3-3克拉瑪法則

[ 計 ][- ． ] 算題 克拉瑪法則 .設











3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1

d

z

c

y

b

x

a

d

z

c

y

b

x

a

d

z

c

y

b

x

a

＝

＋

＋

＝

＋

＋

＝

＋

＋

恰 (3 , － 1 , 5)﹐試 有一組解 求



















3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1

d

4

z

3

c

y

b

2

x

a

d

4

z

3

c

y

b

2

x

a

d

4

z

3

c

y

b

2

x

a

＝

＋

－

＝

＋

－

＝

＋

－

之 解﹒ 　 (x , y , z) ＝( 解答： 12 1 , 2 1 , 60 1 ) .設 xyz≠0 且







0

z

2

y

x

2

0

z

3

y

2

x

＝

＋

＋

＝

－

＋

﹐ 試求 yz xy 2 z 2 x 4 xz 2 xy z 3 y 2 x 2 2 2 2 2 ＋ － ＋ ＋ － ＋ ＋ 為 何？ 　 解答： 175 109 .設 x﹐y﹐z 皆 0 實 為非 數﹐且 x z 7 y 4 － _＝ y 5 z 2 x 2 － ＝ z y 2 x＋ _{﹐ 試求} 2 2 2 z y x zx yz xy ＋ ＋ ＋ ＋ 為 何？ 　 解答：－ 98 41 .設 k 為 一正數且方程組











0

z

2

y

3

kx

0

z

5

ky

x

3

0

z

y

x

＝

＋

＋

＝

＋

－

＝

＋

－

有 (0 , 0 , 0) 之 x2_＋y2_＋z2_{－6x＋ 2z＋ 2} 於異 解﹐試求 之 最小值為何？ 　 t ＝－ 解答： 6 5 時 － 有最小值 6 13 .設 方程組











0

bz

y

4

x

3

a

z

4

y

3

x

2

4

z

3

y

2

x

＝

＋

－

＝

－

＋

－

＝－

＋

－

有 (a , b) ＝ x2_＋y2_＋z2_之 解組無限多求試﹐ 　？ _{最小值為何？} 　 t ＝－ 解答：當 3 22 時x2_＋y2_＋z2_{有 最小值為－} 3 668 .設 a﹐b﹐c 為 相異實數﹐試解方程組









2 2 2 2

_x

_b

_y

_c

_z

_d

a

d

cz

by

ax

1

z

y

x

＝

＋

＋

＝

＋

＋

＝

＋

＋

﹒

　 x ＝ 解答： ) a b )( a c ( ) d b )( d c ( － － － － ﹐y ＝ ) a b )( b c ( ) a d )( d c ( － － － － ﹐z ＝ ) a c )( b c ( ) a d )( b d ( － － － － .設









b

z

ay

x

3

1

z

y

2

x

2

3

z

2

y

x

＝

－

＋

＝

＋

＋

＝

－

－

之 L﹐ 試 (a , b) ＝ (0 , 0 , 0) 到 L 意義為一直解何幾的線 求序對 ？　點 之 最短距離為何？ 　 t ＝ 解答： 50 1 時 最小距離為 50 99 _＝ 10 22 3 .已 － x ＋ y ＋ z ＝ ax x﹑ － y ＋ z ＝ ay x﹑ ＋ y － z ＝ az共 L﹐ 若 (p , q , r) 為 異平面相三知 交於一直線 L 上 pqr≠0﹐ 試 _p2 _q2 _r2 之任意點且 求 rp pr pq ＋ ＋ ＋ ＋ 之 值＝？ 　 1 解答： .試 L1： 求空間中二直線







0

3

z

y

x

2

0

1

z

y

x

＝

－

－

－

＝

＋

－

＋

與L2：







0

z

y

x

0

1

z

2

y

3

x

＝

＋

＋

＝

－

＋

－

之 ﹒ 最短距離 　 解答： 579 33 .空 E1： x ＋2y－ 3z＝ 9 E﹑ 2 ：4x－ y － 2z＝ 3 E﹑ 3 ：3x＋4y－ z ＝ 1 E﹑ 4 ：2x－ y ＋ z 平間中四面 － － ＝ a 恰 a 值 ﹒ 交一點﹐試求 與此交點 　 (2 , －1 , 3)， a ＝ 8 解答：交點為 .方

x ky 10

程組

kx y 10k 2







＋ ＝

－ ＝

＋

有 (x , y) 之 k 值 整數解﹐求 ﹒ 　 0 , 1 , － 1 解答： .若 mx ＋3y＋ 1 ＝ 0﹐x＋ (m － 2)y ＋ m ＝ 0 （ m≠ － 1 , 3 ） m 之 直線二 限求﹐第象二於交相 範圍﹒ 　 1 ＜ m ＜ 3 解答： .若 L1：(k － 5)x ＋2y＋3k＝ 0﹐L2 ：(k ＋ 1)x － y ＝4k－ 5 表 k 之 ﹐求二線行平 值﹒ 　 k ＝ 1 解答：

.設6x－ y ＋ 3z＝ 2x＋5y＋ 9z＝8x－5y＋ z﹐ 且 x﹐y﹐z 都 0 的 － 是異於 實數﹐求

2 2 2 2 2 2

x

y

z

x

y

z

＋ ＋

－ －

之 值﹒ 　

35

解答：－

17

.設x﹐y﹐z﹐kR﹐且 (2x －5y＋ 7z)2_{＋ (7x － y － 3z)}2_{＝0﹐xyz≠0﹐求 x(}

1

y

＋

1

z

) ＋ y(

1

z

＋

1

x

) ＋ z(

1

x

＋

1

y

) 之 值﹒

　

22

解答：

3

.三 x －3y＋ 5 ＝ 0﹐kx ＋7y＝ 3﹐3x ＋ 2ky ＋ 2 ＝ 0 交 kZ﹐ 求 k 值 直線 中其﹐點一於 及此交點坐標﹒

　 2 ， ( －2 , 1) 解答： .方 程組

3x 2y 9a

4x y 5a 3

5x 4y 4a











－ ＝

＋ ＝ ＋

＋ ＝

恰 a 及 有一組解﹐求 此解﹒ 　 a ＝ 2 ， (4 , － 3) 解答： .解 聯立方程組

x

y

y

z

z

x

x y z



_



_



  









2

3

3

4

5

5

6

7

3

(

)

7

　 (17 解答： 21 23 21 3 7 , , ) .解 聯立方程組 3 6 1 1 6 4 1 3 15 2 3 6 y z z x x y y z z x x y y z z x x y                            　 (  3 解答： 2 1 2 11 2 , , ) .解 聯立方程組 x y xy y z yz z x zx            3 4 5 　 (0, 0, 0), (1 解答： 2 1 1 3 , , ) .已 x 知 y z y z w z w x 1  ,  1 ,  1  , 求 xy + yz + zw = 　  3 解答： 2 .解 方程組 2 2 1 3 2 2 3 1 x y z x y z x y z                　 (1,3, -2) 解答： .解 聯立方程組 x y z x y z x y z               2 4 9 2 3 9 4 7 15 　 (1,2,3) 解答：

.解 聯立方程組 x y z x y z x y z               2 20 3 2 22 2 4 7 　 (2, -5, -3) 解答： .解 聯立方程組 3 2 1 3 2 3 2 3 4 1 3 ₄ x y z x y z x y z                   　 ( 解答： 2 1 ,-1,1) .解 聯立方程組 1 1 1 2 1 2 1 6 2 1 1 2 3 2 1 9 1 1 3 2 1 2 1 4 x y z x y z x y z                            , 求 5x+2y+3z = 　 -4 解答： .解 聯立方程組 6 1 1 4 2 2 4 3 3 x y y z y z z x z x x y                      　 (5 解答： 6 25 6 5 6 , , ) .解 方程組 x y z x y z x y z                2 2 1 2 3 8 　 (2, -1 ,1) 解答： .解 聯立方程組 4 2 0 2 0 11 x y z x y z xy yz zx               　 (1,2,3),( -1,-2,-3) 解答： ., ,m n兩 , 解 兩不相等 方程組 x y z m n x my nz mn n m m n x n y m z                            ( ) ( ) ( ) 0 　 (m n n  m 解答： 2 , 2 , 2   ₎

. a,b,c兩 , 解 兩不相等 方程組 x y z b c x c a y a b z bcx cay abz                 0 0 1 ( ) ( ) ( ) 　 ( 1 1 1 解答： (a b a)( c),(bc b)( a),(ca c b)(  ) ) . 解 方程組 xy x y yz y z zx x z                  3 5 0 2 3 5 0 2 4 0 　 (3,2,1),( -1,4,3) 解答： .若 方程組 ax by cz ax by cz ax by cz               2 10 22 與 x y z x y z x y z               6 2 3 9 5 2 3 0 同 , 求 (a,b,c)= 義 　 (1,2,3) 解答： .a,b,c 兩 , 解 兩不相等 方程組 x y z a b c bx cy az a b c cx ay bz a b c                     2 2 2 2 2 2 　 (b+c-a,c+a-b,a+b-c) 解答： .解 方程組 xy x y yz y z zx z x                  2 4 0 3 6 17 0 3 3 11 0 　 (-1,1,-2),(3,-5, 解答： 3 4 ) .解 方程組 x xy xz xy y yz xz yz z 2 2 2 12 3 6                　 (4,1,-2),(-4,-1,2) 解答： .若 方程組 x y z a x y z x y z               2 3 9 85 2 8 與 2 256 2 3 13 2 156 x by z x y z x y cz               同 , 求 (a,b,c)= 義 　 (1,6,-3) 解答： .若 方程組 x y z a x y z x y z                2 3 9 4 2 8 與 2 1 2 3 13 2 12 x by z x y z x y cz               同 , 求 (a,b,c)= 義 　 (1,0, -3) 解答： .計

k R



, 且 算：若 kx y z x y z x y              2 0 0 3 0 有 (0, 0, 0)的 , 則(1)k= (2) x : y : z = (3) 異於 解

x xy y z xy yz zx 2 _{ } 2 _ 2   = 　 (1)1 (2)1:-3:-2 (3)17 解答： .若 方程組 x y z a x a x y z x x y a z               2 3 2 2 4 0 有 , 則 (1) a= (

a Z



), (2) 解 無限多組解 為 ( 以 t 表 ) 參數 示 　 (1)5 (2)(7t ,9t ,

 10t

),

t R



解答： .若 x y z x y z x a y z b               2 3 2 2 1 3 有 , 則 (1)a= , b= (2) 解 無限多組解 為 　 (1)1,4 (2)x 1 3t y, 5t z,   1 4t t, R ：答解 .填 充：方程組 k x y z x k y z x y k z               1 1 1 (1) 當 k= 時 , 此 (2) 當k≠ 時 , 此 (3) 當 k= 時 , 組無解。程方 程組恰有一解。方 此 方程組有無限多解。 　 (1)-2 (2)1.-2 (3)1 解答： .方 程組 2 0 3 2 4 3 1 a x y x y z x y z               恰 , 求 a 有一組解 　 a  1 解答： 4 .試 k 值 就 討論 k x y z x k y z x y z               2 3 1 2 3 1 2 3 3 1 之 解。 　 _ 解答：          有無限多解 或 恰有一解 3 2 3 , 2 k k .試 k 值 就 討論 x y k z z x k y z y k x y z x                  1 1 1 之 解。 　 解答：                   無解 有無限多解 恰有一解 3 0 3 , 0 k k k . a R a x y x y z a y z                , ( ) ( ) 1 1 2 1 2 1 2 1 恰 , 求 a 有一解

　 a 5 17 解答： 4 .方 程組 x a y a x y x y            1 2 1 4 2 3 恰 , 求a 有一組解 　 a=0, 2 解答： .試 a 值 , 討 就 論三平面 x y z x y z x y z a                 3 4 2 5 1 5 7 相 交的狀況。 　 解答：        三線平行 兩兩交於一線 時 三平面交於一線 時 , , 18 , 18 a a . x y z x y z x y z               2 3 4 4 2 14 之 聯立方程組的幾何意義為 　 , 且 解線直一交相兩兩面平三：答 三線平行 . 3 2 8 2 2 2 6 x y z x y z x y z               之 聯立方程組的幾何意義為 　 , 但 答兩兩不重合解： 於直一三交相面平線 . x y z x y z x y z                  3 4 2 5 1 5 7 18 之 , 其 解集合為 幾何意義？ 　 解答： x t y t z t t R             17 8 7 3 , 兩 , 但 兩不重合 三平面相交於一直線 .方 程組 x y z x y z x y z a               2 3 2 5 2 5 4 7 (1) 當 a≠ 時 , 方 , (2) 當 a = 時 , 有 , 程組無解 無限多組解 並 寫出其解集合 　 (1)1 (2)1,





9t5 4, t1,t



tR



解：答 [ 單 ][- ． ] 選題 克拉瑪法則 .若 , 其 , 而 8, 位三個數一 字和之字位第與數數數位第二位三字於第一等 位為和之字數與三第字數二第位 若 , 則 99, 求 = (A)113 (B)253 (C)351 (D)251 (E)332 數字一字換第位數位三第與互 比原數增加 原數 　 B 解答： .若 方程組 2 0 3 4 0 5 2 0 x y z x y z x y m z               有 (0, 0, 0)的 , 則m= (A)3 (B)5 (C)-3 (D)2 (E)-2 異於 解

.三 3x+7y-z=8 , x+3y-3z=2 , x+4y-7z=a 恰 , 則 a = (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (E)5 平面 有一交線 　 A 解答： .方 程組 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1                  a x y z x a y z x y a z 無 , a = (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (E)5 解時 　 C 解答：

.三 x+2y+z=3 , 2x+5y-2z=5 , x+4y-7z=a 平面

恰 , 則 a = (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (E)5 交一線 　 A 解答： .方 程組 a x y z x a y z a x y a z a              1 2 無 , a = (A)-2(B)3 (C)-5 (D)1 (E)-3 解時 　 A 解答： [ 填 ][- ． ] 充題 克拉瑪法則

.設 ABC中 _BC ＝ a﹐CA ＝ b﹐AB ＝ c﹐ 若 (5a ＋2b－ 5c)2_{＋ (3a － 12b ＋ 8c)}2_{＝0﹐ 則 sinA：} △ ﹐

sinB ： sinC ＝　 ﹒ 　　　　 　 4 ： 5 ： 6 解答： .甲 , 甲 5 公 , 含 2 公 , 含 1 公 , 乙 2 公 , 含 5 公 , 含 1 公 , 合乙丙三種金 金含 克 銀 克 銅 克 金含 克 銀 克 銅 克 丙 3 公 , 含 1 公 , 含 4 公 , 今 , 內 , 銀 , 含金 克 銀 克 銅 克 為金合種一金化合種三此欲將 含金 銅 , 且 9 公 , 則 量各相等之 為重其 兩 金兩公少多各需合種三丙乙甲 　 1 解答： 3 11 3 , ,5 .若 , 其 20, 第 2 倍 3 倍 44, 第 2 數三有 和為 二一的第數數與 三的數第及 之和為 一數與第二數的和的 倍 4 倍 -14, 求 減第三數的 為 此三數 　 5, 6, 9 解答： .一 ABC三 , A, B 為 , C 為 , A, C 同 , 6小 B, C 同 , 12 有池水 水管 水入管 管出水 開 時可注滿。 開 小 A, B 同 , 1小 20分 A, B 各 , C 可池時整使。盡水流 開 時 求。滿可注 需幾小時可注滿 需 ? 幾小時可使整池水流盡 　 2, 4, 3 解答： .若 方程組 a x y z a x y z x y               2 0 2 3 0 0 有 (0, 0, 0)的 , 則 a= 異於 解 　  1 解答： 5 .若 5 3 0 2 3 4 17 x y z x y z a x y bz               為 , 則 x= 時 , x y z 相依方程組 2_ 2_ 2 _{有 = 最小值}

　  1 解答： 2 1 2 , .若 5 3 0 2 3 4 10 x y z x y z a x y bz               有 , 則 a= , b= 無限多組解 　 解答： 17 10  ,-58

.三 x+y-z=1 , 2x+3y+az=3 , x+ay+3z=2 平面

(1) 若 , 而 , 則 a = 此三平面相異 交於一直線 (2) 若 , 而 , 則 a = 此三平面相異 交線兩兩平行 　 (1)2 (2)-3 解答： .方 程組 a x y z a x a y z x y a z                  3 2 2 (1) 有 , a = (2) 無 , a = 無限多組解時 解時 　 1, -2 解答：

.三 2x-3y+4z+3=0 , 3x+2ky-z+2=0 , 2kx+(4k+3)y-3kz+1=0 , 平面

(1) 若 , 而 , 則 k = 此三平面相異 交於一直線

(2) 若 , 而 , 則 k = 此三平面相異 交線兩兩平行

　 (1)2 (2)  3 解答：

4

.三 3x-y+z=2 , ax-2y+3z=-2 , 2x+by-z=2 交 , 則(a, b)= 平面 於一直線

　 -1, 解答：

2 1

.說 2x-y+z=0 , x+2y-z=-2 , x-3y+2z=2 的 明三平面 相交情形