國中數學4 2 2垂直、平分與線對稱圖形

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2−2 垂直、平分與線對稱圖形

本節課程學習重點： ◎能理解平面圖形線對稱的意義。 ◎能理解單一圖形透過格子點做出線對稱的鏡射圖形。 ◎能認識對稱點、對稱線、對稱角、對稱軸。 ◎能畫出線對稱圖形。 ◎能利用線對稱性質說明等腰三角形兩底角相等。 ◎能利用線對稱性質及平角180 度說明等腰三角形的頂角平分線垂直平分底邊。 ◎能用線對稱概念理解等腰三角形、正方形、菱形、箏形等平面圖形。 一、垂直與平分： ◎垂直：當兩條線段(或直線)相交成直角時，則稱這兩線段(或直線)互相垂直，以符號「⊥」來表示。【說明】如圖(一)中∠AOB 為一直角，即表示 ¯ BO 與 ¯ AO 垂直，可把它記為「 ¯ BO ⊥ ¯ AO 」，讀作「 ¯ BO 垂直於 ¯ AO 」。同理，圖(二)中，直線 L 與直線 M 交角成 90 度(直角)，也可記為「L⊥M」。 互相垂直的兩線段(或直線)的交點稱為垂足，如圖(一)、圖(二)中的 O 點；而與一線段(或直線) 垂直的直線稱為該線段(或直線)的垂線，如圖(二)中，直線 M 是直線 L 的垂線，也可以說， 直線 L 是直線 M 的垂線。 圖(一) M L A B O 垂足 O 圖(二) ◎點到直線的距離：線外一點到某直線的垂直線段的長，就稱為該點到直線的距離。 【說明】下圖中 A 為直線 L 外一點， ¯ AB 垂直 L 於 B 點。若在 L 上任取另一點 C，連接 ¯ AC ， 則 ¯ AB ＜ ¯ AC (直角三角形中，斜邊為最長邊)，可知 A 點到 L 上任一點的距離，以 ¯ AB 為最短，並稱垂直線段 AB 的長為 A 點到直線 L 的距離。 A B C L ◎垂直平分線(或中垂線)：過已知線段中點且與該線段垂直的直線。【說明】摺紙時利用對摺的方法將圖形平分，如圖(三)，將 AB 對摺，使端點 A、B 重合，此時摺痕 L 垂直 AB 於 N，且 N 點將 AB 平分成兩個等長線段，即 AN ＝ BN ＝_{2 AB 。稱 N 點為 AB 的}1 中點，而通過 N 點且與 AB 垂直的直線(摺線 L)，就稱為 AB 的垂直平分線(或中垂線)。 L N 圖(三) A B A B

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B D F E A C B D O E A C ◎角平分線(或分角線)：將已知角平分為兩個等角的直線(或線段)。【說明】利用對摺的方式平分一個角，如圖(四)，將∠AOB 對摺，使 OA 與 OB 疊合在一起，此時， 摺線 OE 把∠AOB 平分成兩個相等的角，即∠AOE＝∠BOE＝_{2 ∠AOB。稱直線 OE(或 OE )}1 為∠AOB 的角平分線(或分角線)。 圖(四) O E A B O A B 練習1：如右圖，已知 AB ⊥ BC ， BE 平分∠ABD， BF 平分∠CBD， 則∠EBF＝？ 練習2：如右圖，若 O 為 AB 上一點，且 OD 是∠AOC 的角平分線， OE 是∠BOC 的角平分線，則∠DOE＝？ 二、線對稱的意義： ◎線對稱圖形：將一個圖形沿著一條直線對摺，若直線兩側的部分能完全疊合，則此圖形稱為線對稱圖形，且這條對摺線稱為該圖形的對稱軸。其中疊合的點稱為對稱點，對應疊合的角稱為對稱角，對應疊合的線段稱為對稱線段，可知對稱角相等、對稱線段相等。【說明】如圖(五)，沿著虛線將畫有星形的紙張對摺，並沿著黑色線剪開，再將剪下來的圖形攤開，即得星形的線對稱圖形，如圖(六)。 A B C D E F G H I J 圖(五) 圖(六) 觀察可知：對摺線 AF 就是圖形的對稱軸。其中 C 點的對稱點是 I 點；∠C 的對稱角為∠I，

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C A D B O ◎線對稱圖形的性質：線對稱圖形的對稱軸必垂直平分任意兩對稱點連接的線段。【說明】觀察星形線對稱圖形，如圖(七)，連接BJ、 DH ，分別與 AF 交於 P、Q 兩點，則 (1) BP 和JP相等； (2) DQ 和 HQ 相等； (3)∠APB 和∠APJ 相等； (4)∠AQD 和∠AQH 相等； (5)∠1 和∠2 相等； (6) AF 是BJ及 DH 的中垂線； (7) I、G 分別是 C、E 的對稱點。CE及IG互為對稱線段。 (8)BJ、 DH 會與對稱軸 AF 互相垂直，且被對稱軸平分。 【觀念釐清】在對稱軸上的點，其對稱點即為本身。圖(七)中 A 的對稱點為 A，F 的對稱點為 F。練習3：如下圖，已知五邊形 ABCDE 是以直線 L 為對稱軸的線對稱圖形， 其中∠C＝∠D＝90°， AE ＝10cm、 DE ＝12cm、 DF ＝6cm，試求五邊形 ABCDE 面積。 C A 12 10 ₆ L E F D B G 練習4：如右圖，四邊形 ABCD 是以 BDHJJG為對稱軸的線對稱圖形， 其中 A、C 為對稱點。若 AB ＝ AD ＝6 公分， OC ＝3 公分， ∠ADB＝∠CBD＝30°，則 (1) BD 的長度為多少公分？ (2)四邊形 ABCD 的面積為多少平方公分？ 練習5：觀察下列圖形是不是線對稱圖形。如果是，請畫出它所有的對稱軸。 (1)等腰三角形 (2)正方形 (3)菱形 (4)箏形 A B C D E F P Q G H I J 圖(七) 1 2

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【觀念釐清】圓形是線對稱圖形，且每一條直徑都是對稱軸，所以圓形有無限多條對稱軸。練習6：畫出下列圖形的所有的對稱軸。 (1)等腰梯形 (2)長方形 (3)正五邊形 (4)正六邊形 ◎特殊多邊形的對稱性質： (1)等腰三角形：對稱軸會垂直平分底邊且平分頂角，兩底角相等。【說明】如圖(八)，等腰△ABC 中， CD 為對稱軸，A、B 為對稱點， 所以 CD 垂直平分 AB ，且 CD 平分∠ACB，即 CD ⊥ AB ， AD ＝ BD ，且∠1＝∠2。 (2)正方形：兩對角線互相垂直平分，且對角線也是四個內角的角平分線。【說明】如圖(九)，正方形 ABCD 中， BD 為對稱軸，A、C 為對稱點， 所以 BD 垂直平分 AC ，即 BD ⊥ AC ，且 OA ＝ OC ；同理， 因為 AC 也為對稱軸，B、D 為對稱點，所以 AC 垂直平分 BD ， 即 AC ⊥ BD ，且 OB ＝ OD 。 (3)菱形：兩對角線互相垂直平分，且對角線也是四個內角的角平分線。【說明】如圖(十)，菱形 ABCD 中， BD 為對稱軸，A、C 為對稱點， 所以 BD 垂直平分 AC ，即 BD ⊥ AC ，且 OA ＝ OC ；同理， 因為 AC 也為對稱軸，B、D 為對稱點，所以 AC 垂直平分 BD ， 即 AC ⊥ BD ，且 OB ＝ OD 。 (4)箏形：一對角線垂直平分另一對角線，且平分兩個內角。【說明】如圖(十一)，箏形 ABCD 中， AC 為對稱軸，B、D 為對稱點， 所以 AC 垂直平分 BD ，且 AC 平分∠BAD 與∠BCD， 即 AC ⊥ BD ， OB ＝ OD ，且∠1＝∠2，∠3＝∠4。 練習7：利用方格，完成以直線 L 為對稱軸的線對稱圖形。 圖(八) A B C D 1 2 A B C D O 圖(九) 圖(十) A B C D O 圖(十一) A 1 ₂ 4₃ B C D O L

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L x y O Q(－1 , 2) R(－2 , 1) P(0 , 1) S(－2 , 0) x y O B(－1 , 2) A(0 , 1) C(－2 , 1) D(－2 , 0) 練習8：如右圖，以 y 軸為對稱軸，畫出五邊形 OABCD 的線對稱圖形。 練習9：如右圖，以 x 軸為對稱軸，畫出五邊形 OPQRS 的線對稱圖形。 練習10：利用方格，完成以直線 L 為對稱軸的線對稱圖形。 (1) L (2) L 練習 11：利用方格，完成以直線 L 為對稱軸的線對稱圖形。

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練習12：利用方格，完成以直線 L 為對稱軸的線對稱圖形。 (1) L (2) L 三、剪出線對稱圖形： 要判斷一個圖形是否為線對稱圖形，可利用對摺的方式，如果對摺後摺線兩側的部分完全重疊，則這圖形就是線對稱圖形，而且摺線就是對稱軸。接下來，將利用摺紙來剪出線對稱圖形。練習13：依下圖，先將灰色的正方形色紙對摺兩次後，在右上角沿 AB 剪一刀(其中 OA ≠ OB )，則 A B O (1)剪下來△ABO 後，剩下的紙張展開是下列哪一個圖形？ (A) (B) (C) (D) (2)承(1)，展開後的圖形是否為線對稱圖形？如果是，有幾條對稱軸？練習14：若依照下圖指示對摺兩次，剪下「三角形」後，剩下的紙張展開是下列哪一個圖形？ (A) (B) (C) (D)

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練習15：依下圖，先將灰色的正方形色紙對摺兩次後，在右方剪一刀，請問剪下「三角形」後，剩下的紙張展開是下列哪一個圖形？ (A) (B) (C) (D) 練習16：若依照下圖指示對摺三次，剪下「三角形」後，剩下的紙張展開是下列哪一個圖形？ (A) (B) (C) (D) 自我評量 1. 判斷下列各圖形是否為線對稱圖形，是的打√，並畫出該圖形的對稱軸；不是的打 X。 (1) (2) (3) ( ) ( ) ( ) 2. 利用方格，完成以直線 L 為對稱軸的線對稱圖形。 (1) L (2) L

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M L 3. 在下面的方格中： (1)畫出以直線 L 為對稱軸的線對稱圖形。 (2)繼續以直線 M 為對稱軸，畫出線對稱圖形。 4. 已知坐標平面上一點 A(－4 , 3)，試根據下圖回答問題。 x y A(－4,3) y＝x (1)若以 x 軸為對稱軸，則 A 點的對稱點坐標為何？ (2)若以直線方程式 y＝x 為對稱軸，則 A 點的對稱點坐標為何？ 5. 如下圖，將一張正方形色紙依下圖方式對摺兩次，然後在其右上角刺穿一個洞，則此正方形色紙展開後的圖形可能為下列何者？ (A) (B) (C) (D)

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A C B D F E 1 2 A C B E D F 習作 1. 如右圖，已知 EC ⊥ AB ， DC ⊥ CF ，若∠1＝70°，則∠2＝？ 2. 如右圖， BDJJJG平分∠ABF、 BFJJJG平分∠DBC、 BEJJJG平分∠DBF， 且∠DBE＝13°，則∠ABC 的度數為何？ 3. 下列各圖是否為線對稱圖形？是的打√，不是的打 X。 (1)( ) (2)( ) (3)( ) (4)( ) (5)( ) (6)( ) 4. 以直線 L 為對稱軸，完成下列各線對稱圖形。 (1)

L

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L

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O A D B C H G E F A F E D C B O y x O A(5 , 4) y＝x y＝－x 5. 將一張正方形色紙按照圖(一)～圖(三)的步驟，對摺三次後再利用直尺，在∠AOB 的兩邊各取一點 C 和 D，使得 OC ＝ OD ，並沿著 CD 剪下，如圖(四)。猜猜看，剪下來的三角形展開後會變 什麼圖形？圖(一) 圖(二) 圖(三) A B D O C 圖(四) (A) (B) (C) (D) 6. 如右圖，已知坐標平面上一點 A(5，4)，則 (1)若以 x 軸為對稱軸，則 A 點的對稱點為何？ (2)若以 y 軸為對稱軸，則 A 點的對稱點為何？ (3)若以直線 y＝x 為對稱軸，則 A 點的對稱點為何？ (4)若以直線 y＝－x 為對稱軸，則 A 點的對稱點為何？ 7. 如右圖，四邊形 ABCD 是以 BD 為對稱軸的線對稱圖形，其中 H、E 的對稱點分別為 G、F， 設 HF 與 EG 交於 BD 上的一點 O。若 AD ＝ BC ＝10 公分， BE ＝ OF ＝6 公分，且四邊形 AEOH 為長方形，則圖中灰色部分的面積總和為多少平方公分？ 類題補充 1. 如右圖，已知∠AOB＝20°，且 ¯ OC 是∠BOD 的角平分線， ¯ OE 是∠DOF 的角平分線，則∠COE＝度。

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4 6 A C B F E D A L B C E F N M D B C D E A 2. 如右圖，陰影區域是以 ¯ AD 為對稱軸的線對稱圖形，其中四邊形 ABCD 是平行四邊形，且△CDE 為正三角形， ¯ CD ＝4， ¯ BC ＝6，試求 (1)陰影區域的周長。 (2)陰影區域的面積。 3. 如右圖，若直線 L、M、N 均為△ABC 的對稱軸，且知△ABC 的周長為 30 公分， 則 ¯ AF 為公分。

4. 如右圖，在△ABC 中， ¯ BD 、 ¯ CD 平分∠ABC 及∠ACB， ¯ BE 、 ¯ CE 平分 ∠DBC 及∠DCB，若∠BAC＝80°，則∠BEC＝度。 5. 已知 A 點(1 , 7)、B 點(5 , 7)兩點互相對稱，則其對稱軸直線方程式為。 6. △ABC 為線對稱圖形，且對稱軸為 ¯ AD ， ¯ AB ＝8， ¯ BC ＝12，求△ABC 面積＝。 7. 如右圖，L 為 ¯ AB 的垂直平分線，且 L 交 ¯ AC 於 D 點，若 ¯ AB ＝5， ¯ BC ＝4， ¯ AC ＝9.5，則△BCD 之周長為。 8. 已知 ¯ AB ，若只能利用中垂線作圖在 A、B 之間找到一點 C，使得 ¯ AC ： ¯ AB ＝3：8，則最少要作 幾次中垂線作圖？ (A) 3 (B) 4 (C) 7 (D) 8。 A B L _C D

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A D E P B C 9. 如右圖，直角△ABC 的內部有一點 P，D、E 是 P 分別以 ¯ AB 、 ¯ BC 為 對稱軸的對稱點，若 ¯ AB ＝8 cm， ¯ BC ＝6 cm，△ABD 的面積＝10 cm2， △BCE 的面積＝6 cm2，則 P 到 ¯ AC 的距離為 cm。 10. 如下圖，正方形 ABCD 中有 25 個相同的小正方形，其中有 7 個小正方形已經塗黑，請問最少要再塗 黑幾個小正方形，才能使最後的圖形對稱於直線 AC？ A D C B 11. 坐標平面上，兩直線 L1、L2的圖形是一個以 y 軸為對稱軸的線對稱圖形。已知 L1過(2 , 3)，且 交 x 軸於(－4 , 0)，則下列哪一個選項為 L2的方程式？

(A) －2x＋3y＝5 (B) －2x＋3y＝8 (C) x＋2y＝4 (D) x－2y＝－4。

12. 坐標平面上，若有一線對稱圖形的對稱軸方程式為 x＋2＝0 和 y－1＝0，且(4 , 5)為此線對稱圖形上 的一點，則下列哪一個選項中的點也一定在此線對稱圖形上？ (A) (－8 , －5) (B) (－8 , －3) (C) (－4 , －5) (D) (－4 , －3)。 13. 已知 M 是 ¯ AB 的中點，N 是 ¯ AM 的中點，且 ¯ AN ＝2x＋5， ¯ BN ＝8x－2，則 ¯ MN ＝。 14. 如下圖， ¯ BP 為∠DBC 的角平分線， ¯ PC 為∠BCE 的角平分線，若∠A＝50°，則∠BPC 為多少度？ A C B P

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加強練習 1. 下列哪一個圖形不一定是線對稱圖形？ (A)圓形 (B)平行四邊形 (C)扇形 (D)等腰直角三角形。 2. 小華看到鏡中反射的電子鐘顯示為，請問當時正確的時間是？ (A) 10：29 (B) 01：59 (C) 10：26 (D) 01：56。 3. 下列圖形何者不是線對稱圖形？ (A) (B) (C) (D) 4. 如右圖，L 為 ¯ AB 的中垂線，且交 ¯ AB 於 M，若 P 為 L 上任一點，則下列何者錯誤？ (A) ¯ PM 為∠APB 的角平分線 (B) ¯ PA ＝ ¯ PB (C) △PAB 必為正三角形 (D) △PAB 為線對稱圖形 5. 下列哪一項敘述錯誤？ (A) 正五邊形有 5 條對稱軸 (B) 正六邊形的所有對稱軸均相交於一點 (C) 有 4 條對稱軸的圖形必是正方形 (D) 通過圓心的每一條直線都是圓的對稱軸 6. 試問右圖的記號上有幾條對稱軸？ 7. 正方形、長方形、平行四邊形、等腰三角形、直角三角形，五種圖形中必為線對稱圖形的有幾種？ (A) 2 種 (B) 3 種 (C) 4 種 (D) 5 種。 8. 在線對稱圖形中，L 為對稱軸，若 A、A′和 B、B′是兩組對稱點，則下列敘述何者錯誤？ (A) ¯ AB ＝ ¯ A′B′ (B) ¯ AA′ // ¯ BB′ (C) ¯ AA′ ⊥L (D) ¯ AA′ ＝ ¯ BB′ 。

9. 在英文單字「FASHION」中，有幾個字的字形是線對稱圖形？ (A) 6 個 (B) 5 個 (C) 4 個 (D) 3 個。 10. 如右圖，將一張正方形色紙對摺兩次，再沿虛線剪下下方角落的部分，剪下來的部分展開後會得到下列哪一種圖形？ (A) (B) (C) (D) 11. 如右圖， ¯ OC 平分∠AOB，且∠AOD＝80°，∠BOD＝40°， 則∠COD＝度。 12. 已知 A(0 , 6)、B(6 , 6)兩點是以直線 L 為對稱軸的對稱點，則下列哪個點 在直線 L 上？ (A) (6 , －6) (B) (4 , 3) (C) (0 , 12) (D) (3 , 9)。 13. 利用對摺的方法，欲在長 32 公分的繩子上，作出一條長 20 公分的繩子，至少需對摺次。 14. 如右圖，將 2 個相同正方形交錯重疊後，成為一線對稱圖形，則此圖形共有幾條對稱軸？ (A) 4 條 (B) 8 條 (C) 12 條 (D) 16 條。 15. 圖(一)和圖(二)皆由正方形和 1_{4 圓弧所組成，請問下列哪一個選項錯誤？} (A) 圖(一)為線對稱圖形，有兩條對稱軸 (B) 圖(二)為線對稱圖形，有一條對稱軸 (C) 圖(一)和圖(二)中，灰色部分的面積相等 (D) 圖(一)和圖(二)中，灰色部分面積的總和等於一個正方形的面積圖(一) 圖(二) A D C B E H G P Q F B P M L A A B O C D 40° 80°

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Ans：1.(B)；2.(A)；3.(C)；4.(C)；5.(C)；6. 5 條；7.(B)；8.(D)；9.(C)；10.(B)；11. 20；12.(D)； 13. 3；14.(B)；15.(C)。