以金屬波導分歧結構與基板整合波導Riblet短槽結構實現W頻段垂交混成器

國 立 交 通 大 學

電信工程研究所

碩 士 論 文

以金屬波導分歧結構與基板整合波導 Riblet

短槽結構實現 W 頻段垂交混成器

W-Band Quadrature Hybrid Realized by Metallic

Branch-Guide and SIW Riblet Short-Slot Structure

研究生: 黃鵬達

指導教授: 張志揚 博士

以金屬波導分歧結構與基板整合波導 Riblet

短槽結構實現 W 頻段垂交混成器

W-Band Quadrature Hybrid Realized by Metallic

Branch-Guide and SIW Riblet Short-Slot Structure

研究生 : 黃鵬達 Student: Peng-Da Huang

指導教授 : 張志揚 博士 Advisor: Chi-Yang Chang

國 立 交 通 大 學

電信工程研究所

碩 士 論 文

A Thesis

Submitted to Institute of Communication Engineering College of Electrical and Computer Engineering

National Chiao Tung University In Partial Fulfillment of the Requirements

For the Degree of Master of Science in

Communication Engineering July 2011

Hsinchu, Taiwan, Republic of China

i

以金屬波導分歧結構與基板整合波導 Rilbet

短槽結構實現 W 頻段垂交混成器

研究生: 黃鵬達

指導教授: 張志揚 博士

國立交通大學電信工程研究所

摘要

本論文使用兩種不同的結構以及不同的製程來實現在特高頻(EHF)的垂交混 成器，第一種是用矩形金屬波導來達到 90 度五階分歧耦合器的效能，透過數值 矩陣分析電路並考慮波導 E-平面 T-接面的效應來獲取電路初步的電路參數，可 以縮短電磁模擬軟體嘗試與錯誤的時間，而此金屬波導其輸入輸出波導為標準 W-頻段的 WR-10 波導。第二種則是用基板整合波導來完成 Riblet 短槽式垂交混 成器，並且使用扇形轉換器來進行特高頻探針的量測，其中基板整合波導使用的

基板為厚度 5mil 損耗較低的介電常數 2.2 的 Rogers RT-Duroid 5880TM_板材，而

扇形探針轉換器則是採用適合特高頻晶圓探針機台量測之陶瓷基板，厚度同為 5mil，介電常數 9.8。完善的組裝兩種板材可得到正確的測量結果。以上兩種混 成器電路其中心頻都是在 90GHz 且設計的頻寬皆在 15%以上，並且皆是以能夠 跟平面式電路作為整合而設計，故第一種金屬波導設計為 E-平面電路，以配合 E-平面探針到微帶線轉換器，而第二整基板整合波導則設計為 H-平面電路，可 直接與微帶線電路匹配。

iii

W-Band Quadrature Hybrid Realized by Metallic

Branch-Guide and SIW Riblet Short-Slot Structure

Student: Peng-Da Huang

Advisor: Dr. Chi-Yang Chang

Institute of Communication Engineering

National Chiao-Tung University

Abstract

In this thesis, W-band quadrature hybrids are proposed using two different structures and manufacturing processes. The first circuit is a metallic

rectangular waveguide five-branch 90o branch-line coupler. By means of

analytical calculation of circuit matrix including the equivalent circuit of waveguide E-plane T-junction to obtain the initial circuit parameters, the iteration time of electromagnetic simulation can be largely reduced. The I/O waveguide is the standard WR-10 W-band waveguide. The second circuit is a substrate integrated waveguide (SIW) Riblet short-slot quadrature hybrid. A fan-shaped transition is applied to meet the on-wafer probe measurement environment in the extra-high frequency (EHF) band. The SIW is manufactured

on a Rogers RT-Duroid 5880TM substrate with a low loss dielectric constant of

2.2, thickness of 5mil whereas the fan-shaped transition is implemented on an Al₂O₃ substrate with a dielectric constant of 9.8 and thickness of 5mil. A precisely assembling of transition and SIW hybrid is extremely important for a proper measurement results. Both two kinds of hybrid circuits are designed at the center frequency of 90GHz and a fractional bandwidth more than 15%. Meanwhile, both circuits are design to integrate with microstrip planar circuit. The first circuit is an E-planar circuit that it matches with an E-plane probe to microstrip transition. And the second circuit is an H-plane SIW that it is inherently applying the microstrip as the I/O transmission lines.

v

致謝

首先，要大大感謝指導教授張志揚博士兩年來的教導與照顧，老

師總是在我研究遇到困難時提出關鍵有效的解決方法且從不過問我

曾做過的錯誤。遺憾的是，老師的生活態度與專業知識還沒能探究完

全就要畢業了，永遠會記得有這麼位可以跟學生吃飯，騎車，旅遊，

平易近人的指導教授。另外要特別感謝中科院的牛博以及技術員協助

本論文之波導與平面電路的製程、組裝、與量測。

要感謝的人還有很多，感謝郭伯學長在自己的研究都作不完時還

抽空教導軟體的使用，感謝昀瑋學長總是細心的回答我瑣碎的問題，

感謝梁八學長在碩一下的暑假經常待在實驗室並且提供我寶貴的意

見，感謝建育學長經常處理我的收據，感謝廖董學長與我共同做微波

實驗，感謝維欣經常幫我收老師上課用的電腦及傳輸線，感謝懿萱同

學總是刺激與叮嚀我事情早點作完，感謝宛蓉同學陪我很晚還待在實

驗室，感謝新進實驗室的費翔，椪柑，草草，祥容帶來許多歡樂。

不得不提的是，我略感愧疚的家人，繁忙的研究生活讓我有時間偷閒

時就跟朋友出去遊憩，沒有經常回家，家人也沒有多說甚麼，衷心感

謝他們默默的支持與體諒。

vii

目錄

中文摘要...i 英文摘要...iii 致謝...v 目錄...vii 表目錄...ix 圖目錄...xi 第一章 緒論………1 第二章 矩陣分析解析特高頻 3dB E-平面分歧波導耦合器….…...5 2.1 簡介………..5 2.2 分歧耦合器基本概論………..6 2.3 數值矩陣分析法………15 2.4 電路設計與實測………30 第三章 特高頻 H-平面短槽式基板整合波導(SIW)垂交混成器………41 3.1 簡介………41 3.2 短槽式基板整合波導基本理論與電路設計………....42 3.3 量測規劃與轉換器之設計………54 3.4 整體電路模擬與實測………59 第四章 結論………..67 參考文獻………..69 附錄一………..73 附錄二………..74

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表目錄

表 2-1 分歧耦合器的奇偶模特性示意表………..…12 表 2-2 二階到六階分歧耦合器的公式………..13 表 2-3 五階分歧耦合器的阻納值………..14 表 2-4 微調後五階分歧耦合器的阻納值………..24 表 2-5 微調後五階分歧耦合器的阻抗值與 E-平面等效電路的電抗值………..29 表 2-6 圖 2-20 的實際物理尺寸(單位:mm) ………..34 表 2-7 微調過後的實際物理尺寸(單位:mm) ………...36 表 2-8 彎曲管實際物理尺寸(單位:mm，度) ………...38 表 2-9 模擬與實作的數據比較………..40 表 3-1 3dB 短槽式耦合器的寬度與長度………..47 表 3-2 初步的基板整合波導的物理尺寸(單位: mm)………..48 表 3-3 修正後初步短槽式耦合器的物理尺寸(單位: mm)………..49 表 3-4 修正後貫孔的短槽式耦合器物理尺寸(單位: mm)………..50 表 3-5 與平面式電路接合修正後貫孔的短槽式耦合器物理尺寸(單位: mm)...52 表 3-6 CBCPW-to-ML 轉換器的尺寸設計(單位: um, 度)………..56 表 3-7 扇形轉換器的尺寸設計(單位: um, 度)………..58 表 3-8 圖 3-18(a)與(b)的設計尺寸 (單位: mm，度 ) ………...60 表 3-9 圖 3-18(c)設計尺寸 (單位: mm，度 ) ………60 表 3-10 主電路模擬與實作的數據比較………....66

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圖目錄

圖 2-1 單階的平行耦合線 (a)幾和結構與端口的設定 (b)示意電路圖………...7 圖 2-2 奇偶模激發平行耦合器示意圖 (a)偶模激發 (b)奇模激發………...7 圖 2-3 單階的四分之波長濾波雛形電路………...………...………...………...9 圖 2-4 分歧耦合器示意圖………...……….………...……….………...….……..11 圖 2-5 分歧耦合器 (a)偶模示意圖 (b)奇模示意圖……….11 圖 2-6 五階分歧耦合器奇偶模示意圖………..12 圖 2-7 單階的四分之波長轉換器………..14 圖 2-8 一個被隔離的理想傳輸線………..16 圖 2-9 E-平面接面中的電壓與電流……….……...17 圖 2-10 二階分歧耦合器中電壓電流與 S 參數與各節點之間的關係…………..18 圖 2-11 對稱的五階分歧耦合器節點與端口的位置分佈………..22 圖 2-12 矩陣分析五階分歧耦合器的 S 參數響應圖………..24 圖 2-13 微調後的矩陣分析五階分歧耦合器的 S 參數響應圖………..24 圖 2-14 波導中 E-平面 T 接面的等效電路圖……….…25 圖 2-15 考慮 E-平面 T 接面的對稱五階分歧耦合器的等效電路圖……….……26 圖 2-16 矩陣分析五階分歧耦合器的 S 參數響應圖……….………….29 圖 2-17 (a) 矩形金屬波導 (b)E-平面 T 接面 示意圖……….……….30

圖 2-18 (a) E-平面 T 接面側面圖 (b) E-平面 T 接面等效電路……….………….31

圖 2-19 簡化的 E-平面 T 接面等效電路圖……….32

圖 2-20 E-平面 T 接面 (a)支線方向的參考平面 (b)主線方向的參考平面…...33

圖 2-21 由表 2-4 轉成實際的佈局圖………...34

圖 2-22 矩陣分析與 HFSS 模擬頻率響應的比較………...34

xii 圖 2-24 微調過後的頻率響應………..35 圖 2-25 HFSS 微調過後的 (a)振幅平衡 (b)相位差………..36 圖 2-26 微調好的波導配上彎曲管………..37 圖 2-27 單邊彎曲管的頻率響應………..37 圖 2-28 整體電路的頻率響應………..38 圖 2-29 三種不同的表面處理對電路能量損耗的比較………..39 圖 2-30 3dB 分歧耦合器 (a)實體電路圖 (b)局部放大圖.……….39 圖 2-31 模擬與量測的頻率響應………..40 圖 2-32 模擬與量測的 (a)振幅平衡 (b)相位差……….40 圖 3-1 短槽式混成接面示意圖………..42 圖 3-2 短槽式基板整合波導示意圖………..43 圖 3-3 短槽式基板整合波導 (a)奇模分析 (b)偶模分析 電場示意圖………...44 圖 3-4 初步的基板整合波導電路圖………..47 圖 3-5 初步的基板整合波導頻率響應圖………..48 圖 3-6 修正後初步的基板整合波導電路圖………..48 圖 3-7 修正後初步的基板整合波導頻率響應圖………..49 圖 3-8 修正後貫孔的基板整合波導電路圖………..50 圖 3-9 修正後貫孔的基板整合波導頻率響應圖………..50 圖 3-10 修正後貫孔的基板整合波導其 (a)振幅平衡 (b)相位差…………..…...51 圖 3-11 (a)短槽式基板整合波導 (b)奇模分析 (c)偶模分析 電場示意圖……..51 圖 3-12 可與平面式電路接合的修正後貫孔的基板整合波導……….52 圖 3-13 與平面式電路接合修正後貫孔的基板整合波導頻率響應圖………….53 圖 3-14 與平面式電路接合修正後貫孔的基板整合波導其 (a)振幅平衡 (b)相位 差………...….. 53 圖 3-15 CBCPW-to-ML 轉換器實際電路圖………56

xiii 圖 3-16 CBCPW-to-ML 轉換器頻率響應圖………57 圖 3-17 扇形轉換器實際電路圖………..58 圖 3-18 扇形轉換器頻率響應圖……….……….58 圖 3-19 整體電路量測 (a)反射、穿透和耦合增益 (b)隔離增益 (c)非主電路損耗 的示意圖………..60 圖 3-20 為量測 (a)反射、穿透和耦合增益 (b)隔離增益 (c)非主電路損耗 所製 作的電路之頻率響應圖………..61 圖 3-21 只有主電路的頻率響應圖………..62 圖 3-22 只有主電路的 (a)振幅平衡 (b)相位差………...62 圖 3-23 整體 SIW 電路的實體電路………..63 圖 3-24 組裝成背對背形式之扇形轉換器的量測結果………..63 圖 3-25 組裝兩種板材之非主電路損耗的量測結果………..64 圖 3-26 整體電路反射、穿透和耦合增益之量測結果………..65 圖 3-27 整體電路之 (a)振幅平衡 (b)相位差 量測結果……….65 圖 3-28 整體電路隔離度增益之量測結果………..65

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第一章

緒論

大部分的毫米波和次毫米波超外差式接收機(hetrodyne receiver)在無線太空 習慣使用簡單的雙旁波帶混波器去降頻轉換(downconvert)射頻訊號到中頻訊 號。如此的雙旁波帶操作是去連續的觀察雙旁波帶的訊號。然而，在大部分頻譜 線的觀察中從鏡像旁帶降頻轉換會導致整體的量測敏感度下降。另外，雜訊來自 鏡像旁帶也會大幅提升系統的雜訊溫度。為了減少雙旁波帶外差式接收機的缺 點，使用單旁波帶外插式接收機(single sideband hetrodyne receiver)作為觀察是一 個解決的方法。而單旁波帶外插式接收機的主要元件有混波器，射頻功率分配器 (power divider)，以及射頻垂交混成器[1-2]等等，其中寬頻的垂交混成器對觀察 無線太空是不可或缺的元件的。 除 了 無 線 太 空 觀 測 需 要 用 到 垂 交 混 成 器 ， 放 大 器 的 功 率 加 成 (power combining)技術也常會使用到。往往放大器晶片輸出之功率無法達到要求，需要 利用功率加成技術來提高功率輸出，而功率加成技術又可以分成元件等級與電路 等級二種。元件等級功率加成可以做到體積小功率加成效率高等優點但必須非常 精準的計算元件的所有寄生效應，所以幾乎只能在單晶片上面實現，且由於在特 高頻時電晶體的增益已經大幅下降，太多元件做功率加成只會使增益下降，所以 有其實際的困難存在。而電路等級的功率加成在微波頻段使用的極為普遍，有人 用威金森功率分配器[3]、鼠競環混成器或導波管魔術-T 混成器等同相位或 180o 反相之 3dB 耦合器再配上一段四分之一波長的傳輸線來當作功率加成之元件， 但其中最常見的為使用 3dB 90o_{耦合器或稱作垂交混成器[4]。} 但特高頻工作頻率極高，屬於毫米波頻段中之較高頻段。因此傳統平面式電 路之耗損變得非常大，在很多應用場景之下變得不合適。例如在特高頻之下傳統 微帶線之垂交混成器其耗損約有 1-1.5dB。因此功率加成效率大幅下降，本來兩

2 個放大器之理想功率加成因素應為二倍(3dB)，會變成最多只有 1.4~1.58 倍 (1.5-2dB)之加成效果，也就是說最理想的功率加成效率也只有 40%-58%。因此 本論文將使用矩形金屬波導分歧線耦合器以及基板整合波導短槽式垂交混成器 來克服這種特高頻時分支混成器高耗損的問題。 在過去有關分歧波導耦合器之分析與合成理論已經相當完整，也有一些相關 的設計圖表可資利用 [5-7]。但是早期的論文實做的頻率都是在 X-頻段以下。設 計一個有寬頻效應的五階(五個分支)分歧波導耦合器其中有許多 E-平面 T-接 面，必須將 T-接面的等效電路包含進去設計才會正確。而 E-平面 T-接面其等效 電路可視為是一個串聯的電抗，這個電抗值與主線、支線波導的高度有關也與頻 率相關，在早期有許多波導手冊之類的書有其等效電路的曲線圖[8]。E-平面分 歧波導耦合器這種結構雖已很成熟，但直到 2000 年仍有相關論文發表[9]，主要 都是因為計算上精確性的提高。以上幾篇頻率都是設計在 Ku-頻帶以下。至於較 高頻的論文[10]，其頻率大約設計在 40GHz。本論文將頻率上推至 W-頻段，其 中最重要的是如何估計耦合器中許多 E-平面 T-接面造成整體電路的效應，我們 使用數值矩陣快速地分析此耦合器並且考慮 E-平面 T-接面的影響[11]，接著在電 磁模擬軟體上適當的調整幾段支線的物理尺寸以消除 E-平面 T-接面等效電抗對 電路特性的影響。 矩形金屬波導元件在二次世界大戰後廣泛的被應用在微波與毫米波通訊系 統、無線太空以及其他具有低穿透損耗、高功率性能或高 Q-factor 顯著特性的元 件。然而，其需要頗大的物理尺寸、嚴苛精準的製程設備並且不是平面式的結構， 不易整合到現代微波與毫米波積體電路中。以印刷電路板為主的電路，例如微帶 線、帶線、共平面波導及槽線等等。這些傳輸線，由於其低成本、中等的穿透損 耗，以及平面式電路的特性被推出作為一個微波和毫米波電路選擇，但是此種微 帶線為主的印刷電路其性能在毫米波頻段時對於附近的主動裝置或被動元件的 輻射或耦合是相當敏感的。近年來，一種新穎的平面式電路技術由於其低

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成本、面積小並且容易與其他系統整合或使用印刷電路製成之積體電路的特性逐 漸受到大家的注意，其被稱作”基板整合波導(SIW)”或”支柱-牆波導(post-wall waveguide)”。此基板整合波導元件通常使用貫孔陣列取代金屬牆並且上下兩層 金屬表面覆蓋在基板的上下兩面來模仿金屬波導的結構，可以視之為一個低高度 介電波導(reduce-height dielectric waveguide)，因此其具有矩形金屬波導的一切特 性，由於基本整合波導是在介電常數比空氣大的基板中傳播，在相同結構下此種 基板整合波導的電路尺寸會比金屬波導來的小。所以除了具有電路面積可以縮小 還有低穿透損耗，低輻射損耗和不易受外部電路的干擾以及以印刷電路製作簡易 的特性，並且因為此種波導是整合在電路基板中，故可與一般平面電路如微帶線 電路或共面波導電路整合，這是它最大的優勢。相似的技術被使用在感光厚模技 術(photoimageable thick film)，低溫共燒陶磁波導(LTCC waveguide)，及層壓板波 導(laminated waveguide)中[25-28]，而許多主動裝置與被動電路，如天線，濾波 器，雙工器，功率分配器，SIW-微帶線轉換器，振盪器，移相器及耦合器也是 利用此種基板整合波導的技術在近幾年逐漸被提出[29-31]。 本論文第二章將介紹矩形金屬波導 E-平面分支波導垂交混成器和其雛型四 分之波長轉換器的基本理論，並且借由已十分成熟的四分之波長轉換器 [12-14] 對應出分歧耦合器的初步阻納值[15-16]，接著利用數值矩陣分析電路使其快速的 得到此射頻元件的性能[11]，以縮短電磁模擬的嘗試與錯誤時間，最後說明實際 得到金屬波導之物理尺寸的方法 [8]， [17]，如此一個可應用在無線太空觀測單 旁波帶外插式接收機以及放大器的功率加成技術中寬頻 3dB 矩形金屬波導分歧 耦合器便可如此設計出來。 第三章的內容則是基板整合波導 Riblet 短槽式垂交混成器[32]，此為最近幾 年十分熱門的電路，首先探討其基本理論以及設計方法[33]，接著闡述由於將電 路推到特高頻時，由於製成以及量測儀器之限制所因應的量測方式，例如，使用 陶瓷基板製做之扇形轉換器進行探針到 Duroid 基板製做之基板整合波導的量測

4 以及使用吸波材料做為終端器(termination)，同時為量測非主要電路部分之損 耗，另行製作一個同等結構之電路以對外接傳輸線造成去埋藏(de-embedding)的 效果，最後將量測得到的參數作一個重組以得到內部主電路的頻率響應圖。 第四章將對以上兩種不同結構，不同實現方式的特高頻 3dB 耦合器作一些 比較與評論，以上二種電路都是以能與平面電路結合做考量，第一種是 E-平面 電路可與 E-平面轉換器結合，第二種基板整合波導本身便是平面電路，唯所使 用之基板將選用與平面電路一致的基板。

5

第二章 矩陣分析解析特高頻 3dB E-平面分歧波導耦合器

2.1 簡介 方向耦合器在在 UHF 和微波頻率有很多的型式與應用。其中分歧方向耦合 器是適合用各種型態的傳輸線來實現。當使用波導實現時，分歧方向耦合器其機 械結構與電性能相似於 Riblet 短槽式耦合器或多孔洞(multihole)耦合器，而當使 用同軸電纜或帶線線時並沒有與分歧方向耦合器相似結構或性能的電路。分歧方 向耦合器其兩條主線的耦合量是透過有線長度的支線來傳遞的，此種形式適合強 耦合設計，比較不適用於弱耦合的電路。用奇模偶模來分析對稱的耦合器的想法 最早可追溯到戰爭時期 Lippman 提出的報告[18]，這種分析方法後來被出版在許 多期刊[19-20]，文獻[19]由 Reed 及 Wheeler 比較分歧耦合器和混成環的性能。 Reed 後來提出有限階數之分歧耦合器的公式和和計算結果，其中還包含 0dB 的 耦合器[21]。文獻[19], [21]考慮的耦合器是週期性耦合器(periodic couplers)，也就 是其從輸入端到輸出端有一致的主線阻抗，而支線阻抗除了結尾的支線阻抗可以 不同其他都相同，這樣的耦合器具有週期性結構的優點，亦即其結構比一般正常 的耦合器簡單，但其通帶的特性較難探究出清楚的定義。為了取得通帶的行為， 比起週期性的結構，其主線與支線之阻抗必須被濾波器型態的結構控制。文獻[22] 由 Lomer 和 Crompton 描述一個五階(五個分支線)”二項式”的分歧耦合器，也就 是其只有支線的阻抗被調整，而主線依然是都相同阻抗。其方法是根據第一階理 論(first-order theory)，亦即將一個兩階的耦合器串接(cascade)成任意階數的耦合 器，此方法實作時需要許多的經驗去獲得期望的效能。而 Young 則是考慮一般 正常結構的耦合器，其主線與支線之阻抗皆是可變化的，此種結構的耦合器又被 稱作”同調耦合器(synchronous couplers)”，並提出針對完全匹配與完美指向性及

6 特定耦合量時的公式。本章使用的四分之波長轉換器為雛形轉換到分歧方向耦合 器即是利用同調的濾波器雛形電路轉換到同調的耦合器。 2.2 分歧耦合器基本概論 方向耦合器有很多種形式，有以 TEM 模態為主模的平行耦合器以及以 TEM 模態或是波導 形式存 在的分歧耦合 器。方 向耦合器又 可 被稱 作”反向耦合 (backward couplers)”。通常設計多階的耦合器會讓它具有端對端對稱(end-to-end symmetry)以方便設計。而多階的耦合器可以被設計為極平坦或是等連波的響應 藉由調整每段的耦合量，設計越多階可以得到更多的頻寬。當分析 TEM 模態為 主的耦合器時多於一階的耦合時經常會導致過長或過於複雜的算式，化解這個問 題的方法是去分析方法相似的四分之波長的轉換器[12-14]。當耦合器設計讓它每 段都在中心頻時的四分之波長，分析此耦合器以及四分之波長的轉換器時，彼此 奇模或偶模的操作以及方析串接情況的數學式兩者是可以互換的，也可以將四分 之波長轉換器視為方向耦合器的雛型，其相關的詳細說明在參考文獻[15-16]。以 下將先概述方向耦合器以及四分之波長轉換器的特性，再描述兩者之間轉換的形 式，最後再闡述分歧耦合器基本理論以及說明如何使用由四分之波長轉換器轉成 同調分歧耦合器的表格，附錄(一)或[17]。 2.2.1 方向耦合器與其雛型四分之波長轉換器(四分之波長濾波雛形電路) 在處理多階的方向耦合器時為了簡化程序我們會使用四分之波長轉換器來 作快速且直接的對應，以下會先探討方向耦合器和四分之波長轉換器的基本理論 以及其對應關係。 首先考慮一個單階的平行耦合線方向耦合器，如圖 2-1，將其進行奇偶模分

7 析，如圖 2-2，此時將端口阻抗(Z₀)視為負載阻抗我們可以得到公式(2.1)，同時 根據分壓定理可獲得(2.2)式。 Input <1> Through <2> Isolated <4> Coupled <3> (a) Z0 Z0 Z0 Z0 V1 I1 V2 I2 V4 V3 I3 I4 θ Z0e,Z0o 2V0 (b) 圖 2-1 單階的平行耦合線 (a)幾何結構與端口的設定 (b)示意電路圖 Z0 Z0 Z0 Z0 Ve1 Ie1 Ve2 Ie2 Ve4 Ve3 Ie3 Z0e Ie4 +V0 +V0 (a) Z0 Z0 Vo1 Io1 Vo2 Io2 Vo4 Vo3 Io3 Z0o Io4 +V0 -V0 Z0 Z0 (b) 圖 2-2 奇偶模激發平行耦合器示意圖。 (a)偶模激發 (b)奇模激發 0 0 0 0 0 tan tan e e in e e Z jZ Z Z Z jZ





   (2.1a) 0 0 0 0 0 tan tan o o in o o Z jZ Z Z Z jZ      (2.1b) 1 0 0 e e in e in Z V V Z Z   (2.2a) 1 0 0 o o in o in Z V V Z Z   (2.2b) 0 1 0 e e in V I Z Z   (2.2c) 0 1 0 o o in V I Z Z   (2.2d)

8 接著推導整體的輸入阻抗(Z )，如(2.3)式，此時可以得到若平行耦合線方向_in 耦合器要達到匹配就必須要形成(2.4)式的關係式，且將(2.4)的關係式代回(2.1)式 則可將Z₀消掉。 2 0 1 1 1 0 1 1 1 0 2( ) 2 e o e o in in in e o e o in in Z Z Z V V V Z Z I I I Z Z Z          (2.3) 0 0e 0o Z  Z Z (2.4) 若要取得平行耦合線耦合器的耦合量則如(2.5)式的推導，其中透過(2.1)，(2.4) 式達到簡化，定義C(Z₀eZ₀o) (Z₀eZ₀o)，讓(2.5)式寫成(2.6a)式，同樣的平 行耦合器的穿透量透過同樣的方法得到(2.6b)。 3 1 1 0 0 0 [ ] e o e o in in e o in in Z Z V V V V Z Z Z Z       ₀ 0 0 0 0 0 ( ) tan 2 ( ) tan e o e o j Z Z V Z j Z Z       (2.5) 3 3 2 0 1 sin 1 cos sin V V jC V V _{C j}        (2.6a) 2 2 2 2 0 1 1 1 cos tan V V C V V _C  _j       (2.6b) 再來考慮一個單階的四分之波長轉換器或是稱之為”四分之波長濾波雛形電 路”，如圖 2-3 所示，此轉換器包含了兩個阻抗步階(一個阻抗變大，一個阻抗變 小)以及一段電性長度為的傳輸線，並且所有的特性阻抗以兩邊終端的特性阻

抗進行了歸一化，其中 a1，a2，b1的定義是根據功率的流向，例如，|a1|2和|a2|2

代表的是往前流向的功率，而|b1|2代表的是往後流向的功率或是反射回來的功率

。圖 2-3 中的 a1，a2，b1彼此的關係如(2.7)式，其中 (Z1) (Z1)，參考文

9 θ a1 b1 a2 Γ -Γ Z 1 1 圖 2-3 單階的四分之波長濾波雛形電路 2 1 2 2 1 (1 ) 1 j j b e a e          (2.7a) 2 2 2 2 1 (1 ) 1 j j a e a e          (2.7b) 公式(2.7)可以被推導成可以與平行耦合器耦合量與傳透量相對應的式子，如 (2.8)式所示， 1 2 2 2 1 ( ) 2 sin ( ) (1 ) cos (1 ) sin j j j j j j b e e e j a e e e j                            2 2 2 2 ( ) sin 1 1 ( ) cos sin 1 j j          _   (2.7a) 2 2 2 2 2 2 1 (1 ) (1 ) ( ) (1 ) cos (1 ) sin j j j j a e a e e e     _{ }                  2 2 2 2 1 ( ) 1 1 ( ) cos sin 1  j         _   (2.7b) 觀 察 (2.6) 式 及 (2.7) 式 可 以 發 現b a 是 對 應 到1 1 V V3 1 ， 而a a2 1 是 對 應 到 2 1 V V ，其互相對應的轉換式以(2.8)式表示，此時的 Z 是假設大於一單位振幅的 值。 2 2 2 2 1 1 1 Z C Z        (2.8)

10 2.2.2 分歧耦合器基本理論 分歧耦合器又稱方向分歧耦合器，是方向耦合器的一種，並且是由兩條平行 的傳輸主線以及某個數量的分支線將其耦合從一條傳輸線帶到另一條傳輸線，其 中每段分支線的長度以及彼此之間的間距設計在中心頻時的四分之波長，如圖 2-4 所示，而被某個數量的分支線分割成許多段的兩條平行傳輸主線以及每段分 支線的特性阻抗可以調整以增加電路的性能。 要實現圖 2-4 的分歧耦合器可以用同軸電纜、帶線、微帶線、或者是截面為 E-平面的矩形波導，當傳輸主線以及分支線是由同軸電纜、帶線、或微帶線實現 時，主線與分支線之間是並聯的關係，並且 P3為隔離埠而 P4為耦合埠，但當使 用截面為 E-平面的波導時，分支線與主線之間是屬於串聯的關係，此時 P3為耦 合埠而 P4為隔離埠。為了分析方便，當主線與分支線情況為並聯關係時使用導 納分析比較好處理，而情況為串聯關係時則使用阻抗來分析，以下將使用”阻 納”(immittance)這個表示法來取代串聯狀況時的阻抗或並聯狀況時的導納，使用 者可以根據不同實現分歧耦合器的方法來應用。通常設計耦合器會讓端對端對稱 也就是讓H_i H_6i(i1, 2,3)，K_i K_5i(i1, 2)並且會以終端阻納K 作為歸一化₀ 的基準。 以下論述的過程暫時先將各接面(junction)視為理想的串聯或是理想的並 聯，並且每一段主線或是分支線都先視為在中心頻時的四分之波長，當然最後的 實作電路會受到接面不連續以及接面的參考平面影響最終物理尺寸的效應，不過 接面不連續帶來的電抗值通常都不大，而接面的參考平面的計算方式會在電路實 作中提到。

11

P

1

P

4

P

2

P

3 H1 H2 H3 H4 H5 K0 K1 K2 K3 K4 K0 K0 K1 K2 K3 K4 K0 λ/4 λ/4 λ/4 λ/4 λ/4 圖 2-4 分歧耦合器示意圖 當將圖 2-4 的分歧耦合器進行奇偶合來分析時，如圖 2-5 所示，偶模的半電 路中的分支線由四分之波長的分支線變成八分之波長的開路短截線(stub)，而奇 模的半電路中的分支線則由四分之波長的分支線變成八分之波長的短路短截 線。如此的八分之波長的開路短截線與八分之波長的短路截線會在端口二及端口 三產生大小相等方向相反的相位偏移量(當以端口一為輸入端輸入訊號時，相 對於輸入訊號的相位偏移)，並且當輸入功率是一單位時，對一個完全匹配且無 限大指向性的分歧耦合器，其兩個輸出端，端口二和端口三分到的功率分別為 2 cos 和 2 sin ，表 2-1 簡單的示意當主線與支線是串聯關係時分歧耦合器的奇 偶模特性。 λ/4 λ/4 λ/4 λ/4 Open circuits (a) λ/4 λ/4 λ/4 λ/4 Short circuits (b) 圖 2-5 分歧耦合器示意圖 (a)偶模示意圖 (b)奇模示意圖

12 表 2-1 分歧耦合器的奇偶模特性示意表 埠 1 2 3 4 偶模 _{θ θ} 奇模 _θ θ 和 zero 振幅 1 0 cosθ sinθ 功率 1 0 cos2θ sin2θ 對分歧耦合器的奇偶模特性有初步了解了以後，現在考慮一個五階的分歧耦 合器的奇偶模分析，由於此電路是設計端對端對稱的，我們可以把整個電路視為 一個雙對稱的結構，如圖 2-6 所示，原本的奇偶模分析只將電路拆解成上下兩個 半電路，這裡透過電路的雙對稱特性將電路拆成四個小電路以便分析，對每塊小 電路分析其奇偶模時比對半電路少了一半的傳輸線要計算，接著對每塊小電路分 析其偶偶模、偶奇模、奇奇模、和奇偶模以得到整體電路的 S 參數，如(2.9)式。 K0 K1 K2 K3 K4 K0 K0 K1 K2 K3 K4 K0 Port 1 Port 2 Port 3 Port 4 H1 H2 H3 H4 H5 λ/8

Γ

ee

,Γ

eo

,Γ

oo

,Γ

oe

Γ

ee

,-Γ

eo

,-Γ

oo

,Γ

oe

Γ

ee

,-Γ

eo

,Γ

oo

,-Γ

oe

Γ

ee

,Γ

eo

,-Γ

oo

,-Γ

oe λ/8 圖 2-6 五階分歧耦合器奇偶模示意圖 11 4 ee eo oo oe S        (2.9a)

13 21 4 ee eo oo oe S         (2.9b) 31 4 ee eo oo oe S         (2.9c) 41 4 ee eo oo oe S        (2.9d) 由於此分歧耦合器我們希望其具有完全匹配，無限大的指向性，因此產生 (2.10)的條件式，同時設計其為一個 3dB 的耦合器，故有(2.11) 的條件式，其中 (2.10)可以換成(2.12)式，而(2.11)則可換成(2.13)，可以省略一些計算的步驟，表 2-2 為分析 3dB 分歧耦合器二階，三階到六階得到的兩個獨立關係式，在參考文 獻[23]有較為清楚的推導過程。 11 21 31 41

|

S

| |



S

| |



S

| |



S

|

，

|

S

₁₄

| |



S

₂₃

| |



S

₃₂

| |



S

₄₁

|

(2.10) 21 31

S



jS

，

S

₄₃



jS

₁₃，

S

₁₂



jS

₄₂，

S

₃₄



jS

₂₄ (2.11) 0 ee eo     ，   _{oo oe} 0 (2.12) ee j oo    ，  _eo j _oe (2.13) 表 2-2 二階到六階分歧耦合器的公式 n=2 n=3 n=4 1 ' 1 H  H'₁ 2 1 2 1 1 2 2 1 1 ' (1 ' ) ' 1 2 ' ' K H H H H     1 ' 2 K  K'12 H'2 2 2 2 1 ' 2 ' 1 H K H   n=5 n=6 2 2 2 2 2 3 1 2 1 2 2 3 ' (2 ' ' ' ) ' 1 ' ' ' ' H K H H K H K H H     ' '2 '2 ' ' 3 2 1 1 2 ' '2 '2 '2 1 1 3 3

(1

)

1 2

H K

K

H

H

H

H

K

H



_

_







' '2 ' ' '4 2 2 2 3 1 ' '2 ' 1 1 3 (2 ) 1 2 H K H H K H H H     '2 ' ' ' ' '2 ' ' ' ' '2 2 2 3 2 3 2 2 3 2 3 1 ' ' '2 '2 ' '2 1 2 3 3 3 2 ( )( ) 1 ( ) K H H H K K H H H K K H H K H H K        

14 此次研究為了達到寬頻的效果故將分歧耦合器設計在五階，但只由完美匹配 和無限大的指向性以及耦合量與穿透量相等這些條件只能建立兩個獨立的方程 式，為了得到某個寬頻下五階分歧耦合器各段主線以及分支線的阻納，我們應用 上一小節提到四分之波長轉換器可視為分歧方向耦合器的雛形的關係來取得附 錄(一)的對應表格，此表格是針對理想傳輸線構成的四分之波長轉換器的某個特 定 wb時耦合器的阻納值[24]，其中 wq與 wb經驗關係如(2.14)式[17]，而 R 代表 四分之波長轉換雛形其輸出端與輸入端的阻抗比，如圖 2-7 所示，在阻抗匹配的 情況下 R=Z2_{，若要得到一個五階的 3dB 分歧耦合器，先去計算耦合端口為 3dB} 時的耦合量 c，如(2.15)式所示，接著由上一小節的(2.8)式與 R=Z2 _{可推出(2.16)} 耦合量 c 與阻抗比 R 的關係，以 3dB 分歧耦合器的例子其推算出來的 R 應為 5.83，再配合表格使用內差法得到表 2-3 初步理想分歧耦合器各段的阻納值。

Z

1

R

θ θ θ

a

1

b

1

a

2 圖 2-7 單階的四分之波長轉換器

0.6

b q

w



w

(2.14) 3,3 2 1 10 log 3( ) dB P dB c   ， 3,3 20

10

P dB

c



 (2.15) 2 1 1 c R Z c     (2.16) 表 2-3 五階分歧耦合器的阻納值 N=5 (階數) K’’1 K’’₂ H’’₁ H’’₂ H’’₃ Normalized impedance(1/K0) 1.1992 1.3815 0.2503 0.4516 0.6015

15 2.3 數值矩陣分析法 由上一節的方法取得了分歧耦合器的各段理想傳輸線的阻納值，這一節將從 分歧耦合器中的其中一個 E-平面接面在一個隔離中的系統的電壓電流與 S 參數 的關係來推得整體電路的 S 參數矩陣，但由於上述理論事先假設了所有的接面是 理想的並聯或理想的串聯，所以需要考慮實際製作矩形金屬波導其各段主線與支 線之間存在著一個空乏區(E-平面 T 接面)的影響，以及如何計算各段傳輸主線支 線的參考平面以得到其為四分之波長的設計，其中空乏區的影響可以參考文獻[8] 得到修正過後的矩陣分析，而參考平面的計算將在下一節提到。 2.3.1 被隔離的傳輸線與 E-平面接面(E-plane junction)的特性 在一條相同特性的理想傳輸線隨著位置 x 變化之電壓與電流的複數振幅被 定義成公式 (2.17) ，這裡的 Z0是指傳輸線的特性阻抗而λ是指電壓 V(x)與電流 I(x)在傳輸線上的一個波長。為了得到電壓 V(x)或電流 I(x)在傳輸線上的解，我 們可以將上述公式轉換成拉普拉斯(Laplace)方程式，如 (2.18)所示。 0 2 ( ) ( ) d V x j Z I x dx





  (2.17a) 0 2 1 ( ) ( ) d I x j V x dx Z     _(2.17b) 2 2 2 2 ( ) ( ) 0 d V x V x dx     _{ }    (2.18a) 2 2 2 2 ( ) ( ) 0 d I x I x dx





  _{ }    (2.18b) 以上的拉普拉斯方程式為一個二階的常微分方程式，其解為兩個指數函數 2 j x e   _和 2 j x e    的疊加，可以將之視為傳輸線上有兩個方向的行進波的疊加，其表 示式如下(2.19)，這裡的 V+表示入射電壓波在位置 x=0 時的複數振幅，V-表示反

16 射電壓波在位置 x=0 時的複數振幅，而 I+_{表示入射電流波在位置 x=0 時的複數} 振幅，I-_{表示反射電壓波在位置 x=0 時的複數振幅。} 2 2 2 2 0 0

( )

j x j x j x j x

V x

V e

V e

Z I e

Z I e

               









(2.19a) 2 2 2 2 0 0

( )

j x j x

V

j x

V

j x

I x

I e

I e

e

e

Z

Z

               









(2.19b) 現在考慮一個被隔離的理想傳輸線，如圖 2-8 所示，這裡的 lmn等於 lnm，同 樣的電性長度θmn等於θnm，並且定義θmn為 2πlmn/λ，而節點 m 和節點 n 上 的電壓和電流(Vm、Im、Vn、In)我們用(2.20)表示， mn j m nm nm mn mn

V



Z I



Z I e

  (2.20a) mn j m nm mn

I



I



I e

  (2.20b) nm j n mn mn nm nm

V



Z I



Z I e

  (2.20c) nm j n mn nm

I



I



I e

  (2.20d) 這裡的 Vij是表示電壓波從節點 j 入射到節點 i 的複數電壓，Iij則是表示電流 波從節點 j 流向節點 i 的複數電流，其中 i,j=m,n (i≠j)。

V

m

V

n

I

m

I

n

I

m

I

n

θ

mn 圖 2-8 一個被隔離的理想傳輸線

17 然而在一個分歧耦合器中，傳輸線往往是由許多 E-平面接面所組合而成的， 如圖 2-9 所示，這裡將 E-平面接面視為被隔離中的狀態，根據電荷守恆原理，其 各節點的總電壓和應為零，流進某節點的電流應為流出的電流。透過(2.10)式對 一條被隔離的理想傳輸線的電壓電流的表示式，我們可以將一個 E-平面接面的 電壓電流表示式整理成(2.21)式，這裡的節點 i 透過特性阻抗為 Zmi(或 Zim)的理想 傳輸線接到節點 m。 ΣV=0 Im Im Im i i i 圖 2-9 E-平面接面中的電壓與電流 mi j im mi m

I



I e

 



I

(2.21a)

(

j mi

)

0

im im mi mi i

Z I



Z I e







(2.21b) 2.3.2 二階分歧耦合器的矩陣表示法 圖 2-10 為將一個二階的分歧耦合器視為四個 E-平面 T 接面與理想傳輸線所 組成的示意圖，其中 K0，K1，K2，H1，H2表示各段理想傳輸線的特性阻抗，並 且讓振幅為一單位的電壓波由節點一打入，而分別在節點一，二，三和四得到 S11，S21，S31和 S41的反射係數，接著我們將二階分歧耦合器中四個節點應用到 上一小節中所提到被隔離的 E-平面接面的電流的公式(2.21a)則可以得到(2.22) 式，二階分歧耦合器各節點的電流表示式，在此讓θmn=θnm=θ。

18 Port 1 Port 2 Port 3 Port 4 K0 K1 K0 K1 K0 K0 H1 H1 I1 I2 I4 I3 K1 K1 K0 K0 K0 K0 H1 H1 θ41=θ14 θ23=θ32 θ21=θ12 θ34=θ43 1 S11 S41 S21 S31 圖 2-10 二階分歧耦合器中電壓電流與 S 參數與各節點之間的關係 12 14 11 21 12 41 14 1 0 1 j j S I I e I I e I K           _(2.22a) 23 21 21 12 21 32 23 2 0 j j S I I e I I e I K          _(2.22b) 34 32 31 43 34 23 32 3 0 j j S I I e I I e I K          _(2.22c) 43 41 41 34 43 14 41 4 0 j j S I I e I I e I K          _(2.22d) 若將(2.22a)乘上 j e再加上(2.22b)可以得到 I21由 S11與 S21表式的關係式，套 用此法可以得到任意節點 j 到節點 i 的電流表示式 Iij，如(2.23)所示。 12 11 21 0 1 (2 sin ) [( 1) j ] I j S S e K      _(2.23a) 21 11 21 0 1 (2 sin ) [( 1) j ] I j S e S K      _(2.23b) 23 21 31 0 1 (2 sin ) [ j ] I j S S e K     _(2.23c) 32 21 31 0 1 (2 sin ) [ j ] I j S e S K     _(2.23d) 34 31 41 0 1 (2 sin ) [ j ] I j S S e K     _(2.23e) 43 31 41 0 1 (2 sin ) [ j ] I j S e S K 



  _(2.23f)

19 14 11 41 0 1 (2 sin ) [( 1) j ] I j S S e K      _(2.23g) 41 11 41 0 1 (2 sin ) [( 1) j ] I j S e S K      _(2.23h) 接著我們將 E-平面接面的電壓的公式(2.21b)代到二階分歧耦合器中則可以 得到(2.24)各節點的電壓表示式， 12 14 1( 21 12 ) 1( 41 14 ) 11 1 0 j j K I I e H I I e S   (2.24a) 23 21 1

(

12 21

)

1

(

32 23

)

21

0

j j

K I



I e

 



H I



I e





S



(2.24b) 34 32 1( 43 34 ) 1( 23 32 ) 31 0 j j K I I e  H I I e  S  (2.24c) 43 41 1( 34 43 ) 1( 14 41 ) 41 0 j j K I I e H I I e S  (2.24d) 應用(2.22)式到(2.24)式各節點的電壓表示式中，可得到以下的(2.25)式， 12 14 11 11 1 12 1 14 11 0 0 1 1 (S 2 j ) (S 2 j ) 1 0 K I e H I e S K K      _{ }  _{   } (2.25a) 23 21 21 21 1 21 1 23 21 0 0 (S 2 j ) (S 2 j ) 0 K I e H I e S K K          _(2.25b) 34 32 31 31 1 34 1 32 31 0 0 (S 2 j ) (S 2 j ) 0 K I e H I e S K K          _(2.25c) 43 41 41 41 1 43 1 41 41 0 0 (S 2 j ) (S 2 j ) 0 K I e H I e S K K          _(2.25d) 接著將(2.23)八個電流表示式代入到(2.25)式中可得到(2.26)式，其中K 和"1 1 " H 代表用K 歸一化後的阻抗值， ₀ 1 11 11 21 1 11 11 41 1 1 " ( 1) [( 1) ] " ( 1) [( 1) ] sin sin j j K S S e S H S S e S j j        _{   } _  _{   }          11

(

S

1)

2



  

(2.26a)

20 1 21 11 21 1 21 21 31 21 1 1 " [( 1) ] " [ ] 0 sin sin j j K S S S e H S S e S S j j                           (2.26b) 1 31 31 41 1 31 21 31 31 1 1 " [ ] " [ ] 0 sin sin j j K S S e S H S S S e S j j                          (2.26c) 1 41 31 41 1 41 11 41 41 1 1 " [ ] " [( 1) ] 0 sin sin j j K S S S e H S S S e S j j                           (2.26d) 公式(2.26)式可以整理成一個比較有系統化的表示式(2.27)， 1 1 1 1 11 21 31 41 " " " 0 " ( ) 1 ( 1) 2

tan sin sin sin

K H K H S S S S j  j  j  j                                  (2.27a) 1 1 1 1 11 21 31 41 " " " " 0 ( 1) ( ) 1 0

sin tan sin sin

K K H H S S S S j  j  j  j    _{ }  _  _  _  _                 (2.27b) 1 1 1 1 11 21 31 41 " " " " 0 ( 1) ( ) 1 0

sin sin tan sin

H K H K S S S S j  j  j  j                                 (2.27c) 1 1 1 1 11 21 31 41 " 0 " " " ( 1) ( ) 1 0

sin sin sin tan

H K K H S S S S j  j  j  j                                 (2.27d) 我們可以將(2.27)的四個方程式視為一個矩陣運算式，如(2.28)所示， 1 1 1 1 11 1 1 1 1 21 31 1 1 1 1 41 1 1 1 1 " " " " ( ) 1 0

tan sin sin

1 2

" " " "

( ) 1 0

0

sin tan sin

" " " " 0

0 ( ) 1

sin tan sin 0

" " " "

0 ( ) 1

sin sin tan

K H K H j j j S K K H H S j j j S H K H K j j j S H K K H j j j               _              _              _       _                _      (2.28) 則我們可以得到由節點一打入電壓波振幅為一單位時，在各節點的反射或穿 透波 S11，S21，S31，S41，

21 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 21 31 1 1 1 1 41 1 1 1 1 " " " " ( ) 1 0

tan sin sin

2

" " " "

( ) 1 0

0

sin tan sin

" " " " 0

0 ( ) 1

sin tan sin 0

" " " "

0 ( ) 1

sin sin tan

K H K H j j j S K K H H S j j j S H K H K j j j S H K K H j j j                _           _           _        _                  _      1 0 0 0              (2.29) 將(2.29)式推廣二階分歧耦合器全部節點的 S 參數的矩陣表示法，如(2.30) 表示， 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44 S S S S S S S S S S S S S S S S             1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 " " " " ( ) 1 0

tan sin sin

1 0 0 0

" " " "

( ) 1 0

0 1 0 0

sin tan sin

2

" " " " 0 0 1 0

0 ( ) 1

sin tan sin 0 0 0 1

" " " "

0 ( ) 1

sin sin tan

K H K H j j j K K H H j j j H K H K j j j H K K H j j j                _          _                 _            _      (2.30) 2.3.3 五階分歧耦合器的矩陣表示法 上一小節提到二階分歧耦合器的矩陣表示法，這一小節則是將二階推廣到五 階的分歧耦合器，圖 2-11 顯示一個對稱的五階分歧耦合器，其中K₁K₄， 2 3 K K ，H₁ H₅，H₂ H₄，端口一，二，三，四分別在節點一，五，六，十 的位置上，運用(2.30)二階分歧耦合器 S 矩陣，一個五階分歧耦合器的 S 矩陣將 寫成(2.31)所示，由於五階分歧耦合器我們只需要四個端口，所以在全部節點得 到的矩陣中我們只關心在節點一，五，六，十的十六個 S 參數，其他我們不關切

22 的參數全部用*代表，在(2.31)中的矩陣 M 裡的 Mij，只有在 i j且i1,5, 6,10時 Mij 才有”+1”的運算，此處的”+1”相當於K ，而在 i0  j但i1,5, 6,10時 Mij 沒 有”+1” 的運算，取代的是連接此節點的三個傳輸線其中一個的特性阻抗值。 K0 K1 K2 K0 K0 K1 K2 K0 Port 1 Port 2 Port 3 Port 4 H1 H2 H3 H2 H1 K2 K1 K2 K1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 圖 2-11 對稱的五階分歧耦合器節點與端口的位置分佈 11 12 13 14 21 22 23 24 1 31 32 33 34 41 42 43 44 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 2 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * S S S S S S S S M I I S S S S S S S S                                      1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 2 3 2 " " " 0 0 0 ( ) 1 tan sin " " " " " 0 0

sin tan sin

0 " " " " " 0

sin tan sin

0 0 " " " " "

sin tan sin

0 0 0 " " " ( ) 1 sin tan 2 0 0 0 0 " sin 0 0 0 " 0 sin 0 0 " 0 0 sin 0 " K H K j j K K K H K j j j K K K H K j j j K K K H K j j j K K H j j H j H j H j H j                  _        _   1 0 0 0 sin " 0 0 0 0 sin H j                                

23 1 2 3 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 2 2 1 2 2 1 1 0 0 0 0 " sin 0 0 0 " 0 sin 0 0 " 0 0 sin 0 " 0 0 0 sin " 0 0 0 0 sin " " " 0 0 0 ( ) 1 tan sin " " " " " 0 0

sin tan sin

0 " " " " " 0

sin tan sin

0 0 " " " " "

sin tan sin

0 0 0 " sin H j H j H j H j H j K H K j j K K K H K j j j K K K H K j j j K K K H K j j j K j                   _       1 1 1 " " ( ) 1 tan K H j                                   1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1                                  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1                                 (2.31) 由上一節的分析中，由表 2-3 我們可以取得理想傳輸線構成的各段阻納值 1 " K ，K"2，H"1，H"2，H"3，將之代入五階分歧耦合矩陣分析(2.31)式中可以 得到圖 2-12，其中乃為一個截止頻率與頻率的函數，在下一小節有說明，接著 稍微調成表 2-4 所示的阻抗值我們可以得到一個更為漂亮的響應圖，如圖 2-13 所示，此時故意設計讓|S31-S21|小於 1dB 之內已達到頻寬的提升。

24 Frequency (GHz) 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 Magnitude of S parameter s [ dB] -55 -50 -45 -40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 S11 S21 S31 S41 圖 2-12 矩陣分析五階分歧耦合器的 S 參數響應圖 Frequency (GHz) 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 Magnitude of S parameter s [ dB] -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 Matrix Analysis S11 Matrix Analysis S21 Matrix Analysis S31 Matrix Analysis S41 圖 2-13 微調後的矩陣分析五階分歧耦合器的 S 參數響應圖 表 2-4 微調後五階分歧耦合器的阻納值 N=5 (階數) K "1 K"2 H"1 H"2 H"3 Normalized impedance(1/K0) 1.0592 1.1020 0.2480 0.3416 0.4115

25 2.3.4 實際波導的矩陣分析 五階的分歧耦合器的 S 矩陣可由上一小節(2.31)得到，其中的θ是一個頻率 的函數，當我們使用金屬波導來實現分歧耦合器時，我們必須考慮波導的截止頻 率以及 E 平面 T 接面(E-plane T junction)所導致的效應，因此我們必須將(2.31)式 作一些修改。首先，在波導中θ是一個由頻率以及截止頻率決定的變數，設計讓 節點到節點的距離為四分之一個波長，如(2.32)，和λg0的定義在(2.33)和(2.34)， 其中k 和_c f 代表截止波數和截止頻率而 λ_c g0代表頻率為中心頻時的波長，則(2.32) 式可以表示為(2.35)，其中k 和₀ f 代表中心頻波數和中心頻率。 0 0 ( )f l ( _g / 4)









 

(2.32) 2 2 2 2 2 c c k k f f



  

 

 (2.33) 0 0 2 g







 _(2.34) 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 ( ) 2 2 c c c c k k f f f k k f f







      (2.35) 接著考慮到實際製作金屬波導中每一個節點都會有的 E-平面 T 接面，在參 考文獻[8]中有詳細的說明，此等效電路呈現在圖 2-14，當我們把此等效電路應 用在對稱的五階分歧耦合器的十個節點時，其示意圖就如同圖 2-15 所示，因此 原先的表示二階分歧耦合器各節點的電壓表示式(2.24)，要更改為(2.36)式。 jX 圖 2-14 波導中 E-平面 T 接面的等效電路圖

26 K0 K1 K2 K2 K1 K0 jX1 jX2 jX3 jX2 jX1 K0 K1 K2 K2 K1 K0 jX1 jX2 jX3 jX2 jX1 H1 H2 H3 H2 H1 圖 2-15 考慮 E-平面 T 接面的對稱五階分歧耦合器的等效電路圖 12 14 1( 21 12 ) 1( 41 14 ) 11 1 1 1 0 j j K I I e  H I I e S   I jX  (2.36a) 23 21 1( 12 21 ) 1( 32 23 ) 21 2 1 0 j j K I I e H I I e S  I jX  (2.36b) 34 32 1( 43 34 ) 1( 23 32 ) 31 3 1 0 j j K I I e H I I e S  I jX  (2.36c) 43 41 1( 34 43 ) 1( 14 41 ) 41 4 1 0 j j K I I e  H I I e S  I jX  (2.36d) 則二階分歧耦合器的 S 矩陣由(2.30)更改為(2.37)，其中 jX"1( jX1/K0)表示 歸一化後的電抗。 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44 S S S S S S S S S S S S S S S S             1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 " " " " ( ) 1 " 0

tan sin sin

" " " "

( ) 1 " 0

sin tan sin

2

" " " "

0 ( ) 1 "

sin tan sin

" " " "

0 ( ) 1 "

sin sin tan

K H K H jX j j j K K H H jX j j j H K H K jX j j j H K K H jX j j j                _{ }        _{ }                         

27 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1              (2.37) 而對稱的五階分歧耦合器則由(2.38)式表示，在(2.38)中的矩陣 M"裡的 M"ij， 在 i j且i1,5, 6,10時 ，M"ij 為原先(2.31)式中的 Mij 加上 jX"1，在 i j且 2, 4, 7,9 i 時 M"ij 為的 Mij加上 jX"2，而在 i j且i3,8時 M"ij為原先的 Mij 加上 jX"₃，這裡的 jX"₁，jX"₂，jX"₃都是歸一化後的電抗值，其求得法一樣在 參考文獻[8]中有詳細說明。 11 12 13 14 21 22 23 24 1 31 32 33 34 41 42 43 44 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 2 " * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * S S S S S S S S M I I S S S S S S S S                                      1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 3 2 1 " " " 0 ( ) 1 " tan sin " " " " " "

sin tan sin

0 " " " " " sin tan 0 0 " sin 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 " sin 0 " 0 sin " 0 0 sin K H K jX j j K K K H K jX j j j K K K H jX j j K j H j H j H j              _{ }      _                           

28 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 " 0 0 0 sin " " " " 0 " "

tan sin sin

" " " " 0

( ) 1 "

sin tan sin

0 " " " "

( ) 1 "

sin tan sin

" 0 " " " "

"

sin sin tan

0 0 0 " sin 0 0 0 0 0 0 0 0 K j K K H K H jX j j j K K H H jX j j j H K H K jX j j j H K K K H jX j j j K j                 _     _{ }    1 1 2 3 2 2 2 3 2 3 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 0 0 " sin 0 " 0 sin " 0 0 sin 0 0 0 0 0 0 0 0 0 " 0 0 sin " " " " 0 " sin tan " " " " " "

sin tan sin

0 " " " ( ) 1 " sin tan H j H j H j K j K K H K jX j j K K K H K jX j j j K K H jX j j                                _{ }     _{ }    _{  }   1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1                                  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1                                 (2.38)

29 接著將上一小節所微調出更好響應的歸一化阻抗值，以及由參考文獻 [8]中 得到的歸一化電抗值(下一小節會再多加說明)，如表 2-5 所示，代入(2.38)的矩陣 中得到圖 2-16 的結果，可以發現 E-平面 T 接面造成了反射損耗的些微改變，有 越往高頻的部分其漣波幅度會越大的趨勢。 表 2-5 微調後五階分歧耦合器的阻抗值與 E-平面等效電路的電抗值 N=5 (階數) K "1 K"2 H"1 H"2 H"3 X"1 X"2 X"3 Normalized impedance(1/K0) 1.0592 1.1020 0.2480 0.3416 0.4115 -0.0244 -0.0721 -0.0992 Frequency (GHz) 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 Magnitude of S parameter s [ dB] -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 Matrix Analysis S11 Matrix Analysis S21 Matrix Analysis S31 Matrix Analysis S41 圖 2-16 矩陣分析五階分歧耦合器的 S 參數響應圖

30 2.4 電路設計與實測 上一節由矩陣分析法得到一個 S 參數響應頗為合乎要求的阻抗值，表 2-4， 這一節將闡述如何將這樣的阻抗值用矩形金屬波導製作，以及多加說明上一節提 到各段傳輸線的參考平面的計算方式，並且比較運用包含 E-平面 T 接面等效電 路的電抗值的數值矩陣分析法解析整體五階分歧耦合器的 S 參數響應與用 3D 電 磁模擬軟體 HFSS 模擬出來的頻率響應之間的異同。 2.4.1 矩形金屬波導的電路設計 圖 2-17 為一個矩形金屬波導與其 E-平面 T 接面的示意圖，本次電路設計在 特高頻中心頻選擇為 90GHz，故使用 WR-10 的導波管作為埠的輸出，圖中所示 的 a x b 即為 2.54mm x 1.27mm，由於金屬波導各段主線或支線的阻抗比大約與 主線或支線的高度成正比，如(2.39)式所示，其中b 表示支線波導的高度，_n' b 表_n 示主線波導的高度，配合由表 2-4 得到的理想阻抗值(已歸一化)可得到各段主線 支線波導的高度。 a b b1’ b1 b2 b2’ K0，K1，K2，H1，H2，H3 (a) b a bn’ bn K1 K0 H1 E TE10 (b) 圖 2-17 (a)矩形金屬波導 (b)E-平面 T 接面 示意圖 0 0 0 ' ' n n n H Z b K  Z  b ， 0 0 0 n n n K Z b K  Z  b ，n=1,2,3 (2.39)