3-3克拉瑪法則

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(1)

[ 計 ][- . ] 算題 克拉瑪法則 .設

3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1

d

z

c

y

b

x

a

d

z

c

y

b

x

a

d

z

c

y

b

x

a

恰 (3 , - 1 , 5)﹐試 有一組解 求

3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1

d

4

z

3

c

y

b

2

x

a

d

4

z

3

c

y

b

2

x

a

d

4

z

3

c

y

b

2

x

a

之 解﹒   (x , y , z) =( 解答: 12 1 , 2 1 , 60 1 ) .設 xyz≠0 且

0

z

2

y

x

2

0

z

3

y

2

x

﹐ 試求 yz xy 2 z 2 x 4 xz 2 xy z 3 y 2 x 2 2 2 2 2 + - + + - + + 為 何?   解答: 175 109 .設 x﹐y﹐z 皆 0 實 為非 數﹐且 x z 7 y 4 - y 5 z 2 x 2 - = z y 2 x+ 2 2 2 z y x zx yz xy + + + + 為 何?   解答:- 98 41 .設 k 為 一正數且方程組

0

z

2

y

3

kx

0

z

5

ky

x

3

0

z

y

x

有 (0 , 0 , 0) 之 x2y2z2-6x+ 2z+ 2 於異 解﹐試求 之 最小值為何?   t =- 解答: 6 5 時 - 有最小值 6 13 .設 方程組

0

bz

y

4

x

3

a

z

4

y

3

x

2

4

z

3

y

2

x

=-

有 (a , b) = x2y2z2 解組無限多求試﹐  ?   t =- 解答:當 3 22 時x2y2z2 3 668 .設 a﹐b﹐c 為 相異實數﹐試解方程組

2 2 2 2

x

b

y

c

z

d

a

d

cz

by

ax

1

z

y

x

(2)

  x = 解答: ) a b )( a c ( ) d b )( d c ( - - - - ﹐y = ) a b )( b c ( ) a d )( d c ( - - - - ﹐z = ) a c )( b c ( ) a d )( b d ( - - - - .設



b

z

ay

x

3

1

z

y

2

x

2

3

z

2

y

x

之 L﹐ 試 (a , b) = (0 , 0 , 0) 到 L 意義為一直解何幾的線 求序對 ? 點 之 最短距離為何?   t = 解答: 50 1 時 最小距離為 50 99 10 22 3 .已 - x + y + z = ax x﹑ - y + z = ay x﹑ + y - z = az共 L﹐ 若 (p , q , r) 為 異平面相三知 交於一直線 L 上 pqr≠0﹐ 試 p2 q2 r2 之任意點且 求 rp pr pq + + + + 之 值=?   1 解答: .試 L1: 求空間中二直線

0

3

z

y

x

2

0

1

z

y

x

與L2:

0

z

y

x

0

1

z

2

y

3

x

之 ﹒ 最短距離   解答: 579 33 .空 E1: x +2y- 3z= 9 E﹑ 2 :4x- y - 2z= 3 E﹑ 3 :3x+4y- z = 1 E﹑ 4 :2x- y + z 平間中四面 - - = a 恰 a 值 ﹒ 交一點﹐試求 與此交點   (2 , -1 , 3), a = 8 解答:交點為 .方

x ky 10

程組

kx y 10k 2

+ =

- =

有 (x , y) 之 k 值 整數解﹐求 ﹒   0 , 1 , - 1 解答: .若 mx +3y+ 1 = 0﹐x+ (m - 2)y + m = 0 ( m≠ - 1 , 3 ) m 之 直線二 限求﹐第象二於交相 範圍﹒   1 < m < 3 解答: .若 L1:(k - 5)x +2y+3k= 0﹐L2 :(k + 1)x - y =4k- 5 表 k 之 ﹐求二線行平 值﹒   k = 1 解答:

.設6x- y + 3z= 2x+5y+ 9z=8x-5y+ z﹐ 且 x﹐y﹐z 都 0 的 - 是異於 實數﹐求

2 2 2 2 2 2

x

y

z

x

y

z

+ +

- -

之 值﹒  

35

解答:-

17

.設x﹐y﹐z﹐kR﹐且 (2x -5y+ 7z)2 (7x - y - 3z)2=0﹐xyz≠0﹐求 x(

1

y

1

z

) + y(

1

z

1

x

) + z(

1

x

1

y

) 之 值﹒

(3)

 

22

解答:

3

.三 x -3y+ 5 = 0﹐kx +7y= 3﹐3x + 2ky + 2 = 0 交 kZ﹐ 求 k 值 直線 中其﹐點一於 及此交點坐標﹒

  2 , ( -2 , 1) 解答: .方 程組

3x 2y 9a

4x y 5a 3

5x 4y 4a

- =

+ = +

+ =

恰 a 及 有一組解﹐求 此解﹒   a = 2 , (4 , - 3) 解答: .解 聯立方程組

x

y

y

z

z

x

x y z

  



2

3

3

4

5

5

6

7

3

(

)

7

  (17 解答: 21 23 21 3 7 , , ) .解 聯立方程組 3 6 1 1 6 4 1 3 15 2 3 6 y z z x x y y z z x x y y z z x x y                              (  3 解答: 2 1 2 11 2 , , ) .解 聯立方程組 x y xy y z yz z x zx            3 4 5   (0, 0, 0), (1 解答: 2 1 1 3 , , ) .已 xy z y z w z w x 1  ,  1 ,  1  , 求 xy + yz + zw =    3 解答: 2 .解 方程組 2 2 1 3 2 2 3 1 x y z x y z x y z                  (1,3, -2) 解答: .解 聯立方程組 x y z x y z x y z               2 4 9 2 3 9 4 7 15   (1,2,3) 解答:

(4)

.解 聯立方程組 x y z x y z x y z               2 20 3 2 22 2 4 7   (2, -5, -3) 解答: .解 聯立方程組 3 2 1 3 2 3 2 3 4 1 3 4 x y z x y z x y z                     ( 解答: 2 1 ,-1,1) .解 聯立方程組 1 1 1 2 1 2 1 6 2 1 1 2 3 2 1 9 1 1 3 2 1 2 1 4 x y z x y z x y z                            , 求 5x+2y+3z =   -4 解答: .解 聯立方程組 6 1 1 4 2 2 4 3 3 x y y z y z z x z x x y                        (5 解答: 6 25 6 5 6 , , ) .解 方程組 x y z x y z x y z                2 2 1 2 3 8   (2, -1 ,1) 解答: .解 聯立方程組 4 2 0 2 0 11 x y z x y z xy yz zx                 (1,2,3),( -1,-2,-3) 解答: ., ,m n兩 , 解 兩不相等 方程組 x y z m n x my nz mn n m m n x n y m z                            ( ) ( ) ( ) 0   (m n n  m 解答: 2 , 2 , 2   )

(5)

. a,b,c兩 , 解 兩不相等 方程組 x y z b c x c a y a b z bcx cay abz                 0 0 1 ( ) ( ) ( )   ( 1 1 1 解答: (ab a)( c),(bc b)( a),(ca c b)(  ) ) . 解 方程組 xy x y yz y z zx x z                  3 5 0 2 3 5 0 2 4 0   (3,2,1),( -1,4,3) 解答: .若 方程組 ax by cz ax by cz ax by cz               2 10 22 與 x y z x y z x y z               6 2 3 9 5 2 3 0 同 , 求 (a,b,c)= 義   (1,2,3) 解答: .a,b,c 兩 , 解 兩不相等 方程組 x y z a b c bx cy az a b c cx ay bz a b c                     2 2 2 2 2 2   (b+c-a,c+a-b,a+b-c) 解答: .解 方程組 xy x y yz y z zx z x                  2 4 0 3 6 17 0 3 3 11 0   (-1,1,-2),(3,-5, 解答: 3 4 ) .解 方程組 x xy xz xy y yz xz yz z 2 2 2 12 3 6                  (4,1,-2),(-4,-1,2) 解答: .若 方程組 x y z a x y z x y z               2 3 9 85 2 8 與 2 256 2 3 13 2 156 x by z x y z x y cz               同 , 求 (a,b,c)= 義   (1,6,-3) 解答: .若 方程組 x y z a x y z x y z                2 3 9 4 2 8 與 2 1 2 3 13 2 12 x by z x y z x y cz               同 , 求 (a,b,c)= 義   (1,0, -3) 解答: .計

k R

, 且 算:若 kx y z x y z x y              2 0 0 3 0 有 (0, 0, 0)的 , 則(1)k= (2) x : y : z = (3) 異於 解

(6)

x xy y z xy yz zx 2 2 2   =   (1)1 (2)1:-3:-2 (3)17 解答: .若 方程組 x y z a x a x y z x x y a z               2 3 2 2 4 0 有 , 則 (1) a= (

a Z

), (2) 解 無限多組解 為 ( 以 t 表 ) 參數 示   (1)5 (2)(7t ,9t ,

 10t

),

t R

解答: .若 x y z x y z x a y z b               2 3 2 2 1 3 有 , 則 (1)a= , b= (2) 解 無限多組解 為   (1)1,4 (2)x 1 3t y, 5t z,   1 4t t, R :答解 .填 充:方程組 k x y z x k y z x y k z               1 1 1 (1) 當 k= 時 , 此 (2) 當k≠ 時 , 此 (3) 當 k= 時 , 組無解。程方 程組恰有一解。方 此 方程組有無限多解。   (1)-2 (2)1.-2 (3)1 解答: .方 程組 2 0 3 2 4 3 1 a x y x y z x y z               恰 , 求 a 有一組解   a  1 解答: 4 .試 k 值 就 討論 k x y z x k y z x y z               2 3 1 2 3 1 2 3 3 1 之 解。   解答:          有無限多解 或 恰有一解 3 2 3 , 2 k k .試 k 值 就 討論 x y k z z x k y z y k x y z x                  1 1 1 之 解。   解答:                   無解 有無限多解 恰有一解 3 0 3 , 0 k k k . a R a x y x y z a y z                , ( ) ( ) 1 1 2 1 2 1 2 1 恰 , 求 a 有一解

(7)

  a 5 17 解答: 4 .方 程組 x a y a x y x y            1 2 1 4 2 3 恰 , 求a 有一組解   a=0, 2 解答: .試 a 值 , 討 就 論三平面 x y z x y z x y z a                 3 4 2 5 1 5 7 相 交的狀況。   解答:        三線平行 兩兩交於一線 時 三平面交於一線 時 , , 18 , 18 a a . x y z x y z x y z               2 3 4 4 2 14 之 聯立方程組的幾何意義為   , 且 解線直一交相兩兩面平三:答 三線平行 . 3 2 8 2 2 2 6 x y z x y z x y z               之 聯立方程組的幾何意義為   , 但 答兩兩不重合解: 於直一三交相面平線 . x y z x y z x y z                  3 4 2 5 1 5 7 18 之 , 其 解集合為 幾何意義?   解答: x t y t z t t R             17 8 7 3 , 兩 , 但 兩不重合 三平面相交於一直線 .方 程組 x y z x y z x y z a               2 3 2 5 2 5 4 7 (1) 當 a≠ 時 , 方 , (2) 當 a = 時 , 有 , 程組無解 無限多組解 並 寫出其解集合   (1)1 (2)1,

9t5 4, t1,t

tR

解:答 [ 單 ][- . ] 選題 克拉瑪法則 .若 , 其 , 而 8, 位三個數一 字和之字位第與數數數位第二位三字於第一等 位為和之字數與三第字數二第位 若 , 則 99, 求 = (A)113 (B)253 (C)351 (D)251 (E)332 數字一字換第位數位三第與互 比原數增加 原數   B 解答: .若 方程組 2 0 3 4 0 5 2 0 x y z x y z x y m z               有 (0, 0, 0)的 , 則m= (A)3 (B)5 (C)-3 (D)2 (E)-2 異於 解

(8)

.三 3x+7y-z=8 , x+3y-3z=2 , x+4y-7z=a 恰 , 則 a = (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (E)5 平面 有一交線   A 解答: .方 程組 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1                  a x y z x a y z x y a z 無 , a = (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (E)5 解時   C 解答:

.三 x+2y+z=3 , 2x+5y-2z=5 , x+4y-7z=a 平面

恰 , 則 a = (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (E)5 交一線   A 解答: .方 程組 a x y z x a y z a x y a z a              1 2 無 , a = (A)-2(B)3 (C)-5 (D)1 (E)-3 解時   A 解答: [ 填 ][- . ] 充題 克拉瑪法則

.設 ABC中 BC = a﹐CA = b﹐AB = c﹐ 若 (5a +2b- 5c)2 (3a - 12b + 8c)20﹐ 則 sinA: △ ﹐

sinB : sinC =  ﹒        4 : 5 : 6 解答: .甲 , 甲 5 公 , 含 2 公 , 含 1 公 , 乙 2 公 , 含 5 公 , 含 1 公 , 合乙丙三種金 金含 克 銀 克 銅 克 金含 克 銀 克 銅 克 丙 3 公 , 含 1 公 , 含 4 公 , 今 , 內 , 銀 , 含金 克 銀 克 銅 克 為金合種一金化合種三此欲將 含金 銅 , 且 9 公 , 則 量各相等之 為重其 兩 金兩公少多各需合種三丙乙甲   1 解答: 3 11 3 , ,5 .若 , 其 20, 第 2 倍 3 倍 44, 第 2 數三有 和為 二一的第數數與 三的數第及 之和為 一數與第二數的和的 倍 4 倍 -14, 求 減第三數的 為 此三數   5, 6, 9 解答: .一 ABC三 , A, B 為 , C 為 , A, C 同 , 6小 B, C 同 , 12 有池水 水管 水入管 管出水 開 時可注滿。 開 小 A, B 同 , 1小 20分 A, B 各 , C 可池時整使。盡水流 開 時 求。滿可注 需幾小時可注滿 需 ? 幾小時可使整池水流盡   2, 4, 3 解答: .若 方程組 a x y z a x y z x y               2 0 2 3 0 0 有 (0, 0, 0)的 , 則 a= 異於 解    1 解答: 5 .若 5 3 0 2 3 4 17 x y z x y z a x y bz               為 , 則 x= 時 , x y z 相依方程組 2 2 2 =

(9)

   1 解答: 2 1 2 , .若 5 3 0 2 3 4 10 x y z x y z a x y bz               有 , 則 a= , b= 無限多組解   解答: 17 10  ,-58

.三 x+y-z=1 , 2x+3y+az=3 , x+ay+3z=2 平面

(1) 若 , 而 , 則 a = 此三平面相異 交於一直線 (2) 若 , 而 , 則 a = 此三平面相異 交線兩兩平行   (1)2 (2)-3 解答: .方 程組 a x y z a x a y z x y a z                  3 2 2 (1) 有 , a = (2) 無 , a = 無限多組解時 解時   1, -2 解答:

.三 2x-3y+4z+3=0 , 3x+2ky-z+2=0 , 2kx+(4k+3)y-3kz+1=0 , 平面

(1) 若 , 而 , 則 k = 此三平面相異 交於一直線

(2) 若 , 而 , 則 k = 此三平面相異 交線兩兩平行

  (1)2 (2)  3 解答:

4

.三 3x-y+z=2 , ax-2y+3z=-2 , 2x+by-z=2 交 , 則(a, b)= 平面 於一直線

  -1, 解答:

2 1

.說 2x-y+z=0 , x+2y-z=-2 , x-3y+2z=2 的 明三平面 相交情形

Figure

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