锐角三角函数—巩固练习
【巩固练习】 一、选择题 1. （2016•乐山）如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AD⊥BC 于点 D，则下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 2.（2015•山西）如图，在网格中，小正方形的边长均为 1，点 A，B，C 都在格点 上，则∠ABC 的正切值是（ ） A．2 B． C． D． 3. 已知锐角α满足 sin25°＝cosα，则α＝( ) A．25° B．55° C．65° D．75°4．如图所示，直径为 10 的⊙A 经过点 C(0，5)和点 O(0，0)，B 是 y 轴右侧⊙A 优弧上一点，则∠OBC 的
余弦值为 ( ) A．
1
2
B．3
4
C．3
2
D．4
5
第 4 题 第 5 题5．如图，在△ABC 中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则 sinB 的值是( ) A．
5 7
14
B．3
5
C．21
7
D．21
14
6．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的 2 倍，则∠A 的正弦值( ) A．扩大 2 倍 B．缩小 2 倍 C．扩大 4 倍 D．不变 7．如图所示是教学用具直角三角板，边 AC＝30cm，∠C＝90°，tan∠BAC＝3
3
，则边 BC 的长为( ) A．30 3
cm B．20 3
cm C．10 3
cm D．5 3
cm8. 如图所示，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为 D，若 AC＝
5
，BC＝2，则 sin∠ACD 的值 为( ) A．5
3
B．2 5
3
C．5
2
D．2
3
二、填空题 9．（2016•临夏州）如图，点 A（3，t）在第一象限，OA 与 x 轴所夹的锐角为α，tanα= ，则 t 的值是 ． 10. 用不等号连接下面的式子． (1)cos50°________cos20° (2)tan18°________tan21° 11．在△ABC 中，若 22
3
sin
cos
0
2
2
A
B
，∠A、∠B 都是锐角，则∠C 的度数为 . 12．如图所示，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则 sinA＝________． 13．已知：正方形 ABCD 的边长为 2，点 P 是直线 CD 上一点，若 DP＝1，则 tan∠BPC 的值是________． 第 12 题 第 15 题14．如果方程
x
2
4
x
3 0
的两个根分别是 Rt△ABC 的两条边，△ABC 的最小角为 A，那么 tanA 的值为 ________． 15．如图所示，△ABC 的内心在 y 轴上，点 C 的坐标为(2，0)，点 B 的坐标是(0，2)，直线 AC 的解析式为1
1
2
y
x
，则 tanA 的值是________． 16.（2014•高港区二模）若α为锐角，且 ，则 m 的取值范围是 ．三、解答题 17．如图所示，△ABC 中，D 为 AB 的中点，DC⊥AC，且∠BCD＝30°， 求∠CDA 的正弦值、余弦值和正切值． 18. 计算下列各式的值． (1) （2015•普陀区一模） ； (2) （2015•常州模拟） sin45°+tan45°﹣2cos60°． (3) （2015•奉贤区一模） ﹣ cos60°．
19．如图所示，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 边上的点，AE＝BC，DF⊥AE，垂足为 F，连接 DE． (1)求证：AB＝DF； (2)若 AD＝10，AB＝6，求 tan∠EDF 的值． 20. 如图所示，已知⊙O 的半径为 2，弦 BC 的长为
2 3
，点 A 为弦 BC 所对优弧上任意一点(B、C 两点除 外)． (1)求∠BAC 的度数； (2)求△ABC 面积的最大值．(参考数据：sin 60
3
2
°
，cos30
3
2
°
，tan 30
3
)
3
°
．一、选择题 1.【答案】C. 【解析】在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，sinB= ， ∵AD⊥BC， ∴sinB= ， sinB=sin∠DAC= ， 综上，只有C 不正确 故选：C． 2.【答案】D； 【解析】如图：由勾股定理得， AC= ，AB=2 ，BC= ， ∴△ABC 为直角三角形， ∴tan∠B= = ， 故选：D． 3. 【答案】C；
【解析】由互余角的三角函数关系，
cos
sin(90
°
)
，∴ sin25°-sin(90°-α)， 即 90°-α＝25°，∴ α＝65°． 4.【答案】C； 【解析】设⊙A 交 x 轴于另一点 D，连接 CD，根据已知可以得到 OC＝5，CD＝10， ∴OD
10 5
2
2
5 3
，∵ ∠OBC＝∠ODC， ∴cos OB
cos
5 3
3
10
2
OD
C
ODC
CD
． 5.【答案】D；【解析】如图所示，过点 C 作 CD⊥AB 于 D，∵ ∠BAC＝120°，∴ ∠CAD＝60°， 又∵ AC＝2，∴ AD＝1，CD＝
3
，∴
sin
3
21
14
2 7
CD
B
BC
． 6.【答案】D； 【解析】根据锐角三角函数的定义，锐角三角函数值等于相应边的比，与边的长度无关，而只与边的比 值或角的大小有关． 7.【答案】C； 【解析】由tan
3
3
BC
BAC
AC
，∴3
3 30 10 3
3
3
BC
AC
8. 【答案】A； 【解析】 ∵AB
AC
2
BC
2
3
，∴sin
sin
5
3
AC
ACD
B
AB
二、填空题 9.【答案】 ． 【解析】过点A 作 AB⊥x 轴于 B， ∵点A（3，t）在第一象限， ∴AB=t，OB=3， 又∵tanα= = = ， ∴t= ． 故答案为： ． 10.【答案】(1)＜； (2)＜； 【解析】当α为锐角时，其余弦值随角度的增大而减小，∴ cos50°＜cos20°； 当α为锐角时，其正切值随角度的增大而增大，∴ tan18°＜tan21°． 11．【答案】105°； 【解析】∵ 22
3
sin
cos
0
2
2
A
B
， ∴sin
2
0
2
A
，3 cos 0
2
B
即sin
2
2
A
，cos
3
2
B
． 又∵ ∠A、∠B 均为锐角，∴ ∠A＝45°，∠B＝30°，12．【答案】
5
5
；【解析】假设每一个小正方形的边长为 1，利用网格，从 C 点向 AB 所在直线作垂线 CH．垂足为 H， 则∠A 在直角△ACH 中，利用勾股定理得
AC
4
2
2
2
2 5
，∴sin
2
5
5
2 5
CH
A
AC
． 13．【答案】2 或2
3
【解析】此题为无图题，应根据题意画出图形，如图所示，由于点 P 是直线 CD 上一点，所以点 P 既可 以在边 CD 上，也可以在 CD 的延长线上， 当 P 在边 CD 上时，tan
BPC
BC
2
PC
；当 P 在 CD 延长线上时，tan
2
3
BC
BPC
PC
． 14．【答案】1
3
或2
4
； 【解析】由x
2
4
x
3 0
得x
11
，x
23
，①当 3 为直角边时，最小角 A 的正切值为tan
1
3
A
； ②当 3 为斜边时，另一直角边为3 1
2
22 2
，∴ 最小角 A 的正切值为tan
1
2
4
2 2
A
. 故应填1
3
或2
4
． 15．【答案】1
3
；【解析】由△ABC 的内心在 y 轴上可知 OB 是∠ABC 的角平分线，则∠OBA＝45°， 易求 AB 与 x 轴的交点为(-2，0)，所以直线 AB 的解析式为：
y x
2
， 联立2
1
1
2
y x
y
x
可求 A 点的坐标为(-6，-4)， ∴AB
AD
2
BD
2
6 2
，又 OC＝OB＝2， ∴ BC＝2 2
．在 Rt△ABC 中，tan
2 2 1
3
6 2
BC
A
AB
．16.【答案】 ； 【解析】∵0＜cosα＜1， ∴0＜ ＜1， 解得 . 三、解答题 17.【答案与解析】 过 D 作 DE∥AC，交 BC 于点 E．
∵ AD＝BD，∴ CE＝EB，∴ AC＝2DE． 又∵ DC⊥ AC，DE∥AC， ∴ DC⊥DE，即∠CDE＝90°． 又∵ ∠BCD＝30°，∴ EC＝2DE，DC＝
3
DE． 设 DE＝k，则 CD＝3k
，AC＝2k． 在 Rt△ACD 中，AD
AC
2
CD
2
7
k
． ∴sin
2
2 7
7
7
AC
k
CDA
AD
k
，cos
3
21
7
7
CD
k
CDA
AD
k
．2
2 3
tan
3
3
AC
k
CDA
CD
k
． 18.【答案与解析】 解：（1）原式=4× ﹣ × + × =1+3 ． (2) 原式= × +1﹣2× =1+1﹣1 =1． (3) 原式= ﹣ × = ﹣=
2 3 1
4
． 19.【答案与解析】 (1)证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AD∥BC，AD＝BC ∴ ∠DAF＝∠AEB 又∵ AE＝BC， ∴ AE＝AD 又∵ ∠B=∠DFA＝90°， ∴ △EAB≌△ADF． ∴ AB＝DF． (2)解：在 Rt△ABE 中，BE
AE
2
AB
2
10 6
2
2
8
∵ △EAB≌△ADF， ∴ DF＝AB＝6，AF＝EB＝8， ∴ EF＝AE-AF＝10-8＝2． ∴tan
2 1
6 3
EF
EDF
DF
． 20.【答案与解析】 (1)连接 BO 并延长，交⊙O 于点 D，连接 CD． ∵ BD 是直径，∴ BD＝4，∠DCB＝90°． 在 Rt△DBC 中，sin
2 3
3
4
2
BC
BDC
BD
， ∴ ∠BDC＝60°，∴ ∠BAC＝∠BDC＝60°． (2)因为△ABC 的边 BC 的长不变，所以当 BC 边上的高最大时，△ABC 的面积最大，此时点 A 应落在优 弧 BC 的中点处．过 O 作 OE⊥BC 于点 E，延长 EO 交⊙O 于点 A，则 A 为优孤 BC 的中点．连结 AB，AC， 则 AB＝AC，∠BAE
