死亡率的降低對於退休金純保費的影響:台灣地區的實證研究

死亡率的降低對於退休金純保費的影響：

台灣地區的實證研究

國立政治大學統計系副教授

余清祥

摘要

台灣地區居民的平均餘命因經濟發展、環境衛生改善、醫療技術 進步等因素，近四十年來有明顯的增加。例如 65 歲以上的老年人口 自 1993 即已突破 7%，符合聯合國所定義的高齡化社會，因此退休金 之類的老年生活規劃愈來愈受大眾的重視。然因台灣地區人口老化及 死亡率降低的速度堪稱世界之最，與日本齊名，傳統的年金現值精算 方法可能導致純保費的低估。本研究以台灣歷年國民生命表的死亡率 為依據，在 Gompertz 死亡模型的假設下，探討現行的年金現值精算 方法之適用性；另外，本文的計算結果也與英國(Willets, 1999)的研究 比較，發現兩國有類似之處。 關鍵詞：平均餘命、死亡率推估、縱斷面、純保費、退休金

壹、 緒論

台灣地區居民的死亡率自二十世紀初即開始明顯的下降，壽命也 有非常大幅度的增加。舉例而言，表一為台灣地區歷年的國民生命 表，男性的平均壽命由 1926 ~ 1930 年的 38.76 歲增加到 1989 ~ 1991 年的 71.61 歲，在六十年間其增幅高達 80%以上；女性的壽命亦同， 從 1926 ~ 1930 年的 43.13 歲增加到 1989 ~ 1991 年的 76.76 歲，幅度 亦約有 80% 。根據過去死亡率方面的研究，死亡率的降低主要歸因 於經濟、環境、醫療等因素的改進，此一趨勢近年仍有穩定及固定幅

度的降低，例如最近內政部公佈的 2000 年簡易生命表顯示，男性及 女性的平均壽命分別為 72.67 及 78.44 歲，平均自 1991 年以來平均壽 命一年約有 0.12 及 0.19 歲的增加，與圖一中第六回至第八回國民生 命表平均一年增加約 0.2 歲類似。（因男女兩性在 1976 年至 1991 年 的 15 年間，各增加 3.02 及 3.12 歲，或是平均一年約增加 0.2 歲。) 表一 台灣地區國民生命表與平均壽命（單位：歲） 編算時間 1926 ~1930 1936 ~1940 1956 ~1958 1966 ~1967 1970 ~1971 1975 ~1976 1980 ~1981 1989 ~1991 男性 38.76 41.08 60.17 65.32 66.75 68.59 69.52 71.61 女性 43.13 45.73 64.22 69.72 71.57 73.64 74.78 76.76 資料來源：內政部 「中華民國台灣地區國民生命表」 圖一 台灣地區兩性平均年齡的年增量（單位：歲） 0. 2 0 .3 0.4 0 .5 A v er ag e y ear pe r y e ar

Taiwan Mortality Improvement (By Year)

Male Female

3-->4 4-->5 5-->6 6-->7 7-->8

死亡率的降低在各年齡層間雖不盡相同，但降幅都非常可觀，以 第二次世界大戰後的台灣地區生命表數字為例（參閱圖二及圖三的對

數死亡率圖形），除了男性 20 歲前後外，其他年齡在 1956 至 1991 年 間的死亡率差別都可由目視觀察而得：其中男性在 1989 ~ 1991 年生 命表的單一年齡死亡率平均只有 1956 ~ 1958 年的 57%；女性則更 低，1989 ~ 1991 年的單一年齡死亡率僅達 1956 ~ 1958 年的 46%。

圖二 台灣男性死亡率的對數 圖三 台灣女性死亡率的對數 Log(Mortality Rate) for Taiwan Male

Age log(qx) 0 20 40 60 80 -8 -6 -4 -2 1956-1958 1989-1991

Log(Mortality Rate) for Taiwan Female

Age log(qx) 0 20 40 60 80 -8 -6 -4 -2 1956-1958 1989-1991 一般商業保險中保單的純保費計算，理論上應以該被保險人(the insured)為對象，計算其一生的預期死亡風險（以人身保險商品為 例），此種計算方式稱為縱斷面(Cohort 或是 Longitudinal)法。但因無 法獲知該保險人未來的存活狀況，實務上以橫斷面(Cross-sectional) 法代替，也就是假設現在其他年齡的死亡率可套用到該被保險人，這 樣的假設在各年齡的死亡率不隨時間變動時可行。由於台灣地區居民 的死亡率降低的速度非常快，且各年齡層均有類似的下降趨勢，死亡 率不變的精算假設並不合適，使得保費在死亡險商品中有高估之虞， 不利於消費者；但在生存險商品中則傾向低估，進而造成保險公司財

務上的危險。本研究針對退休金之類的生存險，以台灣在第二次世界 大戰後的國民生命表死亡率資料為基礎，加上較常用的人口推估方法 與適用於中高齡的 Gompertz 死亡率模型，計算在一般精算方法求得 的純保費與實際數值的差異，探討在死亡率持續降低的趨勢下，如何 適當地修改保費的精算方法。

貳、研究假設及資料來源

本文以民國 60 年（西元 1971 年）為起點，研究死亡率的降低對 現行年金保費計算的影響。台灣地區居民的死亡率資料可能來源有 二，其一為本文採用之內政部統計處公佈的台灣地區居民死亡率資料 （中華民國台閩地區人口統計），期間為第二次世界大戰結束（民國 40 年）後至今（西元 2001 年），作為預測死亡率之用；由於本資料 在早期記錄時多為 5 歲一組的格式，必須使用內插(Interpolation)之類 的修勻(Graduation)方法推算出單一年齡的死亡率。資料的另一來源 為內政部統計處編算的台灣地區國民生命表(Complete Life Tables)或 簡易生命表(Abridge Life Tables)，但本研究不採用，其原因是因台灣 生命表編算的時間間隔並不統一，其中國民生命表至西元 1981 年後 採用聯合國建議後，方為 10 年一次；簡易生命表的死亡率也多為 5 歲一組，且近年來才為每年都編算。讀者可參考余清祥(1997)第九章 關於台灣生命表編算的介紹。 另外因台灣人口資料在早期記錄較不完整，例如民國 48 年前的 最高年齡組為 75 歲及 75 歲以上者(簡稱 75＋)，民國 48 至 59 年為 85＋，85 歲以上的單一年齡死亡率需使用外插法(Extrapolation)，產 生誤差的可能性極高。為計算上的便利，本文對於未來死亡率的預測 （Projection；一般翻譯為推估）採用 Gompertz 死亡率模型的假設（內 政部統計處編算生命表與壽險公會第三回經驗生命表也採類似的假 設），也就是瞬間死亡率（或死力；Force of Mortality）滿足：

x x

=

BC

µ

， （1） 其中 B > 0及C > 1為模型參數。將上式改以生存機率表達，則為

(

C

)

C BC p_x x 1 log log = − − ， 或是 C p p_x+ log _x = log ₁ 。 （2）

參數 及 的估計可藉由加權最小平方法(Weighted Least Square)或

最大概似估計法(Maximum Likelihood Estimation)求得，讀者可參考 Yue (2001)的介紹與方法的比較。

B

C

Gompertz 分配的特色是死力呈現指數成長，也就是死亡率隨著年 齡的幾何級數增加，在死亡率的參數分配的幾個選擇中（例如： Logistic model, Kannisto model, Quadratic model 等），算是最保守（換 言之，有最大的死亡率估計值）的方法。因此，可預期本文的研究結 果有可能低估死亡率改善的影響。除了 Gompertz 分配外，其他常用 的死亡率推估方法，諸如 Lee and Carter (1992)、Heligman and Pollard (1980)、及 SOA (Society of Actuaries)方法，讀者可參考 Boe and Tuljapurkar (1998)詳盡的文獻探討，或是 Yue, Hu, and Chang (2001) 的介紹及台灣資料的實證研究。 為求計算上的方便，本文指的年金為每年領取一次，而每月、每 季或其他時間範圍領取一次的計算原理也相似。首先介紹一般的年金 現值純保費精算的方法： ) (t a&&_x =

∑

∞ ， （3） =0 (t) k x k k p v 其中 為根據第 t 年死亡率計算出 歲即期終身到期年金的躉繳 純 保 費 ， v 為 t 年 後 的 貼 現 值 (Discount Value) ， 而 ) (t a&&_x x t

) ( ) ( ) ( ) (t p t p ₁ t p ₁ t p_{x x x x k} k = × + ×L× + − k x+ ) ( ) ( ₁ * = × + p t p t p_{x x x} k ) ( * t a&&x ∞ =0 k 1 1 ₉₉ 99 = − p = q 為由第 t 年死亡率得出的現年 歲可 生存到 歲的機率。上式中假設被保險人未來的生存機率不因經 濟、環境、醫療等因素的改進而改變。 x 由於(3)式的假設顯然與台灣的現況有一段距離，本文建議採用第 一節中關於縱斷面的概念，假設第 t 年 歲的人會生存至 歲的機 會為 x x+k ， （4） ) 1 ( ) 1 (t+ ×_L×p_x+k−1 t+k− 因此（3）式也須修正為： =

∑

* 。 （5） (t) x k k p v 另外，(3)式及(5)式的年齡上限都是無限大，實際上多以某一年齡 為最高計算年齡，本文假設 100 歲為台灣地區居民的上限（與台灣地 區的國民生命表一致），超過 100 歲者的單齡死亡率為 1，簡言之， 即 。

參、實證結果

套用上一節的研究假設，本節在不同利率 i ( i + = 1 1 v )、年金計算時 間 t、以及年金領取年齡 x 三個不同條件的組合下，探討(3)式及(5)式 得出的純保費之差異。利率的選擇有三種：3%、5%、7% （其中 3% 為因應現行及未來近幾年低利率時期的假設）；計算時間有五種：民 國 70 年、80 年、90 年、100 年、110 年；領取年齡有三種：60 歲、 65 歲、70 歲。附於本文最後表二與表三為根據(3)式及(5)式計算而得 的純保費之比較，按照年齡及投保時間，每個表格之下都有(5)式較(3) 式多出的百分比。 大體而言，台灣地區男性近年來死亡率改善的幅度較女性高，因

此傳統的年金現值純保費計算（即(3)式）顯得較為保守；另外，歷 年男性死亡率降低的情形不若女性死亡率穩定，(5)式較(3)式多出的 比例並非逐年下降。值得注意的是：與大多數已開發國家相同，死亡 率改善的幅度隨年齡增加而增加，因此表二及表三中平均 70 歲多出 的比例較 65 歲高，而 65 歲多出的比例又比 60 歲高。若未來死亡率 改善的情形確實隨年齡增長而提高，可預期若開始支領年金的年齡再 延後，(3)式及(5)式得出的純保費之差異將會更大。利率的影響則一 如預期，因高利率代表低的貼現值，(3)式及(5)式得出的結果應有較 小的差異。 表四：假設條件與英國年金保險的純保費低估 A 假設 B 假設 C 假設 D 假設 E 假設 F 假設 G 假設 男 性 4.6% 12.2% 15.2% 18.1% 17.3% 23.8% 26.4% 女 性 3.7% 5.4% 4.4% 6.7% 9.2% 8.7% 13.6% 註：利率為 5%，年金支領年齡為 65 歲。Willets(1999) 的使用七個假設為 A 假設Æ The Annuity Guarantees Working Party

B 假設Æ CMI —1999 commencement C 假設Æ Parametric — 1999 commencement D 假設Æ Cohort —1999 commencement E 假設Æ CMI — 2015 commencement F 假設Æ Parametric — 2015 commencement G 假設Æ Cohort — 2015 commencement 表四摘錄 Willets (1999)報告中表 25 與表 26 的英國推估結果，基 本假設包括利率為 5%，年金支領年齡為 65 歲。其中 B 與 E 假設為 英國官方的死亡率研究機構(Continuous Mortality Investigation Bureau; 簡稱 CMI Bureau)所使用；假設 C 及 F 為英國 City University 所使用的 參數推估模型；假設 D 及 G 是 Willets 先計算出各年齡近年來每年的 死亡率改善幅度，再利用本文之前介紹的縱斷面(Cohort；Longitudinal) 為計算基礎（Willets 稱之為 Cohort Projection Basis），再分別推估各 年齡未來的變化趨勢。而 B、C、D 假設 1999 年開始支領退休金給付 的時間，E、F、G 則假設 2015 年開始支領。

本文以 Gompertz 假設得出的結果，與表四中的英國結果大致相 似，因近年來男性死亡率改善的幅度比女性高，因此男性純保費的低 估情形較為嚴重。值得注意的是本文的結果與英國的假設 A 最為接 近（台灣男性 4.55%，台灣女性 3.26%），假設 A 為 The Annuity Guarantees Working Party 報告的假設，基本上令死力的對數值(

log

µ

x)

以線性模式來配適，與本文(1)式中的 Gompertz 假設相似，因此結果 也最為接近，參考 Renshaw et al. (1996)對假設 A 的說明。另外，高 齡死亡率改善幅度較高的效應可從表四的 D 與 G 的數值中看出，由 於中老年人的死亡率改善是各年齡層之冠，Cohort 假設中純保費的低 估比例均較同年的其他假設高，而 2015 年開始給付的 G 假設之低估 比例甚至接近 30％。

肆、結論與建議

由於死亡險一直是台灣保險市場的主要商品，死亡率的改善對保 險公司而言不至於產生預期外風險，至多將高估的死亡率及其保費以 類似紅利的方法回饋保戶。生存險則不然，死亡率的下降對於保險公 司而言是預期外的風險，長期低估或低估幅度過高勢必造成收支失 衡，嚴重影響保險公司的正常運作。 有鑑於此，本文探討台灣地區死亡率的改善對年金純保費的影 響，採用的台灣資料期間以西元 2001 年為中點，再列入前後 20 年的 時間做比較。在死亡率降低快速的 1980 年代，一般的精算公式至少 低估了 6∼10％（表二及表三）的純保費；即使在 2001 年的今天， 男性的純保費也低估了約 5.4％（利率以 3％計算），肯定了我們對死 亡率降低對年金純保費的影響之猜測。純保費現值低估的程度在開發 中或死亡率改善快速的國家及地區，例如：1970 及 1980 年代的台灣 （由表一及圖一的平均壽命的延長不難看出）、近幾年來的中國大 陸、或甚至是表四中若英國滿足假設 G，其影響將會更大，更不可等 閒視之。

關於本研究使用 Gompertz 死亡率模型的假設一事，雖然近年有 不少研究指出，高齡死亡率隨年齡的變化其幅度應低於指數函數， Gompertz 假設有修正的必要，內政部 也正在研擬是否繼續使用 Gompertz 假設編算生命表；然筆者以台灣地區 1950 至 2000 年的人 口資料（歷年之中華民國台閩地區人口統計）為基礎，發現台灣地區 50 歲及 50 歲以上的中高齡民眾之死亡率並不違背 Gompertz 模型（檢 定結果請參閱 Yue, 2001），因此本文仍採用 Gompertz 死亡模型的假 設。其他各國有關 Gompertz 死亡率模式的實證研究，可參考 Kannisto (1994) 與 Olshansky and Carnes (1997)。

本文採用保守的 Gompertz 死亡率假設（即死亡率以指數的速度 成長），因此表二及表三中的純保費現值低估的幅度並不大，但筆者 認為我們也應考慮及評估其他死亡率模式之下的情形，以減輕低估死 亡率改善的衝擊。事實上，雖然我們仍不能拒絕台灣高齡死亡率服從 Gompertz 模型的假設，但讀者若根據內政部的人口統計資料來計算， 不難發現近十年來，中老年人的死亡率改善已成為各年齡層之冠。以 台灣 1994 年至 1995 年的死亡率變化為例，75 歲及 75 歲以上老年人 死亡率的改善，對平均壽命的貢獻高達 19.4%，為各年齡之首，此與 Goldman and Takahash (1996)研究日本居民死亡率的改善所得出的結 果相似，也與 Willets(1999)根據英國資料得出的結果互相契合。尤其 近年生物及基因科技的進步，可能帶動另一波死亡率的下降，屆時死 亡率改善將對純保費計算造成更大的影響，因使用不適宜的精算公式 (3)可能會得出與 Willet（表四）類似的結果，低估的純保費幅度可能 高達 30% 以上。 根據本文的研究結果，筆者建議若死亡率以現行趨勢持續降低或 是其降低幅度較大時，無論是生存險或死亡險的產品，都應使用類似 (5)式的修正公式，正視以橫斷面法替代縱斷面法所衍生的問題，進 而保障消費者的權益與確保保險公司的財務健全。

表二 (1): 利率為 3% 時退休金躉繳純保費的比較（男性） 投保年齡/年份 1981 1991 2001 2011 2021 14.3763 15.6113 15.8916 16.3970 16.8507 60 歲 (3)式 (5)式 15.5194 15.9844 16.5348 16.9820 17.3775 12.9269 14.1318 14.4058 14.9002 15.3444 65 歲 (3)式 (5)式 14.2368 14.6759 15.1814 15.6017 15.9729 11.4746 12.6207 12.8814 13.3521 13.7749 70 歲 (3)式 (5)式 12.7851 13.3237 13.7555 14.1389 14.4768 註：(5)式較(3)式多出的比例，以投保年齡計算：60 歲多出 4.22%，65 歲為 5.63%， 70 歲為 6.95%。以投保年份計算：1981、1991、2001、2011、2021 年各多出 9.83%、3.94%、5.41%、4.72% 及 4.11% 表二 (2): 利率為 5% 時退休金躉繳純保費的比較（男性） 投保年齡/年份 1981 1991 2001 2011 2021 11.6025 12.4287 12.6138 12.9455 13.2412 60 歲 (3)式 (5)式 12.3269 12.6300 12.9980 13.2931 13.5527 10.6354 11.4790 11.6687 12.0092 12.3133 65 歲 (3)式 (5)式 11.5270 11.8207 12.1740 12.4638 12.7187 9.6280 10.4676 10.6569 10.9970 11.3010 70 歲 (3)式 (5)式 10.5609 10.9548 11.2677 11.5444 11.7875 註：(5)式較(3)式多出的比例，以投保年齡計算：60 歲多出 3.19%，65 歲為 4.55%， 70 歲為 5.87%。以投保年份計算：1981、1991、2001、2011、2021 年各多出 8.11%、3.08%、4.37%、3.82% 及 3.32% 表二 (3): 利率為 7% 時退休金躉繳純保費的比較（男性） 投保年齡/年份 1981 1991 2001 2011 2021 9.6359 10.2118 10.3393 10.5665 10.7677 60 歲 (3)式 (5)式 10.1142 10.3208 10.5775 10.7809 10.9589 8.9610 9.5714 9.7073 9.9499 10.1654 65 歲 (3)式 (5)式 9.5897 9.7917 10.0474 10.2544 10.4357 8.2359 8.8669 9.0080 9.2603 9.4848 70 歲 (3)式 (5)式 8.9176 9.2132 9.4461 9.6512 9.8309 註：(5)式較(3)式多出的比例，以投保年齡計算：60 歲多出 2.43%，65 歲為 3.71%， 70 歲為 4.98%。以投保年份計算：1981、1991、2001、2011、2021 年各多出 6.75%、2.42%、3.56%、3.10% 及 2.69%

表三 (1): 利率為 3% 時退休金躉繳純保費的比較（女性） 投保年齡/年份 1981 1991 2001 2011 2021 16.9553 18.3185 18.6677 19.0924 19.3691 60 歲 (3)式 (5)式 18.1799 18.7944 19.1799 19.4270 19.5846 15.4469 16.7832 17.1258 17.5424 17.8140 65 歲 (3)式 (5)式 16.8937 17.4049 17.7215 17.9301 18.0630 13.8724 15.1438 15.4695 15.8654 16.1233 70 歲 (3)式 (5)式 15.4328 15.8460 16.1120 16.2823 16.3906 註：(5)式較(3)式多出的比例，以投保年齡計算：60 歲多出 3.09%，65 歲為 4.03%， 70 歲為 4.86%。以投保年份計算：1981、1991、2001、2011、2021 年各多出 9.28%、3.65%、3.46%、2.20% 及 1.39% 表三 (2): 利率為 5% 時退休金躉繳純保費的比較（女性） 投保年齡/年份 1981 1991 2001 2011 2021 13.3090 14.1848 14.4066 14.6751 14.8494 60 歲 (3)式 (5)式 14.0405 14.4515 14.7077 14.8713 14.9754 12.3831 13.2868 13.5162 13.7942 13.9747 65 歲 (3)式 (5)式 13.3248 13.6796 13.8981 14.0421 14.1337 11.3709 12.2759 12.5059 12.7846 12.9657 70 歲 (3)式 (5)式 12.4571 12.7563 12.9483 13.0711 13.1491 註：(5)式較(3)式多出的比例，以投保年齡計算：60 歲多出 2.33%，65 歲為 3.26%， 70 歲為 4.13%。以投保年份計算：1981、1991、2001、2011、2021 年各多出 7.55%、2.92%、2.82%、1.79% 及 1.13% 表三 (3): 利率為 7% 時退休金躉繳純保費的比較（女性） 投保年齡/年份 1981 1991 2001 2011 2021 10.8137 11.4016 11.5489 11.7265 11.8412 60 歲 (3)式 (5)式 11.2675 11.5548 11.7326 11.8458 11.9178 10.2147 10.8475 11.0066 11.1987 11.3231 65 歲 (3)式 (5)式 10.8485 11.1035 11.2596 11.3626 11.4280 9.5362 10.1979 10.3648 10.5665 10.6970 70 歲 (3)式 (5)式 10.3126 10.5352 10.6776 10.7685 10.8263 註：(5)式較(3)式多出的比例，以投保年齡計算：60 歲多出 1.76%，65 歲為 2.65%， 70 歲為 3.52%。以投保年份計算：1981、1991、2001、2011、2021 年各多出 6.18%、2.34%、2.30%、1.46% 及 0.93%

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