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高中數學科差異化評量—高一第一學期第一次定期考

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(1)

高中數學科差異化評量—

高一第一學期第一次定期考

李政豐* 曾政清** 李吉彬*** 蘇麗敏

*國立竹南高中數學教師 **臺北市立建國高中數學教師 ***國立臺中一中數學教師 †臺北市立北一女中數學教師 面臨十二年國民基本教育的實施,在高中教學現場第一線的數學教師們, 受到的影響最大也最直接,特別是面對免試入學比例提升,同一學校內的學生, 可能在數學上的先輩知識與能力,甚至是對數學的學習興趣與熱情上皆有所差 異;因此除了課堂上的教學模式、教學方法外,針對學生差異所設計的評量試 題也是大家非常關注的一個環節。 特別是 99 高中數學課綱已實施三年多,各校在這段期間,都已經有了新課 綱數學定期考試題的出題經驗,包括有許多各校教師精心設計的題目,能使得 高中數學的教與學皆有所精進。數學學科中心試題研發小組為擴充高中數學教 學資源,廣邀全國各高中上網分享定期考試題,兩年來數學學科中心依據學校 特性持續隨機抽樣 20 所學校,邀請學者專家、第一線高中教師與種子教師,分 年級與定期考挑選優良定期考試題,供教師們參考,透過拋磚引玉,讓各校試 題能有良性交流與相互切磋的舞臺,並使得試題品質可以更上層樓。 如今配合差異化教學的實施,命題教師更需要將各種學習表現學生的適度 評量納入考慮。因此要命一份對所有同學難易適中並具有鑑別度的試題便成了 一項既重要又有挑戰性的任務。特別是所需考量的因素變得更為多元,除命題 範圍、配分方式、考試時間外,對於試題難易度、鑑別度、平均成績…等等皆 是考量的重點。由於考量各校的校情各有差異,及試卷的題型或難易度等的整 體因素,試題研發小組乃將焦點擺放在試卷的整體設計上。結合原有各定期考 所推薦基礎觀念的重要考題及新穎創意考題設計外,並配合現階段大學學測與 指考數學考科的重要試題加入其中。配合敘述一致性,部分試題有作一些敘述 的些微修改或選項的更動加以彙編。我們由衷的建議:針對各校入學時基礎及精 熟級所占學生比例作適宜的選題組合,至於待加強級則可以考慮課堂上所使用 各版本課本的例習題為主要的命題參考依據。 以下高一第一學期第一次定期考所選出的參考試題是依據現行課綱所對應 的方式呈現

(2)

1.1.1 數學上的有理點及其十進位表示法 基礎級試題 1.1.1 數學上的有理點及其十進位表示法 精熟級試題 1. 下列哪些有理數可化成有限小數? (A)101  (B)10241  (C)1251  (D)1423 (E)1251。 參考答案:(A)(B)(C)(E) 出處:精誠中學 2. 若函數f n 表「

 

47化成小數,小數點後 第n 位數」,則 (1) (2) (3) (123) fff   f =___。 參考答案:553 出處:苑裡高中 3. 若 a 為 1 至 9 的正整數,且 13 14 0.1 2 99 a 99,則 a  __________。 參考答案:3 出處:台中一中 4. 小草作乘法運算:將一正數 a 乘以0.35 ,但小草看錯,將a 誤乘以 0.35 ,結果 得到的值比正確值少 61 ,則a 之值為 ____。 參考答案:30 出處:新竹女中、台中一中等

(3)

1.1.1 數學上的有理點及其十進位表示法 基礎級試題 1.1.1 數學上的有理點及其十進位表示法 精熟級試題 5. 如下圖所示,若數線上兩點 ( ), ( )A a B b , 設直線L 通過 A 點,且直線 L 上有 C, D, E, F, G, H 六 點 , 滿 足 AC CD DE EF   FG GH , 連 接 BH ,依尺規作圖方式,過 C, D, E, F, G 分別作 BH 的平行線與直線 AB 交出 5 個 點, 則此5 個點之坐標可為下列哪些選項? (1)2 3 6 ab (2) 2 a b (3) 2 3 ab (4)5 6 a b   (5) 3 6 ab 。 參考答案:(2)(3)(4) 出處:基隆女中 6. 如下圖,兩數線OX, OY交於O,今以 射 線OX, OY為OX, OY兩 數 線 的 正 向,O 為兩數線的原點,且兩數線的單 位長等長。若AP BQ// 且A 與 B 於OX 的坐標分別為

4.8 ,P 與 Q 於OY的 坐標分別為 7.36 與

,其中  均為, 整數且1   10, 則數對

 ,

=__________。 參考答案:(4, 9) 出處:台南一中

(4)

1.1.2 實數系 基礎級試題 1.1.2 實數系 精熟級試題 7. 設 k 為一正整數。已知

k<

55+6

55<k+1

,則k=____。 參考答案: k=9 8. 介於 1 2 3與 11 13 4 3 之間的整數共有 ___個。 參考答案:4 出處:金門高中 9. 設 a=

3+

13

b=3+

7

c

=

16+8

3

,則a,b,c 的大小關 係為    。 參考答案: b> c> a 10. 如圖,平面上有共線三相異點 A, B, C, 其 中 B 介 於 A, C 之 間 , 已 知 3 2 3 AB  , BC   9 14 3。 以 AC 為直徑作一半圓,過B 作 AC 垂直線交 半 圓 於 D , 若 BD 的 長 度 可 化 簡 為 3 a b (其中 ,a b 都為正整數),則 數對 ( , )a b =______。 參考答案: (3, 4) 出處:武陵高中 11. 設 k 為一整數。已知 k3<

31<k +13 ,則k=____(102 學測) 參考答案:16 詳解:已知 k 3<

31< k +1 3 ,則

k

2

<

279<( k+1)

2 ,又 12.

1 52+ 1 42+1 等於下列哪一個選項? (1) 1.01 (2) 1.05 (3) 1.1 (4) 1.15 (5) 1.21 (101 學測)

(5)

1.1.2 實數系 基礎級試題 1.1.2 實數系 精熟級試題 162<279<172 ,故 k=16。 參考答案: (2) 13. 設

a,b

皆為正實數,且滿足

ab

的 最大 值為 3,試求

a+3 b

的最小值為____。 參考答案:6 14. 若已知一開口向上的拋物線

y=ax

2

+

bx+c

,其圖形與 x 軸分 別交於 A (−1,0),B(1+ 1 a,0) 兩點,與 y 軸交於 C 點,且經過點

D(1,−2)

,設

A ,B,C

三點所圍成的 Δ ABC 其面積為 S ,則 S 的最小 值為何? 參考答案: 32+

2 出處:建國中學 詳解: y=a( x+1)( x−1−1a) 代入 x=0 ,得

C( 0,−a−1)

S=1 2×AB×OC= 1 2×(2+ 1 a)×(a+1)= 3 2+a+ 1 2 a (3)由於 a> 0 ,由算幾不等式,可

S=

3

2

+

a+

1

2 a

3

2

+2

a⋅

1

2 a

=

3

2

+

2

(最小值)。故 S 的最小值為 3 2+

2 。 1.1.2 實數系綜合性質 基礎級試題 1.1.2 實數系綜合性質 精熟級試題 15. 下列各敘述何者正確? (1)若a b, 為有理數,則a b ab , 均為有 理數 (2)若a b a b ,  為有理數,則a b, 均為 有理數 (3)若a b, 為有理數,且a b ,則 16. 試問下列敘述哪些正確? (A)0.21533071 。 (B)140203可以化為有限小數。 (C)若a b, 為正實數,且a b 為有理數, a b 為無理數,則 2 2 ab 必為無理

(6)

3 2 5 a + b a < < b (4)設a b, 為實數,若a+b 2 0= ,則 0 a = b = (5) 3 14 4 13。 參考答案:(1)(2)(3) 出處:新豐高中 數。 (D)若a b, 為實數,則 a2ba 3b 。 (E)若 ,a b 為 實 數 且 滿 足 a < b , 則 2 3 6 a b a  b 參考答案:(A)(B)(C)(D) 出處:建國中學

(7)

1.1.3 乘法公式基礎級試題 1.1.3 乘法公式 精熟級試題 17. 已知 0  且x 1 2 2 2 2 1 1 2 2 10 x x x x       , 則x 之值為__________。 參考答案:0.2 出處:小港高中 18. 已知 x=

−1+

5

2

, y=

−1−

5

2

則 x3 + y3之值為       。 參考答案:− 4 出處:建國中學 1.2.1 數線上的幾何分點公式 基礎級試題 1.2.1 數線上的幾何分點公式 精熟級試題 19.設

A ,B,C

這三個點在數線上之坐標分 別

−5,7, x

,且滿

AC : BC=3:5

, 則 x 所有可能的值為______。 參考答案: −12−23 出處:建國中學 20. 坐標平面中 A(a,3),B (16,b),C (19,12)三點 共線已知 C 不在 A,B 之間,且

AC : BC=3:1

,則 a+b= (19)(20) (102 學測) 參考答案:19 詳解: 由已知 C 不在 A,B 之間,且

AC : BC=3:1

及分點公式得 (16,b)=( 2×19+a 2+1 . 2×12+3 2+1 )=( 38+a 3 .9 )

{

a=10

b=9

 a+b=19

(8)

1.2.2 含絕對值的一次方程式與不等式 基礎級試題 1.2.2 含絕對值的一次方程式與不等式 精熟級試題 21. 設

a,b

為 實 數 且 b>0 , 若

|

ax+b|>2

  之 解 為 x>7 或 x<−1 ,則數對

(

a,b)

為    參考答案: (−12,32) 22. (1)作出 f x =( ) 32 x + +1 23 x3 2+ x2 的函數圖形,並標出此圖形與x 軸的 交點坐標以及圖形的轉折點坐標。 (2)承上,若方程式 f x( )a有三個實數 解,則a 的範圍為何? 參考答案: (1)交 x 軸於( 2, 0), (1, 0), (4, 0) ,轉折點 ( 1, 2), (3, 2)  (2) 2  a 2 出處:北一女中

(9)

1.2.2 含絕對值的一次方程式與不等式 基礎級試題 1.2.2 含絕對值的一次方程式與不等式 精熟級試題 23.方程式

|

x+4|+|2x−3|=10

的所有實 數解 x 為         。(兩解) 參考答案:

−3

或3

出處:建國中學 詳解: (1) 若  x≥ 3 2 時,則

(

x+4 )+(2 x−3 )=10 ⇒ x=3

(2) 若 −4≤x≤ 3 2 時,則

(

x+4 )−(2x−3)=10 ⇒ x=−3

(3) 若 x≤−4  時,則 −(x +4 )−(2 x−3 )=10⇒ x=−11 3 (不 合) 故綜合(1)(2)(3)得 x=

−3

或3

24. (1)設 k 為實數,試作二次函數

f (x )=x

2

−4|x+1|−1

的圖形。(請 寫出詳細討論過程,並標出圖形之頂 點坐標,及其與 x, y 軸交點之坐標) (2)承本題第(1)題,若方程式

x

2

4|x+1|−1=k

有四個相異實 根,求實數 k 的範圍。 參考答案:(1) 如下圖 (2) −1<k <0 出處:建國中學 (1) ① 當 x≥−1  

f (x )=x

2

4(x+1)−1=x

2

−4 x−5

=(

x−5)( x+1)=( x−2)

2

−9

② 當 x<−1  時,

f (x )=x

2

+

4( x+1)−1

=(

x+3)( x+1)=( x+2)

2

−1

x −1 2 5 y 0 −9 0 x −3 −2 −1 y 0 −1 0 (2)

x

2

4|x +1|−1=k

的實根個數 即 y= x2−4|x +1|− 1 y =k(水平線) ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ 的圖形交點個數 由圖可知,若要有四個相異實根,則

(10)
(11)

2.1.1 二次函數 基礎級試題 2.1.1 二次函數 精熟級試題 25. 已 知 二 次 函 數 f x( )ax2bx a 在 2 x時有最大值 6,則ab___ 參考答案:16 出處:蘭陽女中 26. 二次函數 2 ( ) f xaxbx c ,其中 1 x 4    ,若在x 時有最小值 52  , 且圖形與y 軸交於點(0,3),則此函數之 最大值為__。 參考答案:13 出處:新竹高中、屏東女中等 27. 如 圖 y ax 2 bx c ,且知 ( )f x 有最 大值 6, 則下列哪些關係式是正確的? (1) 2 0, 4 0 abac (2)a b c  0 (3) f(1) 6 (4) f(2) f( 2) (5) (2) (3) ff 。 參考答案:(1)(2)(3) 出處:馬公、小港、衛理、新店、淡江、 基女、金門、新豐、精誠、苑裡等 28. 下列各圖中,哪些可同時表示直線 y ax b  與拋物線 2 y ax b 的圖形? 參考答案:(D)(E) 出處:屏東女中

(12)

2.1.1 二次函數 基礎級試題 2.1.1 二次函數 精熟級試題 29. 本校舉辦高一成長營,參加者每人費用 700 元,此時平均每班有 40 人參加, 但根據過去的經驗,若將費用每提高 50 元,則每班將會減少 1 人參加,試 問:將費用定為__________元時,會 使每班的總費用最多。 參考答案:1350 出處:新豐高中、新店高中、苑裡高中、 台中一中等 30. 如圖是一座拋物線形的拱橋,寬 AB 為 12 公尺,最高點 S 離地面 4 公尺,中間 有 一 根 垂 直 支 撐 柱 PQ的 高 度 為2 公 尺,求此支撐柱與拱橋邊緣較近的距離 AP 之長。 參考答案: 6 3 2 出處:小港高中 31. 設學校游泳池在某天開放 t 小時後的溫 度變化函數為 f t( )  12t2 4t 20, 其中1 t 10,則這段時間內游泳池的 最大溫差為__________。 參考答案:18 出處:淡江高中、蘭陽女中等 32. 已知 2 ( ) 6 5 f xxx ,若 f x( )在 a x b 中有2 個 x 值能使 f x( )得到最 大值,則a b=__________。 參考答案:6 出處:北一女中

(13)

2.1.1 二次函數 基礎級試題 2.1.1 二次函數 精熟級試題 33. 爬梯旁有一斜坡,與地面成 45角,如 圖,阿賢站在O 點,將一籃球向斜坡 上 拋 , 假 設 籃 球 飛 行 路 徑 方 程 式 為 2 2 3 x yx ,也就是說,籃球與阿賢 的水平距離為x 公尺時,其高度為 y 公 尺,設籃球在斜坡上的落點為A,則 A 點的高度為__________公尺。 參考答案:3 出處:金門高中 34. 已知垂直拋體運動的高度 h 與時間 t 的 關 係 為 h t( ) 4.9t2v t s0  0, 0 t a  (a 為拋體到達地面的時間),其中v 為0 物體的初速(朝上為正,朝下為負), 0 s 為物體原本離地面的高度。現在若於 距離地面24.5 公尺處垂直朝上發射一顆 石頭,初速為49(公尺/秒),試問: (1)石頭經過多少秒後達到最高點?此時 距離地面幾公尺? (2)經過多少秒落回地面? 參考答案:(1)5 秒,147 公尺 (2)5 30 秒 出處:武陵高中 35. 已知二次函數 yf x( ) 2( x1)2 ,8 若將 ( )f x 沿y2x 方向,向右上方1 移動2 5 單位長,得另一拋物線方程式 為yp x q(  )2 ,則數組( , , )r p q r =__________。 參考答案: (2, 3, 4) 出處:道明中學 36. 如圖,設二次函數 f x( )ax2bx c 的 圖形交x 軸於 A, B 兩點,與 y 軸交於 C 點 。 若 AC 垂 直 於 BC , 且 AC20, 15 BC , 則 實 數 序 對( , , )a b c =_____ _。

(14)

參考答案: 1, 7,12 12 12         出處:台中一 中

(15)

2.1.1 二次函數 基礎級試題 2.1.1 二次函數 精熟級試題 37. 如圖所示,正方形 ABCD 的邊長為 4, 在 AB 邊及 AD 邊上各取一點 E, F,滿 足 AEAF, 且 使 得 四 邊 形BCFE 之 面 積 最 大 , 則 此 最 大 面 積 為_______ _。 參考答案:10 出處:基隆女中 38. 如 下 圖 , AB 是 一 條 長 度 為 20 的 鐵 絲,P 是 AB 上一點,將 AP 分為四等 分,使其圍成一正方形PQRS;將 PB 分 為四等分,使其圍成一正方形PXYZ, 其中Q 在 PX 上,連接 RX ,則 AP =__ ________時, RX 的長度有最小值。 參考答案:8 出處:北一女中 2.1.3 單項函數及其性質 基礎級試題 2.1.3 單項函數及其性 精熟級試題 39. 如圖 3 3 4 1 , 2( 7) , 3( ) y a x y a x   y a x h  三 個函數的圖形,選出正確的選項: (1)1為 3 1 y a x 的圖形 (2)a10 (3)a2 0 (4)a3 0 (5)h0。 40. 下圖為三個函數的圖形: f x( )ax b , 3 ( ) ( ) g xc x c , 4 ( ) h xdxe ,其中 ( ) y g x 與y h x ( )交於A、B 兩點,且 A、B 兩點分別在 x 軸與 y 軸上, 則下列何者正確? (A)a0  (B)b0 (C)c0 (D)

(16)

2.1.3 單項函數及其性質 基礎級試題 2.1.3 單項函數及其性 精熟級試題 參考答案:(3)(5) 出處:新店高中、金門高中 4 e c  (E)d 1 參考答案:(B)(D) 出處:北一女中 41. 有關單項函數的敘述,下列選項何者正 確? (1)二次單項函數圖形必過原點。 (2)三次單項函數圖形對稱於原點。 (3)四次單項函數圖形對稱於 x 軸。 (4)單項函數圖形經過平移後亦為單項 函數。 參考答案:(1)(2) 出處:蘭陽女中 42. 已知二次函數 y=ax2 +bx+c 的圖形如下 圖所示,下列選項中有一個是利用電腦 繪圖軟體,將 y= a(x  b)3 + c 與 y = a( x + b)4  c 兩個函數的部分圖形,繪於 同一坐標平面上而得, 試問應為下列哪一個選項? (1) (2) (3) (4) 參考答案:(4) 出處:建國中學 詳解: ∵開口朝上a > 0,y 截距 c < 0,軸 x = ->0 b < 0 ∴a > 0, b < 0, c < 0  y= a(x  b)3 + c 是將 y= ax3的圖形沿x 軸向左平移| b |個單位, 再沿 y 軸向下平移 | c |個單位而得到。 y x O y x O y x O y x O y x O

(17)

2.1.3 單項函數及其性質 基礎級試題 2.1.3 單項函數及其性 精熟級試題  y = a(x + b)4  c 將 y= ax4的圖形沿x

向右平移| b |個單位, 再沿 y 軸向上平移| c |個單位得到。

(18)

2.2.1 多項式的運算 基礎級試題 2.2.1 多項式的運算 精熟級試題 43. 設 8 7 2 10 ( ) ( 4 2) f xxxx  ,若展開式 的各項係數和為a,常數項為 b,則數 對( , )a b =__________。 參考答案:(0, 1024) 出處:苑裡高中 44. 設a b c, , 為實數,且 ( ) ( 1)( 1) ( 1) ( 1) f xa xx bx x cx x , 2 ( ) 3 2 7 g xxx 都是x 的多項式,f x( )g x( ),求數組( , , )a b c =_____ _。 參考答案:( 7, 4, 6) 出處:苑裡高中 45. 多項式4(x2  1) (x 1) (2 x  3) (x 1)3 等於下列哪一個選項? (1) x x( 1)2 (2) 2 (x x1)2 (3) ( 1)( 1) x xx (4) 2(x1) (2 x 1)  (5) 2 (x x1)(x1) (100 學測) 參考答案:(5) 46. 設

f (x )=ax

6

bx

4

+3 x−

2

, 其 中 a, b 為 非 零 實 數 , 則

f (5)−f (−5)

之 值 為 (1) –30 (2) 0 (3)

2

2

(4) 30 (5) 無法確定(與 a, b 有關) (96 學測) 參考答案:(4)

參考文獻

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