中學生通訊解題第二十期徵答情形
台北市立建國高級中學 數學科區 域
學 校
姓 名
指導老師
912001 912002 912003 912004 912005總 分
台北市 建國高中 黃彥豪 7 X 3 7 0 17 中山國中 許朝雄 許文安 7 0 0 3 X 10 天母國中 朱聖恩 江昭潔 X 0 3 4 X 7 金華國中 周熙凱 孫文先 X X X X 0 0 金華國中 張皓鈞 蔡璧璘 7 0 3 0 X 10 台北縣 江翠國中 李育丞 吳明標 X X 3 7 X 10 江翠國中 林鈺傑 吳明標 7 0 7 3 X 17 江翠國中 侯天崎 吳明標 7 0 7 0 X 14 江翠國中 莊智涵 吳明標 7 X 7 7 X 21 江翠國中 許碩彥 吳明標 7 0 7 X X 14 江翠國中 陳建宏 陳彩鳳 7 2 3 X X 12 江翠國中 黃俊嘉 吳明標 7 0 7 0 X 14 江翠國中 簡農軒 詹玉貞 7 0 7 0 X 14 福和國中 史美圻 鄭釧鋒 0 X X X X 0 福和國中 田雅汶 鄭釧鋒、蕭素鈴 X 0 7 3 X 10 福和國中 吳霽庭 鄭釧鋒 X 7 0 7 X 14 福和國中 李志軒 鄭釧鋒、蕭素鈴 7 7 7 7 7 35 福和國中 李冠霆 7 X 7 X X 14 福和國中 沈彥汝 鄭釧鋒、陳明貴 7 X 7 7 X 21 福和國中 周志遠 鄭釧鋒、蕭素鈴 7 7 7 7 7 35 福和國中 周育正 鄭釧鋒、蕭素鈴 7 6 7 7 X 27 福和國中 林佑蓉 鄭釧鋒、蕭素鈴 X 7 7 3 X 17 福和國中 林佑蒔 鄭釧鋒、蕭素鈴 X 7 7 7 X 21 福和國中 林昇誼 陳明貴、鄭釧鋒 7 X X X 7 14 福和國中 林瑋詩 鄭釧鋒、蕭素鈴 X 5 7 7 X 19 福和國中 梁守辰 鄭釧鋒、蕭素鈴 7 7 7 7 X 28 福和國中 梅振群 鄭釧鋒、蕭素鈴 7 X 7 7 X 21 福和國中 黃彥銘 鄭釧鋒、蕭素鈴 7 6 7 3 X 23答 題 人 數
20
19
25
22
5
全 對 人 數
19
6
18
12
3
平 均 得 分
6.65
3.21
5.64
4.68
4.20
提醒徵答同學們：務必以一題一張
(或多張)來作答，切勿多題
一張，以便使我們作業能夠更加順暢，謝謝！
中學生通訊解題第二十期參考答案
問題編號 912001 下圖一為一個七面體的展開圖：含一個正方形（邊長 1），4 個等腰三角形（斜邊 2 ）與2 個正三角形（邊長 2 ），試求此七面體之體積？ 參考解答一： 此七面體的體積為正方體ABCDEFGH(圖七)的體積扣掉 E-AFH 及 G-CFH 的體積 1 x 1 x 1 ─ (1 x 1 x x 1 x + 1 x 1 x x 1 x ) = 1 ─ ( + ) = 1 ─ = ，體積為 立方單位。 參考解答二： 依題意可得如圖八的七面體： (1) 考慮正三角錐 A-CFH 的體積(如圖九) ∵ΔCFH 的高為 x = ， 且重心到邊的距離為x = ∴ = = = (此為正三角錐 A-CFH 的高) =>正三角錐 A-CFH 的體積：x x x x = (2) 考慮 F-ABC 及 H-ADC 兩直角三角錐的體積(如圖十) 其體積為：2 x (1 x 1 x x 1 x ) =
將正三角錐A-CFH 的體積及 F-ABC 及 H-ADC 兩直角三角錐的體積加起來
=>+ = ，所以此七面體的體積為 立方單位。 解題重點： 評析：本題徵答人數共有20 人，其中全對者共 19 人，包含建國高中黃彥豪；中山國 中許朝雄；金華國中張皓鈞；江翠國中林鈺傑、侯天崎、莊智涵、許碩彥、陳建 宏、黃俊嘉、簡農軒；福和國中李志軒、李冠霆、沈彥汝、周志遠、周育正、林昇 誼、梁守辰、梅振群、黃彥銘等同學。本題平均得分為6.65 分。其中，答題優良、 解法富參考價值者有建國高中黃彥豪同學、福和國中林昇誼同學、福和國中黃 彥銘同學等。 問題編號 912002 凡是可以表示成 qp 形式的數，稱為有理數（ p, 是整數,q p0），凡是不能表示成 p q 形式的數，稱為無理數。設ab，且a,b均為無理數，請問a,b之間是否存在著 無理數？若有，請找出一個介於a,b之間的無理數。 參考解答： ∵a < < b (1) 若 為無理數，則 即為所求。 (2) 若 為有理數，則繼續取 與 a 的中間數，即 又 a < < < b，且為一有理數與無理數之和， ∴ 為無理數，即為所求。 A E B C D F H G (圖 七) A C F H (圖 九) (圖 十) F A BC H A D C (圖 八) F B C H A D （圖 一）
解題重點： 評析：本題徵答人數共有19 人，其中全對者共 6 人，包含福和國中吳霽庭、李志軒、 周志遠、林佑蓉、林佑蒔、梁守辰等同學。本題平均得分為3.21 分。其中，答題優 良或解法富參考價值者有福和國中周育正同學。 問題編號 912003 CK 先生到處做生意，因此為了方便，他便在常做生意的地方買了房子，現在知道他 在台北、台中、高雄、香港、上海、北京皆有房子，而且目前他住在台北，有一天他跟秘 書說，他準備做一次五天的生意旅行，每天要到另一處據點，且住宿該處，但第二天 一定要前進到別處，問： (1) 若每天住的地方都不重複，有 種行程安排。 (2) 若只規定隔天要去另一據點，則又有幾種行程可安排？ （注意：第五天他要回到台北） 參考解答一： (1) 共有 5 天的行程要安排：題目明示第 5 天要在台北→只有 1 種選擇 第 1 天可去除了台北之外的其他 5 個地方→有 5 種選擇 第 2 天除了台北之外，且不可與第 1 天重複→有 4 種選擇 依此類推→5x4x3x2x1=120，共有 120 種安排。 (2) A.將台北除去： 第 1 天可去 5 地→5 種 第 2 天可去 4 地(不與前 1 天重複)→4 種 第 3 天可去 4 地(不與前 1 天，即第 2 天重複)→4 種 依此類推 => 5x4x4x4x4x1=320 B.考慮台北： 由於相鄰兩天不可在同一地方→台北可出現在旅行中的第 2 天與第 3 天 台北若排在第 2 天→5x1x5x4x1=100 台北若排在第 3 天→5x4x1x5x1=100 =>320+100+100=520，共有 520 種安排。 參考解答二： (1) 共有 5 天，5x4x3x2x1=120，共有 120 種安排。 (2) 台北不可排在第 4 天→所有情形扣去第 4 天在台北的安排 54-5x1x5x1-5x4x4x1=625-25-80=520，共有 520 種安排。 解題重點： 評析：本題徵答人數共有25 人，其中全對者共 18 人，包含江翠國中林鈺傑、侯天崎、 莊智涵、許碩彥、黃俊嘉、簡農軒；福和國中田雅汶、李志軒、李冠霆、沈彥汝、 周志遠、周育正、林佑蓉、林佑蒔、林瑋詩、梁守辰、梅振群、黃彥銘等同學。本題
平均得分為5.64 分。其中，答題優良或解法富參考價值者有江翠國中許碩彥同 學、福和國中梁守辰同學等。 問題編號 912004 小華喜歡畫畫，常常把哥哥的作業亂塗顏色，哥哥心生一計，便畫了圖形（如下圖 二），告訴小華說” 如果有紅綠黃藍黑五色讓你去著色，但規定任二格擁有相同線 段的不可以著同一種顏色，則可以怎麼著色？” 小華很快的塗了一種方式，但哥哥 又說” 你必須把所有可能的圖案都畫出來，以後才可以亂塗我的東西”，試問：小 華應該畫出多少種？又若改成如下圖三所示，則有多少種著色方法？ 參考解答： (1) 設左上為 A、右上為 B、左下為 C、右下為 D，如圖十一 依題意，A 與 D 可同色，也可不同色 =>A=D，ADBC→5x1x4x4=80 =>A≠D，ADBC→5x4x3x3=180 80+180=260，所以小華應畫出 260 種。 (2) 設左上為 A、中上為 B、右上為 C、左下為 D、中下為 E、右下為 F，如圖十二 (先考慮 ABED 的塗色方法，再加進 C 與 F) 由(1)可知 ABED 的塗色方法共有 260 種， 依題意，B 與 F 可同色，也可不同色 (或也可考慮 C 與 E 之間同色與不同色的情形) =>B=F，FC→1x4=4 =>B≠F，FC→3x3=9 260x(4+9)=3380，所以小華應畫出 3380 種。 解題重點： 評析：本題徵答人數共有22 人，其中全對者共 12 人，包含建國高中黃彥豪；江翠國 中李育丞、莊智涵；福和國中吳霽庭、李志軒、沈彥汝、周志遠、周育正、林佑蒔、 林瑋詩、梁守辰、梅振群等同學。本題平均得分為4.68 分。其中，答題優良或解 法富參考價值者有建國高中黃彥豪同學、福和國中李志軒同學、福和國中沈彥 汝同學等。 A A B C D (圖十 一) A B C D E F (圖十二) （圖 二） （圖三）
問題編號 912005 這是一個數字盤，現有紅白兩個神奇按鈕，每按一次，可令其周圍的四個數字逆時針 旋轉一格，（如圖四，按下紅色鈕，四周的四個數字8,10,13,7 逆時針轉一格，將數 字的排列方式變為圖五所示） （圖四） (圖五） 依照上述的遊戲規則，是否可經過若干次操作，將圖四中的數字盤變成下圖六之數字 排列？如果可以，請告訴我，你是怎麼做到的？如果不行，請說明原因。 （圖六） 參考解答： 先將按鈕做編號，上至下、左至右從A 編號到 I， 一次步驟是按一次按鈕(即周圍四個數字旋轉一格) 可採取下列步驟： 方式1 是將數字較小的往上放、大的往下擺，然後調整位置 1. AAACCFFHHDDAAHHHIIIEECBFFFABC DDDCCEEECCHEEEGGGDEHGHGGHHH EEEFFFBFBBBGHEEEGGGFFFBFBBB→done 方式2 是先固定出第 1 行、再固定第 2 行，最後調整 3、4 行 2. BBCCABDECCFFC GDHDEEGHGIHIFFIIFFF IGIHHHIIHGIHHGGGIHIIHHGGG→done 方式3 是先選定一些數字(如 1、2)將其轉至欲放的位置，再調整其他
3. BBACCB FFCDEFFC GDHHDGHIIF HHGHGIHHIIHHHIH→done 解題重點： 評析：本題徵答人數共有5 人，其中全對者共 3 人，包含福和國中李志軒、周志遠、林 10 13 12 16 8 7 1 2 4 15 3 9 11 5 6 14 8 10 12 16 7 13 1 2 4 15 3 9 11 5 6 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
08 10 12 16
07 13 01 02
04 15 03 09
11 05 06 14
A B C D E F G H I昇誼等同學。本題平均得分為4.2 分。 -(1)本期有五題徵答題，請照「中學生數學通訊解題答題規則」中的規定作答。 （參閱師大科學教育月刊 226 期） (2)本期徵答題不限您作答的題數，請於 91 年 06 月 15 日前將回函寄達： （100）台北市南海路 56 號，台北市立建國高級中學訓育組，楊希聰老師收。 （信封上請註明通訊解題） (3)徵答題可能有多種解法，本期參考答案與徵答者之優良解答，答題優良者姓名、 就讀學校，將於91 年 10 月份在建國高級中學數學科網站上發佈。 (4)進入建中網站方法： 1. 先利用瀏覽器進入建中首頁（網址：http://www.c k .tp.edu.tw/ ） 2. 至最新消息(或教學研究子目錄下之數學科)點選數學科通訊解題。
