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2-1-5指數與對數-對數的近似值與應用

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Academic year: 2021

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(1)第二冊 1-5 指數與對數-對數的近似值與應用 【目的】 對數在計算上的應用: 數的四則運算中,加、減法比乘、除法簡單,為了將乘除法運算化成加、減法的 運算,德國數學家 Stifel(1487~1567)發現了等比數列與等差數列之間的關係, 將乘除法運算化成加、減法的運算。後來瑞士人 Briggs(1552~1632),英國人 Napier(1550~1617)等人都先後發展出對數表。 【名詞】 1. 常用對數表: 以 10 為底的對數表一般稱為常用對數表,常用對數的使用中,常以符號 log 來 代替 log 10 。一般對數可以化成常用對數,故只需列出常用對數表即可。 2. 對數表: 對數表 log10 x ,其中 1 ≤ x < 10 ,利用表尾差可求得真數到小數點以下第三位 之對數值,且其對數值為有效數字四位的小數。 常用對數表. 例如:要查 log 1.234 ,其值約為 log 1.234 = 0.0899 + 0.0014 = 0.0913 。 3. 自然對數: 以無理數 e ≈ 2.718281828L 為底數的對數表,叫做自然對數表。 ∞. 1 。 n = 0 n!. 實際上, e = ∑.

(2) 【問題】 課本附表中所附的對數表 log10 x ,其中 1 ≤ x < 10,且利用表尾差可求得到小數點 以下三位的函數值,如果有一個數不在此範圍內或者不是兩位小數或者有效數字 不止四位數的時候,這對數表是否夠用? 解答: 1. 如果有一個數不在此範圍內時,利用科學記號可以將數化成 1 ≤ x < 10 之間, 就可以利用對數表了。 2. 不是兩位小數或者有效數字不止四位數的時候,則可以利用內插法求出近似 值。 【方法】 內插法(利用線性的方法求估計值): 若已知 log x1 = y1 , log x2 = y 2 ,且 x1 < t < x 2 ,其中 x1 , x2 很接近, 則可以用 y ' = y1 + ( y 2 − y1 )(. t − x1 ) 做為 y = log t 的近似值。 x 2 − x1. y. y = log x. y2 = log x2 y = log t. 此段為估計值與真正值的誤差 此段為表尾差. y' y1 = log x1. O. x x1. t. x2. 註: 1. 在對數表中無法將全部實數的對數值都列出來,此時可用線性內插法來估 算,此法對其他函數如多項函數、指數函數、三角函數等也都適用,但前提 是 x 的變化量必須很小才行,對應的函數值變化也必須很小才行,如此求出 2.. 的誤差才會很小,而內插法應用到的概念也就是相似三角形的想法。 表 尾 差 是 利 用 內 插 法 ( 線 性 估 計 法 ) 求 出 來 的 , 誤 差 為 y = log t 與. y ' = y1 + ( y 2 − y1 )(. t − x1 ) 之差。 x 2 − x1. 【問題】 1. 已知 log 3.27 = 0.5145, log 3.28 = 0.5159 ,試利用內插法求 log 3.278 之值。 2.. 已知 3.14 = 1.7720, 3.15 = 1.7748 ,試利用內插法求 3.148 之值。. 【問題】 3. 1. 2.. 利用對數表求出. 51 × 99. 的近似值。 60 利用對數表求出 20000 × (1 + 0.002)100 的近似值。 1.

(3) 【說明】 常用對數表作法(利用線性的方法求近似值): 常用對數表. x 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 表. 尾. 差. 1 2 3 4 5 6 7 8 9. 14 1461 1492 1523 1553 1584 1614 1644 1673 1703 1732 3 6 9 12 15 18 21 24 27 y = log x. y 0.1732 = log 1.49. 0.1461 = log 1.40. x O. 1.40. 1.41. 1.42. 1.43. 1.44. 1.45. 1.46. 1.47. 1.48. 1.49. 常用對數表中 x 的小數點前兩位的部分所對應的對數值為實際值的近似值(如上 圖),而 x 的小數點以下第三位所對應的對數值則為利用線性內插法所求出來的 近似值(如下圖)。 y = log x. y 0.1492 = log 1.41. 0.0031. 0.1461 = log 1.40. 3. 6. 9. 12. 15. 18. 21. 24. 27. x O. 1.400 1.401 1.402 1.403. 1.404 1.405 1.406 1.407 1.408 1.409 1.410. 2.

(4) 【應用】 單利與複利: 設本金為 P ,利率為 x% ,期數為 n ,則 1. 單利:本利和為 P (1 + nx ) 。(為一種等差數列) 2. 複利:本利和為 P(1 + x) n 。(為一種等比數列) 【定義】 1. 科學記號: 每一個正數 x 可表成科學記號 x = a × 10 n ,其中 n ∈ Z ,1 ≤ a < 10 , 則 log x = n + log a ,其中 n ∈ Z ,0 ≤ log a < 1 , n 稱為 log x 的首數(整數部分), log a 稱為 log x 的尾數(正小數或零部分), 2.. 首數決定數字的位數,尾數決定數字的內容。 符號:. 2.345 表示 − 2 + 0.345 ,即首數為 − 2 ,尾數為 0.345 。 【定理】 設 x, y > 0 則 log x 與 log y 的尾數相等之充要條件為 x = y × 10 n , n ∈ Z 。 【討論】 設 x = a × 10 n ,其中 n ∈ Z ,1 ≤ a < 10 ,則 log x = n + log a ,其中 n ∈ Z ,0 ≤ log a < 1 , 1. 1 ≤ x < 10 ⇒ log x = 0 + log a 10 ≤ x < 10 2 ⇒ log x = 1 + log a 10 2 ≤ x < 10 3 ⇒ log x = 2 + log a 即正數 x ≥ 1 時, log x 的首數為 n (其中 n ≤ log x < n + 1 )之充要條件為. x 的整數部分為 n + 1 位。 2.. 10 −1 ≤ x < 1 ⇒ log x = −1 + log a 10 −2 ≤ x < 10 −1 ⇒ log x = −2 + log a 10 −3 ≤ x < 10 −2 ⇒ log x = −3 + log a 即正數 0 < x < 1 時, log x 的首數為 n (其中 n ≤ log x < n + 1 )之充要條件為 x 在小數點以下第 | n | 位始出現不為 0 的數字(有連續 | n | −1 個 0 )。. 【性質】 對數=首數+尾數(其中首數為整數, 0 ≤ 尾數<1),則: 1. 正數 x ≥ 1 時, log x 的首數為 n (其中 n ≤ log x < n + 1 )之充要條件為 x 的整數 部分為 n + 1 位。 2. 正數 0 < x < 1 時, log x 的首數為 n (其中 n ≤ log x < n + 1 )之充要條件為 x 在 小數點以下第 | n | 位始出現不為 0 的數字(有連續 | n | −1 個 0 )。. 3.

(5) 【討論】 如何判別最高位數或小數點以下第一個不為零的數: 設 log x = n + c 且 log k ≤ c < log( k + 1) 即 (k ≤ 10 c < k + 1) , ⇒ log x = log(10 c × 10 n ) ⇒ x = 10 c × 10 n ⇒ k × 10 n ≤ x = 10 c × 10 n < (k + 1) × 10 n ⇒ x 的首位數為 k 【問題】 1. 試問 2 99 是幾位數?個位數字為何?十位數字為何?首位數字為何? 2 2. 試問 ( )100 以十進位小數表示時,在小數點以下第 | n | 位始出現不為 0 的數 3 字?首位不為 0 的數字為何?. 4.

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參考文獻

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