《有理数》全章复习与巩固（基础）
【学习目标】 1．理解有理数及其运算的意义，发展运算能力；了解无理数的概念，会判断无理数. 2．能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小；借助数轴理解相反数和绝对值的 意义，会求有理数的相反数与绝对值． 3．体会转化、归纳等思想；掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算并能解决简 单的实际问题． 4．会用科学记数法表示较大的数，能对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断，发 展数感． 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、有理数与无理数 1．有理数的分类： （1）按定义分类： （2）按性质分类： 要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量； （2）有理数“0”的作用： 作用 举例 表示数的性质 0是自然数、是有理数表示没有 3个苹果用+3 表示，没有苹果用 0 表 示 表示某种状态 0
0 C
表示冰点 表示正数与负数的界点 0非正非负，是一个中性数 2．无理数：无限不循环小数叫做无理数． 要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限．无理数的小数部分不循环，不能 表示成分数的形式． （2）目前常见的无理数有两种形式：①含π
类．②看似循环而实质不循环的数， 如：1．313113111……（相邻两个 3 之间 1 的个数逐渐增加）． 3.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线． 要点诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数， 如
． （2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大． 4．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0 的相反数是 0． 要点诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两 点是关于原点对称的． （2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“
”号即可． （3）多重符号的化简：数字前面“
”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若 有奇数个时，化简结果为负． 5．绝对值： （1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 0 的绝对值是 0． 数 a 的绝对值记作a
． （2)几何意义：一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点与原点的距离． 要点二、有理数的运算 1 ．法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号 两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同 0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即 a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同 0 相乘， 都得 0． （4）除法法则：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数．即 a÷b=a·1
b
(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次 幂都是正数，0 的任何非零次幂都是 0． (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用： （1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3， －[+（－3）]=3． （2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积 的 符 号 ， 例 如 ： （ － 3 ） × （ － 2 ） × （ － 6 ） = － 36 ， 而 （ － 3 ） × （ － 2）×6=36． （3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数 为偶数，则幂为正，例如：
( 3)
2
9
，( 3)
3
27
． 2．运算律： （1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba； （2）结合律: ① 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 要点三、有理数的大小比较 比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于 0，0 大于负数， 正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒 数比较法． 要点四、科学记数法 把一个大于 10 的数表示成a
10
n的形式（其中1
a
10
，n
是正整数），此种记法叫 做科学记数法．例如：200 000=2 10
5． 【典型例题】类
型
一
、
有
理
数
与
无
理
数
的
相
关
概
念
1．若一个有理数的：(1)相反数；（2）倒数；(3)绝对值；(4)平方；(5)立方，等于它本 身 ． 则 这 个 数 分 别 为 (1)________ ； (2)________ ； (3)________ ； (4)________ ； （5）________． 【答案】（1）0； (2)1 和-1；(3)正数和 0；(4)1 和 0；(5)-1、0 和 1 【解析】根据定义，把符合条件的有理数写全． 【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念． 举一反三： 【变式】(1)3
2
1
的倒数是 ；3
2
1
的相反数是 ；3
2
1
的绝对值是 ； -（-8）的相反数是 ； 2 1 的相反数的倒数是_____. (2)某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落，规定上涨记为正，则 -5．8 元的意义是 _ ； 如果这种油的原价是 76 元，那么现在的卖价是 ． (3) 上海浦东磁悬浮铁路全长 30km，单程运行时间约为 8min,那么磁悬浮列车的平均速度用科 学记数法表示约为 m／min． (4) 若 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，则 ( ) 3 2 3cd a b ____ ． （5）下列各数：2
，0，0.23
，22
7
，0.3000333…，中无理数个数为 个． 【答案】（1）
5
3
；1
2
3
；1
2
3
；-8；2 （2）降价 5．8 元，70．2 元；（3）3.75 10
3；（4）3；（5）2． 2．（2015 春 射洪县月考）如果• |x+3|+|y 4|=0﹣ ，求 x+2y 的值． 【思路点拨】根据非负数的性质，可求出 x、y 的值，然后将 x、y 的值代入代数式化简计算即 可． 【答案与解析】 解：∵|x+3|+|y 4|=0﹣ ， ∴x+3=0，y y=0﹣ ， 解得，x= 3﹣ ，y=4， x+2y= 3+4×2=5﹣ ． 【总结升华】本题考查了绝对值的性质和非负数的性质，掌握有限个非负数的和为零，那么每一 个加数也必为零是解题的关键． 3．在下列两数之间填上适当的不等号：
2005
2006
________2006
2007
． 【思路点拨】根据“a-b＞0，a-b＝0，a-b＜0 分别得到 a＞b，a＝b，a＜b”来比较两数的大小． 【答案】 ＜ 【解析】法一：作差法 由于2005 2006
2005 2007 2006 2006
1
0
2006 2007
2006 2007
2006 2007
，所以2005
2006
2006
2007
法二：倒数比较法：因为2006
1
1
1
1
2007
2005
2005
2006
2006
所以2005
2006
2006
2007
【总结升华】比较大小常用的有五种方法，要根据数的特征选择使用． 举一反三： 【变式】比较大小：(1)1
99
________0．001； (2)2
3
________-0．68 【答案】（1）＜ （2）＞类型二、有理数的运算
4．（2016•厦门）计算： ． 【思路点拨】原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果． 【答案与解析】 解：原式=10+8× ﹣ ×52 =10+2 10﹣ =2． 【总结升华】有理数的混合运算首先弄清运算顺序，先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算 括号里边的，同级运算从左到右依次进行计算，然后利用各种运算法则计算，有时可以利用运算 律来简化运算．举一反三： 【变式】计算：（1）
( 2)
1 1
( 2)
2 2
（2）
2
46 10 3
1
2006 【答案】（1）( 2)
1 1
( 2) ( 1)
1
( 2) ( 1) 2 ( 2) 4
2 2
2
（2）
2
46 10 3
1
2006 =-16+4-3×1 =-15类型三、数学思想在本章中的应用
5．（1）数形结合思想：有理数 a 在数轴上对应的点如图所示，则 a，-a，1 的大小关系．A．-a＜a＜1 B．1＜-a＜a C．1＜-a＜a D．a＜1＜-a （2）分类讨论思想：已知|x|＝5，|y|＝3．求 x-y 的值． （3）转化思想：计算：
35
3
(
1
)
14
7
【答案与解析】 （1）将-a 在数轴上标出，如图所示，得到 a＜1＜-a，所以大小关系为：a＜1＜-a． 所以正确选项为：D． （2）因为| x|＝5，所以 x 为-5 或 5 因为|y|＝3，所以 y 为 3 或-3． 当 x＝5，y＝3 时，x-y＝5-3＝2 当 x＝5，y＝-3 时，x-y＝5-(-3)＝8 当 x＝-5，y＝3 时，x-y＝-5-3＝-8 当 x＝-5，y＝-3 时，x-y＝-5-(-3)＝-2 故（x-y）的值为±2 或±8 （3）原式=35
3
( 7) 35 7
3
7 246
1
14
14
2
【总结升华】在解题中合理利用数学思想，是解决问题的有效手段．数形结合——“以形助数” 或“以数解形”使问题简单化，具体化；分类讨论中注意分类的两条原则：分类标准要统一，而且分类要做到不重不漏；转化思想就是把“新知识”转化为“旧知识”，将“未知”转化为“已知”． 举一反三： 【变式】（2015•宁德）有理数 a，b 在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式正确的是（ ） A．a+b＜0 B． a b﹣ ＜0 C．a•b＞0 D． ＞0 【答案】B．
