貝氏定理的應用

陳昱成

高雄市立中山高級中學 壹、前言 雖然高級中學數學科的 95 課網 (95 年 度實施， 98 年開始測驗)將條件機率放在 選修(I) ，意味著學測並沒有測驗到此一部 分，當然在條件機率的重要議題「貝氏定 理 J (Bay肘， theorem)一樣被割捨。但是在 指考數學裡，無論數學甲與數學乙，有關 貝氏定理的相關問題，都被列入命題的範

圍。根據大學入學考試中心的說明「為協

助大學校率選才，在考科測驗內容上，須 考量校豆豆在選才時所需之數學知識，並針 對這些知識進行較具深度的評量，其中數 學乙的試題計算量偏少，整合性試題在比 例上也較少，數學甲較多整合數個概念的 問題，計算量也較多。由本中心所發問卷 結果顯示:選擇數學甲為考科的校豆毛主要 希望學生具備函數、方程式、機率、微積 分、生巨陣、幾何等數學知識;選擇數學乙 為考科的校率則希望學生具備函數、方程 式、機率、統計、排列組合等數學知識。(註 一 )J 也就是說無論自然組與社會組，在未 來的大學課程，具備貝氏定理的基本知 識，有助於其發展，顯示大學的授課教師， 認定貝氏定理的重要性 o 所以到了新課綱 即 99 課綱，就將貝氏定理放到第二冊，做 為學測的命題範圍，當然指考還是將此一 範圍持續列為測驗的標的。實際上，在95 暫綱更早之前的課綱，條件機率與貝氏定 理的運用，早就是學測的命題內容，如89 學年度的填充第 I 題(註二) ，顯示出早就 認定，此一定理的理解，被視為高中生學 習高中數學後，所應該具備的基本能力。 雖然教科書己提及不少貝氏定理的相關例 題，但對剛從國中升上高一的學生而言， 可能尚無法從中體會到貝氏定理何以重要 到無論自然組與社會組都必須具備該項知 識。關於這點，三角函數就是一個很好的 對照，在指考的分類下，為社會組選材的 數學乙就不考，但自然組就必須列為命題 範圍，因為工程數學無法在沒有三角函數 的協助下，順利運作，學生皆能接受此一 命題方向。基於此，本文提供貝氏定理應 用的一些實例，內容涵蓋自然組與社會組 的領域，讓初次接觸此定理的學生有多於 教科書的實例參考，進而體會貝氏定理應 用的廣泛，做為學測、指考的命題範圍， 當之無愧。 本文餘下部分，分成第貳節簡介貝氏 定理，第參節為貝氏定理應用的說明，分 別介紹貝氏定理在搜尋理論與賽局理論的 作用，而此兩理論分別隸屬理工科與社會 學科兩個不同的領域。第肆節則敘述容易

誤用的推論，兼論一個網路現象，而其背 後可以用貝氏定理加以闢述，能做為教師 教授此課程的觀念補充。最後，則為本文 的結論。

貳、貝氏定理的基本架構

利用條件機率的概念，可以導出此一 重要的定理。首先，先了解條件機率的定 P(A 門 B) 義。設 P(AIB) 一一一一一，稱為事件 B 發

P(B)

生的情況下，事件 A 發生的機率，此為一

慷件機率 (conditional probability) 。舉例來

說明與一般機率的差別，假設某高中三年 一班共有 30 名學生，小明為其中一員，座 號為 3 號，今天老師要抽籤講一位同學上 台報告學習心得，若 A 表示小明會被抽中 的事件，在沒有任何訊息下，小明會被抽

中的機率為 P(A)= 玄。如果老師先透露

抽中的號碼為奇數，則小明會被抽中的機

率是否仍然會是完?即使沒有學過機率'

座號是偶數的學生，一般會很高興，因為 台灣的學生都不太喜歡被老師叫到，偶數 號的學生逃過一劫。但對小明奇數號的同 學，這是壞的消息，因為奇數號的學生只 有的位，小明是其中的一位，因此在聽到 老師的訊息(抽到奇數號) ，以事件 B 來表

示，則小明會被抽到的機率就從主變成

_n(A 門 B)

一一一一一一，其中 n(B) 表示事件 B 所對

15

n(B)

-

20-應的樣本個數，本例為抽到奇數的事件， 共有 15 個;而 n(A 門 B) 為既是 3 號又是奇 數號碼事件的樣本個數，就3 號一個，所 一 n(A 門 B) 以記為 I '於是 P(AIB) =一一一一一一。而

n(B)

根據拉普拉斯 (Laplace ， 1749~ 1827» 古典 n(A 門 B) 機率的定義，將一一一一分子分母同除樣

n(B)

本空間的樣本數，通常以 n(S) 表示，可得 一 n(A 門 B)/ n(S)P(A 門 B) P(AIB) 一 =一一一一即為之前

n(B) / n(S)

P(B)

所給之定義，一般與 P(A) 是有差異的。也 就是說，事件 A 的條件機率，雖然也是衡 量事件 A 發生的機率，但卻是在事件 B 發 生的情況，其機率可視為 (A 門鷗在事件 B 所佔的比例，以圖 l 表示，可以看出 P(AIB) 與 P(A) 之差別。 圖 l 、可看出條件機率為 (A 門鷗在 B 中 所佔的比例，與 P(A) 是有差異的。 P(A 門 B) 接受 P(AIB) 一一一一一的概念後，接著可以

(B)

引申出貝氏定理了。A與其補集合 A' 為樣 本空間 S 的一組分割(partition) ，即兩者的 聯集為 S '交集為空集合，圖2 可看出

AuA'=S '

A 門 A'= 中。另外由分割的概

念，可以看出集合 B

= (An B)u(

A'

n B)

,

如圖 3 所示。 圖 2 、 S=AuA' 國 3 、 B

= (An B)u(A' nB)

於是， |一 (AnB)P(AnB) P(AIB)一一一一一-一= r '

PCB)

P(AnB)+P(A'nB)

P(A)·P(AnB)

P(A)· p(BI A) +

P(的 p(BI 的

'事件 B 發生的情況下，事件 A 發生的條 件機率即可表示如上，此即貝氏定理。 而更一般他的表示為:假設

{A"A

₂

，人，....， A

_n

} 為樣本空間 S 的一組分

割 'B 為 S 的任一事件。若 P(B»O'

P(A;»O

(i

=1

,

2

,...,

n)

，則在事件 B 發生的情況下，

事件 A

_k

發生的機率為

1m

peAk nB)

peAk IB)

=一，-

-

K 一一= 川 (B)

P(A k)· p(BIA k)

P(A

_{I )·}

p(BIA

_{l )}

+ P(A

_{2 )·}

p(BIA

_{2 )}

+ ... + P(A

n )·

p(BIA

n )

P(Ak)·P(BIAd

.,., ' I

,

1

~三 k ~三 n

'

L

P(Aj).P(B\AJ

圖 4 可以看出 B 被分割的情形 o

An

A3

國 4 、 B

=

(A,

nB)u(

A,.

nB) υ ...u(A

_n

nB)

參、貝氏定理的應用

一、找尋失落的飛彈一貝氏搜尋理

論'(Bayesian

search theory)

1968 年美國海軍的核子動力潛艇天

蠍號 (USS

Scorpion)在西班牙與葡萄牙

西邊的大西洋海域失蹤，連艦上的99 名官 兵全無訊息。這對海軍當然是極大的震 蝠，於是進行大規模的搜索，希望能釐清 失事原因，給社會一個交代o 但不是有一 句成語形容事情非常困難，稱做如「大海 撈針 J' 天蠍號雖非一針所能比擬，但對茫 茫滄海，仍如一票，實在渺小，打撈談何 容易 o 而且困難之處，還加上是「失蹤J ' 表示為何失事、何處失事，及失事當時航

行的一些資料如:速度快慢、方向，都未 知。雖事後調查知道罪魁禍首是一枚分不 清敵我的魚雷，毀了自己的船隻，但就算 是知道在哪裡爆炸，也難以確認殘骸會被 海水沖到何處「休息」。這中間牽涉到的專 業知識，就包括了打撈、海流、潛艇甚至 是魚雷爆破等專業，各個專業對潛艇會落 於何處，有不同的認知與看法，當然海軍 人員憑自己的經驗也有自己的堅持 O 剛開 始，擁有資源的海軍，並不理會專家的意 見，估計是在爆點的東側海底，但幾個月 的搜尋都無功而返，最後不得不就教於專 家。而統整這些專家的是「貝氏搜尋理論」 專家約翰.克萊分(J ohn

Craven

,

1924~) ，他 根據各類專家的意見，確認出潛艇最可能 掉落在某半徑 20 英里的海域，而此海域被 告田分成許多的小方格，每個方格有兩個重 要的機率值，分別為 p 與 q' 其中 p 表示 潛艇落於此一方格的機率，此稱為先驗機 率 (prior probability)' 為未加入新資訊更新 前的主觀機率，而若潛艇落於此方格會被 找尋到的機率為 q' 根據專家意見，此 -q 值為海水深度的函數，亦即深度越深，被 尋獲的機率越小，圖 5 呈現將海域分成許 多小方格，每小格有不同的 p'q 值。

機率參數 p ， q

圖 5 、在每個方格皆有根據專家意見整合 出的不同 p ， q 值。

22

-如圖 5 '假設在所有的方格裡'黃色 的方格是擁有最大 p 值的方格，則先搜尋 此方格，可以有圖 6 的樹形圖。 被尋獲之機率 q 不在此格之機率 1-p 必定找不到機率為 l 圖 6 、於黃色方格搜尋的機率樹形圖 即使潛艇真的落在黃色方格，但能找 到的機率只有 q' 所以當於黃色方格搜尋 後，雖然找不到，但失落物仍存於此方格 的機率為一條件機率，機率值為:

P(潛艇落於方格|此方格找不到潛艇)

P(潛艇落於方格(此方格找不到潛艇) P(此方格找不到潛艇)

p

(l-

q) 一 p(l

-

q)

__ _.

1-

q 一 一一一一一一一一= px 一一一 <p' 比

p

(l -

q) +

(I -

p)

1- pq

<

1-

pq

< 原先認定的 p 還要小。 對其他的方格而吉，在未搜尋前，若 潛艇落於其他方格的先驗機率為 1-p' 則當 黃色的方格搜尋未果的情況下，潛艇落於 其他方格的機率應該會提升，至於提升為 何?可以考慮，在黃色方格找不到的條件 下，潛艇落在其他方格的機率應該會調整:

P(潛艇落於其他方格|此方格找不到潛艇)

P(潛艇落於其他方格(此方格找不到潛艇) P(此方格找不到潛艇)

I-p

I-p

一一一一=~>I-p'機率由原先的

p(l-q)+(I-p)

I-pq

1

-p:l:曾為其丘，亦即變為原本的上主/

I-pq

I-pq

(1

-p)= 于土一倍。(註三)

I-pq

所以若其他方格中的某一方格原先 認定潛艇落於此格的先驗機率為r' 則經過 搜尋黃色方格，但卻搜尋未果的情況下， 先驗機率為r 的方格，調整後的機率為

r× -L ，比原先的r還要大。

1- pq

也就是說，當黃色方格搜尋未獲後， 其他方格的機率會變動，接著就尋找機率 最高的方格，依此原則，直到尋獲為止。 海軍聽從盤盤.車萃泣的建議，按照機率 團，潛艇應該落在爆炸點的西側，經過幾 次的搜索，潛艇在爆炸點的西南方海底被 找到。 這裡要強調，搜尋的順序不一定是依 原先設定的先驗機率大小。黃色方格找不 到潛艇的條件下，其他每一方格落至方格

的機率都會增加于上一，但不一定就按照

1-

pq

下一個先驗機率較大的方格搜索，因為原 先黃色方格搜尋後找不到潛艇，潛艇仍有 可能落於此方格，只是機率由p 變成

(1-

q)

于一一，如果其他方格的先驗機率小於此 1-

pq

一機率，當然要再先搜黃色方格一次，若 有方格先驗機率大於此機率，就先搜先驗 機率較大的方格。若下一格仍未尋獲，則 又有一新的更新機率，再全部方格的機率 來比較，當然包括最先的黃色方格，如此 一來搜尋的順序，不一定會依照原先的先 驗機率來走，也顯示貝氏定理的特性，一 有新的資訊，就會更新。 從上述的敘述，可以發現，貝式定理 是根據先驗的機率再加上事後的資訊來更 新認知。例如搜尋潛艇的故事裡'未搜尋 前，專家根據專業知識，整理出一張機率 團，此即為先驗的機率。經過搜尋後，若 搜尋未果，這是一種資訊，將之加入重新 更新，得到新的機率，再搜尋就再調整， 最後會愈接近真實的情況，顯現出貝氏定 理的威力。

二、商學上的應用一賽局理論 (Game

theory)

俗稱商場如戰場，而孫子兵法有吉 「知己知彼，百戰不殆J '但你會這麼想， 對方也會這麼想，因此當我們想了解對方 的底細時，對方會盡量掩蓋一些事實，反 之亦然。所以在財經、管理學界常必須研 習一種專門討論兩者互相猜測對方虛實， 而下決策的理論，稱為「賽局理論J

(game

theory) 。 最基本的賽局是兩方參賽者，依據雙 方行動順序可分成「靜態J (static)與「動 態 J(dynamic)兩種:靜態賽局表示參與者同 時行動或先後行動但不知道前者採取何種 行動;而動態賽局則為參與者有先後順序 而且可以觀察到先行動者的行動。另外依 據對對方資訊的了解可分成有完全認知的 「完全資訊 J

(complete information)

，否則

即為「不完全資訊 J

(i

mcomplete

information) 。利用行動順序與資訊的掌握 這兩點，賽局就可分成四種基本類型，如

表 l 所示。

動，規定以價格最低者得標。把價格壓低， 得標機會大增，但獲利縮水;然而投標金 額提高，雖然得標後利潤會增加，但可能 根本無法接到葉子。接下來，就有很多的 表 1 、賽局的主要分類

F想

靜態 _動態、 完全資訊 靜態完全 動態完全

資訊

資訊 不完全資訊 靜態不完 動態不完 全資訊 全資訊 表格來源、: 依據張維迎分類，作者整理。 故事可以說，如果兩家廠商聯合，共同圍 標，這除了是經濟學上聯合壟斷的研究議 題外，還牽涉到違法的法律問題。而如果 是合法的光明正大競爭，以甲廠商的觀點 來看，若能知道對方(乙)廠商的生產能力 類型，就能增加一分勝算 o 何以言之?如果 乙廠商在競標產品的生產線是有效率的， 其生產成本會比較低，因此可以以較低的 價格競標，對甲廠商而吉，其競標價格就 賽局理論原是數學的一門，後被引人 經濟學做為分析的工具，對研究爾虞我詐 的競爭行為幫助非常的大，結果幾乎讓人 忘了賽局理論發源於數學，並且產生獲諾 貝爾「經濟學」獎的數學家，而最為人熟 悉的是電影「美麗境界 AA

Beautiful Mind)

的組芷(John

Nash

,

1928~ )。不過，即使知 道賽局理論源自數學，對初次接觸者，可 能無法想像賽局理論跟貝式定理的關連，

底下試為分析。

從表 l 的資訊分類來看，不完全資訊 表示對敵方的資訊並不完全了解，如果是 動態不完全資訊的賽局，則可以觀察到對 方的行動，當對方行動時，會透露出一品 蛛絲馬跡，我們即可利用這些訊息，利用 貝式定理來更新對敵方的認知，進而釐定 出策略，而取得優勢。 例如，假設最單純的情況，僅有甲、 乙兩家競爭的廠商，共同參與某項投標活

-

24-不得不壓低 o 另外，如果乙的生產效率不 佳，就不太可能以太低的價格競標，甲可 以以較高的價格來取得標案，增加得標後 的利潤。但一般而言，生產線的相關資訊， 是公司廠商的商業機密，外人是無法獲得 的，更何況是敵對廠商。 現在假設，廠商就只有兩種類型，分 別為高效率與低效率兩種，甲廠商根據經

驗判斷乙為高效率廠商的機率為P' 則有

l-p 的機率為低效率廠商，此即為先驗機 率。而對類似的競標案，根據過去的經驗， 高效率廠商會競標的機率為 q' 低效率廠 商為 r '其中 (q>r>O) ，其相關樹形圖以圖 7 表示。 在確知乙參加競標黨的條件下，乙會 是高效率廠商的機率，利用貝氏定理為

P(乙為高效率廠商|乙參加競標)

P(乙參加競標(乙為高效率廠商)

P(乙參加競標)

-

pq 一>

pq

弓，經更新後，

pq +

(1-

p)r

pq +

(1-

p)q

•

函數 (payoff

function)

，配合機率的運算， 可以求得報酬的期望值(expected

value)

,

有利策略的決斷，但這已非本文所探討的 範圍，未來想要攻讀財經領域的學生，會

此

而

P(乙為高效率廠闇乙參加競鴨=~

pq

+~I-

p)r

機率值大於原先的認知p 有機會進一步探討此一相關內容。 由海底打撈的潛艇搜尋，到商業上的 稱為後驗機率(posterior

probability)

，為利 競爭討論，貝氏定裡都可以派上用場，而 其最主要的概念，可以利用底下的一行字 來表示: 用資訊後調整的機率o 先驗機車+新獲得的資訊 =更新的後驗機車 投標的機率為 q 乙是高效率 廠商的機率為 p 而此概念的運用，並不會限於是社會學科 或自然學科，因此列人高中數學的共同必 不投標的機率 I-q 投標的機率為 r 低效率廠商 的機率 I-p 修內容，經由本文的介紹，應該能讓學生 坦然接受了吧! 焦述銘 (20 II) 就利用貝氏定理的概

念，寫了一篇「理工男是怎樣判斷漂亮女

不投標的機率為 I-r 國 7 、乙廠商相關的機率樹形圖 孩是不是單身的? J 的科普文章，描述理 工科宅男如何利用獲得的資訊，來判斷想 得到後驗機率後，甲可以根據此值來 要追求的女孩是否為單身，內容有趣，奪 擬定投標的金額，增加勝算。當然這是簡 化的假設，實際的運作不會這麼單純，而 得科普競賽三獎，想進一步知道全文者， 可參閱參考資料4 。只是，就如作者所吉， 這個例題在假設上，設定了(q>r>O)的條 如果只將貝氏定理運用來追求女子衷，還是 有點大材小用。 件，已經隱含了參與投標的行動，透露了 效率廠商的資訊，此與直覺相符。如果高、

低效率廠商參與投標案的機率均為

q' 則觀

肆、應用貝氏定理的注意事項

察到廠商投標的行動，並不會使其後驗機

率 (P( 乙為高效率廠商|乙參加競標)=

貝氏定理運用廣泛，但有幾點在使用 上，必須注意，以免解讀錯誤，造成推論 不正確。以 98 課綱盤盤』且直史數雙單( 二冊的課本範例為例:

pq 一一 =p)變動，也就是要q' r值相異，

pq+

(1

-p)q

投標行動才會是一個有效的資訊。 、月三撈星亨，

J亨 Z 廠 F宇平主、三

在賽局的決策過程中，除了利用貝氏 定理更新認知外，還要考慮到本身的報酬

是產量分 jJ!J

r!i

，帶;Jf ~

!J7

113

,

112

,

116

0 征是雪去 ，f!% ，~首 j;]Ef1 撈若 Jll

Jg

CP

S夕

6%

'乙勝誰產品 CPS夕 4% '方撈若E

Jg!J7 3%d母子\£品

,

至今 fEiJf-;JfJg o (l))/(iJf 泊的基丘吉 為宇晨丘吉 的辦事 o

(2)

B

j;]

it

;Jf Jg

J.善于C 良品，

)/(

1f

t

Jll

Jg

局申控掌聲所貫若的勝率 o 由題目可知，乙機器的產量最多，而甲 機器的產品品質最差，不良率為6% 。假設事 件B表示任選一產品，其為不良品的事件，而

Al ' A

2 • A

3

分別表產品來自甲、乙、丙三機 器的事件，則根據分割的概念，事件B可以表

示為

(AI nB)υ(A

₂

門B)υ(A)

nB)

.因此

P(B)=P(A I nB)+P(A

2

nB)+P(A) nB)=I/

3 x6%+ 1/2x4%+ 1

/6x3%=4.5%' 亦即任選一 產品，其為不良品的機率為 4.5% 。 而第二小題，則顯然為貝氏定理的應 用，已知該產品為不良品，其產品來自甲

I~ ，

P(A

1

nB、

機器的機率為 P

( AIIB )

=一，£ -1 一一= 且 P(B)

1/3 x 6 % 2 %

4

1/3x6%+1/2x4%+1/6x3%

4.5%

9

同理，可以求得該產品為不良品，其

產品來自乙機器的機率為叫 |BFj 而

來自丙機器的機率為叫BFj 。也就是

說 第二小題問題的答案為:，而且根據

計算，知道如果產品為不良品，其來自甲、

乙、丙三機器的機率分別為笠、生、 1 。

9 9 9

-

26-產品來自甲、乙的機率相等，這時要注意 到不能依此機率推論說，甲、乙兩機器的 生產品質相當，在原先的題目就已先吉 明，兩機器的不良率分別6% 以及 4% '顯 然乙機器的生產品質是比甲要來的好，而 會造成不良品來自甲乙兩者機率相當的現 象，主要是乙機器的生產量比甲機器多， 而不良品的數量為產品量乘以不良率，因 此會有甲乙兩機器所製造出的不良品數目 相同的事實，但千萬不能就此推論兩機器 的生產品品質相當的論點。另外可以看到 若是不良品，來自丙的機率僅有1/9· 遺小 於來自乙(其機率為4/9) ，戚覺丙的生產品

質遠優於乙'但實際上為(3%對 4%) ，相去

不甚遷，而會有此現象，還是因為丙產量 占總數最少，產生的不良品數目最少所 致，在使用貝氏定理時，不可犯此錯誤的 推論 O 還有貝氏定理常運用於醫學檢定上。

以下為直二監買些數學軍三園的課本例

題: 當事~屑。flJm心 Qf/lflff$靜心嚴疾掠， 按摩結針，有90%身心gil控'f!lt亨紡車可以虛 心 Qf/lflff$獻血蔣(f!P有10% !J7JLolgll膚星空府 原著夜11ffiJ)

, {fJ

ff! 有5% 繹康苦身心 f/t/lfl E會被豆芽均為有心 r;z 揮主亨 o 如果己和東撈月于 有0.2% 即若 fi!，莒有心 gil 揮摹仿疾婷，最 Ill! ii¥λ 身心 Qf/lfl往會歪結碧輝月Z庫存心 gil 揮主亨 ，

f!1J(tirNiE莒有心gil膚墓即將率為多

少?

若 A表示此城市患有心肌硬塞的人的 事件 'B 表示心電圖檢查有心肌硬塞的人

事件，則此例題在問此一條件機率

P(叫 B) ，而根據貝氏定理可得其值約為:

p(AIB)

P(An B ) P ( A n B )

PCB)

peA

n

B)

+

peA

n

B)

0.002xO.9

0.002 x 0.9 + 0.998 x 0.05

0.0018

一一一一一一-

""

0.0348

0.0018+0.0499

這是令人訝異的數字，心電圖檢查結 果被判定患有心肌硬塞，則他真正患有心 肌檀塞的機率僅為0.0348 '連一成都還不 到。或許會有人疑惑，那這個檢查不就沒 用，根本不需要執行，因為即使結果是判 定有心肌檀塞，但實際得病的機率是非常 的低 O 先別急著下結論，看看另一個數據，

「若某人的心電圖檢查結果被判定沒有心

肌檀塞，貝。他HiE三資有心肌硬塞的機率為 多少? J 照樣利用貝氏定理，此一機率為:

恥'IB')

peA

nB')

peA

nB)

PCB')

peA

n

B')

+

peA

n

B')

0.998xO.95

0.002 x 0.1 + 0.998x 0.95

0.9481

一一一一一一-

""

0.9998

0.0002 + 0.9481

如果被判定沒有心肌欖塞，恭喜了! 因為真的沒病的機率接近卜亦即在這種檢 驗下，得知結果為沒病，大可放心了。而 一旦被宣告有病，也不用太擔心，真正患 病的機率並不高，因為只有 0.0348 。因此 在醫學檢驗上，當檢驗發現某種疾病，習 慣會再請病患做複檢，以避免誤判，若顯 示出沒得病，就不用擔心了。 連續看了兩個例子，對貝氏定理的運 用以及推論容易造成的盲點，應該有一點 認知。利用這樣的概念，可以解讀網路世 界的一個現象。很多消費者喜歡在購物之 前，上網瀏覽網友對該產品的評價 O 撇開 一些廠商可能會聘請部落客為該產品美 言，以增加銷售的情況，若以負面消息的 多寡來做評鑑，當看到對某廠商某項產品 負面的評價多於同類型的產品時，三思而 後下斷言。存在這種可能: I 該項產品的市 古率極高，不良品的比率並不比競爭產品 大，但實際上卻會被發現，不良品中該公 司產品的比例最高」。當這種情況發生，直 覺上會覺得該產品品質不佳，但國覺常和 實際情況有差別 o 很多領導廠商，常會被 很多消費者批評，由貝氏定理來解釋， I 樹 大招風」的確很有道理，也讓人可以瞭解 雖然創業維艱，但「守成不易 J '愈是大公 司，愈需謹慎小心! 伍、結論 機率發韌於賭徒求教於數學家機率相 關的問題，而後數學家利用魚雁往返討論 才逐漸建立此一數學的分支，因此說機率 論是因為實際應用而產生的學問並不為 過。而貝氏定理源自對條件機率的概念， 既然機率因實際應用而生，貝氏定理也應 該可以解決很多的實際問題。現實的教學 現場，無可避免會隨著教材的深度，數學 開始走向抽象忙，函數等分析課程逐漸加 重，雖然為未來的研究奠定基礎，但卻也

令一些無法體會數學抽象之美的學生，大 國吃不消。貝氏定理的介紹，可以讓抽象 的內容，稍得平衡，無論任何版本的例題， 都可使學生能與一般生活經驗融合一起， 但由於教學時數的限制，再進一步的提供 貝氏定理更深入與更實際的應用，幾乎是 不可能的任務，本文就是在這種情境下， 希望能提供給數學教師做為讓有興趣的學 生，課外的補充教材。 最後一小節，強調一些直覺的錯誤推 斷，而這些誤判可以經由對貝氏定理的通 盤理解而避免。教師在教學上可以對此著 墨，讓學生知道，經由數學的訓練，可以 便一般人容易犯的錯誤，無所遁形，並發 現所學能與生活貼近 o 陸、註解 (一 ) http://www.ceec.edu.tw/95 課綱考試 說明 103-95 指考數學考試說明一定稿 new970926.pdη

(二) 89年度填充第(I)題題目如下:

交通規則測驗時，答對有兩種可能， 一種是會做而答對，一種是不會做但 猜對。己知半堇練習交通規則筆試測 驗，會做的機率是 0.8 0 現有一題5 選 l 的交通規則選擇題，設么主會做就答 對，不會做就亂猜 o _{已知此題么堇答}

28

-對，試問在此條件之下，此題么主是 因會做而答對(不是亂猜)的機率是多 少? (三)實際上，此處的機率不必這麼複雜， +←人 右令

a=

P(潛艇落於方叫此方格找不到潛駒=

(1-

q)

一一一，則

l

.

pq

P(潛艇落於其他方闡此方格找不到潛盼

(1-叫

=1-a=1

.

P \ ' '1.1

= 上旦顯然比本文還

1 - pq

l-pq

要簡潔，但本文旨在說明貝氏定理， 因此保留原先的表達方式。作者廠謝 評審者的寶貴意見。

參考文獻

普通高級中學數學第二冊(2012) ，許志農 主編，龍騰出版社，新北市。 普通高級中學數學第二冊(2012) ，林褔來 等編輯，南一出版社，台南市。 張維迎(2004) ，博非論與信息經濟學，上

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焦述銘 (20

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Bayesian

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