2-1-4指數與對數-對數函數及其圖形

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(1)第二冊 1-4 指數與對數-對數函數及其圖形【定義】對數函數：設 a > 0, a ≠ 1, x > 0, f ( x ) = log a x 稱為一個以 a 為底數的對數函數【性質】因為 log a xy = log a x + log a y 可知對數函數 f ( x) = log a x 具有 f ( xy ) = f ( x) + f ( y ) 的性質其中 x, y 為任意正實數。【問題】 1. 試畫出 y = log 2 x 的圖形。 2. 試畫出 y = log2 ( − x ) 的圖形。 3. 試畫出 y = − log2 x 的圖形。 4. 試畫出 y = − log2 ( − x ) 的圖形。 5. 試畫出 y = log 2 x + 1 的圖形。 6. 試畫出 y = log2 ( x + 1) 的圖形。 7. 試畫出 y = log 2 | x | 的圖形。 8. 試畫出 y = − log 2 | x | 的圖形。 9. 試畫出 y =| log 2 x | 的圖形。 log 2 x + log 2 ( − x ) 10.試畫出 y = 的圖形。 2 log 2 x − log 2 ( − x ) 11.試畫出 y = 的圖形。 2 【性質】設 a > 0, a ≠ 1 ，指數函數 f ( x) = a x 的圖形與對數函數 g ( x) = log a x 的圖形對稱於直線 L : y = x 證明： (1)點 P ( r , s ) 在 y = a x 的圖形上 ⇔ s = a r ⇔ r = log a s ⇔ 點 Q ( s, r ) 在 y = log a x 的圖形上 (2)而點 P( r, s ) 與 Q ( s, r ) 對稱於直線 x = y 因此 y = a x 的圖形與 y = log a x 的圖形對稱於直線 L : y = x 。. y. a>1. y=ax. y. 0<a<1 x=y. y=ax. y=logax O. x. x. O. x=y. y=logax. 9.

(2) 【定義】點對稱：給與平面上兩點 P, Q ，如果直線 L 是線段 PQ 的垂直平分線 P 與 Q 對稱於 L ， Q 稱為 P 對於 L 的對稱點。圖形對稱：給與平面上兩圖形 G , G ' ，直線 L 是同一平面上的一條直線，如果 1. G 上的每一點 P 對於 L 的對稱點 P ' 都在圖形 G ' 上 2. G ' 上的每一點 P ' 對於 L 的對稱點 P 都在圖形 G 上那麼就稱圖形 G 與 G ' 對稱於直線 L，G ' 稱為 G 對於 L 的對稱圖形，L 稱為圖形 G 的對稱軸。【問題】 x. 1. 2. 3.. ⎛1⎞ 函數 y = 2 的圖形與函數 y = ⎜ ⎟ 的圖形對稱於那一條直線？ ⎝2⎠ 函數 y = 2 x 的圖形與函數 y = 2 − x 的圖形對稱於那一條直線？函數 y = log 2 x 的圖形與函數 y = log 1 x 的圖形對稱於那一條直線？ x. 2. 4. 函數 y = log 2 x 的圖形與函數 y = − log2 x 的圖形對稱於那一條直線？【性質】 y 對數函數圖形的性質： a>1 1. 當 a > 1時若 y=log x a x1 > x2 ，則 log a x1 > log a x 2 0<b<1 ⇔ f ( x) = log a x 為遞增函數 ⇔ f ( x) = log a x 的圖形向右上 2. 當 0 < a < 1 時 x1 > x2 ，則 log a x1 < log a x 2. O. x. (1,0). ⇔ f ( x) = log a x 為遞減函數. y=logbx ⇔ f ( x) = log a x 的圖形向右下【性質】對數函數圖形的凹凸性： 1. 當 a > 1 時， f ( x) = log a x 的圖形為凹向下即圖形上任兩點 A, B 的連線在 A, B 兩點間的圖形下方 x + x2 1 因此 (log a x1 + log a x 2 ) ≤ log a 1 ， x1 , x2 為任意的正實數。 2 2 2. B. y2=logax. loga(. x1+x2. 21.5. y=logax. ). 2 logax1+logax2. 1. 2 y1=logax. A. 0.5. 1. -1. 1. 2. x1. 3. x1+x2. -0.5. 2 -1. 2. 當 0 < a < 1 時 f ( x) = log a x 的圖形為凹向上 10. x2. 升若. 降.

(3) 即圖形上任兩點 A, B 的連線在 A, B 兩點間的圖形上方 x + x2 1 因此 (log a x1 + log a x 2 ) ≥ log a 1 ， x1 , x2 為任意的正實數。 2 2 0.5. x1+x2. x1 y1=logax. 1 -0.5. x2. 2 2. 1. -1. A. logax1+logax2 2 -1 x1+x2 ) loga( 2 y2=logax -1.5. y=logax B. 2. 【性質】當 a > 1 時： 1. y = a x 和 y = log a x 都是嚴格遞增也就是若 x1 > x2 時，則 a x1 > a x 2 若 x1 > x2 > 0 時，則 log a x1 > log a x 2 2. 圖形都為連續且 y = a x 恆過點 (0,1) y = log a x 恆過點 (1,0) 3. 兩者圖形對稱於直線 y = x 當 0 < a < 1 時： 1. y = a x 和 y = log a x 都是嚴格遞減. y. 0<a<1. x=y 也就是若 x1 > x2 時，則 a x1 < a x 2 若 x1 > x2 > 0 時，則 log a x1 < log a x2 y=ax 2. 圖形都為連續且 y = a x 恆過點 (0,1) x O y = log a x 恆過點 (1,0) 兩者圖形對稱於直線 y = x y=logax 【定義】反函數：給定函數 f ( x ), g ( y ) ，其中 x, y 分別是 f ( x ), g ( y ) 定義域內的任意元素如果 g ( f ( x )) = x 且 f ( g ( y )) = y ，則稱 f (x ) 與 g ( y ) 互為反函數。. f (x ) 的反函數記為 f −1 ( x) ，即 g ( x ) = f 此時 f ( x ), g ( y ) 的定義域與值域互換. 即 f (x ) 的定義域為 f. −1. −1. ( x) 。. ( x) 的值域，而 f (x ) 的值域為 f. A. B f. x. y g 11. −1. ( x) 的定義域。.

(4) 【例題】考慮函數 f ( x) = a x 與 g ( x) = log a x x. g. y. a>1. x⎯ ⎯→ a ⎯ ⎯→ log a a = x f. y=ax. x. g f y⎯ ⎯→ log a y ⎯ ⎯→ a log a y = y 即 f 把 x 對應 y ， g 把 y 對應回 x ，同理 g 把 y 對應到 x ， f 把 x 對應回 y 且 g ( f ( x )) = x ， f ( g ( y )) = y. y=logax O. x. 我們稱 f ( x) = a x 與 g ( x) = log a x 互為反函數。即：同底的指數函數與對數函數互為反函數。 x=y 【定理】若 y = f ( x ) 和 y = g (x ) 互為反函數，則 y = f ( x ) 和 y = g (x ) 的圖形對稱於直線 y = x。 (pf)若 ( a , b) ∈ y = f ( x ) ⇔ f (a ) = b ⇔ g ( f ( a )) = g (b) ⇔ a = g (b) ⇔ (b, a ) ∈ y = g ( x ) 故 y = f ( x ) 和 y = g (x ) 的圖形對稱於直線 y = x. 12.

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