《勾股定理》全章复习与巩固（提高）
【学习目标】 1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法； 2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容； 3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、勾股定理 1.勾股定理： 直角三角形两直角边a b
、
的平方和等于斜边c
的平方.（即： 2 2 2a
b
c
） 2.勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主 要应用是： （1）已知直角三角形的两边，求第三边； （2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题； （3）解决与勾股定理有关的面积计算； （4）勾股定理在实际生活中的应用． 要点二、勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a b c
、、
，满足a
2
b
2
c
2，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释： 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤： （1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c
； （2）验证：a
2
b
2与c
2是否具有相等关系： 若 2 2 2a
b
c
，则△ABC 是以∠C 为 90°的直角三角形； 若 2 2 2a
＞
b
c
时，△ABC 是锐角三角形； 若a
2 ＜
b
2c
2时，△ABC 是钝角三角形．2.勾股数 满足不定方程 2 2 2
x
y
z
的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯 数），显然，以x y z
、、
为三边长的三角形一定是直角三角形. 要点诠释： 常 见的 勾股 数： ① 3 、 4 、5 ； ② 5 、 12 、 13 ； ③ 8 、 15 、 17 ； ④ 7 、 24 、 25 ； ⑤ 9、40、41. 如果(a b c
、、
)是勾股数，当 t 为正整数时，以at bt ct
、、
为三角形的三边长，此三 角形必为直角三角形. 观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征： 1.较小的直角边为连续奇数； 2.较长的直角边与对应斜边相差 1. 3.假设三个数分别为a b c
、、
，且a b c
，那么存在 2a
b c
成立.（例如④中存 在7
2＝24＋25、9
2＝40＋41 等） 要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有 关. 【典型例题】 类型一、勾股定理及逆定理的应用1、如图所示，等腰直角△ABC 中，∠ACB＝90°，E、F 为 AB 上两点(E 左 F 右)，且
∠ECF＝45°，求证：
AE
2
BF
2
EF
2. 【思路点拨】由于∠ACB＝90°，∠ECF＝45°，所以∠ACE＋∠BCF＝45°，若将∠ACE 和 ∠BCF 合在一起则为一特殊角 45°，于是想到将△ACE 旋转到△BCF 的右外侧合并，或将 △BCF 绕 C 点旋转到△ACE 的左外侧合并，旋转后的 BF 边与 AE 边组成一个直角，联想 勾股定理即可证明． 【答案与解析】 解：(1)AE
2
BF
2
EF
2，理由如下： 将△BCF 绕点 C 旋转得△ACF′，使△BCF 的 BC 与 AC 边重合， 即△ACF′≌△BCF， ∵ 在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴ ∠CAF′＝∠B＝45°，∴ ∠EAF′＝90°． ∵ ∠ECF＝45°，∴ ∠ACE＋∠BCF＝45°． ∵ ∠ACF′＝∠BCF，∴ ∠ECF′＝45°． 在△ECF 和△ECF′中
45
CE CE
ECF
ECF
CF CF
°
∴ △ECF≌△ECF′(SAS)，∴ EF＝EF′． 在 Rt△AEF′中，AE
2
F A
2
F E
2， ∴AE
2
BF
2
EF
2． 【总结升华】若一个角的内部含有同顶点的半角，(如平角内含直角，90°角内含 45°角， 120°角内含 60°角)，则常常利用旋转法将剩下的部分拼接在一起组成又一个半角，然后利 用角平分线、全等三角形等知识解决问题． 举一反三： 【变式】已知凸四边形 ABCD 中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝DC， 求证：BD
2
AB
2
BC
2. 【答案】 解：将△ABD 绕点 D 顺时针旋转 60°．由于 DC＝AD，故点 A 转至点 C．点 B 转至点 E，连结 BE． ∵ BD＝DE，∠BDE＝60° ∴ △BDE 为等边三角形，BE＝BD 易证△DAB≌△DCE，∠A＝∠2，CE＝AB ∵ 四边形 ADCB 中∠ADC＝60°，∠ABC＝30° ∴ ∠A＋∠1＝360°－60°－30°＝270° ∴ ∠1＋∠2＝∠1＋∠A＝270° ∴ ∠3＝360°－(∠1＋∠2)＝90° ∴
BC
2
CE
2
BE
2 ∴BC
2
AB
2
BD
22、 如 图 ， 在 △ ABC 中 ， ∠ ACB=90° ， AC=BC ， P 是 △ ABC 内 的 一 点 ， 且
PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC 的度数．
【答案与解析】
解：如图，做∠ECB=∠PCA，且使 CE=CP，连结 EP，EB 在△APC 和△BEC 中
PCA
ECB
AC BC
PC EC
∴△APC≌△BEC ∴△PCE 为等腰直角三角形 ∴∠CPE=45°，PE2=PC2+CE2=8 又∵PB2=1，BE2=9 ∴PE2+ PB2= BE2 则∠BPE=90° ∴∠BPC=135° 【总结升华】本题考查了勾股定理的逆定理，通过观察所要求的角度，作出辅助线，把 PA、PB、PC 的长度转化为一个三角形三条边，构造出直角三角形是解题的关键，当然此 题 也 可 以 利 用 旋 转 的 思 想 来 解 ， 即 将 △ APC 绕 点 C 旋 转 ， 使 CA 与 CB 重 合 即 △APC≌△BEC. 类型二、勾股定理及逆定理的综合应用 3、（2016 春 丰城市期末）如图，已知四边形• ABCD中， ∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形 ABCD 的面积． 【思路点拨】连接 AC，在直角三角形 ABC 中，由 AB 及 BC 的长，利用勾股定理求出 AC 的长，再由 AD 及 CD 的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形 ACD 为直角三角形，根据 四边形 ABCD 的面积=直角三角形 ABC 的面积+直角三角形 ACD 的面积，即可求出四边形 的面积． 【答案与解析】 解：连接 AC，如图所示： ∵∠B=90°， ∴△ABC为直角三角形， 又∵AB=3，BC=4， ∴根据勾股定理得：AC2=25， 又∵CD=12，AD=13， ∴AD2=132=169，CD2+AC2=122+52=144+25=169， ∴CD2+AC2=AD2， ∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90°，则 S四边形 ABCD=S△ABC+S△ACD= AB•BC+ AC•CD= ×3×4+ ×5×12=36．
故四边形 ABCD 的面积是 36．
【总结升华】此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及勾股定
4、如图：正方形 ABCD 中，E 是 DC 中点，F 是 EC 中点.求证：∠BAF=2∠EAD. 【答案与解析】 证明：取 BC 中点 G，连结 AG 并延长交 DC 延长线于 H ∵ ∠ABG=∠HCG，BG=CG，∠AGB=∠HGC ∴ △GAB≌△HCG ∴ ∠GAB=∠H，AB=CH 又∵ AB=AD，∠B=∠D，BG=DE ∴ △ABG≌△ADE ∴ ∠GAB=∠DAE 在
Rt ADF
△
中，设AD a
，由勾股定理得： 2 2 2 23
225
2(
)
4
16
5
4
AF
AD
DF
a
a
a
AF
a
∴
又5
4
4
a
HF CH CF a
a
∴ AF=HF ∴ ∠FAH=∠H ∴ ∠FAH=∠DAE ∴ ∠BAF=2∠DAE 【总结升华】要证∠BAF=2∠EAD，一般方法是在∠BAF 中取一个角使之等于∠EAD，再 证明另一个角也等于∠EAD，另一种方法是把小角扩大一倍，看它是否等于较大的角. 举一反三： 【变式】（2014 春 防城区期末）如图所示，在• △ABC 中，AB：BC：CA=3：4：5，且周 长为 36cm，点 P 从点 A 开始沿边向 B 点以每秒 1cm 的速度移动；点 Q 从点 B 沿 BC 边向 点 C 以每秒 2cm 的速度移动，如果同时出发，问过 3 秒时，△BPQ 的面积为多少？【答案】 解：设 AB 为 3xcm，BC 为 4xcm，AC 为 5xcm， ∵周长为 36cm， AB+BC+AC=36cm， ∴3x+4x+5x=36， 得 x=3， ∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm， ∵AB2+BC2=AC2， ∴△ABC是直角三角形， 过 3 秒时，BP=9 3×1=6﹣ （cm），BQ=2×3=6（cm）， ∴S△PBQ= BP•BQ= ×（9 3﹣ ）×6=18（cm2）． 故过 3 秒时，△BPQ 的面积为 18cm2． 类型三、勾股定理的实际应用 5、如图所示，牧童在 A 处放牛，其家在 B 处，A、B 到河岸的距离分别为 AC＝400 米，BD＝200 米，CD＝800 米，牧童从 A 处把牛牵到河边饮水后再回家．试问在何处饮水， 所走路程最短？最短路程是多少？ 【思路点拨】作点 A 关于直线 CD 的对称点 G，连接 GB，交 CD 于点 E，利用“两点之间线 段最短”可知应在 E 处饮水，再根据对称性知 GB 的长为所走的最短路程，然后构造直角三 角形，利用勾股定理可解决． 【答案与解析】 解：作点 A 关于直线 CD 的对称点 G，连接 GB 交 CD 于点 E，由“两点之间线段最短”可以 知道在 E 点处饮水，所走路程最短．说明如下：
在直线 CD 上任意取一异于点 E 的点 I，连接 AI、AE、BE、BI、GI、GE． ∵ 点 G、A 关于直线 CD 对称，∴ AI＝GI，AE＝GE． 由“两点之间线段最短”或“三角形中两边之和大于第三边”可得 GI＋BI＞GB＝AE＋ BE，于是得证． 最短路程为 GB 的长，自点 B 作 CD 的垂线，自点 G 作 BD 的垂线交于点 H，在直角 三角形 GHB 中， ∵ GH＝CD＝800，BH＝BD＋DH＝BD＋GC＝BD＋AC＝200＋400＝600， ∴ 由勾股定理得 2 2 2 2 2
800
600
1000000
GB
GH
BH
． ∴ GB＝1000，即最短路程为 1000 米． 【总结升华】这是一道有关极值的典型题目．解决这类题目，一方面要考虑“两点之间线段 最短”；另一方面，证明最值，常常另选一个量，通过与求证的那个“最大”“最小”的量进行 比较来证明，如本题中的 I 点．本题体现了勾股定理在实际生活中的应用． 举一反三： 【变式】如图所示，正方形 ABCD 的 AB 边上有一点 E，AE＝3，EB＝1，在 AC 上有一点 P，使 EP＋BP 最短．求 EP＋BP 的最小值． 【答案】 解：根据正方形的对称性可知：BP＝DP，连接 DE，交 AC 于 P，ED＝EP＋DP＝EP＋ BP， 即最短距离 EP＋BP 也就是 ED． ∵ AE＝3，EB＝1，∴ AB＝AE＋EB＝4， ∴ AD＝4，根据勾股定理得：ED
2
AE
2
AD
2
3
2
4
2
25
．6、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风 暴，有极强的破坏力．如图台风中心在我国台湾海峡的 B 处，在沿海城市福州 A 的正南方 向 240 千米，其中心风力为 12 级，每远离台风中心 25 千米，台风就会减弱一级，如图所 示，该台风中心正以 20 千米/时的速度沿北偏东 30°方向向 C 移动，且台风中心的风力不变， 若城市所受风力达到或超过 4 级，则称受台风影响．试问： （1）该城市是否会受到台风影响？请说明理由． （2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ （3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？ 【答案与解析】 解：（1）该城市会受到台风影响． 理由：如图，过点 A 作 AD⊥BC 于 D 点， 则 AD 即为该城市距离台风中心的最短距离． 在 Rt△ABD 中，因为∠B=30°，AB=240． ∴AD＝
