前言 臺灣出版商引進結城浩的《數學女孩》系列，一開始應該是出自數學普及面向的 考量，而非我們現在更感興趣的數學小說文類（genre）。現在，就國內所出版數學 小說（mathematical fiction，主要是中譯本）的敘事風格來說，《數學女孩》是非常 獨特的一個系列，這是因為作者在本系列中，忠誠地分享了他自己的數學學習心得。 不過，他除了這種在「小處」斤斤計較、吹毛求疵的「著手」之外，還不斷地高舉 他的結構美學大旗，向讀者宣示數學「旅行地圖」的重要意義。 在本文中，我所討論的《數學女孩》系列共有四本，依中譯本發行順序如下：《數 學少女》（青文出版社，2008）、《數學女孩：費馬最後定理》（世茂出版公司， 2011）、《數學女孩：哥德爾不完備定理》（世茂出版公司，2012），以及《數學女孩： 隨機演算法》（世茂出版公司，2013）。由網路出版資訊得知，結城浩又出版了《數 學女孩：伽羅瓦理論》，不過，由於該書尚未有中譯本，本文姑且不論。在此，我 打算依序先簡介前述四書（都各有10 章）的內容，最後再綜合評論作者的敘事風格， 及其對於我們的（中學）數學知識活動所可以帶來的深刻啟發。 《數學少女》 本書數學主題是分拆數（partition）（第 10 章）。作者利用生成函數（generating function），先找出費氏數列（或斐波那契數列）的一般項Fn，從而說明後者如何成 為分拆數（partition）Pn的上界：Pn ≤ Fn。所謂分拆數Pn，是指給定正整數n，將 n用小於或等於n的正整數分拆的所有可能情形之個數。例如， 4 = 4 = 3 + 1 = 2 + 2 = 2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 故P4= 5。正如蘇俊鴻指出：「雖然分拆數的主題在數學上並不讓人驚奇，作者 卻能由高中所學得的數學知識出發，將這個主題的相關數學知識一一連貫起來，值 得我們為作者的努力鼓掌。」 作者簡介：洪萬生為台灣師大數學系退休教授，研究數學史，並為臺灣「HPM」發起人，強調數學史在 數學教學中之功用。洪更是台灣數學科普的推手，與學生翻譯多本科普書，廣撰科普書評，目前更推動 以文學小說來促進數學之普及化。 作者：洪萬生
少女也愛上數學
《數學女孩》的數學學習與結構美學
作者以數列謎題引導本書前三章的討論，而這三章（〈數列與規律〉、〈名為算 式的情書〉及〈ω的華爾滋〉）與第5 章〈算術平均數與幾何平均數的關係〉，可說 是高中數學的簡要複習。不過，在第2.9 節中有關「方程式與恆等式」與算式的「積 的形式與和的形式」之單元，作者運用八頁的篇幅，「細緻且透徹地將算式的基本 定義，好好提點了一遍」，讓身為數學教師的蘇俊鴻大為感動，他「自問在課堂上 的傳授都無法做到」。由此，我們也看出作者念茲在茲的，是對於數學知識本質的 解說。同時，他也不吝於分享個人的數學學習的心路歷程，譬如第5.5 節〈所謂讀數 學〉的內容，就十分貼近高中生的學習經驗。 作者也藉由費氏數列（第4 章）與卡塔蘭數（Catalan numbers）（第 7 章）引進生成函數，以及如何運用生成函數求數列一般項的方法。 至於第6 章有關微分與差分（連續與離散）的對比，則是討論連續觀 點下的數學定義、如何在離散觀點下尋找合適對應的定義。因此，微 分vs. 差分；積分 vs. 和分，這種「悠遊於兩個不同世界的方式」， 連結了數列與生成函數兩種不同的數學主題。 此外，本書第8-9 章有關黎曼ζ函數ζ(s) = ∞k=11/ks的內容，涉 及調和數列 ∞k=11/k的討論（ζ(1)，第8 章），以及泰勒展開式與 貝塞爾問題（即 ∞k=11/k2= π2/6）（ζ(2)，第9 章）。針對前者， 作者特別利用摺積的概念與方法，以及黎曼ζ函數與尤拉（歐拉）積 的關係： ζ(s) = ∞ k=1 1 ks = prime p 1 1− 1 ps， 數學少女（2008），青文。 數學女孩：費馬最後定理（2011），世茂。 數學女孩：哥德爾不完備定理（2012）， 數學女孩：隨機演算法（2013），世茂。
證明質數有無限多個。針對後者，作者的目的，顯然就是介紹尤拉（歐拉）如何 利用邏輯上站不住腳的「類比」方法，發現ζ(2) = ∞k=11/k2= π2/6，而這也讓 十八世紀的尤拉（歐拉）老師成為本書的偶像。為此，作者還特別處理了代數基本 定理及其相關的根與係數關係。而有關此一貝賽爾問題解法的「重新發現」，作者 刻意安排最缺乏數學自信的一位女主角蒂蒂完成，在數學學習方面的確頗富深意。 本書主角除了蒂蒂之外，還有第一人稱的「我」（高二男生），他的同學米爾迦 是一位數學才女，經常對他「發號施令」。至於蒂蒂（或蒂德拉）則是他的高一學妹， 喜歡纏著男主角發問，但是，一直不清楚自己的數學潛力。他們三人之間的對話除 了數學的解題探索、經驗分享之外，甚少涉及日常生活點滴，但是，對白中也洋溢 著少男少女情懷，讓熟悉日本輕小說敘事的讀者深感親切。 除了上述的敘事特色之外，本書還洋溢著數學史的洞識，譬如在第2.10 節〈數學 公式的背後是誰？〉，作者就指出：「在算式背後都有一段歷史，當我們在讀算式 的時候，就像是和無數的數學家格鬥」，因此，「會花時間理解是一定的」，同時， 「當我們展開一道算式，就是超越了幾百年的時光；在我們面對算式時，我們都是 小小的數學家。」這種運用數學史的縱深來賦予數學知識活動的意義，當然是本書 的主要敘事特色。 作者的「縱深」關懷也表現在（譬如）複數平面的引進，在此，他提出高觀點的 方法論反思，也非常具有啟發性：「從整數到實數的數線，再從數線到複數平面， 不斷地思考更高的次元。於是表現就變得簡單明瞭，可以說越簡單明瞭，就越象徵 『理解』吧。」而這，當然也連結到他的結構關懷。 另一方面，這種結構關懷也表現在「跨界」的連結上，譬如作者推許生成函數是 操作數列為一個有效方法，其原因就在於利用「生成函數求得斐波那契數列一般項， 就像原本捧在手上快要散落的數列，被名為生成函數的一條線串起來」，且最終得 以讓相關數學主題成為具有結構的一個有機整體（organic whole）。而這，也很好 地解釋了何以作者在本書適當脈絡中繪製數學「旅行地圖」。 《數學女孩：費馬最後定理》 本書數學主題當然是第10 章的費馬最後定理。前四章介紹初等數論，作者一再強 調代數/ 數論與幾何之連結意義，不過，其內容層次大致止於高中數學課程。第 1 章 主題是時鐘或模數算術，作者利用具體例證，說明由特殊推論到普遍的數學方法論 意義。第2 章主題是畢氏定理的數論版—畢氏三元數，因為這是為了費馬最後定理 的討論，而進行暖身的必要的工作，尤其它們還對應到單位圓上的有理點。作者顯 然利用此一連結，說明「原始畢氏三元數組有無窮多個」等價於「單位圓上的有理 點有無窮多個」，從而指出「尋求方程式的解」（代數命題）與「用圖形捕捉事物」
（幾何命題）之關連。第3 章主題是互質，作者當然討論分數運算如通分與約分、 最大公因數與最小公倍數以及這兩個概念之關係、質因數分解及其運用指數表現式 之幾何表徵，而且再一次指出數論與幾何之連結：「深具內涵的幾何特性，讓我們 的表現更為豐富。」。第4 章主題是反證法或歸謬證法，其例題是有關根號 2 為無 理數之證明。作者在本章提供了兩個證明，並企圖說明這種證法在方法論上之意義。 第5 章主題是可以分解的質數，其內涵已經超越一般高中數學範圍了。在本章中， 作者除了利用一、二次方程的解來定義新數之外，還為了引進高斯整數（Gaussian
integer）a + bi，其中a，b為整數，i =√−1，而說明複數的幾何表徵及其運算意義，
最後，在比較整數與高斯整數異同之後，說明「會粉碎」的質數之意義。第6 章主 題是交換群（的眼淚）。正如前一章，本章內容也超越一般高中數學範圍，其各節 單元有結合律、交換律、單位元、反元素、群與最小群，以及同態等等抽象代數的 概念。這些當然都是為了第7 章之後的抽象數學之引進，所做的預備工作。第 7 章 主題是呼應第1 章的（視髮型為）模數，以及由此引出的群、環、體等抽象代數結構。 其中，針對模數p為質數時，Z/pZ由剩餘類環變為體之討論，對於高中學生而言， 則是非常抽象的主題。第8 章主題是無窮遞減法，其中，作者不憚其煩地說明了費 馬如何利用這一方法證明x4+ y4= z4沒有非無聊的（non-trivial）整數解，從而印 證了費馬在丟番圖的《數論》（Arithmetica）拉丁版頁邊空白處所寫下的備註，並 非無稽之談。有了前述準備，作者在本書最終章（第10 章）討論費馬最後定理的「證 明」。作者為了讓讀者多少掌握一點有關此一偉大證明輪廓，特別提供了一個證明 的概略。基於此，他還進一步介紹橢圓函數、模曲線與自守形式。最後，懷爾斯在 橢圓曲線與自守形式之間成功地搭起一座橋樑，而完成了費馬最後定理的證明。 至於第9 章主題，則是最美麗的數學公式：eiπ =−1，它也是小川洋子的著名小 說《博士熱愛的算式》的主題。結城浩顯然意在利用這個許多讀者已經熟悉的歐拉 算式，來說明冪級數如何在指數函數與三角函數之間，搭起一座溝通的橋樑。當然， 所謂的歐拉公式eiθ= cos θ + i sin θ與複數平面之關連。在本章末，作者引述吉田武
《虛數的情緒》說明eiπ =−1這個算式「是由最有用的兩個常數，即『納氏常數』 及『圓周率』這兩種『虛數』居中結盟而成。」1不過，作者顯然也運用本章，再度 表達他對歐拉老師的高度崇敬。 本書的主角除了《數學少女》的二女一男外，有多了男主角「我」的表妹由梨。 此一國中生角色的安排，讓本書的數學對話顯得更加貼近中學生的數學經驗。 1 納氏常數是指歐拉數e，自然對數的底數，因為它是由納皮爾（Napier）所發明，故有納氏常數之稱。這是 清代中國數學家的中譯，後來日本數學家襲用之。
《數學女孩：哥德爾不完備定理》 本書主題是哥德爾不完備定理。誠如我在推薦序所指出，本書所訴求的，是讀者 的數學成熟度，而不必非要有高深的數學素養不可，因此，讓高中生當作課外讀物 來討論，當然也是儘管十足挑戰性但卻相當合適的主題。 事實上，本書所預設的數學基礎知識，只有形式邏輯與集合論，作者依序分別在 第1、3 章討論。至於第 2 章，則是深入說明算術系統的皮亞諾公理，一方面強調自 然數的公理建構，同時也為後文的形式系統（formal system ）之引進來鋪路。其中， 作者更是針對數學歸納法的無限指涉，提出重要的提醒與澄清：數學歸納法「所主 張的並非是針對一個個的自然數，所欲主張的是針對所有自然數的集合。藉由邏輯 的力量，一鼓作氣地全數一網打盡。」基於集合與無窮等比級數的概念，作者利用 第4 章整章的篇幅，詳盡地說明何以循環小數0.999· · · = 1？ 第5 章再回到邏輯主題，但深入討論形式邏輯與證明論，強調邏輯連詞與量詞的 使用，並以第6 章的極限分析論證為例。第 7 章分成兩個部分，第一部份是數集是 否可數（countable）的討論，其中康托爾的對角線論證法是主題，作者深入說明何 以實數系不可數，而且同一方法也無法否證有理數系可數。在第二部份，作者開始 引進形式系統的一致性（consistency）、完備性（completeness）與哥德爾不完備定 理，以及涉及後者證明的對角化法，因此，在本章中，作者顯然針對此一概念工具 （conceptual tool），先引進再呼應，儘管後者的形式系統語言不是那麼容易親近！ 延續這種形式系統的思維，作者在第8 章運用商集的概念，從自然數系引進整數 系，再進一步引進有理數系。當然，作者也利用本章內容，強調「人的心會壓縮具 體實例」，同時，由於「同態映射為意義之源」，因此，吾人可以從形式系統再回 到具體實例的意義世界上。基於此一考量，再加上本書第10 章論述的「形式化的形 式化」，作者安排第9 章的高中三角函數題材，讓讀者喘一口氣，以便迎戰本書終 章—第10 章。 本書主角與《數學女孩：費馬最後定理》相同，亦即共有三女一男。到了下一本 小說《數學女孩：隨機演算法》，又多了一位紅髮的高中美少女麗莎，非常擅長電 腦程式，同時也是贊助雙倉圖書館的雙倉博士的千金。 《數學女孩：隨機演算法》 本小說主題為隨機漫步（random walk）及其定量估算，但由於涉及機率、統計與 矩陣，因此，作者運用了第1、3、4、5、7 等五章，引進排列、組合、機率、期望 值以及矩陣等高中基礎數學單元。不過，在第4 章中，作者花了相當多的篇幅，說 明了機率的公設定義。至於第2、6 章的主題，則是線性搜尋與快速演算法的等級估 算。
第7 章主題是矩陣，作者從二元一次聯立方程組的解法談起，引進矩陣與行列式， 並進一步討論二階矩陣所表現的線性變換之映射圖形。這些都是高中數學層次的題 材，也是隨機漫步的計算利器之一，因此，在第8 章中，矩陣的延伸內容又涵蓋了 二階矩陣的對角化，其中作者當然必須介紹矩陣的特徵（或固有）值與特徵（或固有） 多項式。不過，本章主題是隨機漫步，作者除了提出「鋼琴問題」之外，還詳盡地 討論了「流浪問題」。 第9 章主題是如何找出有效率的演算法，這個問題被認為是電腦科學中最有名的 未解決問題。給定一個邏輯式，針對其變數賦予怎樣的真假值，整個邏輯式才能為 真呢？現在，使得邏輯式為真的變數之賦值是否存在？由於演算法的級數經常會非 常龐大，因此，我們需要有效率的演算法，來找出這個問題的答案。在這個脈絡 中，作者也引進可滿足性問題（SAT，Satisfiability problem ）。考慮邏輯式 3-CNF （Conjunction Normal Form），它有 2 個子句，它們都各由 3 個字符組成。那麼，
檢查是否存在滿足3-CNF 的賦值存在的問題，就稱為 3-SAT。後者這個問題又自然 地連結到P = NP的猜測，這是一個千禧年百萬美元獎金難題。所謂P問題是指有 效率可解的問題，至於N P問題，則是給定一個可能的解時，能有效率判斷這個解是 否正確的問題。目前已經證明P ⊂ NP，但是反過來，則仍然未知。作者從具體例 子入手，說明此一難題的背景與意義，意在激發「小數學家」的豪氣，用心良苦， 令人感佩。此外，作者還介紹史特靈公式（Stirling's formula）來估算組合數，作風 也令人驚豔。 在第10 章，作者主要介紹兩種隨機演算法：快速排序演算法和隨機快速排序。針 對前者，他針對其執行步驟數的進行深入分析，得出最大執行步驟數與平均執行步 驟數。至於後者，他則是結合了期望值的概念來進行估算。 總之，本書一如本系列前三本，作者在解題時盯住細節但又不為其所侷限，總是 提醒讀者從容出入，適時掌握「筆記」要點或「旅行地圖」，以免迷失所在位置。 此外，他還進一步說明如何從結構面向切入，以連結具體例子與一般化，以及「看 穿構造，需要心之眼」的知識洞察力之不可或缺。 綜合評論 正如前述，本文所討論的這四本小說都有各自的主題，依序是分拆數、費馬最後 定理、哥德爾不完備定理，以及隨機演算法。為了普及遠遠超乎高中數學層次的這 些知識，作者顯然事先擬定好了數學「旅行地圖」，由最基本的中學數學題材開始 討論，一步一步地由書中的數學女孩與男孩帶領，探索數學的奇妙世界。同時，作 者對於十分熱門的數學普及話題如斐波那契數列、蒙提霍爾三門問題等，也都討論 得唯恐不夠深入。更值得注意的，儘管學校數學老師是一個「隱形的」角色，然而， 作者提及他的時候，總是伴隨著一個十分適當、但卻與考試毫不相干的數學問題，
將本書主角的課外與課堂學習連成一氣，從而讓這一系列小說的敘事自然地呈現些 許數學教育改革之關懷。此外，他們也經常提及十八世紀的偉大數學家歐拉（尤拉）， 尊稱他為歐拉老師。而這，當然與歐拉的高度重視數學的新發現之進路息息相關。 在人物個性的塑造與故事情節的安排上，這些小說都相當成功地結合數學知識活 動中的提問與解題。這種高中或國中學生主角的「現身說法」，無疑地發揮了極大 的親和力，甚至讓數學沒那麼機伶的一般學生，也容易產生共鳴。此外，它們所提 供的解題或證明活動，也總是充分地配合人物個性與數學經驗，而呈現多面向的進 路或方法，讓讀者可以從容分享。在這樣的關連中，作者也利用主角提供各章開頭 與結束時的名家引言，數學方法的學習反思，以及得自數學史的啟發，做為彼此的 勉勵或提醒，這種平起平坐的「勵志」方式，料想一般讀者應該比較容易接受才是。 另一方面，這些小說也經常基於「知識結構的高觀點」或「數學史的洞察」，來 歸納或提示一些（有時是跨界的）「旅行地圖」，藉以強調相關的數學結構意義， 讓讀者不至於迷失在瑣碎的解題迷魂陣中，而無法自拔。最後，作者仿效類似網路 「超連結」資訊的手法，鼓勵讀者進行形式推論，即使不知道個別命題或定理之內 容為何。而這，當然也意在凸顯數學知識的結構面向之意義。根據網路相關資訊， 作者的興趣與工作是「寫程式」與「寫書」，相當喜歡花好幾年的時間，不斷地重 複閱讀同一本書。此外，他熱愛巴洛克音樂，尤其是巴哈的《賦格的藝術》與《音 樂的奉獻》。上述這些有關他個人的素描，相當具體地反映在本小說系列的形式與 內容上。一般而言，寫程式的人似乎比較不易被數學結構所吸引。然而，結城浩愛 好巴洛克與巴哈的音樂 － 樂曲以簡單、對稱、優雅與結構謹嚴著稱，則相當可以解 釋他在本書敘事時，何以那麼重視數學結構！ 總之，像《數學女孩》這樣的系列小說，顯然是可以吸引喜歡敘事的讀者，藉以 學習數學的一種新興的普及讀物。事實上，他的敘事往往伴隨著數學知識的開展， 而達到融數學與敘事為一體的境界。一般而言，數學實作的這種鋪陳與開展，當然 為一般科普作品所具備，不過，如果還想契合故事情節中小說人物的對話，那麼， 作家的數學敘事（mathematical narrative），就非要完全融會貫通相關的數學知識不 可。正是基於這種在「脈絡」（context）中「做」與「說」數學的特性，結城浩也 得以細緻地分享他對相關數學主題的學習心得，因此，如果讀者有意就數學普及書 籍學一點數學，那麼，這一系列小說都是上上之選。 延伸閱讀 ▼結城浩《數學少女》中譯本系列。《數學少女》2008（青文）、《數學女孩：費馬最後定理》2011（世茂）、 《數學女孩：哥德爾不完備定理》2012（世茂）、《數學女孩：隨機演算法》2013（世茂） ▼洪萬生，《數學與文化:以數學小說閱讀為進路》16講，臺大開放式課程。 網址 http://ocw.aca.ntu.edu.tw/ntu-ocw/index.php/ocw/cou/101S126 ▼HPM《HPM通訊》網站。洪萬生發行，蘇惠玉主編。關注數學史與數學教育之關連。網址 http://math.ntnu. edu.tw/~horng/letter/hpmletter.htm
