國中數學4 2 2垂直、平分與線對稱圖形

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2−2 垂直、平分與線對稱圖形

本節課程學習重點: ◎能理解平面圖形線對稱的意義。 ◎能理解單一圖形透過格子點做出線對稱的鏡射圖形。 ◎能認識對稱點、對稱線、對稱角、對稱軸。 ◎能畫出線對稱圖形。 ◎能利用線對稱性質說明等腰三角形兩底角相等。 ◎能利用線對稱性質及平角180 度說明等腰三角形的頂角平分線垂直平分底邊。 ◎能用線對稱概念理解等腰三角形、正方形、菱形、箏形等平面圖形。 一、垂直與平分: ◎垂直:當兩條線段(或直線)相交成直角時,則稱這兩線段(或直線)互相垂直,以符號「⊥」來表示。 【說明】如圖(一)中∠AOB 為一直角,即表示 ¯ BO 與 ¯ AO 垂直,可把它記為「 ¯ BO ⊥ ¯ AO 」,讀作「 ¯ BO 垂直於 ¯ AO 」。同理,圖(二)中,直線 L 與直線 M 交角成 90 度(直角),也可記為「L⊥M」。 互相垂直的兩線段(或直線)的交點稱為垂足,如圖(一)、圖(二)中的 O 點;而與一線段(或直線) 垂直的直線稱為該線段(或直線)的垂線,如圖(二)中,直線 M 是直線 L 的垂線,也可以說, 直線 L 是直線 M 的垂線。 圖(一) M L A B O 垂足 O 圖(二) ◎點到直線的距離:線外一點到某直線的垂直線段的長,就稱為該點到直線的距離。 【說明】下圖中 A 為直線 L 外一點, ¯ AB 垂直 L 於 B 點。若在 L 上任取另一點 C,連接 ¯ AC , 則 ¯ AB < ¯ AC (直角三角形中,斜邊為最長邊),可知 A 點到 L 上任一點的距離,以 ¯ AB 為最短,並稱垂直線段 AB 的長為 A 點到直線 L 的距離。 A B C L ◎垂直平分線(或中垂線):過已知線段中點且與該線段垂直的直線。 【說明】摺紙時利用對摺的方法將圖形平分,如圖(三),將 AB 對摺,使端點 A、B 重合,此時摺痕 L 垂直 AB 於 N,且 N 點將 AB 平分成兩個等長線段,即 AN = BN = 2 AB 。稱 N 點為 AB 的 1 中點,而通過 N 點且與 AB 垂直的直線(摺線 L),就稱為 AB 的垂直平分線(或中垂線)。 L N 圖(三) A B A B

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B D F E A C B D O E A C ◎角平分線(或分角線):將已知角平分為兩個等角的直線(或線段)。 【說明】利用對摺的方式平分一個角,如圖(四),將∠AOB 對摺,使 OA 與 OB 疊合在一起,此時, 摺線 OE 把∠AOB 平分成兩個相等的角,即∠AOE=∠BOE= 2 ∠AOB。稱直線 OE(或 OE ) 1 為∠AOB 的角平分線(或分角線)。 圖(四) O E A B O A B 練習1:如右圖,已知 AB ⊥ BC , BE 平分∠ABD, BF 平分∠CBD, 則∠EBF=? 練習2:如右圖,若 O 為 AB 上一點,且 OD 是∠AOC 的角平分線, OE 是∠BOC 的角平分線,則∠DOE=? 二、線對稱的意義: ◎線對稱圖形:將一個圖形沿著一條直線對摺,若直線兩側的部分能完全疊合,則此圖形稱為線對稱 圖形,且這條對摺線稱為該圖形的對稱軸。其中疊合的點稱為對稱點,對應疊合的角 稱為對稱角,對應疊合的線段稱為對稱線段,可知對稱角相等、對稱線段相等。 【說明】如圖(五),沿著虛線將畫有星形的紙張對摺,並沿著黑色線剪開,再將剪下來的圖形攤開, 即得星形的線對稱圖形,如圖(六)。 A B C D E F G H I J 圖(五) 圖(六) 觀察可知:對摺線 AF 就是圖形的對稱軸。其中 C 點的對稱點是 I 點;∠C 的對稱角為∠I,

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C A D B O ◎線對稱圖形的性質:線對稱圖形的對稱軸必垂直平分任意兩對稱點連接的線段。 【說明】觀察星形線對稱圖形,如圖(七),連接BJ、 DH ,分別與 AF 交於 P、Q 兩點,則 (1) BP 和JP相等; (2) DQ 和 HQ 相等; (3)∠APB 和∠APJ 相等; (4)∠AQD 和∠AQH 相等; (5)∠1 和∠2 相等; (6) AF 是BJ及 DH 的中垂線; (7) I、G 分別是 C、E 的對稱點。CEIG互為對稱線段。 (8)BJ、 DH 會與對稱軸 AF 互相垂直,且被對稱軸平分。 【觀念釐清】在對稱軸上的點,其對稱點即為本身。圖(七)中 A 的對稱點為 A,F 的對稱點為 F。 練習3:如下圖,已知五邊形 ABCDE 是以直線 L 為對稱軸的線對稱圖形, 其中∠C=∠D=90°, AE =10cm、 DE =12cm、 DF =6cm,試求五邊形 ABCDE 面積。 C A 12 10 6 L E F D B G 練習4:如右圖,四邊形 ABCD 是以 BDHJJG為對稱軸的線對稱圖形, 其中 A、C 為對稱點。若 AB = AD =6 公分, OC =3 公分, ∠ADB=∠CBD=30°,則 (1) BD 的長度為多少公分? (2)四邊形 ABCD 的面積為多少平方公分? 練習5:觀察下列圖形是不是線對稱圖形。如果是,請畫出它所有的對稱軸。 (1)等腰三角形 (2)正方形 (3)菱形 (4)箏形 A B C D E F P Q G H I J 圖(七) 1 2

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【觀念釐清】圓形是線對稱圖形,且每一條直徑都是對稱軸,所以圓形有無限多條對稱軸。 練習6:畫出下列圖形的所有的對稱軸。 (1)等腰梯形 (2)長方形 (3)正五邊形 (4)正六邊形 ◎特殊多邊形的對稱性質: (1)等腰三角形:對稱軸會垂直平分底邊且平分頂角,兩底角相等。 【說明】如圖(八),等腰△ABC 中, CD 為對稱軸,A、B 為對稱點, 所以 CD 垂直平分 AB ,且 CD 平分∠ACB,即 CD ⊥ AB , AD = BD ,且∠1=∠2。 (2)正方形:兩對角線互相垂直平分,且對角線也是四個內角的角平分線。 【說明】如圖(九),正方形 ABCD 中, BD 為對稱軸,A、C 為對稱點, 所以 BD 垂直平分 AC ,即 BD ⊥ AC ,且 OA = OC ;同理, 因為 AC 也為對稱軸,B、D 為對稱點,所以 AC 垂直平分 BD , 即 AC ⊥ BD ,且 OB = OD 。 (3)菱形:兩對角線互相垂直平分,且對角線也是四個內角的角平分線。 【說明】如圖(十),菱形 ABCD 中, BD 為對稱軸,A、C 為對稱點, 所以 BD 垂直平分 AC ,即 BD ⊥ AC ,且 OA = OC ;同理, 因為 AC 也為對稱軸,B、D 為對稱點,所以 AC 垂直平分 BD , 即 AC ⊥ BD ,且 OB = OD 。 (4)箏形:一對角線垂直平分另一對角線,且平分兩個內角。 【說明】如圖(十一),箏形 ABCD 中, AC 為對稱軸,B、D 為對稱點, 所以 AC 垂直平分 BD ,且 AC 平分∠BAD 與∠BCD, 即 AC ⊥ BD , OB = OD ,且∠1=∠2,∠3=∠4。 練習7:利用方格,完成以直線 L 為對稱軸的線對稱圖形。 圖(八) A B C D 1 2 A B C D O 圖(九) 圖(十) A B C D O 圖(十一) A 1 2 43 B C D O L

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L x y O Q(-1 , 2) R(-2 , 1) P(0 , 1) S(-2 , 0) x y O B(-1 , 2) A(0 , 1) C(-2 , 1) D(-2 , 0) 練習8:如右圖,以 y 軸為對稱軸,畫出五邊形 OABCD 的線對稱圖形。 練習9:如右圖,以 x 軸為對稱軸,畫出五邊形 OPQRS 的線對稱圖形。 練習10:利用方格,完成以直線 L 為對稱軸的線對稱圖形。 (1) L (2) L 練習 11:利用方格,完成以直線 L 為對稱軸的線對稱圖形。

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練習12:利用方格,完成以直線 L 為對稱軸的線對稱圖形。 (1) L (2) L 三、剪出線對稱圖形: 要判斷一個圖形是否為線對稱圖形,可利用對摺的方式,如果對摺後摺線兩側的部分完全重疊, 則這圖形就是線對稱圖形,而且摺線就是對稱軸。接下來,將利用摺紙來剪出線對稱圖形。 練習13:依下圖,先將灰色的正方形色紙對摺兩次後,在右上角沿 AB 剪一刀(其中 OA ≠ OB ),則 A B O (1)剪下來△ABO 後,剩下的紙張展開是下列哪一個圖形? (A) (B) (C) (D) (2)承(1),展開後的圖形是否為線對稱圖形?如果是,有幾條對稱軸? 練習14:若依照下圖指示對摺兩次,剪下「三角形」後,剩下的紙張展開是下列哪一個圖形? (A) (B) (C) (D)

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練習15:依下圖,先將灰色的正方形色紙對摺兩次後,在右方剪一刀,請問剪下「三角形」後,剩下 的紙張展開是下列哪一個圖形? (A) (B) (C) (D) 練習16:若依照下圖指示對摺三次,剪下「三角形」後,剩下的紙張展開是下列哪一個圖形? (A) (B) (C) (D) 自我評量 1. 判斷下列各圖形是否為線對稱圖形,是的打√,並畫出該圖形的對稱軸;不是的打 X。 (1) (2) (3) ( ) ( ) ( ) 2. 利用方格,完成以直線 L 為對稱軸的線對稱圖形。 (1) L (2) L

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M L 3. 在下面的方格中: (1)畫出以直線 L 為對稱軸的線對稱圖形。 (2)繼續以直線 M 為對稱軸,畫出線對稱圖形。 4. 已知坐標平面上一點 A(-4 , 3),試根據下圖回答問題。 x y A(-4,3) y=x (1)若以 x 軸為對稱軸,則 A 點的對稱點坐標為何? (2)若以直線方程式 y=x 為對稱軸,則 A 點的對稱點坐標為何? 5. 如下圖,將一張正方形色紙依下圖方式對摺兩次,然後在其右上角刺穿一個洞,則此正方形色紙 展開後的圖形可能為下列何者? (A) (B) (C) (D)

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A C B D F E 1 2 A C B E D F 習作 1. 如右圖,已知 EC ⊥ AB , DC ⊥ CF ,若∠1=70°,則∠2=? 2. 如右圖, BDJJJG平分∠ABF、 BFJJJG平分∠DBC、 BEJJJG平分∠DBF, 且∠DBE=13°,則∠ABC 的度數為何? 3. 下列各圖是否為線對稱圖形?是的打√,不是的打 X。 (1)( ) (2)( ) (3)( ) (4)( ) (5)( ) (6)( ) 4. 以直線 L 為對稱軸,完成下列各線對稱圖形。 (1)

L

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L

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O A D B C H G E F A F E D C B O y x O A(5 , 4) y=x y=-x 5. 將一張正方形色紙按照圖(一)~圖(三)的步驟,對摺三次後再利用直尺,在∠AOB 的兩邊各取一點 C 和 D,使得 OC = OD ,並沿著 CD 剪下,如圖(四)。猜猜看,剪下來的三角形展開後會變 什麼圖形? 圖(一) 圖(二) 圖(三) A B D O C 圖(四) (A) (B) (C) (D) 6. 如右圖,已知坐標平面上一點 A(5,4),則 (1)若以 x 軸為對稱軸,則 A 點的對稱點為何? (2)若以 y 軸為對稱軸,則 A 點的對稱點為何? (3)若以直線 y=x 為對稱軸,則 A 點的對稱點為何? (4)若以直線 y=-x 為對稱軸,則 A 點的對稱點為何? 7. 如右圖,四邊形 ABCD 是以 BD 為對稱軸的線對稱圖形,其中 H、E 的對稱點分別為 G、F, 設 HF 與 EG 交於 BD 上的一點 O。若 AD = BC =10 公分, BE = OF =6 公分,且四邊形 AEOH 為長方形,則圖中灰色部分的面積總和為多少平方公分? 類題補充 1. 如右圖,已知∠AOB=20°,且 ¯ OC 是∠BOD 的角平分線, ¯ OE 是∠DOF 的角平分線,則∠COE= 度。

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4 6 A C B F E D A L B C E F N M D B C D E A 2. 如右圖,陰影區域是以 ¯ AD 為對稱軸的線對稱圖形,其中四邊形 ABCD 是平行四邊形,且△CDE 為正三角形, ¯ CD =4, ¯ BC =6,試求 (1)陰影區域的周長。 (2)陰影區域的面積。 3. 如右圖,若直線 L、M、N 均為△ABC 的對稱軸,且知△ABC 的周長為 30 公分, 則 ¯ AF 為 公分。

4. 如右圖,在△ABC 中, ¯ BD 、 ¯ CD 平分∠ABC 及∠ACB, ¯ BE 、 ¯ CE 平分 ∠DBC 及∠DCB,若∠BAC=80°,則∠BEC= 度。 5. 已知 A 點(1 , 7)、B 點(5 , 7)兩點互相對稱,則其對稱軸直線方程式為 。 6. △ABC 為線對稱圖形,且對稱軸為 ¯ AD , ¯ AB =8, ¯ BC =12,求△ABC 面積= 。 7. 如右圖,L 為 ¯ AB 的垂直平分線,且 L 交 ¯ AC 於 D 點,若 ¯ AB =5, ¯ BC =4, ¯ AC =9.5,則△BCD 之周長為 。 8. 已知 ¯ AB ,若只能利用中垂線作圖在 A、B 之間找到一點 C,使得 ¯ AC : ¯ AB =3:8,則最少要作 幾次中垂線作圖? (A) 3 (B) 4 (C) 7 (D) 8。 A B L C D

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A D E P B C 9. 如右圖,直角△ABC 的內部有一點 P,D、E 是 P 分別以 ¯ AB 、 ¯ BC 為 對稱軸的對稱點,若 ¯ AB =8 cm, ¯ BC =6 cm,△ABD 的面積=10 cm2, △BCE 的面積=6 cm2,則 P 到 ¯ AC 的距離為 cm。 10. 如下圖,正方形 ABCD 中有 25 個相同的小正方形,其中有 7 個小正方形已經塗黑,請問最少要再塗 黑幾個小正方形,才能使最後的圖形對稱於直線 AC? A D C B 11. 坐標平面上,兩直線 L1、L2的圖形是一個以 y 軸為對稱軸的線對稱圖形。已知 L1過(2 , 3),且 交 x 軸於(-4 , 0),則下列哪一個選項為 L2的方程式?

(A) -2x+3y=5 (B) -2x+3y=8 (C) x+2y=4 (D) x-2y=-4。

12. 坐標平面上,若有一線對稱圖形的對稱軸方程式為 x+2=0 和 y-1=0,且(4 , 5)為此線對稱圖形上 的一點,則下列哪一個選項中的點也一定在此線對稱圖形上? (A) (-8 , -5) (B) (-8 , -3) (C) (-4 , -5) (D) (-4 , -3)。 13. 已知 M 是 ¯ AB 的中點,N 是 ¯ AM 的中點,且 ¯ AN =2x+5, ¯ BN =8x-2,則 ¯ MN = 。 14. 如下圖, ¯ BP 為∠DBC 的角平分線, ¯ PC 為∠BCE 的角平分線,若∠A=50°,則∠BPC 為多少度? A C B P

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加強練習 1. 下列哪一個圖形不一定是線對稱圖形? (A)圓形 (B)平行四邊形 (C)扇形 (D)等腰直角三角形。 2. 小華看到鏡中反射的電子鐘顯示為 ,請問當時正確的時間是? (A) 10:29 (B) 01:59 (C) 10:26 (D) 01:56。 3. 下列圖形何者不是線對稱圖形? (A) (B) (C) (D) 4. 如右圖,L 為 ¯ AB 的中垂線,且交 ¯ AB 於 M,若 P 為 L 上任一點,則下列何者錯誤? (A) ¯ PM 為∠APB 的角平分線 (B) ¯ PA = ¯ PB (C) △PAB 必為正三角形 (D) △PAB 為線對稱圖形 5. 下列哪一項敘述錯誤? (A) 正五邊形有 5 條對稱軸 (B) 正六邊形的所有對稱軸均相交於一點 (C) 有 4 條對稱軸的圖形必是正方形 (D) 通過圓心的每一條直線都是圓的對稱軸 6. 試問右圖的記號上有幾條對稱軸? 7. 正方形、長方形、平行四邊形、等腰三角形、直角三角形,五種圖形中 必為線對稱圖形的有幾種? (A) 2 種 (B) 3 種 (C) 4 種 (D) 5 種。 8. 在線對稱圖形中,L 為對稱軸,若 A、A′和 B、B′是兩組對稱點,則下列敘述何者錯誤? (A) ¯ AB = ¯ A′B′ (B) ¯ AA′ // ¯ BB′ (C) ¯ AA′ ⊥L (D) ¯ AA′ = ¯ BB′ 。

9. 在英文單字「FASHION」中,有幾個字的字形是線對稱圖形? (A) 6 個 (B) 5 個 (C) 4 個 (D) 3 個。 10. 如右圖,將一張正方形色紙對摺兩次,再沿虛線剪下下方 角落的部分,剪下來的部分展開後會得到下列哪一種圖形? (A) (B) (C) (D) 11. 如右圖, ¯ OC 平分∠AOB,且∠AOD=80°,∠BOD=40°, 則∠COD= 度。 12. 已知 A(0 , 6)、B(6 , 6)兩點是以直線 L 為對稱軸的對稱點,則下列哪個點 在直線 L 上? (A) (6 , -6) (B) (4 , 3) (C) (0 , 12) (D) (3 , 9)。 13. 利用對摺的方法,欲在長 32 公分的繩子上,作出一條長 20 公分的繩子,至少需對摺 次。 14. 如右圖,將 2 個相同正方形交錯重疊後,成為一線對稱圖形, 則此圖形共有幾條對稱軸? (A) 4 條 (B) 8 條 (C) 12 條 (D) 16 條。 15. 圖(一)和圖(二)皆由正方形和 14 圓弧所組成,請問下列哪一個選項錯誤? (A) 圖(一)為線對稱圖形,有兩條對稱軸 (B) 圖(二)為線對稱圖形,有一條對稱軸 (C) 圖(一)和圖(二)中,灰色部分的面積相等 (D) 圖(一)和圖(二)中,灰色部分面積的總和等於一個正方形的面積 圖(一) 圖(二) A D C B E H G P Q F B P M L A A B O C D 40° 80°

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Ans:1.(B);2.(A);3.(C);4.(C);5.(C);6. 5 條;7.(B);8.(D);9.(C);10.(B);11. 20;12.(D); 13. 3;14.(B);15.(C)。

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