第一节 概述
一、技术测量的概念 要使零部件具有互换性，必须按标准正确设计它们的技术参数公差，如长度、角度公差 和表面粗糙度等等。零部件加工后是否达到设计规定的要求，还需通过测量来验证。测量结 果的精确度直接影响零部件的互换性。因此，在互换性生产中，测量十分重要，它是保证零、 部件具有互换性不可缺少的措施和手段。 测量是指以确定被测对象量值为目的的一组操作，其实质是将被测几何量与作为计量单 位的标准量进行比较，从而确定被测几何量是计量单位的倍数或分数的过程。 在机械制造业，技术测量或精密测量主要是指几何参数的测量，包括长度、角度、表面 粗糙度和形位误差等的测量。 任何一个测量过程都包括以下几个要素： （1）被测对象。被测对象主要指几何量、长度、包括角度、表面粗糙度，形状和位置误 差以及螺纹、齿轮的各个几何参数等。 （2）计量单位。计量单位是表示测量单位的标准量。 我国于 1984 年 2 月 27 日由国务院颁发了《关于在我国统一实行法定计量单位的单位的 命令》，在采用国际单位制的基础上，规定我国计量单位一律采用《中华人民共和国法定计量 单位》。在几何测量中，长度单位是米（m），其他常用单位有毫米（1mm=10 3 m）、微米 （1mm=10 3 mm）、和纳米（1nm=10 3 mm）；角度单位是弧度（rad），其他常用单位还有度（°）、 分（′）和秒（″）。 （3）测量方法。测量方法是指在测量时所采用的测量原理、计量器具和测量条件的综合。 根据被测对象的特点，如精度、大小、轻重、材质、数量等，来确定所用的计量器具；分析 研究被测参数的特点和它与其他参数的关系，确定最合适的测量方法以及测量的主客观条件， 如环境、温度等。 测量条件是指被测对象和计量器具所处的环境条件，如温度、湿度、振动和灰尘等。测 量标准温度为 20℃。一般计量室的温度控制在 20℃±（2~0.5）℃，精密计量室的温度控制在 20℃±（0.05~0.03）℃，且尽可能使被测对象与计量器具在相同温度下进行测量。计量室的 相对湿度以 50%~60%为宜，还应远离振动源且清洁度要高等。 （4）测量精度。测量精度是指测量结果与真值的一致程度。由于任何测量过程总不可避 免地会出现或大或小的测量误差，误差大说明测量结果离真值远、精度低。因此不知道精度 的测量结果是没有意义的。对于每一测量过程的测量结果都应给出一定的测量精度。测量精 度和测量误差是两个相对的概念。由于存在测量误差，任何测量结果都是以一近似值来表示，也就是说测量结果的可靠有效值是由测量误差决定的。 二、长度计量单位及量值传递 为了保证测量的正确性，必须保证测量过程中单位的统一，我国以国际单位制为基础确 定了法定计量单位，规定长度的基本单位为米（m）。在几何精度与检测中，常用单位有毫米 （mm）和微米（mm），1m=10 3 mm，1mm=10 3 mm。在超高精度测量中，采用钠米（nm）为单 位，1mm=10 3 nm。 1983 年第 17 届国际计量大会对米的最新定义为： 米是光在真空中 1/299792458s 内所经过 的距离。而在实际应用中，我们对各种测量尺寸不可能都按“米”的定义去测量，而是要用 各种计量器具。这些计量器具都具有一定的测量精度，并与长度基准保持一定的传递关系， 即所谓量值传递。它是将国家基准所复现的计量单位的量值，通过标准器件逐级传递到工作 用的计量器具和被测对象，以保证量值统一和准确一致的方式。而量值传递中尤以量块传递 系统应用最广。长度量值的传递系统如图 31 所示。 图 31 长度量值的传递系统
角度也是机械制造业中的重要几何量之一。由于一个圆周定义为 360º，因此角度不需要 与长度一样再建立一个自然基准，但是在计量部门，为了工作方便，仍用多面体（棱形块） 或分度盘作为角度量的基准。 目前生产的多面棱体有 4、6、8、12、24、36 以及 72 面体。图 32 为八面棱体，在该棱 体的任一横切面上，其相邻两面法线间的夹角为 45º的角度（n=1，2，3…）。 图 32 八面棱体 三、量块的基本知识 1．量块的材料、形状和尺寸 量块又名平面平行端规。它除了作为量值传递的媒介之外，还广泛用于计量器具的校准 与检定，以及精密机床与设备的调整和精密工件的检测等。 量块用铬锰钢等特殊合金钢或线膨胀系数小、性质稳定、耐磨以及不易变形的其他材料 制成。有长方体与圆柱体两种形状（如图 33 所示）。两测量面之间的距离为其工作尺寸（标 称尺寸），此尺寸非常准确。 量块的标称尺寸 L<6mm 时，刻有数字的表面为上测量面；量块的标称尺寸 L≥6mm 时， 刻有数字表面的右侧面为上测量面（如图 34 所示）。 （a）长方体 （b）圆柱体 图 33 量块形状 图 34 量块的测量面 2．量块的精度 量块的精度虽高，但其测量面亦非理想平面，且两测量面也并不绝对平行。 为了满足各种不同的应有场合，根据 GB/T 6093－2001《几何量技术规范（GPS） 长度 标准 量块》，对量块规定了若干精度等级。 量块主要依据量块长度的制造极限偏差和长度变动量的允许值，按其制造精度规定了五 级：00，0，1，2 和 3。其中 00 级精度最高，精度依次降低，3 级精度最低，另有一 K 级为校 准级。
量块长度的极限偏差是指量块中心长度与标称长度之间允许的最大误差；量块长度变动 量是指量块的最大量块长度与最小量块长度之差。 各级量块长度的极限偏差和量块长度变动量允许值，如表 31 所示。 表 31 各级量块的精度指标 00 级/µm 0 级/µm 1 级/µm 2 级/µm 3 级/µm 校准级 K/µm 标称长度 /mm 量块长 度的极 限偏差 长度 变动 量允 许值 量块长 度的极 限偏差 长度 变动 量允 许值 量块长 度的极 限偏差 长度 变动 量允 许值 量块长 度的极 限偏差 长度 变动 量允 许值 量块长 度的极 限偏差 长度 变动 量允 许值 量块长 度的极 限偏差 长度 变动 量允 许值 10 >1025 >2550 >5075 >75100 >100150 ±0.06 ±0.07 ±0.10 ±0.12 ±0.14 ±0.20 0.05 0.05 0.06 0.06 0.07 0.08 ±0.12 ±0.14 ±0.20 ±0.25 ±0.30 ±0.40 0.10 0.10 0.10 0.12 0.12 0.14 ±0.20 ±0.30 ±0.40 ±0.50 ±0.60 ±0.80 0.16 0.16 0.18 0.08 0.20 0.20 ±0.45 ±0.60 ±0.80 ±1.00 ±1.20 ±1.60 0.30 0.30 0.30 0.35 0.35 0.40 ±1.0 ±1.2 ±1.6 ±2.0 ±2.5 ±3.0 0.50 0.50 0.55 0.55 0.60 0.65 ±0.20 ±0.30 ±0.40 ±0.50 ±0.60 ±0.80 0.05 0.05 0.06 0.06 0.07 0.08 制造高精度量块的工艺要求高，成本也高，而且即使制造成高精度量块，在使用一段时 间后，也会因磨损而引起尺寸减小。所以按“级”使用量块（即以标称长度为准），必然要引 入量块本身的制造误差和磨损引起的误差。因此，需要定期检定出全套量块的实际尺寸，再 按检定的实际尺寸来使用量块，这样比按标称尺寸使用量块的准确度高。所以标准又规定量 块按其检定精度分为 5 等，即 1，2，…，5。其中 1 等精度最高，5 等精度最低。 “等”主要 是根据量块中心长度测量的极限偏差和平面平行性允许偏差来划分的。 量块的平面平行性允许偏差，是指量块上任一点的量块长度与量块中心长度所容许的最 大误差。 各等量块中心长度测量的极限偏差和平面平行性允许偏差，如表 32 所示。 表 32 各等量块的精度指标 1 等/µm 2 等/µm 3 等/µm 4 等/µm 5 等/µm 标称长度 /mm 中心长度 测量的极 限偏差 平面平 行性允 许偏差 中心长度 测量的极 限偏差 平面平 行性允 许偏差 中心长 度测量 的极限 偏差 平面平 行性允 许偏差 中心长 度测量 的极限 偏差 平面平 行性允 许偏差 中心长 度测量 的极限 偏差 平面平 行性允 许偏差 10 >1018 >1835 >3050 >5080 ±0.05 ±0.06 ±0.06 ±0.07 ±0.08 0.10 0.10 0.10 0.12 0.12 ±0.07 ±0.08 ±0.09 ±0.10 ±0.12 0.10 0.10 0.10 0.12 0.12 ±0.10 ±0.15 ±0.15 ±0.20 ±0.25 0.20 0.20 0.20 0.25 0.25 ±0.20 ±0.25 ±0.30 ±0.35 ±0.45 0.20 0.20 0.20 0.25 0.25 ±0.5 ±0.6 ±0.6 ±0.7 ±0.8 0.4 0.4 0.4 0.5 0.6 量块按“级”使用时，应以量块上刻印的数字，即标称尺寸为其工作尺寸，使用中忽略 了量块尺寸的制造误差及使用过程中的磨损误差。量块按“等”使用时，应以量块通过计量 部门检定后所得量块中心长度为其工作尺寸，即量块检定证书上注明的实际尺寸，使用中忽
略的只是检定量块实际尺寸时较小的测量误差。所以量块按“等”使用比按“级”使用的测 量精度高。 应当指出，按“等”使用量块，除增加检定费用外，由于要以实际检定结果作为工作尺 寸，使用上也有不利之处。此外，受到测量面平行度的限制，并不是任何“级”的量块都可 以检定成任何“等”的量块。但是，按“等”使用量块，不仅能提高测量精度，还能延长其 使用期限。 3．量块的应用 量块的基本特性除了稳定性、准确性外，还有一个重要特性——粘合性。由于量块的两 个测量面十分光洁和平整，如果将一量块的工作表面沿着另一量块的工作表面滑动时，用手 稍加压力，两量块便能粘在一起。 量块定尺寸量具，一个量块只有一个尺寸，为了满足一定尺寸范围的不同要求，量块可 以利用粘合性组合使用。 在使用量块时，为了减少量块的组合误差，应尽量减少量块的组合块数，一般不超过 4~5 块。 根据 GB/T 6093－2001 的规定，我国成套生产的量块有 91 块、83 块、46 块、38 块等 17 种套别。表 33 所列为 83 块和 91 块一套的量块尺寸系列。 表 33 成套量块尺寸表 83 块/套 91 块/套 公称尺寸系列/mm 尺寸间隔/mm 块数 公称尺寸系列/mm 尺寸间隔/mm 块数 0.5 － 1 0.5 － 1 1 － 1 1 － 1 1.005 － 1 1.001， 1.002， …， 1.009 0.001 9 1.01~1.49 0.01 49 1.01，1.02，…，1.49 0.01 49 1.5~1.9 0.1 5 1.5，1.6，…，1.9 0.1 5 2.0~9.5 0.5 16 2.0，2.5，…，9.5 0.5 16 10~100 10 10 10，20，…，100 10 10 例 31 要组成 38.935mm 尺寸，试选择组合的量块。 解：以 83 块一套的量块为例： 38.935 1.005 ——第一块量块尺寸 37.93 1.43 ——第二块量块尺寸 36.5 6.5 ——第三块量块尺寸 30 ——第四块量块尺寸 共选取 4 块量块组成 38.935mm 尺寸， 量块尺寸分别为 1.005mm， 1.43mm， 6.5mm， 30mm。
第二节 测量方法和计量器具
一、测量方法的分类 测量方法可以按不同的特征分类。 1．按获得结果的方式分类 （1）直接测量。直接测量指无需计算而直接得到被测量值或相对标准值的偏差的测量。 如用游标卡尺、千分尺测量零件的直径，用比较仪测量长度尺寸。 （2）间接测量。间接测量指首先测量与被测量之间有一定函 数关系的其他几何量，然后按函数关系计算，求得被测量值的测 量。例如，图 35 所示，欲测此非整圆工件的直径，需先测出弦 长 b 和其他相应的弓高 h，按 2 4 b D h h = + 即可计算出半径 R。 为了减小测量误差，一般都采用直接测量，必要时才采用间 接测量。 2．按比较的方式分类 （1）绝对测量。绝对测量指测量时从计量器具上直接得到被测参数的整个量值。例如用 游标卡尺测量小工件尺寸。 （2）相对测量。相对测量指在计量器具的读数装置上读得的是被测量对于标准量的偏 差值。 例如在比较仪上测量轴径 X（见图 36）。先用量块（标准量）X0 调整零位，实测后获得 的示值 ΔX 就是轴径相对于量块（标准量）的偏差值，实际轴径 X = X 0+ΔX。一般说来，相对 测量比绝对测量的测量精度高。 图 36 比较仪测量轴径 图 353．按被测工件表面与计量器具测头是否有机械接触分类 （1）接触测量。计量器具测头与工件被测表面直接接触，并有机械作用的测量力，如用 千分尺、游标卡尺测量工件。为了保证接触的可靠性，测量力是必要的，但它可能使计量器 具或工件产生变形，从而造成测量误差。尤其在绝对测量时，对于软金属或薄结构等易变形 工件，接触测量可能因变形造成较大的测量误差或划伤工件表面。 （2）非接触测量。计量器具的敏感元件与被测工件表面不直接接触，没有机械作用的测 量力。此时可利用光、气、电、磁等物理量关系使测量装置的敏感元件与被测工件表面联系。 例如用干涉显微镜、磁力测厚仪、气动量仪等的测量。 4．按同时被测几何量参数的数目分类 （1）单项测量。这指对工件上的每个几何量分别进行测量。如用工具显微镜分别测量螺 纹的螺距和牙型半角，并分别判断它们各自的合格性。 （2）综合测量。这指测得零件上几个有关参数的综合结果，从而综合地判断零件是否合 格。如用螺纹量规检验螺纹零件，用齿轮单啮仪测量齿轮的切向综合误差等。 单项测量比综合测量的效率低，但单项测量便于进行工艺分析。综合测量反映误差较为 客观，用于要求较高测量效率的场合。 5．按照对机械制造工艺过程所起作用分类 （1）主动测量。主动测量指零件在加工过程中进行的测量。测量结果直接用来控制零件 的加工过程，决定是否继续加工或需调整工艺系统，因此能预防废品产生。 （2）被动测量。被动测量指零件加工后进行的测量。被动测量的测量结果仅限于发现并 剔出废品。 由于主动测量具有一系列优点，因此是测量技术的重要发展方向之一。主动测量的推行 将使测量技术和加工工艺最紧密地结合起来，从根本上改变测量技术的被动局面。 6．按被测工件在测量时所处状态分类 （1）静态测量。测量时被测零件表面与计量器具测头处于静止状态。例如用齿距仪测量 齿轮齿距，用工具显微镜测量丝杠螺距等。 （2）动态测量。测量时被测零件表面与计量器具测头处于相对运动状态，或测量过程时 模拟零件在工作或加工时的运动状态，它能反映生产过程中被测参数的变化过程。 在动态测量中，往往有振动等现象，故对测量仪器有特殊要求。例如，要消除振动对测 量结果的影响，测头与被测零件表面的接触要安全、可靠、耐磨，对测量信息的反应要灵敏 等。因此，在静态测量中使用情况良好的仪器，在动态测量中，不一定能得到满意结果，有 时往往不能应用。 以上测量方法分类是从不同角度考虑的。对于一个具体的测量过程，可能兼有几种测量 方法的特征。例如，在内圆磨床上用两点式测头进行检测，属于主动测量、直接测量、接触 测量和相对测量等。测量方法的选择应考虑零件结构特点、精度要求、生产批量、技术条件 及经济效果等。 二、计量器具的分类 计量器具是测量仪器和测量工具的总称。通常把没有传动放大系统的计量器具称为量具， 如游标卡尺、90º角尺和量规等；把具有传动放大系统的计量器具称为量仪，如机械比较仪、
测长仪和投影仪等。 计量器具可按其测量原理、结构特点及用途等分为以下四类： 1．标准量具 标准量具是指以固定形式复现量值的测量工具，包括单值量具和多值量具两种。单值量 具是复现单一量值的量具，如量块、角度块等。多值量具是指复现一定范围内的一系列不同 量值的量具，如线纹尺等。标准量具通常用来校对和调整其他计量器具或作为标准用来进行 比较测量。 2．通用计量器具 通用计量量具（量仪）是指能将被测的量值，转换成可直接观察的指示值或等效信息的 计量器具。计量仪器根据构造上的特点还可分为以下几种： （1）游标式量具：如游标卡尺、游标高度尺等。 （2）螺旋副式量仪：如外径千分尺、内径千分尺等。 （3）机械式量仪：如百分表、千分表、杠杆比较仪、扭簧比较仪等。 （4）光学机械式量仪：如光学比较仪、测长仪、投影仪、干涉仪等。 （5）电动式量仪：如电感比较仪、电容比较仪、电动轮廓仪等。 （6）气动式量仪：如压力式气动量仪、流量计式气动量仪等。 3．量规 量规是指没有刻度的专用计量器具，用以检验零件要素的实际尺寸和形位误差的综合结 果。检验结果只能判断被测几何量合格与否，而不能获得被测几何量的具体数值，如用光滑 极限量规、位置量规和螺纹量规等进行检验。 4．专用计量装置 专用计量装置是指为了确定被测几何量量值所设计制造的专用计量器具和辅助设备的总 体。它能够测量较多的几何量和较复杂的零件，有助于实现检测自动化或半自动化，如连杆、 滚动轴承等零件可用专用计量装置来测量。 三、计量器具与测量方法的基本度量指标 度量指标是选择和使用计量器具、研究和判断测量方法正确性的依据，是表征计量器具 的性能和功能的指标。基本度量指标主要有以下几项： （1）刻线间距 c。指计量器具标尺或刻度盘上两相邻刻线中心线间的距离。通常是等距 刻线。为了适于人眼观察和读数，刻线间距一般为 0.75~2.5mm。 （2）分度值 i。指计量器具标尺上每一刻度间隔所代表的测量的数值。如百分表的分度 值为 0.01mm，千分表的分度值为 0.001mm。 （3）测量范围。计量器具所能测量的被测量最小值到最大值的范围称为测量范围，图 36 所示计量器具的测量范围为 0~180mm。测量范围的最大、最小值称为测量范围的“上限值” 、 “下限值” 。 （4）示值范围 b。示值范围也称刻度标尺的指示范围，即在计量器具标尺上全部刻线所 能代表的被测参数值。例如立式光学比较仪的示值范围为±100μm。 选择计量器具时，对于绝对测量，其示值范围应大于被测零件的尺寸；对于相对测量， 其示值范围应大于被测零件的尺寸公差。
（5）灵敏度 S。指计量器具反映被测几何量微小变化的能力。如果被测参数的变化量为 ΔL，引起计量器具的示值变化量为 Δx，则灵敏度 S =Δx/ΔL。当分子分母是同一类量时，灵敏 度又称放大比 K，对于均匀刻度的量仪，放大比 K=c/i，此式说明，当刻度 c 一定时，放大比 K 愈大，分度值 i 愈小，可以获得更精确的读数。 （6）示值误差。指计量器具所指示的数值与被测量的真值之差。它主要由计量器具的原 理误差、刻度误差和传动机构的制造与调整误差产生。示值误差的大小可从使用说明书或检 定规程中查得，也可通过分析计算或实验统计确定。例如，用杠杆千分尺测薄片厚度，示值 为 1.490mm，而薄片实际厚度（相对真值）为 1.485mm，则示值误差为+0.005mm。 （7）修正值。修正值是指为了消除系统误差，用代数法加到测量结果上的数值，其大小 与示值误差的绝对值相等而符号相反。例如，示值误差为+0.005mm，则修正值为0.005mm。 修正值一般通过检定来获得。 （8）回程误差。在相同的测量条件下，当被测量不变时，计量器具沿正、反行程在同一 点上测量结果之差的绝对值称为回程误差。回程误差是由计量器具中测量系统的间隙、变形 和摩擦等原因引起的。测量时，为了减少回程误差的影响，应按一个方向进行测量。 （9）不确定度。不确定度是指由于测量误差的存在，而对被测几何量量值不能肯定的 程度。 （10）迟钝度。指引起计量器具示值可察觉变化的那个被测量的最小变动值。它表示计 量器具对被测量微小变化的敏感程度。它是由计量器具的传动元件间的间隙、弹性变形及摩 擦阻力等因素引起。在迟钝度范围内，计量器具的放大比为零，因此不能用迟钝度大的计量 器具测量精密零件尺寸的微小变动（例如测量跳动等）。 （11） 允许误差。 技术规范、 规程等对给定计量器具所允许的误差的极限值称为允许误差。 （12）分辨力。它是计量器具指示装置可以有效辨别所指示的紧密相邻量值的能力的定 量表示。一般认为模拟式指示装置其分辨力为标尺间距的一半，数字式指示装置其分辨力为 最后一位数的一个字码。 （13）测量力。指测量过程中被测表面承受的测量压力。在接触测量中，测量力可以保 证接触可靠，但同时也会引起计量器具和被测零件的变形和磨损。例如百分表的测力在 0.5N 到 1.5N 之间。
第三节 测量误差及测量精度
一、测量误差的基本概念 由于测量器具与测量条件的限制或其他因素的影响，任何测量过程总是不可避免地存在 测量误差。测量误差是反映测量方法和测试装置或计量仪器精度的定量指标。误差愈小，则 精度愈高。 测量误差可用绝对误差表示，也可用相对误差表示。 （1）绝对误差。绝对误差 Δ 是指被测量的测得值 L 与其真值 L0 之差，即： 0 L L D = - （31） （2）相对误差。相对误差e 是测量的绝对误差 Δ 与被测量的真值 L0 之比。实用中以被测几何量的量值 L 代替真值 L0 进行估算，即： 0 | | | | 100% L L e = D » D ´ （32） 绝对误差越小，测量精确度越高，这一结论只适用于被测尺寸相同或相近的情况。对于 被测尺寸相差较大的情况，用相对误差评定测量精确度较为合理。 在长度计量中，相对误差应用较少，通常所说的测量误差，一般是指绝对误差。 二、测量误差的来源及防止 在实际测量中，产生测量误差的原因很多，主要有以下几个方面。 1．计量器具的误差 计量器具误差是指计量器具本身所具有的误差。它包括计量器具在设计制造和装配调整 过程中的各项误差的总和，这些误差的总和反映在示值误差和测量的重复性上。 它产生的原因有如下几种： （1）设计计量器具时，为简化结构，经常采用近似机构代替理论上所要求的运动机构， 或者设计的计量器具不符合阿贝原则等。 （2）计量器具的零件的制造误差和装配调整误差，也会导致测量误差的产生。例如，游标 卡尺标尺的刻线不准确、指示表刻度盘与指针的回转轴的安装有偏心等，都会产生测量误差。 （3）相对测量时使用的如量块、线纹尺等的制造误差，也会产生测量误差。 （4）计量器具在使用过程中由于零件的变形、滑动表面的磨损等会产生测量误差。 2．测量方法误差 它是指测量时选用的测量方法不完善（包括工件安装不合理、测量方法选择不当、计算 公式不准确等）或对被测对象认识不够全面引起的误差。如前述测量大型工件的直径，可以 采用直接测量法，也可采用测量弦长和弓高的间接测量法，其测量误差是不相同的。 3．环境误差 它是指测量时的环境条件不符合标准条件所引起的误差，包括有环境温度、湿度、气压、 振动、灰尘等因素引起的误差。其中温度是主要的，其余因素仅在精密测量时才考虑。例如 用用光波波长作基准进行绝对测量时，若气压、温度偏离标准状态，则光波波长将发生变化。 测量时，由于被测件与标准件的温度偏离标准温度（20℃）而引起的测量误差，可按下 式计算： 2 2 1 1 [ ( 20 C) ( 20 C)] L t t d = a - o -a - o （33） 式中：d ——测量误差（mm）；L——被测长度（mm）； a 1——标准件的线膨胀系数（10 6 / ℃） ； a 2——被测零件的线膨胀系数（10 6 /℃） ；t1——标准件温度（℃） ；t2——被测零件的温 度（℃） 。 由式（33）可知，等温测量（计量器具的温度与被测零件的温度相同 t1» ）可以明显减 t 2 小由于温度引起的误差；而恒温测量（ t1»t 2 = 20 C o ）对于减小由于温度引起的测量误差有更 明显的效果，但需一定的恒温设备；此外，所设计的零件材料的线膨胀系数尽可能与计量器 具的线膨胀系数相同。 常用材料的线膨胀系数a 如表 34 所示。
表 34 常用材料的线膨胀系数 6 10 a - ´ (1/℃) 温度范围（℃） 材料名称 20 20~100 20~200 20~300 20~400 20~600 20~700 20~ 900 70~ 1000 工程用铜 16.6~17.1 17.1~17.2 17.6 18~18.1 18.6 紫铜 17.2 17.5 17.9 黄铜 17.8 16.8 20.9 锡青铜 17.6 17.9 18.2 铝青铜 17.6 17.9 19.2 碳钢 10.6~12.2 11.3~13 12.1~13.5 12.9~13.9 13.5~14.3 14.7~15 铬钢 11.2 11.8 12.4 13 13.6 40CrSi 11.7 30CrMnSiA 11 3Cr13 10.2 11.1 11.6 11.9 12.3 12.8 1Cr18Ni9Ti 16.6 17 17.2 17.5 17.9 18.6 19.3 铸铁 8.7~11.1 8.5~11.6 10.1~12.2 11.5~12.7 12.9~13.2 17.6 镍铬合金 14.5 砖 9.5 水泥、 混凝土 10~14 胶木、 硬橡皮 64~77 玻璃 4~11.5 赛璐珞 100 有机玻璃 130 铸铝合金 18.44~ 24.5 铝合金 22.0~24.0 23.4~24.8 24.0~25.9 例 32 用千分尺测量一黄铜零件的某一尺寸 L=100mm，若室温（千分尺的温度）为 +15℃。零件加工后未经等温处理即进行测量，测量时零件的温度为+30℃。试计算由温度引 起的测量误差。若测值为 99.991mm，零件的尺寸要求为 0 0.022 100 - ，问该零件尺寸是否合格？ 解：千分尺材料为钢，零件材料为黄铜，由表 34 可知： 6 1 11.5 10 / a = ´ - ℃ ， 6 2 18 10 / t1 15 t2 30 a = ´ - ℃ ， = ℃ ， = ℃，代入式（33），得： 6 1 100 [18 (30 20) 11.5 (15 20)] 10 mm 0.024mm d = ´ ´ - - ´ - ´ - » + 由于温度引起的测量误差为+0.024mm。对于测量结果进行修正，则相对真值为： 0 1 [99.991 ( 0.024)]mm 99.967mm L =L d- = - + = 因为 99.967mm <Lmin=99.978mm。 所以，该零件尺寸不合格。
若将黄铜零件进行等温测量（t1=t2=15℃），则测量误差可大为减小。 6 2 100 [(18 11.5) ( 5) 11.5 (15 15)] 10 mm 0.003mm d = ´ - ´ - + ´ - ´ - » 若此时零件的测值仍为 99.991mm： 0 2 [99.991 ( 0.003)]mm 99.994mm L =L d- = - - = 因为 99.994mm>Lmin=99.978mm，99.994mm<Lmax=100mm，则该零件尺寸合格。 由此可见，零件经过等温处理后再测量可以减小因温度引起的测量误差。 4．人为误差 人为误差是指测量人员人为引起的误差。例如，测量人员使用计量器具不正确，读取示 值的读数误差、瞄准误差和估算误差等。 三、测量误差的分类 根据测量误差的性质、出现规律和特点，可分为三大类，即系统误差、随机误差和粗大 误差。 1．系统误差 在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持恒定；或者当条件改变 时，其值按某一确定的规律变化的误差，称为系统误差。所谓规律，是指这种误差可以归结 为某一个因素或某几个因素的函数，这种函数一般可用解析公式、曲线或数表来表示。系统 误差按其出现的规律又可分为常值系统误差和变值系统误差。 例如，用比较仪测量零件时，量块的实际偏差，对每次测量量值的影响是相同的，它所 引起的测量误差就是定值系统误差。又如，指示表的表盘安装偏心所引起的示值误差是按确 定的正弦规律作周期性变化，这种误差就是变值系统误差。变值系统误差可能是周期性的， 也可能是逐渐累积性的或具有确定的复杂规律性的。 从理论上讲，系统误差是可以消除的，特别是对常值系统误差，易于发现并能够消除或 减小。但在实际测量中，系统误差不一定能完全消除，且消除系统误差也没有统一的方法， 特别是对变值系统误差，只能针对具体情况采用不同的处理方法。对于那些未能消除的系统 误差，在规定允许的测量误差时应予以考虑。 2．随机误差 随机误差是指在相同测量条件下，连续多次测量同一被测几何量时，误差的大小和符号 以不可预定的方式变化的测量误差。随机误差又称偶然误差。随机误差小，则说明测量的精 密度高。 由于随机误差是由测量过程中许多难以控制的偶然因素或不稳定因素引起的，所以误差 值时大时小，符号可正可负。因而这类误差不能消除，只能设法减小它对测量结果的影响， 并运用概率论和数理统计的方法，在一定的置信概率下估算它的分布范围。 3．粗大误差 它是指由于测量不正确等原因引起的明显歪曲测量结果的误差或大大超出规定条件下预 期的误差。粗大误差主要是由于测量操作方法不正确和测量人员的主观因素造成的。例如工 作上的疏忽、经验不足、过度疲劳、外界条件的大幅度突变（如冲击振动、电压突降）等引 起的误差。正确的测量，不应包含粗大误差，所以在进行误差分析时，主要分析系统误差和
随机误差，并应剔除粗大误差。 四、测量精度 精度和误差是相对的概念，误差是不准确、不精确的意思，即指测量结果偏离真值的程 度。由于误差分系统误差和随机误差，因此笼统的精度概念已不能反映上述误差的差异，需 要引出如下概念。 1．精密度 精密度表示测量结果中随机误差大小的程度，是用于评定随机误差的精度指标。随机误 差愈小，则精密度就愈高。它说明在一个测量过程中，在同一测量条件下进行多次重复测量 时，所得结果彼此之间相符合程度。 2．正确度 正确度表示测量结果中系统误差大小的程度，是用于评定系统误差的精度指标。系统误 差愈小，则正确度就愈高。 3．精确度（准确度） 精确度表示测量结果中随机误差和系统误差综合影响的程度，说明测量结果与真值的一 致程度。 一般精密度高，正确度不一定也高；同样，正确度高，精密度不一定也高。但正确度和 精密度都高，则精确度肯定高。现以射击打靶为例加以说明，如图 37 所示，小圆圈表示靶心， 黑点表示弹孔。图 37（a）中，随机误差小而系统误差大，表示打靶精密度高而正确度低； 图 37（b）中，系统误差小而随机误差大，表示打靶正确度高而精密度低；图 37（c）中， 系统误差和随机误差都小，表示打靶精确度高；图 37（d）中，系统误差和随机误差都大， 表示打靶精确度低。 （a） （b） （c） （d） 图 37 精确度、精密度和正确度 五、测量列中各类误差的处理 由于测量误差的存在，测量结果不可能绝对精确地等于真值，因此，应根据要求对测量 结果进行处理和评定。 在实际测量中，系统误差对测量结果的影响是不能忽视的，揭示系统误差出现的规律性， 消除系统误差对测量结果的影响，是提高测量精度的有效措施。
1．系统误差处理 （1）系统误差的发现。 1）常值系统误差的发现。 由于常值系统误差的大小和方向不变，对测量结果的影响也是一定值。因此，它不能从 系列测得值的处理中揭示，而只能通过实验对比方法去发现。 实验对比法就是通过改变产生系统误差的测量条件，在不同测量条件下测量来发现系统 误差的方法。 例如量块按标称尺寸使用时，在测量结果中，就存在着由于量块尺寸偏差而产生的大小 和符号均不变的定值系统误差，重复测量也不能发现这一误差，只有用另一块更高等级的量 块进行对比测量，才能发现它。 2）变值系统误差的发现。 变值系统误差可以从系列测量值的处理和分析观察中揭示出来。常用的方法有残余误差 观察法。 残差观察法是指根据测量列的各个残差的大小和符号的变化规律，直接由残差数据或残 差曲线图形来判断有无系统误差。 根据测量先后须序，将测量列的残差作图，如图 38 所示，观察残差的规律。若残差大体 上正、负相同，又没有显著变化，就认为不存在变值系统误差，如图 38（a）所示；若残差 按近似的线性规律递增或递减，就可判断存在着线性系统误差，如图 38（b）所示；若残差 的大小和符号有规律地周期变化，就可判断存在着周期性系统误差，如图 38（c）所示。 （a） （b） （c） 图 38 残余误差的变化规律 显然，为了发现变值系统误差，在对测量列作表或作图时，必须严格按照测得值的时间 顺序，不得混合排列。 （2）系统误差的消除。 1）从产生误差根源上消除系统误差。 即从产生误差的根源上消除，这是消除系统误差的最根本方法。 这要求测量人员对测量过程中可能产生系统误差的各个环节分析，并在测量前就将系统 误差从产生根源上加以消除。 例如，在测量前仔细调整仪器工作台，调准零位，测量仪器和被测工件应处于标准温度 状态，测量人员要正确读数。 2）用修正法消除系统误差。
这种方法是预先将计算器具的系统误差检定或计算出来，做出误差表或误差曲线，然后 取与误差数值相同而符号相反的值作为修正值，将测量值加上相应的修正值，即可使测量结 果不包含系统误差。 例如，量块的实际尺寸不等于标称尺寸，若按标称尺寸使用，就要产生系统误差，而按 经过检定的量块实际尺寸使用，就可避免该系统误差的产生。 3）用抵消法消除定值系统误差。 根据具体情况拟定测量方案，进行两次测量，使得两次读数时出现的系统误差大小相等， 方向相反，取两次测得值的平均值作为测量结果，即可消除系统误差。 例如，在工具显微镜上测量螺纹螺距时，为了消除罗螺纹轴线与量仪工作台移动方向 倾斜而引起的系统误差，可分别测取螺纹左右牙面的螺距，然后取它们的平均值作为螺距 测得值。 4）用半周期法消除周期性系统误差。 对于周期性变化的变值系统误差，可用半周期法消除，即取相隔半个周期的两个测得值 的平均值作为测量结果。 虽然从理论上讲，系统误差可以完全消除，但由于种种因素的影响，实际上系统误差只 能减少到一定程度。例如，采用加修正值的方法消除系统误差，由于修正值本身也含有一定 的误差，因此不可能完全消除系统误差。如能将系统误差减少到使其影响相当于随机误差的 程度，则可认为系统误差已被消除。 2．随机误差处理 （1）随机误差的分布及特征。 随机误差就其整体来说是有内在规律的。例如，在相同测量条件下对一个工件的某一 部位用同一方法进行 150 次重复测量，测得 150 个不同的读数（这一系列的测得值，常称 为测量列），找出其中的最大测得值和最小测得值，用最大值减去最小值得到测得值的分散 范围，将测得尺寸进行分组，从 7.131mm 至 7.141mm，每隔 0.001mm 为一组，分成 11 组， 统计出每一组出现的次数 ni（频数），计算每一组频率（频数 ni 与测量总数 N 之比），列于 表 35 中。 表 35 随机误差的分布及其特征 测量值 范围 测量中值 出现次数 ni 相对出现 次数（频 率）ni/N 测量值 范围 测量中值 出现次数 ni 相对出现 次数（频 率）ni/N 7.1305~7.1315 x1=7.131 n1=1 0.007 7.1365~7.1375 x7=7.137 n1=28 0.193 7.1315~7.1325 x2=7.132 n2=3 0.020 7.1375~7.1385 x8=7.138 n2=17 0.113 7.1325~7.1335 x3=7.133 n3=8 0.054 7.1385~7.1395 x9=7.139 n3=9 0.060 7.1335~7.1345 x4=7.134 n4=18 0.120 7.1365~7.1405 x10=7.140 n4=3 0.013 7.1345~7.1355 x5=7.135 n5=28 0.187 7.1405~7.1415 x11=7.141 n5=1 0.007 7.1355~7.1365 x6=7.136 n6=34 0.227 以测得值 xi 为横坐标，频率 ni/N 为纵坐标，将表 35 中的数据以每组的区间与相应的频
率为边长画成直方图，即频率直方图，如图 39（a）所示。如连接每个小方图的上部中点（每 组区间的中值），得到一折线，称为实际尺寸分布曲线。由作图步骤可知，此图形的高矮受分 组间隔 Δx 的影响。当间隔 Δx 大时，图形变高；而 Δx 小时，图形变矮。为了使图形不受 Δx 的影响，可用 ni/(NΔx)代替纵坐标 ni/N，此时图形高矮不再受 Δx 取值的影响，ni/(NΔx)即为概 率论中所知的概率密度。 如果将测量次数 N 无限增大 （N→∞）， 而间隔 Δx 取得很小 （Δx→0）， 且用误差 δ 来代替尺寸 x，则得图 39（b）所示光滑曲线，即随机误差的理论正态分布曲线。 （a） （b） 图 39 频率直方图与正态分布曲线 根据概率论原理，正态分布曲线方程为： 2 2 2 1 e 2π y d s s - = （34） 式中： y ——概率密度；e ——自然对数的底（e=2.71828）；d ——随机误差（ d =L- L0 ） ；s ——标准偏差（后面介绍）。 大量实验表明，多数随机误差都符合正态分布规律，只有少数随机误差符合其他分布规 律。本章只讨论正态分布规律的随机误差。从图 39 中可以看出它具有如下四个基本特性： 1）单峰性。绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大。 2）对称性。绝对值相等、符号相反的误差出现的概率相等。 3）有界性。在一定的测量条件下，随机误差的绝对值不会超过一定的界限。 4）抵偿性。当测量次数足够多时，各随机误差的代数和趋于零。该特性是对称性的必然 反映。 由概率论可知，随机误差正态分布曲线下所包含的面积等于其相应区间确定的概率，如 果误差落在区间（-∞，+∞）之内，其概率为： 2 2 2 1 d e d 1 2π P y d s d d d - +¥ +¥ -¥ -¥ =
ò
=ò
= （35） 理论上，随机误差的分布范围应在正、负无穷大之间，但这在生产实践中是不切实际的。 一般随机误差主要分布在 d = ± 3s 范围之内，因为 3 3 d 0.9973 99.73% P s y s d + - =ò
= = ，也就是说 随机误差d 在 3± s 范围内出现的概率时 99.73%，超出 3± s 之外的概率仅为 1-0.9973=0.0027 =0.27%， 几乎不可能出现。 因此可以把 3± s 看作随机误差的极限值， 记作极限误差 dlim = ± 3s。 极限误差是单次测量标准偏差的±3 倍，如图 310 所示。（2）随机误差的评定指标。 随机误差对于某一次测量来说，误差具有不确定性，而 对于一系列重复测量来说，误差具有统计规律性。因此，必 须用综合性指标， 才能评定随机误差。 常用两个参数来评定， 即测值的平均值 L 和标准偏差s 。 1）测值的平均值 L 。若测量过程中仅存在随机误差， 则多次测值的平均值 L 是真值的最可信赖值（相对真值）， 应以 L 作为测量结果；若测量过程中，既存在系统误差，又 存在随机误差，则多次测值的平均值 L 经修正后是真值的最 可依赖值。测值的平均值 L ，在数值上为： 1 1 N i i L L N = =
å
（36） 2）标准偏差s 。 用算术平均值表示测量结果是可靠的， 但它不能反映测 得值的精度。例如有两组测得值： 第一组：12.005，11.996，12.003，11.994，12.002； 第二组：11.90，12.10，11.95，12.05，12.00； 可以算出 L1=L 2 = 12 。但从两组数据看出，第一组测得值比较集中，第二组比较分散， 即说明第一组每一测得值比第二组的更接近于算术平均值 L （即真值），也就是第一组测得值 精密度比第二组的高，故引入标准偏差s 反映测量精度的高低。 ① 测量列中任一测得值的标准偏差s ，等精度测量列中单次测量（任一测量值）的标准 偏差s 可用下式计算： 2 2 2 2 1 2 1 ( ) N i N i N N d d d d s = + + + = =å
L （37）式中： d i——测量列中第 i 次测得值的随机误差，即 d =i li - （lL0 i：第 i 次测量值；L0：真值） ；
N——测量次数。 由式（35）可知，概率密度 P 与随机误差d 及标 准偏差s 有关。 如图 311 所示，s 愈小，曲线愈陡，随机误差分 布也就愈集中，即测得值分布愈集中，测量的精密度 也就愈高，反之，s 愈大，曲线愈平缓，随机误差分 布就愈分散，即测得值分布愈分散，测量的精密度也 就愈低。因此s 可作为随机误差评定指标来评定测得 值的精密度。 对测量误差来说，可从两个方面理解s 的含义： 它是一系列测值对真值的分散性指标；以任一次测值 作为测量结果时，它是真值可能存在的分散性指标。 图 310 随机误差的极限误差 图 311 用随机误差评定测量值精密度
② 标准偏差的估计值s¢ 。 在实际工作中，真值 L0 是未知的，所以很难按式（37）计算s 。通常是用实验统计法估 算s¢ ，其具体步骤如下： 第一步：在一定条件下，用某种计量器具对同一零件的同一部位，重复测量 N 次，得到 N 个测值。 第二步：计算测值的平均值： 1 2 N L L L L N + + + = L （38） 第三步：求残余误差（残差）vi： i i v =L - L （39） 第四步：计算单次（某一次）测量的标准偏差s¢ ： 2 2 2 2 1 2 1 1 1 N i N i v v v v N N s¢ = + + + = = - -
å
L （310） 不过，并不是每测量一个尺寸都要进行如此烦琐的计算，对于某些测量方法的标准偏差， 可在有关资料中查得。 ③ 测量列算术平均值的标准偏差 s L。 标准偏差s 代表一组测量值中任一测得值的精密度。但在系列测量中，是以测得值的算 术平均值作为测量结果的。因此，更重要的是要知道算术平均值的标准偏差。 根据误差理论， s L与s 存在如下关系： L N s s = （311） 其估计值 L s¢ 为： 2 1 ( 1) N i i L v N N N s s¢ = ¢ = = -å
（312） 式中：N——总的测量次数。 （3）随机误差的处理。 随机误差的出现是不可避免和无法消除的。为了减小其对测量结果的影响，可以用概率 的方法来估算随机误差的范围和分布规律，对测量结果进行处理。数据处理的具体步骤如下： 1）计算测量列算术平均值 L 。 2）计算测量列中任一测得值的标准偏差的估计值s¢ 。 3）计算测量列算术平均值的标准偏差的估计值 sL¢ 。 4）确定测量结果。 多次测量结果可表示为： 3 L L=L± s¢ （313） 3．粗大误差的处理 粗大误差的数值比较大，会对测量结果产生明显的歪曲。因此，必须采用一定的方法判断并剔除粗大误差。 粗大误差常用拉依达准则，又称 3s 准则来判断。主要用于测量次数较大，（一般要求多 于 10 次），服从正态分布的误差。该准则认为：某一测量值的残余误差 vi 的绝对值|vi|> 3s 时， 则可认为该测量值属于粗大误差，应予剔除。 六、测量结果的表示 测量的目的是要获得被测量的真值，但是由于不可避免地会产生测量误差，所以只能获 得真值的近似值，其可靠程度取决于极限测量误差。 测量的最终结果，不但要给出被测量的大小，而且要给出可能有的测量误差，即极限测 量误差。 1．直接测量结果的表示 （1）单次测量。 单次测得值可以指进行一次测量所得之值，也可以指在相同测量条件下，多次重复测量 中的任何一次测量值。 在不存在或消除了系统误差的情况下，常用标准偏差s 来评定单次测得值的精度。如果 要评定的单次测量是在相同条件下，N 次重复测量的测得值中的任一个，则s 就根据此 N 次 测得值的残余误差 vi 来计算。如果要评定的单次测得值是在一定条件下，只进行一次所测得 的，则s 必然是在相同的测量条件下事先已求出的，即事先给定的 d lim或s 。 单次测得值的极限误差为： lim 3 d = ± s （314） 则测量结果 L0 的表达式为： 0 3 lim L =L± s =L± d 式中：L——消除了系统误差的单次测得值。 （2）多次测量。 它是指在测量条件（包括量仪、测量人员、测量方法及环境条件等）不变的情况下，对 某一被测几何量进行的连续多次测量。 为了从直接测量列中得到正确的测量结果，应按以下步骤进行数据处理。 第一步：计算测量列的算术平均值和残差（ L ， v ）i ，以判断测量列中是否存要系统误差。 如果存在系统误差，则应采取措施加以消除。 第二步：计算测量列单次测量值的标准偏差s 。判断是否存在粗大误差。若有粗大误差， 则应剔除含粗大误差的测得值，并重新组成测量列，再重复上述计算，直到将所有含粗大误 差的测得值都剔除干净为止。 第三步：计算测量列的算术平均值的标准偏差和测量极限误差（ s L和 d lim( ) L ）。 第四步：给出测量结果表达式 L0 =L d± lim( ) L 。 例 33 测量某一小轴直径， 若系统误差已消除， 得到一系列等精度测值 （mm） 为： 25.0360， 25.0365，25.0362，25.0364，25.0367，25.0363，25.0366，25.0363，25.0366，25.0364。试求 该小轴直径的测量结果。 解：列表计算如下：
序号 系列测值 Li/mm 残差 / μm v i i i v =L - L 残差的平方 2 2 /(μm) i v 1 25.0360 0.4 0.16 2 25.0365 +0.1 0.01 3 25.0362 0.2 0.04 4 25.0364 0 0 5 25.0367 +0.3 0.09 6 25.0363 0.1 0.01 7 25.0366 +0.2 0.04 8 25.0363 0.1 0.01 9 25.0366 +0.2 0.04 10 25.0364 0 0 平均值 L L i 25.0364 N å ＝ ＝ åv i = 0 2 0.40 i v å = 按下列步骤进行计算： 第一步：计算系列测量值的算术平均值： 1 250.364 25.0364mm N i i L L N N = = = =
å
第二步：计算单次测量值的标准偏差： 2 1 0.40 μm 0.21μm 1 10 1 N i i v N s = = = = - -å
第三步：测量列中没有绝对值大于 3s（0.7mm）的残余误差。因此，依照拉依达准则，判 断测量列中不存在粗大误差。 第四步：计算算术平均值的标准偏差： 0.21 μm 0.066μm 10 L N s s = = = ± 第五步：计算算术平均值的极限误差： lim ( ) L 3 L 3 0.066μm 0.198μm 0.0002mm d = ± s = ± ´ = ± » 第六步：写出小轴直径的测量结果： 0 lim( ) L (25.0364 0.0002)mm L =L d± = ± 即该小轴直径的测量结果为 25.0364mm，其误差在 0.0002mm ± 范围的可能性达 99.73%。 2．间接测量结果的表示 间接测量的特点是所需的测量值不是直接测出的，而是通过测量有关的独立量值 x1、 x2、…、xn 后，再经过计算而得到的。因此间接测量的被测量是测量得到的各个实测量的函数，它表示为 1 2 n ( , , , ) y= F x x L x （315） 式中：y ——欲测量（函数）； x ——实测量。 i 而间接测量的误差则是各个实测量误差的函数，故称这个误差为函数误差。 （1）函数系统误差的计算。 根据式（315）知，y 值由 x1、x2、…、xn 各直接测量的独立变量决定的，若已知各独立 变量的系统误差分别为 Δx1、Δx2、…、Δxn，则间接量 y 的系统误差为 Δy，其函数关系为： 1 1 2 2 ( , , , n n ) y+ D =y F x + Dx x + Dx L x + D x （316） 按泰勒公式展开，并舍去高阶微分量可得： 1 2 1 2 n n F F F y x x x x x x ¶ ¶ ¶ D = D + D + + D ¶ ¶ L ¶ （317） 式（317）为间接测量的系统误差传递公式。 该函数增量可用函数的全微分来表示： 1 2 1 2 d d d d n n F F F y x x x x x x ¶ ¶ ¶ = + + + ¶ ¶ L ¶ （318） 式中： dy ——欲测量（函数）的测量误差； d x ——实测量的测量误差； i i F x ¶ ¶ ——实测量的测 量误差传递系数。 （2）函数随机误差的计算。 由于各实测量的值中还存在着随机误差，因此被测量（函数）也存在着随机误差。根据 误差理论，函数的标准偏差 y ¶ 与各个实测量的标准偏差 ¶ 的关系为： x i 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 n n F F F y x x x x x x æ ö æ¶ ö æ¶ ö ¶ ¶ = ç ÷ ¶ +ç ÷ ¶ + +ç ÷ ¶ ¶ ¶ ¶ è ø è ø è ø L （319） 式中： y ¶ ——欲测量（函数）标准偏差； ¶ ——实测量的标准偏差。 x i 同理，函数的测量极限误差公式为： 1 2 2 2 2 2 2
lim( ) lim( ) lim( ) lim( )
1 2 n y x x x n F F F x x x d = ± çæ¶ ÷ö d +çæ¶ ö ÷ d + + çæ¶ ö ÷ d ¶ ¶ ¶ è ø è ø è ø L （320） 式中： d lim( )xi ——实测量的极限误差。 （3）间接测量的数据处理。 间接测量的数据处理步骤如下： 第一步：根据函数关系式和各实测量 xi 计算欲测量 y0； 第二步：按式（317）计算函数的系统误差； 第三步：按式（320）计算函数的测量极限误差 d lim( ) y ； 第四步：确定测量结果为： 0 lim( ) ( ) y y= y - Dy ± d （321） 第五步：最后说明置信概率。 例 34 设在万能工程显微镜上，用弓高弦长法间接测量圆弧半径 R，如图 35 所示。测
得 值 b=30mm ， h=2.92mm ， 它 们 的 系 统 误 差 和 测 量 极 限 误 差 分 别 为 ： Δb=0.002mm ， Δh=-0.005mm； dlim( )b = ±0.0018mm， dlim( ) h = ± 0.0015mm ，试确定圆弧半径 R 的测量结果。 解： （1）确定间接测量的函数关系式，计算圆弧半径的量值 R。 2 2 30 2.92 mm mm 39.987mm 8 2 8 2.92 2 b h R h = + = + = ´ （2）计算圆弧半径的系统误差 ΔR 由于弓高 h 和弦长 b 的测量值中，均含有系统误差， 所以圆弧半径的量值中也含有系统误差。由式（317）得： 2 2 2 2 1 30 0.002 30 1 mm ( 0.005)mm 4 8 2 4 2.92 8 2.92 2 0.069mm b b R b h h h æ ö ´ æ ö D = D -ç - ÷D = -ç - ÷ ´ - ´ ´ è ø è ø = + （3）计算圆弧半径的测量极限误差 d lim( ) R 由式（320）得： 2 2 2 2 2
lim( ) lim( ) 2 lim( ) 2 2 2 2 2 2 1 4 8 2 30 30 1 0.0018 0.0015 4 2.92 8 2.92 2 0.020mm R b h b b h h d = ± æç ö ÷ d +æç - ö ÷ d è ø è ø æ ö æ ö = ± ç ÷ ´ +ç - ÷ ´ ´ ´ è ø è ø = ± （4）确定测量结果 R0。 0 ( ) lim( ) (39.987 0.069)mm 0.020mm 39.918mm 0.020mm R R = R- DR +d = - ± = ± 此时的置信概率为 99.73%。 例 35 用分度值为 0.02mm 的游标卡尺测量如图 312 所示的两轴中心距 L，已知测量各 量的极限误差分别为： 1 2 lim(L) 0.045mm lim(L) 0.06mm d = ± ， d = ± ， 1 2 lim(d) lim(d ) 0.04mm d =d = ± ， 试 确定测量方案并比较它们的测量精度。 图 312 例 35 的两轴中心距测量 解： （1）确定测量方案。 方案 a： L=L2+(d1+ d 2 ) ；方案 b： / 2 L=L1-(d1+ d 2 ) / 2 ；方案 c： L=(L1+ L 2 ) / 2 。
（2）比较测量方案的测量精度。 方案 a：
( )
a 2 1 2 2 2 2 2 2 2lim( ) lim( ) lim( ) lim( )
2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 6 4 4 10 mm 0.066mm 2 2 L L d d F F F L d d d d d d - æ¶ ö æ¶ ö æ¶ ö = ± ç ÷ +ç ÷ + ç ÷ ¶ ¶ ¶ è ø è ø è ø æ ö æ ö = ± ´ +ç ÷ ´ +ç ÷ ´ ´ = ± è ø è ø 方案 b：
( )
b 1 1 2 2 2 2 2 2 2lim( ) lim( ) lim( ) lim( )
1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 4.5 4 4 10 mm 0.053mm 2 2 L L d d F F F L d d d d d d - æ¶ ö æ¶ ö æ ¶ ö = ± ç ÷ +ç ÷ + ç ÷ ¶ ¶ ¶ è ø è ø è ø æ ö æ ö = ± ´ + -ç ÷ ´ + -ç ÷ ´ ´ = ± è ø è ø 方案 c： c 1 2 2 2 2 2
lim( ) lim( ) lim( )
1 2 2 2 2 2 2 1 1 4.5 6 10 mm 0.038mm 2 2 L L L F F L L d d d - æ¶ ö æ¶ ö = ± ç ÷ + ç ÷ ¶ ¶ è ø è ø æ ö æ ö = ± ç ÷ ´ +ç ÷ ´ ´ = ± è ø è ø a b c
lim(L) lim(L) lim(L)
d >d > d ，即方案 c 的测量精度最高。
