２－２廣義角的三角函數

２－２．廣義角的三角函數

[多選題] 　　１.若 θ 是第二象限角，則 3 θ 之終邊可能在　(A)第一象限　(B)第二象限　(C)第三象限　(D)第四象 限。

　　２.下列敘述何者為真？(A) _sin500 _cos500 _{(B) tan50}0_cot500 _{(C) tan50}0 _sec500 _(D) 0

0 _cos230 230

sin  (E) _tan2300_cot2300_。

　　３.下面有五組函數，那些組的兩個函數，其圖形相互對稱於 y 軸？(A)y= x 3 2 1       _和y=23x (B) y=2 x 3

和 y=32x (C)y=x2 和y=-x2 (D)y=logx 和 y=log(-x)(E)y=cosx 和 y=sin(x-2



)。 [計算題][２－２．廣義角的三角函數]

　　１.已知tan5110＝1.242，tan5120'＝1.250 (1)90＜＜180，且tan＝－1.242，試求



_{值 (2)} 180＜＜270_，且cot＝1.250_，試求 _值。 　　２.解方程式2cos3x＋1＝0。 　　３.設 90°＜＜180°，且 cos＋sin＝ 5 1 ，則(1)cos的值。(2)1＋sin2_＋sin4_{＋……的值。} 　　４.求有向角－1473°之最小正同界角與最大負同界角。 　　５. θ 右圖為單位圓，試以圖中之線段長分別表示 之各三 角函數值。 　　６.已知 3 2 2 tan 1 tan 1      － ，試求之sinθ 值。 　　７.tanθ= 3 4 － 且cosθcotθ<0 求 5 sin 3 1 cos 4     之值。 　　８.設 sinθ+cosθ= 2 1

求 (1)sinθcosθ (2)sinθ－cosθ (3)sin3_θ+cos3_θ。 　　９.設 sinθ+cosθ=

4 1

且sinθ>0，cosθ<0，求下列各值：(1)sinθcosθ (2)sinθ－cosθ (3)tanθ+cotθ (4)sin3_θ+cos3_θ　(5)sin3_θ－cos3_{θ (6)sin}4_θ+cos4_{θ (7)sin}4_θ－cos4_θ

　１０.設 sin60°cos150°－cos225°sin315°+tan300°sec180°=p+q 2r 3，其中p，q，r 為有理數，求 p，q，r。 　１１.求 _{  }      450 csc log 2 216 log 3 1 1 5 log 150 sin log 2 225 tan log 420 tan log 2 － 之值。

　１３.設點 P(tan333_，sec222)，判別P 點落在那一象限。 　１４.求180





1 k

k

cos

＝ ＝cos1＋cos2＋＋cos180之值。

　１５.若 2 n ₂ 2 r r 1 cr br a ) 60 n cos( r 120 cos r 60 cos r 1 ＋ － ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋       ，試求a 的值。 　１６.設點 P(－3t，4t)，點 P 不是原點，求 _{ } sin 5 cos 4 cos 3 sin 2 ＋ － 之值。 　１７.設cos85＝k，用k 表示tan(－535)。 　１８.已知sin﹐cos是方程式x2_＋kx_＋k_＝0_{的兩根，求k 值。} 　１９.設tan25＝k，試用k 表示  _ _ 115 tan 155 tan 1 115 tan 155 tan ＋ － 。 　２０.設 12  ＝ ，試求         7 sin 5 sin 3 sin sin 7 cos 5 cos 3 cos cos ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ 之值。 　２１.化簡 ) 2 cos( ) 2 sin( ) cos( ) 2 sin(＋＋ －－ －＋ － 。 　２２.設角的終邊上一點P(tan780_﹐sec1305)，求csc之值。 [單選題][２－２．廣義角的三角函數] 　　１.下列何者是80的同界角 (A)3000° (B)2000° (C)1000° (D)－1000° (E)－2000°。

　　２.cos2＋cos4＋cos6＋＋cos2k＋＋cos360之值為 (A)－2 (B)－1 (C)0 (D)1 (E)2。

　　３.設是第二象限角，且

5 4

sin＝ ，則sin(＋90)＋sin(＋180)＋sin(＋270)的值為 (A) －2 (B) 5 4 － (C) 5 3 － (D) 5 4 (E)2。 　　４.下列各函數中，何者是偶函數 (A)sinx (B) ) 2 x

sin( ＋ (C)sin(x＋) (D)tan (E)x

) 2 x

tan( ＋ 。

　　５.何者是 45°的同界角 (A)1225° (B)1215° (C)2115° (D)－2115° (E)－1215°

　　６.cos1°＋cos2°＋cos3°＋……＋cosk°＋……＋cos180°之值為 (A)－2 (B)－1 (C)0 (D)1 (E)2。 　　７.設 sin64°20＝，則 cos694°20的值為 (A) (B)－ (C) _1－2 (D)－ _1－2 (E)1－。 　　８.下列各函數中，何者是偶函數？ (A)sinx (B)cosx (C)tanx (D)cotx (E)cscx。

　　９.若 a＝sin89° , b＝cos152° , c＝tan242° , d＝sec242° , e＝cos(－43°)，則下列何者正確 (A)a＞c＞d (B)c＞e＞a (C)a＞b＞e (D)a＞b＞d (E)c＞b＞e。

　１０.設



   0 n n ) 2 1 ( a _sin( 2 n )，



   0 n n ) 3 1 ( b _cos( 2 n )，



   0 n n ) 4 1 ( c _sec(n



_{)，則三數 a，b，c 之大小} 關係為 (A)a>b>c (B)b>c>a (C)b>a>c (D)c>a>b (E)c>b>a。

[填充題][２－２．廣義角的三角函數]

　　１.sin690tan225＋cos2010tan(－780)之值為 。 　　２.設5sin2_－7cos_＋1_＝0_{，且tan＜0，則sec＝ 。}

　　４.設是第二象限角，且 7 15 tan＝－ ，則 ) 2 3 cos( ) 2 3 cos( ) cos( ) 2 cos(＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ －  的值為 。 　　５. ∠ 如圖中，ACD_＝90°_，AD_＝DB_，AC_＝4_，DC_＝3_，∠ADC ∠ ＝CDE_，則cos_∠ACB_＝。 　　６.若 2 3 n ₂ r 1 br a 2 n cos r 2 3 cos r 2 2 cos r 2 cos r 0 cos ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋        則a＝ 。

　　７.若sin－cos＝ 2，則_sin3_－cos3_{的值為 。}

　　８.設02，滿足2sin2_－3sin_－2_＝0_{時，θ＝ 。}

　　９.若cos100＝k，請用k 表示sin260＝ 。

　１０.cos600°．cot135°＋sin1920°．tan(－870°)之值為　　　　　　　　　。 　１１.設 5sin2_{＋2cos＋2＝0 且 tan＜0，則 sec之值為　　　　　　　　。} 　１２.設 cot(－20°)＝t，請用 t 表示 cos1690°＝　　　　　　　　。 　１３.設  是第二象限角，且 tan＝－ 4 3 ，求sin(－ 2  )＋sin(－)＋sin(－  2 3 )＋sin(－2)的值 為　　　　　　　　。

　１４.若 1＋rcos120°＋r2_{cos240°＋……＋r}n_{cos(n．120°)＋……＝}

2 r r 1 br a ＋ ＋ ＋ _，則 a＝　　　　　　　 。 　１５.設  為第三象限角，且 tan＝ 3 4 ，則sin(－180°)＋sin(－90°)＋sin(＋90°)＋sin(＋180°)的值 為　　　　　　　　。

　１６.(a2_＋b2_{)cos180°－a}2_{sin90°sec180°＋b}2_sec360°csc2_{270°的值為　　　　　　　　。} 　１７.sin150°＋cos180°＋tan225°＋cot210°之值為　　　　　　　　。 　１８.是第二象限角，sin＝ 5 4 ，則   sin cos 1＋ _＋   cos sin 1＋ _{之值為　　　　　　　　。} 　１９.設點 P(－5 3，y)為有向角 θ 終邊上一點，若 tanθ= 3 1 ，則cscθ=　　。 　２０.若 2 3 <θ<2



，若sinθ+cosθ= 5 1 ，則cosθ=　　。 　２１.設 0°<θ<180°，若 sinθ+ _ sin 1 =a，則 sinθ－ _ sin 1 =　　。 　２２. __ _ 120 cos 315 tan 210 cot 240 sin =　　　　。

　２３.設 0< <

4 

，且2+ 3為x2 -(tan cot)x+1=0 的一根，則 tan = 。

　２４.設有一橢圓形運動場地，令長軸兩頂點 A，B，短軸兩頂點 C，D，在 D 點豎有一垂直地面的旗 竿，高10 公尺，若從 C 點地面到竿頂的仰角 22.5°，而ACD=60，則短軸CD之長度為 公 尺，長軸AB之長度為 公尺。 　２５.已知 sin -cos = 3 1 ，且sin 及cos 為2x2 _{+px+q=0 的兩根，則判別式 p}2 _{-8q= 。} 　 ２６.f(x)=cos2 _x+ 2 1 ‧sinx-1，則 f(x)的最大值為 。 　２７.cos5700sin1500sin(3300)cos(3900) _。

　２８.sin(900_)tan(1800_)cos(900_)tan(2700_) _。

　２９.          ) 180 cos( ) 90 sin( ) 180 tan( ) 270 cot( ) 90 sin( ) 360 cos( 0 0 0 0 0 0       。

　３０.sin(1800_)cos(900_)cos(1800_)sin(900_) _。 　３１.1130°之最大負同界角為 最小正同界角為 。 　３２.θ 與_5000_{同界又300}0 _{2000}0_{，則合乎上述條件的角θ 共有 個 。} 　３３.使 x 的方程式cos2 _xsin_xk0_{有實數解的，k 值範圍為 。} 　３４.點 P(-5,12)在



角終邊上，點A(a,b)也在終邊上，且OA1(O 是原點)則(a,b)= 。 　３５.坐標平面上若點 P(tanθ,cosθ)在第二象限，則點 Q(sinθ,cotθ)在第 象限。 　３６.cosθ>0， 2 0 sin cot2_{   ，則} _{可能在第 象限。} 　３７.點 P( 5 3,y)在角 之終邊上，若tan 3 1   ，則cscθ= 。 　３８.無向角 θ 之頂點為原點，始邊在 x 軸之正向上，又點(x3)為終邊上一點，且 5 3 cos  ，則x= ，sinθ= 。

　３９._(1)sin2₁0_sin2₂0_sin2₃0_sin2₁₈₀0_{= 。}

       0 0 0 0

0 _{cos2 cos4 cos358 cos360}

0 cos ) 2 ( 。 　４０.若



   360 1 k 0 k sec , 270 k 90 k 且 則 = 。 　４１.



 180 1 0 cos k k = 。 　４２. ______ 5 sin 3 1 cos 4 , 0 cot cos , 3 4 tan 且 則 之值為            。 　４３.tanθ=2，cosθ<0，則 sinθ= 。 　４４.tan100°=k，則 sin80°= 。 　４５.cos(-200°)=k，則 cot340°可以 k 表為 。 　４６.cos(-123°)=k，則 sin237°= ，tan213°= 。 　４７.sin(-80°)=k，則 tan(-80°)= ，sec280°= 。 　４８.cos(1000)k_{求tan80°的值(以 k 表之)。}

　５０.a=sin870°,b=cos(-430°),c=tan1310°,d=cos1900°,比較 a,b,c,c 之大小。 　５１.比較 a=sin80°,b=cos80°,c=tan80°,d=sec80°之大小 。 　５２.sin132°40'=0.7353，sin132°30'=0.7373，若_{sin 0.7359,180}0 _{ 270}0_{，則θ= 。} 　５３.sin47°20'=0.7353，sin47°30'=0.7373，則sin(_587023' )_{= 。} 　５４.    sin cos 2 1 cos sin , 180 00 _{ } 0 _{  ，則  = 。} 　５５.       , sec csc  2 1 cos sin , 0 900 0 _{則 。} 　５６.     sin cos  2 1 cos sin ，則 。(₀0 _{ 90}0₎

　５７.sinsin 1,coscos 0_{, 求下列各值：(1)cos}2 _cos2 _(2)sin4_cos4_

　５８.secθ-tanθ=2，則 sinθ+3cosθ= 。

　５９._sinx_sin2 x_1則1_cos2 x_cos4 x _。 [證明題][２－２．廣義角的三角函數] 　　１.設＋＋＝90，試證：sin2(_＋3_)_＋sin2(2_－r)_＝1_。 　　２.兩互相外切的圓，半徑分別為 a , b，其中 a＞b，若外公切線與兩圓心連線的夾角為，試證 tan ＝ ab 2 b a－ 。 　　３.1、試證n22n對所有大於3 之自然數 n 均成立。2、試證 n x n 2 n

lim

 =0 。

[多選題][２－２．廣義角的三角函數] 　　１．ABD　　２．CD　　３．AD [計算題][２－２．廣義角的三角函數] 　　１．(1)12850(2)21840　　２．   9 2 3 n 2 x＝ ，n 。　　３．(1)Z 5 3  (2) 9 25 　　４． 327°，－33°　　５．sinθ=－PQ，cosθ=－PR，tanθ=AT，cotθ=BS，secθ=－OT，cscθ=

OS  　　６． 3 1 3 1 或－ 　　７． 13 17 　　８．(1) 4 1 － (2) 2 6  (3) 8 2 5 _９．(1) 32 15 － (2) 4 31 ₍₃₎ 15 32 － 　(4) 128 47 　(5) 128 31 17 ₍₆₎ 512 287 　(7) 16 31 _１０． 4 5 p－ ，q=0，r=1　 １１．1　１２．(1) _1－k2 ₍₂₎ k k 1_－ 2 (3)－k。　１３．第三象限　１４．－1　１５．1　１ ６． 8 1 － 　１７． ₂ 1 k k － 　１８．1－ 2 　１９． k k 2 1_－ 2 　２０． 3 1 － 　２１．2sin 　 ２２． 2 10 － [單選題][２－２．廣義角的三角函數] 　　１．D　　２．C　　３．B　　４．B　　５．D　　６．B　　７．A　　８．B　　９．D　１ ０．B [填充題][２－２．廣義角的三角函數] 　　１．0　　２． 3 5 － 　　３． ₂ t 1 t ＋ － _４． 17 8 － 　　５． 5 3 － 　　６．1　　７． 2 2  ８．210或 _{330　　９．－ 1－k}2 　１０．1　１１． 3 5 － 　１２． ₂ t 1 1 ＋ － _１３．0 １４．1　１５． 5 8 　１６．0　１７． 2 1 ＋ 3　１８． 2 5 － 　１９．－2　２０． 5 4 　２１． 4 a2 _  　２２．1　２３．2 3　２４．10( 21)，10( 6 3)　２５． 3 4 　２６． 16 1 　２７．0　２８．cos sin 　２９．1　３０． 　３１．1 _3100,50_{３２．6　３} ３． 1 4 5_{ }  k 　３４． ) 13 12 , 13 5 ( 　３５．三　３６．二、四　３７． 　３８．2 5 4 , 4 9  　 ３９．90;1　４０．0　４１． 　４２．1 13 17 　４３． 5 2  　４４． ₂ k 1 4   　４５． ₂ 1 k k  ４６． 2 2 1 , 1 k k k     _４７． 2 2 ₁ 1 , 1 k k k   　４８． k k 1_ 2  _{４９．a>b>d>c　５０．} c>a>b>d　５１．b<a<c<d　５２．227°23'　５３．0.7359　５４． 2 7 _５５． 3 7 4 _５６． 7 _５７． 2 3 、 8 5 　５８． 5 9 　５９．2

[證明題][２－２．廣義角的三角函數] 　　１．略　　２．略　　３．略