物理量的因次

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一、因次

二、物理量的因次表示法三、因次分析法

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一、因次

1. 任何一個物理量必須包含量值和單位兩部分，例如：物理老師身高 172 公分，其中的 172 為量值，而公分則為單位，量值的多寡須先說明是用什麼單位來量度。 2. 長度單位除了上述的公分外，我們也可用公尺、公里等表示，但不管使用何種單位，它們所代表的物理量都是長度，因此我們說它們有相同的長度因次 (dimension) ，以 [L] 表示之。

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單位與因次的差異因次與單位不盡相同，上述物理老師的身高為 172 公分，也可以說是 1.72 公尺，當然也能表示為 1.72  109 奈米。雖然可以用公分、公尺、奈米等不同的單位，來表示同樣的身高，但對應的因次 [L] 是完全相同的。

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角度沒有因次如右圖所示，角度的定義為其所張的弧長除以半徑長 (θ= 　 ) ，而弧長及半徑長均為長度，故兩者相除後無因次。 S r

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二、物理量的因次表示法

1. 力學的三個基本量

(1) 在力學中，通常將長度、時間、質量當作基本量，而物理量的因次是以 [ ] 來表示。 (2) 長度的因次表示為＿＿＿＿；時間的因次表示為＿＿＿＿；質量的因次表示為＿＿＿＿。 [L] [T] [M]

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2. 導出量

物理學的導出量都可以用基本量的因次表示，例如： (1) SI m /s [ ] v v          位移速度的定義為單位時間內之位移時間單位為＿＿＿＿＿ [ ][ ]L T 1 2 (2) SI m /s [ ] a a  _{ } _ _     加速度的定義為單位時間內之速度變化量速度變化量 _{單位為＿＿＿＿＿} 時間 2 [ ][ ]L T 

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(3) SI rad/s [ ]            角位移角速度的定義為單位時間內之角位移時間單位為＿＿＿＿ [ ]T 1

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範例1

1

因次 (1) 力的單位因次 [F]= ＿＿＿＿＿ (2) 力矩的單位因次 [ ]= ＿＿＿＿＿ 解 (1)由力的單位為F  ma  SI N kg m/s   2 (2)由  F r 2 [ ] [ ][ ][ ]F M L T    2 2 2 m SI N m kg m kg m /s s  _{力矩的單位為}      

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三、因次分析法

在物理學的任何等式中，所包含的多個物理量間的正確關係，若以數學式表示時，不論式中哪一項，其所包括的各物理量的乘、除、相加或相減的關係，最後所得的每一項，其因次必須相同。因此，我們常常可以利用因次分析來判斷計算的結果是否正確？我們也常常可以利用因次

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範例2

2

因次分析法設甲、乙兩個行星同繞太陽在同一平面上作等速圓周運動，且兩行星旋轉的方向相同，而週期分別為 T₁ 及 T₂ ，其中 T₂ ＞ T₁ 。則每隔多久時間，兩行星將交會一次（與太陽連成一直線）？ (1) 試用因次分析法判斷出答案。 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 (A) T T (B) T T (C) T T (D) T T T T T T T T T T     　　  　　　  。

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1. 利用因次分析法：所求為時間，故正確答案的因次 必須為 [T] 。 2. 利用數學方法：甲、乙從某次交會結束到下一次交 會，甲會比乙多繞一圈。設需時 t ，則甲共繞了＿＿1 t T t 1 t _ t _

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解 2 1 2 1 (1)(A) T T T T T T  _{ }  _{ }   _{ } 錯：因次為無因次 2 1 2 1 (B) T T T T T T  _{ }  _{ }   _{ } 錯：因次為無因次 1 2 1 2 2 1 (C) T T T [ ]T T T T   _ _  _ _    　錯：因次為 2 2 1 2 1 (D) T T T [ ]T T T T    _ _   _ _ 錯：因次為 2 1 (2) t  t   1 t T T ，故選(D)

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