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行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告
由波速推估顆粒材料應力狀態之可能性探討
A Study on Estimating the In-situ Stresses of Granular Material
計畫編號：NSC90-2211-E009-068
執行期限：90 年 8 月 1 日至 91 年 7 月 31 日
主持人：潘以文 國立交通大學土木工程學系
計畫參與人員：劉智超 國立交通大學土木工程學系
一、 中文摘要 本 研 究 之 目 的 為 根 據 顆 粒 材 料 微 觀 力 學 理 論，由土層的波速量測資料反推應力狀態的可行性 探討。此構想是想模擬由現地跨孔法量測不同方向 的波速資料，然後反推現地的應力狀態。本研究使 用國立交通大學研發的標度槽，控制側向位移為 0，使試體維持在 K0狀態。一系列的垂直載重依先 加壓再解壓的順序施加力量於乾霣落試體上。本研 究以顆粒材料微觀力學為基礎，配合波傳理論及基 因演算的最佳化分析，以推估顆粒集合體的K0值。 從應力量測計算所得的 K0值與經理論分析反推所 得的K0值之結果顯示，若有足夠的波速分佈資料， 則經由理論分析推估K0值是可行的，此意味著由現 地震動法所得的波速量測資料，亦可經由理論分析 推估其現地的應力狀態。 關鍵詞：顆粒材料、微觀力學、波傳、組構、最佳 化方法This study aims to explore the possibility for estimating stress state in a level ground of granular soil by seismic methods on the basis of micromechanics theory. This work made use of a field simulator to control a K0 condition in specimens. A series of vertical loading containing subsequent loading and unloading were applied to the specimen prepared by pluviation. In general, the K0 values determined experimentally in this work agreed with the exiting empirical relations. K0 value was also calibrated from measured anisotropic wave-velocities using an optimization procedure. From the comparison of the back-calculated and measured results of
K0, it revealed the feasibility for the determination of the in-situ lateral stress in granular soil by seismic methods and on the basis of micromechanics theory as long as enough wave-velocity measurements along various directions of wave-propagation were available.
Keywords: Granular material; Micromechanics; Wave Propagation; Fabric;
Optimization Procedure 二、緣由與目的 現 地 應 力 的 評 估 是 大 地 工 程 領 域 的 重 要 課 題，但是由於大地材料所受應力歷史的複雜性，使 得現地應力的評估更為不易。顆粒集合體的波速是 組構與應力狀態的函數。利用剪力波速與應力狀態 的 關 係 (Roesler, 1979) ， Sully 與 Campanella (1995)及 Fioravante 等人(1998)從量測的剪力波 速推估 K0。他們假設土壤為橫向等向性材料且主應 力 在 垂 直 與 水 平 方 向 上 。 Sully 與 Campanella (1995)得出如下結論：剪力波速比（水平向波速與 垂直向波速之比）視土壤的組構與應力狀態而定， 但組構的影響程度較應力狀態還大。因此，若要從 測得的剪力波速成功的推估 K0，則必須先正確的定 出土壤的組構。 如果可以獲得足夠的不同方向的波速量測資 料，則從波速量測資料推估組構與應力狀態是可行 的。本研究探討使用震動法推估現地側向應力的可 行性。下列內容依順序包括方法論的理論背景﹑試 驗計畫﹑結果與討論以及結論。 三、理論背景 從量測的波速分佈推估 K0的方法包含一個類 似於 Pan 與 Dong(1999)所提用以評估顆粒集合體 組構的分析方法。本分析方法包含以下三個部分： (1)顆粒材料微觀力學模式，(2)彈性波傳理論，(3) 最佳化方法。圖 1 概述概念性的步驟。本節提出此 方法論簡略的說明。 顆粒材料微觀力學模式 顆 粒 材 料 的 組 構 決 定 材 料 的 力 學 行 為，而 組 構 又 可 分 為 幾 何 組 構（ 微 結 構 的 特 性 ）與 接 觸 力 組 構 （ 接 觸 力 的 分 佈 ）。 若 指 定 組 構 狀 態 ， 則 彈 性 組 成 關 係 可 根 據 微 觀 力 學 決 定 。 例 如 Chang 與 Misra (1990)導 出 理 想 顆 粒 集 合 體 的 彈 性 勁 度Cijkl為 與 幾 何 組 構（ 接 觸 法 線 的 密 度 函 數 ） 的 函 數 。 根 據 Hertz-Mindlin 接 觸 理 論，平 均 的 局 部
2 法 線 接 觸 勁 度kn(n~)與 切 線 接 觸 勁 度 ) ~ (n kr 可 表 示 為 幾 何 組 構 與 接 觸 力 組 構 的 函 數 。 Kanatani (1984)提 出 以 單 位 向 量 之 分 量 的 多 項 式 展 開 來 表 示 組 構 變 數 的 密 度 函 數。他 共 定 義 三 類 的 組 構 張 量 表 示 式，其 中 第 三 類 二 階 的 組 構 張 量 足 以 描 述 橫 向 等 向 性 材 料 的 組 構 ， 故 本 研 究 使 用 此 張 量 表 示 式 描 述 組 構 。 對於理想顆粒集合體而言，可以使用 Chang 等人 (1995)的靜態平衡理論，從應力狀態與堆積組構推 估接觸力的分佈。一旦應力狀態與幾何組構被決 定，接觸力分佈就可被算出（Pan 與 Dong，1999)。 橫向等向性材料的波傳理論 天然顆粒的堆積通常為橫向等向性的。對於 軸 3 為對稱軸的橫向等向性材料而言，獨立的彈性 常數有 5 個（即 E11, E33, E12, E23與E66），其他的 彈性常數為E22=E11, E13=E23, E55=E66, E44=(E11-E12)/2
及E14=E24=E34=E56=0。已知彈性常數的橫向等向性材 料的波傳速度為旋轉對稱軸和波傳方向間夾角的 函數，則沿著任意特定方向傳播的其 P 波波速與兩 個 S 波波速均可以理論解計算得到（Pan 與 Dong， 1999）。 最佳化方法 本 研 究 之 {x} 定 義 為 誤 差 平 方 (error square)函 數
n 1 i 2 i i x V U x} [ ({}) ] { 其中Ui({x}), (i1,n)為 n 個經計算所得之不同方 向或不同型態的波速值；Vi, (i1,n)則為n個對應 的量測波速值；{x}為待定參數，因波速為微觀參 數（，及 D33）與應力狀態的函數（Pan 與 Dong， 1999），則{x}為微觀參數與應力狀態。最佳化過 程即為尋找一組{x}使得目標函數為最小。 本研究結合傳統的數值最佳化方法與基因演 算法，以基因演算法快速的逼近全域最佳值，再將 逼近的全域最佳值做為傳統數值最佳化方法的起 始猜測值，以求得全域的最佳值，如此可兼顧最佳 化的效率與精確度。 四、試驗計畫 本研究的實驗材料為渥太華砂（C-109）。實 驗儀器採用國立交通大學 Hsu 和 Huang (1998)研發 成功的標度槽或謂現地模擬槽，標度槽主體和側向 壓力控制流程如圖 2 所示。 砂由霣落器落下，經由分散器落至標度槽內而 製成試體，其相對密度由霣落器底盤的開孔大小所 控制。本研究的量測系統包括波形產生器﹑放大器﹑ 訊 號 的 激 發 器 與 接 收 器 及 訊 號 的 擷 取 與 分析系 統。本實驗共鋪設 5 層的地音探測器(geophone)， 其配置如圖 3 所示。在試樣製作過程中，由各環個 別控制側向壓力使每環控制在 K0狀態，加/解壓的 側向位移臨界值為±0.01mm，使各環的側向平均應 變量在±4.06×10-6之內。當霣落完之後，加上頂蓋， 即進行加壓與解壓。試體的垂直加壓路徑為 0 kPa →26.73 kPa→51.7 kPa→100.05 kPa→51.7 kPa →26.73 kPa→0 kPa（不含砂的自重及頂蓋重，自 重 為 標 度 槽 中 間 高 度 的 垂 直 覆 土 壓 力 ， 頂蓋重 =3.47kPa）。在不同應力階段，分別量測不同方向 或不同型態的波速值。本研究在各應力階段量測 5 個不同方向的 P 波，3 個不同方向的 Sh波及 2 個不 同方向的 Sv波共 10 個波速量測值。為了避免加/ 解載造成動態效應，加壓與解壓需以非常緩慢的速 率進行，本研究以微小增量方式作階梯式加壓/解 壓，加壓/解壓速率約為 1 kPa/min.。 五、實驗結果與分析 n顆粒參數的決定 本研究使用的顆粒材料為渥太華砂（C-109） 為石英砂，結晶石英顆粒的平均彈性常數假設為 Es=86.85 GPa 與 Gs=31.14 GPa，其對應的柏松比 νs 等於 0.39。石英顆粒間（saturated）的摩擦 角平均為 26°。Oda (1977)發現平均共軸數 n 與顆 粒的粒徑分佈無關，而與孔隙比 e 有良好的相關 性。Chang 等人(1991)提出e
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。 實驗結果 （1） n波速量測結果 圖 4、5 分別為在不同的應力狀態下，相對密 度 Dr=95%及 Dr=62.3%的 P 波波速分佈，圖中“L” 表示加壓階段而“U”表示解壓階段。 試體製作完成時，此時的載重較小，波速的異 向性主要反應組構的異向性，此階段的水平波傳速 度均小於垂直波傳速度，意味著水平接觸點數較垂 直接觸點數少，同時也表示水平方向的楊氏模數小 於垂直方向的楊氏模數。 （2） n應力狀態量測結果 本研究扣除接近上下邊界各 2 環，其餘 7 環 的側向伸長量與應力資料納入統計平均。相對密度 為 Dr=95%及 Dr=62.3%於不同垂直應力下（K0控制） 各環的側向應力與平均 K0分別如表 1 及表 2 所示 （表中垂直應力含砂的自重及頂蓋重）。 組構之率定 本研究採用 Kanatani n所定義二階第三類組 構 張 量 來 逼 近 顆 粒 集 合 體 的 組 構 ， 其 形 式 如 ) 1 ( 4 1 ) (n Dijninj f 若將霣落而成的顆粒集合體視為橫向等向性 材 料 ， 則 其 組 構 為 軸 對 稱 分 佈 ， 即 上 式 中 的 D12=D21=D13=D31=D23=D32=0 ， D22=D11=-D33/2 。 若為均向組構，則 D33=D22=D11=0，即 f(n)1/4； 若 D33>0，表示垂直方向的接觸點數大於水平方向 的接觸點數。 參數率定結果 除了應力狀態 K0之外，微觀參數（法線接觸勁 度之微觀參數﹑切線接觸勁度之微觀參數及組構3 參數 D33）亦為欲率定的參數。因加壓階段的組構變 化不大（K0控制下），此階段三個應力狀態的所有 波速量測資料（共 30 筆）被用以率定參數；而解 壓階段每個應力狀態需個別率定，因此只有 10 筆 波速資料可用。參數率定之結果如表 3 所示。 (1) 法線接觸勁度之微觀參數 根據不同理論限制，應介於 1/4 與 1/3 之間， 本研究於不同相對密度的渥太華砂所率定出之值 均介於上下限之間。 (2) 切線接觸勁度之微觀參數 率定的結果顯示：在極緊密的狀態下，由於顆 粒的平均接觸點數較多，表示所受的束制較大，因 此切線接觸勁度之微觀參數較小，約接近於 0； 而相對密度越低的微觀參數有越高的趨勢。一般 而言，顆粒集合體在較高的應力狀態下，由於有較 大的束制作用，因此有較低的微觀參數；且在相 同的垂直載重下，解壓狀態較加壓狀態有較高的微 觀參數。 (3) 組構參數 D33 不同相對密度下，組構參數的率定結果顯示， 越緊密的顆粒集合體所率定的組構參數 D33越小且 越接近於零，這表示顆粒集合體在極緊密的狀態 下，接觸法線的分佈比較均向。 (4) 應力狀態參數 K0 加壓段應力狀態參數，率定值與量測值間誤差 至多 7％。應力狀態率定及量測結果顯示，解壓階 段較加壓階段所率定的應力狀態參數 K0與量測值 相較有較大的誤差，可能的原因是解壓階段可用於 參數率定的資料筆數較少，若能增加量測筆數，相 信應能改善此種情形。 六、計畫成果自評 本研究的主要目的是想根據微觀力學理論與 利用震動法的波速量測資料，以推估現地應力狀態 的可能性探討。初步顯示本研究所採方法論可推估 出合理的 K0。目前使用跨孔法量測盡可能多的現地 不同方向的波速，理論上似乎不困難。因此使用本 研究所提的方法論推估現地的應力狀態是可期待 的。整體自評，實際執行之計劃成果接近原計畫目 標。 七、參考文獻
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Fioravante, V., Jamiolkowski, M., Lo Presti, D.C.F., Manfredini, G. ＆ Pedroni, S. (1998). Assessment of the coefficient of the earth pressure at rest from shear wave velocity measurements. Geotechnique, 48, No.5, 657-666.
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Sully, J.P. & Campanella, R.G. (1992). In situ shear wave velocity determination using seismic cone penetrometer for evaluating soil anisotropy. Proc. 10th Wld Conf. Earthquake Engng, Madrid, vol. 3, 1269-1274.
表 1 各環的側向應力及平均 K0 (Dr=95%)
Vertical stress (kPa)
Loading stages Unloading stages
Ring No. 37.81 62.78 111.13 62.78 37.81 4 12.9 21.7 41.6 33.3 23.5 5 18.4 28.2 48.0 41.2 30.6 6 18.5 28.5 48.2 41.2 30.2 7 17.5 28.7 47.1 41.8 30.8 Horizontal stress (kPa) 8 12.3 21.7 41.8 33.9 23.7 Average horizontal stress (kPa) 4~8 15.92 25.76 45.34 38.28 27.76 Average K0 4~8 0.421 0.410 0.408 0.610 0.734
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表 2 各環的側向應力及平均 K0 (Dr=62.3%)
Vertical stress (kPa)
Loading stages Unloading stages
Ring No. 37.4 62.37 110.72 62.37 37.4 3 18.8 31.0 54.3 44.8 33.1 4 15.0 26.3 49.0 39.6 27.9 5 14.8 26.3 49.1 39.5 28.5 6 17.7 28.9 52.0 42.6 31.1 7 16.7 28.6 52.0 43.0 32.0 8 17.3 28.6 51.5 42.2 30.4 Horizontal stress (kPa) 9 15.6 26.6 49.5 40.3 28.8 Average horizontal stress (kPa) 3~9 16.56 28.04 51.06 41.71 30.26 Average K0 3~9 0.443 0.450 0.461 0.669 0.809 表 3 參數率定的結果 Measured
parameter Calibrated parameters σv (kPa) K0 α β D33 K0 Loading stages 37.81~111.1 3 0.408~0.42 1 0.295 0 0. -0.087 0.41 1 62.78 0.610 0.295 0 0. -0.258 0.67 9 Dr=95% Unloading stages 37.81 0.734 0.295 0 0.02 0 -0.419 0.73 5 Loading stages 37.4~110.72 0.443~0.46 1 0.291 7 0.07 6 0.244 0.46 5 62.37 0.669 0.292 2 0.34 9 0.033 0.66 5 Dr=62.3% Unloading stages 37.4 0.809 0.289 6 0.06 7 0.052 0.86 5 顆粒材料彈性波速量測值 異向性彈性常數張量 彈性波傳理論 顆粒材料微觀特性 微觀組合律模式 最 佳 化 參 數 率 定 技 術 圖 1 顆粒材料之微觀分析程序 圖 2 現地模擬槽主體結構示意圖
Top view of the middle layer
Top view of the top layer 1
2 3 6 5 5' 1' 2' 3' 6' 7 8 7' 8' 9 9' 10 10' 11 11' 4 4' Bottom layer Middle layer Top layer
Top view of the bottom layer
圖 3 地音探測器配置圖 0 20 40 60 80 100 0 50 100 150 200 250 300 350 400 P -w av e v el o ci ty ( m /s ec ) Vp 11.08 kPa (L) 37.81 kPa (L) 62.78 kPa (L) 111.13 kPa (L) 62.78 kPa (U) 37.81 kPa (U) 11.08 kPa (U) Dr=95% 圖 4 P 波波速分佈（Dr=95%） 0 20 40 60 80 100 0 50 100 150 200 250 300 350 400 P -w av e v el o ci ty ( m /s ec ) Vp 10.67 kPa (L) 37.4 kPa (L) 62.37 kPa (L) 110.72 kPa (L) 62.37 kPa (U) 37.4 kPa (U) 10.67 kPa (U) Dr=62.3% 圖 5 P 波波速分佈（Dr=62.3%）
