三角函數性質與運用

3-1 三角函數的圖形

高中數學

三角函數性質與運用

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3-1 三角函數的圖形

第三章 三角函數的性質與應用

1.弧度量﹕在一圓上取一弧長﹐其長度恰等於所在圓的半徑﹐則此弧長所對之圓心角就稱為 1 弧度（或 1 弳度）﹐記作 1﹒註﹕通常弧度的單位可以省略﹒ 2.扇形的弧長與面積公式﹕設一扇形之所在圓半徑為r﹐圓心角 （弧 度）﹐則 (1)扇形的弧長S r ﹒ (2)扇形的周長L2r r  ﹒ (3)扇形的面積 1 2 1 2 2 A r   rS﹒ 3.週期函數﹕ (1)設函數y f x

 

存在一常數k﹐使得 f x k







 f x

 

恆成立﹐則稱y f x

 

為週期函數﹒ (2)設y f x

 

為一週期函數﹐若最小正數p﹐使得 f x p







 f x

 

恆成立﹐則稱p為

 

y f x 之週期﹒ 4.三角函數的正弦﹑餘弦及正切的圖形﹕ 正弦函數ysinx的圖形 圖形特性﹕ 對於任意實數x值﹐皆使得sin x值存在﹒ sin x值恆介於1和1之間﹐即 1 sinx1﹒ ysinx的週期為2 ﹒ 餘弦函數ycosx的圖形﹕ 圖形特性﹕ 對於任意實數x值﹐皆使得cos x值存在﹒ cos x值恆介於1和1 之間﹐即 1 cosx1﹒ ycosx的週期為2 ﹒ 正切函數ytanx的圖形﹕ 圖形特性﹕ 當 2 1 2 n x   ﹐其中n為整數時﹐tan x的函數值不存在﹒ tan x值可以從到﹒ytanx的週期為 ﹒

3-1 三角函數的圖形

觀念： 例1：將下列各角化為弧度量

3-1 三角函數的圖形 120 330 30 24 例2：將下列各角化為度度量﹒ 5 3  5 4  _2 【練習題】 (1)將下列各角化為弧度量﹒ (2)將下列各角化為度度量﹒ 150 22 30 _ 23 12 _3 例2：已知扇形的半徑為 10 公分，圓心角

72

，求其弧長s及面積A。 【練習題】已知扇形的半徑為6 公分，弧長4 公分，求其圓心角的度數及面積。 例3：下列選項何者正確？ 　 （1）   cos 2 cos        . （2）sin(  ) sin .

3-1 三角函數的圖形 （3）  - tan 2 3 tan       . （4）sin 3 2 4 2   _{ }     . （5）  cos 3 4 -cos       . 例4：求下列各三角函數值。 (1)

sin



₆

(2)cos8 3 (3) 31 tan 4



        【練習題】求下列各三角函數值﹒ (1)sin5 6



(2) 5 cos 3



      (3) 11 tan 4



例5：試利用ysinx的圖形畫出下列各函數的圖形，並求其最大值、最小值及 週期. （1）ysinx1. （2）

sin

4

y



_

x 



_









3-1 三角函數的圖形 【練習題】試利用ysinx的圖形畫出下列各函數的圖形,　並求其最大值、最小 值及週期. （1）ysinx1 （2）         2 sin x  y

3-1 三角函數的圖形 例6：試利用ysinx的圖形畫出下列各函數的圖形, 並求其最大值、最小　　 值及週期. （1）y2sinx. （2）ysin 2x 【練習題】試利用ysinx的圖形畫出下列各函數的圖形,　並求其最大值、最小 值及週期. （1）y 2sinx （2） sin 2 x y 例7：試利用ycosx的圖形畫出下列各函數的圖形,　並求其最大值、最小值 及週期 （1）ycosx2. （2）y3cosx

3-1 三角函數的圖形

例8：設asin1、bsin 2、csin 3、dsin 4,　試比較a b c d、 、 、 的大小。

【練習題】比較cos1 cos 2 cos3 cos 4、 、 、 的大小。

例9：求方程式sin 1 2

3-1 三角函數的圖形

【練習題】設0 x 2 ，下列各方程式的實根個數。

（1）cos 1

2

3-2 和角、倍角及半角公式

第三章 三角函數的性質與應用

3-2 和角、倍角及半角公式

觀念：

1. 正餘弦的和角公式﹕

(1)sin



 



sin cos  cos sin  (2)sin



 



sin cos  cos sin  (3)cos



 



cos cos sin sin  (4)cos



 



cos cos  sin sin 

2. 正切的和角公式﹕

(1)tan





tan tan 1 tan tan          

(2)tan





tan tan 1 tan tan           3. 平方差公式﹕

(1)sin



 

 

sin  



sin2sin2 cos2cos2 (2)cos



 



cos



 



cos2sin2 cos2sin2 4. 二倍角公式﹕

(1)sin 2 2sin cos  ﹒ (2) 2 2 2 2

cos 2 cos  sin  2cos    1 1 2sin  ﹒

(3) 2 2 tan tan 2 1 tan      ﹒ 5. 三倍角公式﹕

(1)_{sin 3 3sin4sin}3_{ ﹒ (2)cos3 4 cos}3_{ 3cos ﹒} 6. 半角公式﹕ (1)sin 1 cos 2 2  _{ }   _{（取正﹑取負視} 2  _{所在象限的} sin之正負而定） (2)cos 1 cos 2 2  _{ }   _{（取正﹑取負視} 2  所在象限的cos之正負而定）

(3)tan 1 cos sin 1 cos

2 1 cos 1 cos sin

               (取正負時視2  _{所在象限的} tan之正負而定） 7.正切表正餘弦公式﹕ (1)sin 2 2 tan₂ 1 tan      (2) 2 2 1 tan cos 2 1 tan      

3-2 和角、倍角及半角公式

例2：求

cos15

的值

【練習題】求下列各式的值：

(1)

sin 75

(2)

sin15

(3)

tan 75

(4)

tan15

例3：求下列各式的值：

(1) 求

cos48 cos12



 

sin 48 sin12





的值.

(2)求

sin 67 cos83



 

sin 23 cos7





的值

【練習題】求下列各式的值：

(1)求

sin 200 cos80



 

cos200 sin80





的值

3-2 和角、倍角及半角公式 例4：設

0

2





 

，

2

  

 

，且

cos

3

5

 

、

sin

12

13





求

sin(

 



)

與

cos(

 



)

的值。 【練習題】設



為第三象限角，且

sin

3

5

 

，



為第四象限角，且

cos

2

3

 

， 　　 求

sin(

 



)

與

cos(

 



)

的值 例5：設0 0 2 2       、   ，且tan 1 tan 1 2 3   、   ，求 tan(  )的值。

【練習題】在△ABC 中，tan 1 tan 2

3

A 、 B  ，求

tanc

的值及



C

的度數。

例6：已知  ₂   且sin 3 5

3-2 和角、倍角及半角公式 【練習題】已知3 2 2    且 3 cos 4

3-2 和角、倍角及半角公式 例7：已知sin cos 1 5     ，求sin 2 的值。 【練習題】已知sin cos 1 3    ，求sin 2 的值。 例8：求

sin18

的值。 【練習題】求

cos36

的值。

3-2 和角、倍角及半角公式 【練習題】求sin5₈ 與cos5₈ 的值。 例10：已知  3₂ 且sin 4 5    ，求sin cos 2 2 _、  與tan 2  的值。 【練習題】已知₄   且 ₂ sin 2 4 5

  ，求sin



、cos



與tan 的值。

例11：如下圖，有一足球場寬 63 公尺，球門寬 7 公尺，某足球員沿邊界帶球

突破，在距底線35 公尺處起腳射門，設此時足球對球門所張的角為 ，

3-2 和角、倍角及半角公式 例12：如右圖所示,在山壁上鑿出一隧道形狀的倉庫，上沿為圓弧  AD,其所在 圓的圓心為BC的中點O_{，半徑為 10 公尺,AB與CD均垂直於BC，且} 5 AB CD  公尺。今有一矩形箱子欲放入隧道形倉庫裡，試問:這矩形箱 子的正面面積最大值為多少平方公尺？

3-4 複數的極式

第三章 三角函數的性質與應用

3-4 複數的極式 觀念： 1. 極坐標系的基本概念﹕ 以O(極點或原點)為端點，作一水平射線_OX



，稱為極軸。 對於平面上任一點P，若OP r ，其中r0且以_OX



為始邊，_OP



為終邊的有向 角為（如右圖）， 則數對

 

r, 就稱為點P的極坐標。 而r_和分別稱為點P的向徑和輻角。 註﹕(1) 因為同界角具有相同的始邊與終邊，

 

r, 和



r n, 2  



（n_{為整數）表示同一} 點。 (2) 平面上的任一點，皆至少可以一組極坐標

 

r, 表示﹐反過來說﹐ 任給予一組極坐標

 

r, ﹐也可以在極坐標平面上找到其對應的位 置﹒ 2. 極坐標與直角坐標系﹕ 在平面直角坐標系上﹐以原點O為極點﹐x_{軸正向方為極} 軸﹐則平面上任意點P﹐同時可以表成直角坐標



x y,



與 極坐標

 

r, ﹐其關係如下﹕ cos sin x r y r        ﹐其中 2 2 r x y ﹒ 3. 複數的極式﹕ 任一複數z x yi  _，其中x_、y_{為實數，在直角坐標} 上都可以找到一對應點P x y



,



，若將點P x y



,



化為 極坐標

 

r, ，則x r cos ﹐y r sin ﹐其中

3-4 複數的極式 2 2 r x y ，因此，z r



cos isin



_就稱為z_{的複數極式。} 而_{r OP  x}2_y2 _{ z 稱為z的向徑。為輻角，若0  2 ，則稱為z的主輻} 角，記作Arg z

 

_﹒ 例1：求出下列各複數的絕對值、主輻角與極式. 1 (1)z  1 3i (2)z2   1 i (3)z3 3 (4)z4 2i 【練習題】將下列各複數寫成極式:

(1) 3 i



(2) 2 2i

 

(3) i (4) 2

3-4 複數的極式

觀念：

4.複數極式的乘與除﹕

設二複數z1r1



cos1isin1



，z2 r2



cos2isin2



其中r1  z1 ，r2  z2

(1)z1  z2 r r1 2cos



 1 2



isin



 1 2



 (2) 1 1









1 2 1 2 2 2 cos sin z r i z  r        5.棣美弗定理﹕設z r



cos isin



，其中r0，若n_{為正整數，則}



cos

sin



n n

z



r

n





i

n



6. 1 的n_次方根﹕ 設n_{為正整數﹐方程式z}n _1的n_{個根分別為﹕} 2 2 cos sin k k k z i n n     ，其中k 0、1、2、…、n1 7.令 cos2 isin2 n n      ﹐n_{為正整數﹐則x}n _1的n_{個根即為1﹐}_﹐2_﹐3_﹐ …﹐_n1_﹒滿足 (1)_n _1﹒ (2)_{1  }2_3_{ }n1_0  ﹒ (3)_xn1_xn2_{ x}2_{  x 1}



_x





_x2

 

_x3

 

_xn1



  ﹒ 8.複數的n_次方根﹕ 設 r



cos isin



﹐其中r0﹐則方程式_zn _{ 的}n_個根（n_{為正整數）} 為﹕ 2 2 cos sin n k k k z r i n n        _  _  ﹐其中k0﹐1 2 …﹐ ﹐ ﹐n1﹒

3-4 複數的極式 例2：求(cos80_(cos35_isin80 )(cos50_{isin35 )(cos5}_ _i_{isin5 )}sin50 )_{ 的值。}

【練習題】求(cos55 sin55 )(cos 25 sin 25 )

cos 20 sin 20

i i

i

   

  的值。

例3：已知z16(cos10isin10 ) 、z2 2(sin 70icos70 ) 、 3 3(cos50 sin 50 ) z _ _i  求 (1)

z z

₁



₂ (2) 1 3 z z

【練習題】求(cos50 sin50 )(sin 40 cos 40 )

cos80 sin80 i i i        的值。 例4：求



₁



_3i



10的值。

3-4 複數的極式 【練習題】試求下列各數的值： 10 (1) (cos18_isin18 ) _{. (2) (2 2 ) i} 12 例5：求 6 1 3 i        的值。 【練習題】求



3 i





9的值。 例6：試求 1 的五次方根,　並將代表它們的點描在複數平面上。 【練習題】(1）求 1 的六次方根,並將代表它們的點描在複數平面上. （2）解方程式_z5_z4_z3_z2_{  z 1 0} 例7：求 8 8 3i的四次方根。並將代表它們的點描在複數平面上。

3-4 複數的極式 【練習題】 求 4 4 3i的3 個三次方根，並求這 3 個根在複數平面上所圍的三角形面積。 例8：寫出下圖中 A、B、C、D 兩點的極坐標。 例9：已知點P的極坐標為_4,4₃_  ，求其直角坐標。 【練習題】已知點P的極坐標為 8, 4       ,求其直角坐標。