日月的潮汐力

徐國誠

臺北市立成淵高級中學

|γγ

λ= 汽 cos {3 -凡 cosα= ~~;.

cos

{3

-巴yCOSα(1)

GM . ~ GM

f

,

=

F,

sin {3一凡 smα= 立i-sin_{{3 -五2}5mα

(2)

(3)

λ

D

2

1

d

2 • _

R

R

2

1-2-=-=-cosα+--D

D'"

叫 ÷m

圖二 地球上單位質點的水在 P 點受到月球 接著由圖二我們利用餘弦定律可知

d

2

₌

D

2

+R

2

_{-2DRcosα ，因此}

水放置在地心 O 點處則受到月球的引力為

GM

F

₂

= 一寸， D 為地心 O 點到月球的距離。因 μ ﹒ 此這兩個力的差在垂直方向上的分量λ 和 平行方向上的分量Ih 分別為 (Ref. [呵， p .3 6) 上式中的Iv 和 Ih 即是作用在單位質點 的水的潮汐力或者稱為引潮加速度。由於正

D

d

弦定律我們可以知道一一=一一，因此

sin

f3

sinα

O

月球 一一，萬有引力 ---+潮汐力 團一 由於月球在地球土任一點與地心之間 的引力差所產生的潮汐力，造成地表 上有兩處漲潮。

-在牛頓以前，人們隱約知道海洋潮汐與 月球之間必定有著某種關係'但是月球到底 如何影響潮汐'卻沒有人提出合理的解釋。 牛頓認為潮汐的形成，主要是由於月球和地 球上任一點與月球和地心之間的引力之差所 造成的，這種因為距離差所引起的引力差稱 之為潮汐力 (tidal force) 或引潮力(

tide

generating force)

.而此潮汐力會造成地表上 靠近月球的一端和遠離月球的一端這兩處的 漲潮，如圖一;因為地球每24 小時就自轉一 次，此種說法可以預測我們一天會看到兩次 漲潮和退潮，這和經驗是相符的。 為月球的質量，如圖二;若將此單位貫點的 要計算月球所產生的潮汐力，首先我們 令地球上單位質點的水在P 點受到月球的引

GM

力為民=一于 ·d 為 P 點到月球的距離 ·M 且 d<

GM

的引力為民=一「一，此單位質點的水

d

ι 放置在地心 O 點處受到月球的引力為

GM

F，= 一寸，這兩個力的向量差即為潮

D

L j夕力，此潮汐力在垂直方向上的分量

為兀，在平行方向上的分量為

_λ

。 由第(2 )式以及第(3)式可以求得 cos f3 為

叫=士戶叮=±J

1-

~:ii干

=士 I

(cosa-

{j)

y。如 El

l-2ym+fz

由圖二可以知道若戶_<900 ，則

c

_心。

，

cosa 也會大於

_5;

若戶 >90

0

_,

那麼叫<

0 '

cOS

(X 也會小於

1

，因此上

式的cos

_f3

可以寫成 COS

f3

=

R

COSα­

D

l

_一戶

COS

(X

+

里:

D

D

L

(4)

最後將第 (2)、(3)式以及第(4) 式代

入第(

1

)式，則

j;=GM

-D

2

(1-2

~心+~:

J

A-cf

-Dι SIll α c3

_n

_α

(6)

32 1litz-/ 可ι 一句rh

R-D

+

α cδ O PLH

R-nu

弓 4 /'EEIBEEt\ 、 上面二式

_Iv

和

_Ih

只為 α的函數，而 _{α 是} 地表仁任一點與地心的連線和地月連線間的 夾角，式中月球的質量

M

為 7.349x10

22

_Kg

_,

地球與月球距離 D 為 3.8418x10

8

m'

地球半

徑 R

為 6

.3

78x10

6_m。若以

_α

_{為變數，再將各} 個常數代入第(

5

)式和第(

6

)式中，就可 以得到月球在地表上各點所產生的潮汐力 民和瓦，如圖三。 潮汐力(x lO-6 N) 戶、 JHUH 、J

-111lnu α( 度) nu l 圖三 月球在地表上各點的潮汐力與α的關 f毒、曲線。其中

_Iv>

0是屬於漲潮的位 置，而

_{Iv <}

_{0 貝IJ屬於退潮的位置若}

人

>0'

貝IJ表示該處潮汐波移動的方 向為1頓時針，而

_Ih

_<

₀則移動的方向 為退時針。 圖三中由潮汐力的值可以看出漲潮的位 置和潮汐波移動的方向 O 若

_Iv>

₀的位置， 則該處屬於漲潮，反之

_Iv

_<

0則屬於退潮的 位置，圍中

_Iv

₌₀

的位置大約出現在α 為 54.35。與 124.88。處，所以α 在 0-54.35。之間

是屬於漲潮的位置，而在 54.35° ~ 124.88。之 間是屬於退潮的位置，依此類推。另外若 λ>0 '則該處潮汐波移動的方向為順時 針，反之 f

_{h <}

0 則移動的方向為逆時針，圖 中 fh

=

0 的位置大約出現在 α 為 89.52。與 180。處，所以 α 在 o ~ 89.52。之間的潮汐波為 順時針的方向，而在 89.52° ~ 180。之間的潮 汐波為逆時針的方向，如圖四所示 O 第(

5

)式與第 (6) 式中的 R 約為 D 的 0.0167 倍，假如分母利用三項式定理展開，

將主以下各項省略之後可進一步將卅日

fh 簡化為 (Ref. [呵， p .40)

lGm

/i=ZTOCOM 一 l

/hMMR-

=一一一 -SIll平:α “

2

D~ 以簡化式計算出月球的潮汐力與第

( 5

)、 (6) 式比較，其平均誤差約為 4% ~5 %。

(川 +f

f~

=

f戶h

+

f~h

M 月球 圖四 α 在 o

-

54.

35 。之間是屬於漲潮的位 置，而在 54.35°

-

124.88。之間是屬 於退潮的位置 ;α 在 o

-

89.

52 。之間 的潮汐波為順時針的方向，而在

89.52° -

180 。之間的潮汐波為逆時針 的方向。 其中 f" 、 !，h 為太陽潮汐力在垂直方向 和平行方向上的分量 ， fmv 、 fmh 為月球潮汐 力在垂直方向和平行方向上的分量 O 我們從 第(

5

)式和第 (6) 式中，可以得出這四個 分量分別為

-Dm|(l+咖-A)

漲退潮雖大部分為月球所引起的，不過 太陽對地球的潮汐力平均值大約是月球的 0 .46 倍，所以太陽的潮汐力對月球的潮汐力 而言，時而助長，時而削弱，端看太陽與月 球的相對位置。而月球繞地球的軌道面(白 道)和地球繞太陽的軌道面(黃道)有 5°8.8' 的交角，假如我們忽略這個小角度，以圖五 的相對位置來看，地月連線和地日連線間的 夾角為()，單位質點的水在 P 點與地心的連 線和地日連線間的夾角為 α ，所以 P 點與地 心的連線和地月連線間的夾角為 α 一 θ 。而太 陽和月球對地球潮汐力的總不口應為

/=GMf

.\'V D2

人 =GMs

一 肺 D，

R

COSα D --一一 -3 -COSα

(1一←α+吋

Sillα

3-

sm

α

(1斗… 4)2

一

(7)

(8)

(9)

、‘.， 仇 V ‘ ''A /tk GM_m I 叫~ 2 m (自 8) 日n(自 -8)

(1 吟。咖門，]'

l 月球

M

-e

r

刊NM

D

。

D 士也E求 圖五 太陽、月球和地球的相對位置圖。其 中地月連線和地日連線間的夾角為 8' 單位質點的水在 P 點與地心連線 和地日連線間的夾角為 α 。 其中 D

_s

、 D

_m

分別為地球和太陽的距 離、地球和月球的距離 'M 、 M

_m

分別為太 陽和月球的質量。從以上四個式子，我們就 可以得出太陽和月球在不同的相對位置時的 潮汐力。當 8=0。或 180。時就是所謂的大潮

(

spri月 tide) ，這時太陽和月球的潮汐力有 相加的效果;而 θ=90。或 270。時就是所謂 的小潮(

neap tide)

，此時太陽和月球的潮汐 力互相牽制，所以潮汐現象較不明顯。圖六 是 θ=90。的情況下潮汐力與 α 的關係曲線 圖，圖中是將地球和太陽的距離

D

_s

=

1.

496x10

11 ill

'和太陽的質量

M

_s =1. 9891x1030Kg' 以及前述的若干常數 代入第(7 )-(10) 式所得出的曲線圖。由 圖中不難看出不論是 λ 或 Ih ' 都比圖三的曲 線圖小很多，就是月球潮汐力受到太陽潮汐 力部分抵消的結果;而月球的潮汐力叉大於 太陽的潮汐力，因此滿潮的位置也大約出現 在 α=90。和 270。的位置。 潮汐力(x lO-6_N) HU 0.5 α(度)

。

圖六 。 =90 。的情況下潮汐力與 α 的關係 曲線圖 o 由於月球潮汐力受到太陽潮 汐力部分抵消的關係，所以 Iv 和 Ih 都 比圖三的曲線圖小了很多。 雖然我們做了一些簡化，而計算天體對 地球潮汐力的影響，也似乎可以用潮汐力的 大小來判斷何時滿潮或何時乾潮，不過實際 上在有些地方，當月球出現在正天頂(或反 天 I頁)時發生的卻是乾潮。這個現象在牛頓 之後約 100 年，拉普拉斯(

Pierre S. Laplace)

也曾經做過修正說明 (Ref.

[6])

:假設地球 表面為深度平均4 公里的海水所覆蓋，那麼 水波的速度約為每小時 700 公里

(v=jih)

， 這個波從剛好是乾潮的位置

處傳到滿潮的位置處所需的時間約為14 小 時(

t

=

(成 /2)/v) ， 若以水波來回一次所 需的時間為一個週期，那麼地球上水波的自 然週期約是 28 小時。但從自轉中地球的觀點 來看，月球會對當地的海水施以一個週期約 為 12 小時的外加驅動力，也就是說，海水有

一個 28 小時的自然振動週期，但月球是以較 快的 12 小時週期在驅動我們的潮汐波。當自 然週期比外加驅動力的週期還長時，系統的 反應常常會適得其反，這就是為什麼由月球 的潮汐力判斷該處應該滿潮時卻觀察到乾潮 的原因。不過這種修正，比較適用於面對廣 大海洋的位置。比如台灣東部沿岸面對廣大 太平洋，因而滿潮的時間與月球出現在正天 頂的時間有時相差 1 至 2 小時，有時卻相差 3 至 4 小時，其時間差的變異性相當大，而 西部沿岸面對較狹小的台灣海峽，其滿潮的 時間與月球出現在正天頂的時間相當。 最後要說明的是，影響潮汐現象的因素 非常多，比如海底地形、海底摩擦、海水密 度、海流、慣性、氣壓以及地球自轉等因素 (其他行星對地球潮汐力與太陽和月球相 比，可說是微不足道)。因此，要研究某半個 地區的潮汐特性，都必須經過長時間的觀測 與記錄，才能蒐集到較完整的潮汐資料。而 太陽和月球的潮汐力是潮汐變化的主要來 源，月球、太陽和地球之間的相對位置的改 變，以及月球、太陽和地球之間距離的變化， 都對潮汐力有相當大的影響。

參考文獻

1.中央氣象局網站 :htto://www.cwb.gov.tw/

V4/index.htm

2. 王執明主編，高級中學地球科學(上)一 教師手冊，台北，龍騰文化，

56 -

58 頁， 民"。 3. 休伊特(

Pau

l.

G. Hewitt

'蔡坤憲譯) ，觀念 物理 E 轉動力學﹒萬有引力，台北，天 下文化， 107-125 頁，

2001

0 4. 建國中學主編，高級中學數理叢書一物理 (第二輯) ，台北，教育部中教司，

59-62

頁，民 82 0 5. 陳偉正、林雲海、顏三和、陳憬燕，物理 與生活，初版，台北，銀河文化，

45-47

頁， 1998 。 6.盛博納，水波物語，科學發展，360 期， 62 69 頁，

2002

0 7. 褚德三主編，高級中學物質科學物理篇 (J二)一教師手冊，台北，龍騰文化，

246

266 頁，民 92 0 8. 劉文俊，台灣的潮汐， 2 版，台灣，劉文俊 出版(萬森興業印刷)

,

1999 。

9.D. Halliday and R. Resnick

,

Fundamentals

of Physics Extended

,

2nd ed.

, U.

S.

A.,

John