社會 中 的 心智 (Mind in society)。 心 理出 版 社 。

van Oers .B（1996）. Learning mathematics as a meaningful activity. In Steffe, Nesher, Cobb, Goldin, and Greer (Eds.) Theories of mathematical learning, pp. 91–113.

Lave, J., & Wenger, E. (1991) Situated Learning: Legitimate Peripheral Participation. Cambridge, UK: Cambridge University Press.