斜面上的滾動實驗

徐憊娟

物理系

麗至達吳果醬

獨立聽灣師範大學

形物種自斜頭下滑復前來還獲 許多普i藥物瓏課本在講述轉動的倒題中， c 在鈍滾動的蝶件下， [參考資科…] ，聽彤的物體報話賞心置球， f莖理論計算的結果，我們如選:自再一軒窩窩度下糟的囑形物體中，賞心國球下滑到斜盟

,

{隨 為這些物體的幾何形狀不 性次之，而圖環的未連接小行 底端時連率最大，

，也就

得具有不同的轉動慣麗(

(1)

， 因此下滑後的轉動動能在總動能中所佔有的比例不 使得圓珠相較關性、關環懊滾到斜面的底端。「辭其背僻靜摩話、耳環掉iIl

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J,l/

llfï，即蟬聯| 一戶丹示，我們在桌遍設立一鵲斜 o 女口 設計閱單的實驗觀察中 的結果也很容島 '記錯它們離閱章等罷?裳， 觀環放在斜直上賴時 噩，將賞心 實驗會發現蠶環落下的位實離東沿最近， 地重上的位囂，即可以獨得疆一中的草書畫 S 球最達，盟罰單金證了實心罷王求滾到拿手雷底端時還單般大，觀柱次之，訶圍環最小。 聞形物體

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將一個斜過寰於桌邊，軍形物體弱毒串連海滾下主主掉落在地面。 42 一 多也還告 獨

斜面上的滾動實驗 鸝形物體串斜臨滾下，很明顯地與轉動動撓和移動動能的興競相瞬。在討講一個物體 的轉動時，我們議常會定義一個物理黨就聽轉動(質量 1 0 對於任何一甜圓形物體而言，其相 對較變心轉動的轉動?震聾(的主義可;其算出來的 'rm 是一個定髓。一般可 n將闇形物體的 轉動慣量 f 寫成 1

=

KmR 2

• 其中 k~是一錯常數 o 我們主主義 K 為幾伺常數，對園里變插言 K=

2

卜圓恆的 K 個島 0.5 (或…) ，實心關球的 K 11直等於 O.是(或一)。由於醫球、醫結社|

2

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環的幾何形狀不悶，即使它們的質量、半鐘都相闕，但它們的轉動雷動並不會相簿，所以 它們在斜居上的運動譚程中，轉動動能與移動動能的比倒也不會相同，的而造成所觀察到 的現象的發生。上攘的討論我偶可以知道轉動嗔盤是造成觀形物體在斜頭上 j運動還度不 的主要原思，所以自斜臨下滑實驗是可以很容易走哇地測出物體轉動慣盤特柱上的還興， 但是定麓的棋釁是否與親友o 我們所想擎的一樣呢? 由於觀形物費擎的斜噩滾動實驗非常容易進行，也臨Jtt常在各藍藍高級中學物總學科能力 競賽中[參考資料二、三] ，甚至是全割的學科能力競賽中[參考資料也 U 都會發現類蝕的會實

驗試題。在美器物理教師協會 (AAPT)的期刊 ;

"The Physics

Teacher" 中也衍了以找錯相瞬實驗

設計的論文{學考資料五、六和七1 。這些教學論文和試題都漿討論盟形物體在斜面上的運動。 在報設純滾動的酹提下，其討論的讓心先由討論能量守恆觀念出發，最後是瀏最厲形物體 的轉動?質量 ，

1 (1 KmR2) •

或者是難何常數 K 值。講樣的將聽聽紹來好像很簡單， 為實驗設計非常容易，諾斯梅的器材也很容易取得， t但許這就是驚什麼頭似的聽罷輿論文 …再地胎境的原~;但是問題真的就像教科變所描述的這樣簡單容屬嗎?在 Taylor 和 Noll 的論文中[參考資料七] ，他們聽了間定鞘球滾動的路徑，將斜麗己生成馬傾斜軌道的實驗方法 灑量冀 {i嘲球的幾f叮當數 K1直 οTaylor 和 No lI阿劉得實心聞球的幾何常數 K ﹒隨著斜醋的 傾角增加!話變小，甚至在領角大於“。時 'K 值寬然會小於 Ojj革與 K 值是一個常數的總論 言十算結果是摺玄違背的!這封底質驗發生了什麼間聽?而使得實驗與理論爭等著如此大的 差異 l呢?我們依照上述的參考糞料，重新議行黨驗測麓，並將許多問題加以釐禱。以下我 們將實驗的結果和公得討論呈現給各位，技與諸位…肉分考証。 首先讓我們從理論上分析觀形物體在斜區上的運動情形 a 斜屆選動的動能可以分成費 心平移單位千百對質心轉動聽個部份 o 圓形物體會在章等問上發放滾動的現象，主要要是盟為科頭 上有種標力，而存在在斜磊上的摩擦力會使物體受到力矩作用而發生轉動，這部份的討論 1位普物課本上常出現[參考 。在報諜純滾動的條件下﹒ 畫畫守恆定律( 一) ，區形物體滾對斜臨竄揣峙的連三本(事與物體的蟻{可惜數 K 和斜 i齒的高度 h 相關:

的為程安fJ下顯式戶丹芳

43 一

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(主正式一) V

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為漲到斜聽聽端的未灣(晃置一)與所對憊的轉動角躊躇 'm 、 R 時間形物體 的質量和半鐘。根攝純滾動的錯件 Rωf 抖，可以得到公式二 V.

=.1三是

f ~Vl+K (公式二) 很明顯地，在能蠶守恆和純滾動的假設下才可以導出上式 o 公式三說明了當高疫部定時 ，

v

_f 錯輿幾何常數

_K

_{權者鶴，所以定性的實驗會發現圍環落下的位置離議結最近，問圓球最護。} 在定量的討論上，的公式二姐溫實驗上只體要測量是出關形勢體攝制斜面臨端的速度，即可 推算得幾何常數K{霞，進而可以求得轉動↑質量 f 。然而要能實驗上護自量 V

_f

混不會太難，我們 的言實驗設計的聽聞組置一所示，將一鵲平滑的斜關體於一萬鹿為H桌子的桌站，問時依照 發參考資料六期攝述的方法，利用讀寫紙記錄鸝彤物體落地的位置，如此可以輕搖護自量

S

(

治與落士也點闊的距離)。假設特聽聽聽斜翻到落地的時間為 t ' 的繳體的公武知道桌醋誨裝

為 H 叩M

t+jgz

文酬的距離 S=V

f

叫

t ' 藏式結 t 1:是可以f瞬間:

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…

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2

0 V~COS2(} (公式三) 將上式稽繳整理，可j兵發現 V

_f

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H 、 S 和。相鶴，即

g

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2(H 也 Stan(}) c的2(}

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而斜富額角是攜 θ = sin-I

了

， 1;母斜間的最壞;所以公式臨可以用以測量 V

_f

' 諾斯得到的 結果與公式工散比對就可以求得幾何嘗數 K 了 o 屬二是我們以一雷木板作螞斜面的實驗 結果;輯中所顯示的是以公式咽所算得的特與斜宙商腔 h {宇躍。很明顧地，在任一斜間高 度 h. 聞目球的蠶豆輯都是最大，單桂次是，而圍環知是最小;清樣的結果似乎是符合前瓏的理 論結果。 撥著利用黨驗刮得的特權(部關之中的體)代入公式之即算出幾何常數 K 髓，部公式在:

2gh

K=

…γ-1 (合式主)

vf

將 K 11直對斜頭高度 h f宇轍，如區三所朵。在冉一斜面高度 h. 由公式所求得的觀環 K 11直 '圓牲 K 值次之，問剛璋的 K {i誼是最小的。盤中之{康水平虛總表示著圍環，臨柱和題目 球的真實 K 值，各為卜 0 .5和 0 .4。

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斜面上的滾動實驗

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關三 以一率為木板作為鈴函 .K 值與斜díJ高度 h 作圈。車線 表示真實值。 僻、 M A 吋

闢三中顯示實驗的結果 'K 值是一條平滑甜線，與水平線相聲甚遠。除了在過麓的斜

間高度範闡(約 10 到 20 公分) ，實驗所得的 K11底還可以雛強搔受，高度 h 太大或太小時， 實驗研得的 K 值相差太壤，路會有負值產生!這樣的結果與 Taylor 和 NolI (參考黨將t;) 辯護11 鐸實心靈璋的幾持黨數 K 籠招斂。人們很容易諒懿漿設立麓木較富較粗糙， 驗權與理論{童福楚太邊的情況盟為前述的理論是帶頭變純滾動與能量守怪所得的結果， 立豈不考慮自摩擦而產生的能擺擻曳。我們故以比較光滑的破職作為斜菌，以剛球進行賞。驗， 將其實驗結果與木板藺草電驗結果所瀾的 K 值對{頃角。作關，其結果如圖四所示。關問中明 白地顯示出粗糙面與光滑聞所測得 K 值的差異;但是伺機地，在斜面傾角 θ 約在 10。現的。 範盟內，平滑面所得封的 K 健較接近真實值(即水平臘總)。角度太大或太小時，木板斜 誼與玻藹懿雷斯溜之 K 儼巒仕的繼勢相告。自攝 ，我們想這進行罷形智體沿著斜 頭下滑實驗詩，摩擦無鑄成的能讓損耗是不可忽略的(館最傾角太大或太小時的唷形艾知 時解釋呢? )。公式一中斯教眾的能量守恆應該要考 5覆轍樣的損耗，但是摩揮所造成的能 蠶揖真是多少呢?讓我們用關五來揉討這種i 問題。

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輯部頭角(}

(Degree)

甸回 已同材質作為不斜函，剛球的實驗 K 值與斜晶令員角。作 圖。處綠表示理論值。

團五是以 iv; 對斜臨制作囑，三個車是由企式的糊的實驗值，當可以巍巍鶴

2

-46 一

斜面上的滾動實驗

Impi

球的移動童車實是除以質麓，即主…斗，或許稱路每單位質量的移動動攏。國至1 中的車接表7G

n宮 在無摩擦且滾動的接停下，以真實 K 值為 0 .4所算得的結果;啦就是去式二中的 K 攏。A 所得的結果。當 h 大於 15 公分、成頓角大於 30。峙，聞形特種自斜面下滑以非純滾動的形 式，所以純滾動的形式並不過車， f單是圖在中實驗的結果的丟在以純滾動的條件(即公式二三) 計算，放推算的 K 1ì籃錦雛真實個是可以理解的。因為未達成純滾動，所以 Rωf 是小於 Vf' 的而造成 K 種較其實體小的情說。也就是說存在一餾臨界角，當頡角。大加臨界角時，聞自 球在認面上「艾滾艾滑 J 在小於此臨界角時，雖然摩擴揖耗仍然存在，但是物體是以比 較接對純滾動的方式擺動'JIt結果可以參考質科玉的問題解答。輯五中，在科重高度 h IJ、 於 15 公分({頃角。小於 300_{)時，粗糙面和光滑面望實驗所得的單位實量移動動能均小於盧}

線的理想、麓 'li 粗糙盟擻失的能暈叉上七先講富多，所以摩擦損耗確實想存在帥。盟為驛差

悶，還表生的的震損失與斜面的粗糙程度有關，同時有和斜面的高度有髓，故JIt理論問題較種 雄， 11 超出本文欲討論的龍崗，宜另闢丈加以分析的論，在此並不詳加制述。不過可以確 定的妞，若考黨摩擦損耗而修改公式一，則贊驗照得的幾何常數 K 體會和真實值較接話。

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獨1i 將剛正求每單位質量的移動動能對斜面高度 h 作圈，虛綠 表示在無摩擦損耗純滾動的條件下 ， K=O .4 的理論值。 雖然剛球自斜麗滾下的油程中.'能量的損耗是難以用現論估計的，但是我們可以用圈 中的黨驗數擁軍日虛線的理論備進行電腦援舍，而找得移動教能損耗的經驗玉之式。由於大

-47

角度時的並不是純滾動的情形，所以我們僅用 h 小於 18 公分(傾角 θ 小於 400_{) 的實驗數} 據去擬合，而且僅用光滑面的數據(即 0 數據點)。在斜面高度小於 18 公分的範圍內，能 量的損耗由圖五中計算出虛線和平滑表面實驗數據的差值得出，以高度 h 的多項式去擬合; 我們得到在玻璃斜面上純滾動時能量的損失與斜面高度 h 的關係式為:

m(444

+

93h -

6.6h

2

) 。我們如此做的目的只是要確定:摩擦損耗是否是造成實驗值與真實值

偏差的主因?將此結果代入能量守恆的公式一，我們可以推算得 -K 值的經驗公式適用於 h 小於 15 公分的範圈，

2(

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h - 444 - 93h

+

6.6h

2

I

K= 恤一 1 ，

(forh<18cm)

(公式六) V

_J

我們將剛球在玻璃面下滑的實驗數據，代入公式六，並與公式五所求得的 K

值繪於圍六作

比較。在圖六中所顯示的結果，就是假設動能損耗與斜面高度

h

的二次方成正比，而求得 扣除摩擦損耗後的 K 值 _{( Il I:l園中 A 的數據點)與末考慮摩擦的 K 值相比較(即圖中﹒的數} 據點) 圖六的結果顯示，在考慮摩擦損耗的情況下，實驗幾何常數 K 值較接近真實值，但是 在小角度時(小於 10 度)實驗推算值依然過大 o 即使是在臨界角(約 300_{) 以下，由公式} 六所得的 K 值也略大於真實值，可見得上述討論有缺失，仍然有部分能量的損失未加入考 慮。 剛球在斜面上是由靜止開始釋放，所以在小於臨界角時，剛球釋放後要達到純滾動過 程中，會叉有滾動叉有滑動(參考資料八) ，因而也會有能量的損失。在小傾角時(小於 10 度) ，剛球靜止釋放後到純滾動之前的這段時間內，必須要有摩擦力提供它轉動的力矩， 但是摩擦力所做的功肩負功，會損失一部份的總能量。如果斜面的角度 θ 越小，要達到純 滾動所造成的能量損失佔總能量的比例大，則球滾至斜面末端的速率就比理想值略小。 V

_f

值 偏小，再由公式五或六計算

K

值，則會使得實驗

_K

值隨傾角θ減小而有增加的趨勢。這樣 的結果，正如圖六之小角度部分的結果，斜面傾角越小 'K 值越大。在略小於臨界角(約 300₎ 時，即在圖六中斜面高度 h 約為 9 至 18 公分(即斜面傾角的。到 300_{) 時 'K 值接近 0 .4}

_'

正是實心圓球的轉動慣量之理論值。雖然球由靜止釋放到純滾動的過程中仍有能量損失， 但佔有於總能量比例較少，所以在斜面高度 h 介於 9 至 18 公分這範圍內，岡 11 球的運動狀態 應該可以視為「純滾動 J 或是說比另外兩個範圍(即斜面高度 h 小於 9 公分和 h 大於 18 公分的兩個範圍)更接近純滾動運動 o -48 一

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章!j.面!頃角 θ(d句 ree) 尋尋面上的滾動實驗

60

單六 鞘球在玻璃光滑 mi 下滑，考慮移動動龍的摩擦才真義 後的 K{義與末考慮才真耗之 K{農相比較。鑫線為真 實值。 當角度大於臨界角後(大於 30 度)

•

K1誼會小於真實體 0 .4 '且傾角意大 .K fI臨愈小。 這與參考資料七所得之結果額{跌。因為報角i鬢如縛，賞心團球的下滑力( mgsinθ 〉聽著角 度的增加而欒大。當 f~頁角大於臨界角時，下滑力大於摩擦力而膜生清點。領角驢大，球的 滑動現象更為明顯。歸為實驗的設計只可以潮量末躍率 V

_f

' 琵且在純滾動的饒摔下， ωf vf/R' 但事實上間為無法讓封純持運動，斯 j;J. R ωf是小於 V

_f

' 認浩成 K11值過品的情影。 最後我們對於我們的實驗f乍一盤體單釋、亂。在討議物種由斜面下滑或滾動的理論問題 不勝枚舉，認且都非常有趣;儕如 1998 年第二十九癌物理奧林監控的理論試題的露一體(參 考資料九) ，就是討論一個六角柱離攤在斜祖上誤點。這些理論結果多半不考禮雕標揖耗， 然陌祺龍之一定要有摩擦力(聽為要滾動)所以在實驗上定量的證質增論較錢不易。為 學要讓摩擁損耗誠少，可以用平滑的斜面，但是又一定要有聽聽擦存在否期物體不會議動。 當然啦可以用滑軌觀代斜聽進行黨驗，如參考資料五、七所述，但僅有輯:球才可以灘用軌 濁。無論使用何種型式的斜醋，許多實驗湖量只楚湖斜閥底端時的遠離巧，間無法割讓轉 動的角謹率 ω f" 若能夠詞時由測量無遺率 ω f' 則可以對公式一加以體正，知所得到的數接 應可以更接近理論值。當然實驗上瀏最角速率 Wf 是…頃挑戰，但也輯非不可能。另外關球 49 一

•

靜斜面上開始下滑到純滾動運動之賢，真能量損耗蔥可以罵理論計算， j鑫也是一個有輯、 且也可以輯學生練習的好問題。雖然我們的實驗設計仍有缺央，在走暈上不是很完美， 議，不容否認的，文章黨內所描連的的娃一個神常容易執行的實驗，且有囑轉動現象的定J陸 描述，管tl 如能董守恆的說誨，士說可以定性的護實鸝柱、關環和戰球的轉動慣量大小的賴序; 或是定量測蠱區形勢體的轉動f蠶蠱等，都可以用議樣的黨驗加以聽質。基本上我們建議在 課堂上討論轉動慣葷的時蟻，是可以演示上進的實驗給學生贅，或由學生自形實際操作也 可以，對學生瞭解基體轉動現象盟軍是辛苦所助益。

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