第
12 章 直 角 坐 標 幾 何
選 擇 題
1. 已 知 A(2, 4)、 B(4, 2)、 C(2, 9) 和 D(7, 2) 四 點 ， 求 AC 及 BD 長 度 的 關 係 。 A. AC + 2 BD B. AC + 3 BD C. AC BD + 2 D. AC BD + 3 2. 已 知 三 角 形 的 頂 點 為 A(2, 3)、 B(4, 4) 和 C(5, 2)， 問 ABC 是 哪 一 類 三 角 形 ？ A. 等 腰 三 角 形 B. 等 邊 三 角 形 C. 不 規 則 三 角 形 D. 不 能 判 斷 3. ABCD 是 一 正 方 形 ， 已 知 A 和 D 的 坐 標 分 別 是 (0, 0) 和 (7, 0)， 求 C 的 可 能 坐 標 。 I. (7, 7) II. (0, 7) III. (7, 7) IV. (7, 7) A. 只 有 I 和 III B. 只 有 I 和 IV C. 只 有 I、 II 和 IV D. I、 II、 III 和 IV4. 已 知 平 行 四 邊 形 ABCD 的 頂 點 分 別 是 A(1, 1)、 B(1, 5)、C(3, 4)和 D(3, 0)，求 平 行 四 邊 形 ABCD 的 面 積 。
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
5. P(3, 4)、 Q(7, 6) 和 R(8, 4) 為 一 直 角 三 角 形 的 頂 點 ， 求 該 直 角 三 角 形 的 面 積 。
x y O L 6. 下 圖 所 示 為 直 線 L， 以 下 哪 一 項 是 正 確 的 ？ A. L 的 斜 率 0 B. L 的 斜 率 > 0 C. L 的 斜 率 < 0 D. L 的 斜 率 是 未 下 定 義 的 。 7. 求 穿 過 P(3, 2) 和 Q(2, 6) 兩 點 的 直 線 與 y 軸 的 交 點 坐 標 。 A. ,0) 4 7 ( B. ,0) 4 11 ( C. ) 5 34 , 0 ( D. ) 5 14 , 0 ( 8. 一 條 斜 率 為 2 的 直 線 與 x 軸 和 y 軸 分 別 相 交 於 A(a, 0) 和 B(0, b) 兩 點 。 若 O 為 原 點 ， 求 AOB 的 面 積 。 A. 2 2 1 b B. b2 C. 2 2 1 a D. a 2 9. 穿 過 A(0, 7) 和 B(1, 13) 的 直 線 與 下 列 哪 條 直 線 互 相 平 行 ？ I. 穿 過 C(1, 13) 和 D(2, 5) 的 直 線 II. 穿 過 E(2, 5) 和 F(3, 25) 的 直 線 III. 穿 過 G(0, 8) 和 H(1, 15) 的 直 線 IV. 穿 過 X(3, 29) 和 Y(1, 1) 的 直 線 A. 只 有 I B. 只 有 I 和 II C. 只 有 II 和 III D. 只 有 III 和 IV 10. 下 圖 中 ， 若 L1 // L2， 且 L2 與 x 軸 及 y 軸 分 別 相 交 於 P 和 Q 兩 點 ， 求 x 的 值 。 L1 L2 x y 5 5 ( 3 , 4 ) ( 5 , x ) O Q P A. 2 B. 3 C. 2 D. 3
11. 下 圖 所 示 為 梯 形 ABCD， 其 中 AB // DC。 A、 B、 C和 D的 坐 標 分 別 是 (2, 7)、 (5, 7)、 (9, 3) 及 (1, x)， 求 x 的 值 。 A B D C A. 5 B. 3 C. 0 D. 3 12. 已 知 A(2, 3)、 B(0, 1)、 C(3, 4) 和 D(4, 2) 四 點 。 下 列 哪 一 項 是 正 確 的 ？ A. AB DA B. BC DA C. CD DA D. AB CD 13. 已 知 穿 過 A、B 兩 點 的 直 線 與 斜 率 為 2 5 的 直 線 互 相 垂 直。若 A 和 B 的 坐 標 分 別 是 (7, 9) 和 (c, 5)， 求 c 的 值 。 A. 14 B. 13 C. 5 43 D. 3 14. 已 知 直 線 1、 2、 3和 4 的 斜 率 分 別 是 2 1 、2、 2 1 和 3， 以 下 哪 一 項 是 不 正 確 的 ？ A. 1 2 B. 2 3 C. 1 // 2 D. 1 // 3 15. 已 知 P(k + 1, m + 1)、 Q(k, m 2) 和 R(2k + 2, m + 3) 三 點 。 若 PQ PR， 求 QR 的 斜 率 。 A. 1 B. 7 5 C. m D. m 16. 已 知 P(1, 2)、Q(2, 5)和 R(6, 1)三 點。S 是 PQ 上 的 一 點 且 RS PQ，求 S 的 坐 標 。 A. (4, 3) B. (2, 5) C. (1, 4) D. (1, 2) 17. L1穿 過 A(x, 5)和 B(3, 1)，L2穿 過 C(3, 7) 和 D(2, y)，L3穿 過 E(4, 3)和 F(2, 3)。 若 L2 L3和 L1 // L2， 求 x 和 y 的 值 。 A. x 7, y 2 B. x 1, y 2 C. x 1, y 2 D. x 1, y 12
18. 已 知 A 和 B 的 坐 標 分 別 是 ( 3 , 1 1 ) 和 (7 , 9 ) ， P 為 線 段 A B 上 的 一 點 ， 且 A P : P B 1 : 1 。 求 P 的 坐 標 。 A. (2, 1) B. (2, 10) C. (2, 1) D. (5, 10) 19. 已 知 A 的 坐 標 是 (1, 4)， B 的 坐 標 是 (5, 8)， C 為 線 段 AB 的 延 長 線 上 的 一 點 ， 且 AB : BC 1 : 1。 求 C 的 坐 標 。 A. (11, 12) B. (9, 20) C. (2, 6) D. (11, 12) 20. 已 知 A(a + b, c d)和 B(a + b, c + d)兩 點 。 若 C是 線 段 AB的 中 點 ， 以 下 哪 一 項 正 確 ？ A. C在 x 軸 上 。 B. C在 y 軸 上 。 C. A 和 B 在 x 軸 上 。 D. A 和 B 在 y 軸 上 。 21. 已 知 A(7, 9) 和 B(2, 2) 兩 點 ， Q 在 線 段 AB 上 ， AQ : QB 5 : 3， 求 Q 的 坐 標 。 A. ) 8 5 4 , 8 3 1 ( B. ) 8 1 2 , 8 7 3 ( C. ) 8 7 4 , 8 1 5 ( D. ) 2 1 , 10 ( 22. 已 知 A(4, 5) 和 B(2, 7) 兩 點 。 若 P 是 線 段 AB 上 的 一 點 ， 且 BP AB 5 3 ， 求 P 的 坐 標 。 A. ) 5 29 , 5 16 ( B. ) 5 29 , 5 16 ( C. ) 5 1 , 5 8 ( D. ) 5 11 , 5 2 (
23. 已 知 A(4, 8) 和 B(1, 18) 兩 點 。 P 是 線 段 AB 上 的 一 點 ， 且 AP PB 3 2 ， 求 P 的 坐 標 。 A. (1, 14) B. (2, 12) C. ,12) 5 44 ( D. ,14) 5 44 ( 24. 已 知 A(a + b, a b)和 B(b a, a + b)兩 點 。 P是 線 段 AB上 的 一 點 ， 且 a b BP AP ， 求 P 的 坐 標 。 A. ( , ) 2 2 b a b a b a B. ( , 2 ) 2 2 2 2 b a b ab a b a b a C. ( , ) 2 2 2 2 b a b a b a b a D. ( 2 , 2 ) 2 2 2 2 b a b ab a b a b ab a 25. 已 知 A(x, 6)和 B(5, y)兩 點 。 若 Q(2, 1)以 5 : 3的 比 把 線 段 AB分 成 兩 部 分 ， 求 x和 y 的 值 。 A. 5 1 5 , 3 y x B. x3,y7 C. 3 2 12 , 5 1 y x D. , 2 3 2 13 y x 26. 下 圖 所 示 為 線 段 AC， B 是 AC 上 的 一 點 ， 求 AB : BC。 A(7, 3) B(7, 7) C(7, 9) A. 2 : 1 B. 3 : 7 C. 7 : 7 D. 7 : 9
27. 下 圖 所 示 為 線 段 QA， P 是 QA 上 的 一 點 ， 若 QP a， PA 2a， 求 A 的 坐 標 。
Q(3, 6) P(6, 15) A
a 2a
28. 下 圖 所 示 為 線 段 OD，A、B 和 C 是 OD 上 的 點，若 OA BC a 和 AB CD 2a，求 A 的 坐 標 。 (0, 0) (24, 36) a 2a a A B C D O 2a A. (2, 3) B. (4, 6) C. (6, 9) D. (8, 10) 29. 已 知 A 和 B的 坐 標 分 別 為 (3, 4) 和 (12, 8)。 若 P(2, 0)在 線 段 AB 上 ， 求 AP : PB。 A. 1 : 2 B. 2 : 1 C. 1 : 6 D. 6 : 1 30. 已 知 A(4, 2)和 B(2, 8)兩 點。若 M是 線 段 AB上 的 一 點，且 AM : MB 1 : 3，求 M的 坐 標 。 A. ) 2 1 , 2 7 ( B. ) 2 1 , 2 7 ( C. ) 2 1 , 2 7 ( D. ) 2 1 , 2 7 ( 31. 已 知 A(15, 3)和 B(12, 6)兩 點。若 P和 Q在 線 段 AB上，且 AP : PQ : QB 4 : 2 : 3， 求 P 的 坐 標 。 A. (3, 1) B. (3, 3) C. (3, 1) D. (3, 3) 32. 直 線 L : y 2x + 10 與 x 軸 相 交 於 A 點 ， 與 y 軸 相 交 於 B 點 。 若 P(2, y) 在 線 段 AB 上 ， 求 AP : PB。 A. 2 : 3 B. 2 : 3 C. 3 : 2 D. 3 : 2
33. 已 知 正 方 形 ABCD 的 頂 點 為 A(0, 0)、 B(6, 0)、 C(6, 6) 和 D(0, 6)。 求 正 方 形 ABCD 對 角 線 交 點 的 坐 標 。
A. (0, 3) B. (3, 0) C. (3, 3)(3, 6)
34. 已 知 正 方 形 ABCD 的 頂 點 為 A(4, 5)、B(6, 5)、C(6, 5)和 D(4, 5)。求 正 方 形 ABCD 的 中 心 點 P 的 坐 標 。 A. (0, 1) B. ) 2 1 , 2 1 ( C. (1, 5) D. (1, 0) 35. 下 圖 所 示 為 ABC， 已 知 DE // AC 及 BD : DA 2 : 1， 求 E 的 坐 標 。 A(3, 3) B(4, 8) C(13, 5) D E O x y A. ) 3 13 , 3 17 ( B. (7, 7) C. (10, 6) D. (11, 7)
程 度 一
1. 求 A(2, 7) 和 B(6, 4) 兩 點 之 間 的 距 離 。 (答 案 準 確 至 3 位 有 效 數 字 )
2. 已 知 ABC 的 頂 點 為 A(4, 3)、 B(9, 3) 和 C(1, 0)， 求 ABC 的 周 界 。 ( 答 案 準 確 至 3 位 有 效 數 字 )
3. 已 知 ABC 的 頂 點 為 A(1, 4)、 B(2, 3) 和 C(2, 1)， 求 證 ABC 是 直 角 三 角 形 。 4. 求 穿 過 A(2, 1) 和 B(5, 2) 兩 點 的 直 線 的 斜 率 。 5. 若 A(2, a)、 B(3, 6) 和 C(6, 12) 三 點 共 線 ， 求 a 的 值 。 6. 已 知 直 線 L1 的 斜 率 是 2， 而 直 線 L2 穿 過 A(2, 9) 和 B(2, 1) 兩 點 ， 求 證 L1 // L2。 7. 若 穿 過 A(1, 3) 和 B(b, 2) 兩 點 的 直 線 垂 直 於 斜 率 為 2 的 直 線 ， 求 b 的 值 。 8. 下 圖 中 ， AB PQ。 x y A(4, 4) O P(3, 4) B(2, 6) Q(h, 5) (a) 求 PQ 的 斜 率 。 (b) 求 h 的 值 。 9. 已 知 ABC 的 頂 點 為 A(13, 8)、 B(10, 2) 和 C(8, 11)， 求 證 ABC 是 直 角 三 角 形 。 哪 一 個 角 是 直 角 ？ 10. 若 M(3, 3) 是 A(a, 2) 和 B(5, b) 的 中 點 ， 求 a 和 b 的 值 。 11. 下 圖 中 ， P(1, 2) 為 線 段 AB 上 的 一 點 ， 求 a 和 b 的 值 。 x y B(b, 0) O P(1, 2) A(3, a) AP : PB 1 : 1
12. 已 知 A(1, 2)和 B(4, 5)兩 點，若 P 點 以 1 : 2的 比 把 AB 分 成 兩 部 分，求 P 點 的 坐 標 。 13. 下 圖 中 ， P 為 線 段 AB 上 的 一 點 ， 求 P 點 的 坐 標 。 x y B(9, 9) O P A(3, 6) AP PB 1 2
14. 下 圖 中 ，AOB 的 頂 點 為 A(0, 10)、 O(0, 0) 和 B(10, 0)。
x y A(, 10) O M B(10, 0) (a) 證 明 AOB 是 等 腰 三 角 形 。 (b) 若 M 是 AB 的 中 點 ， 求 M 的 坐 標 。 (c) 求 OM 和 AB 的 斜 率 。 (d) 求 證 OM AB。 15. 下 圖 中 ， 四 邊 形 ABCD 的 頂 點 為 A(3, 2)、 B(6, 1)、 C(3, 4) 和 D(0, 1)。 x y D(0, 1) O A(3, 2) C(3, 4) B(6, 1) (a) 求 證 ABCD 是 正 方 形 。 (b) 求 證 四 邊 形 ABCD 的 對 角 線 互 相 平 分 。
16. 已 知 A(1, 1) 和 B(4, 2)兩 點 。 把 線 段 AB 向 右 移 2 個 單 位 ， 然 後 下 移 1 個 單 位 ， 得 出 影 像 A'B'。 求 證 AB A'B'。
17. 已 知 A(2, 5) 和 B(3, 2) 兩 點 。 把 線 段 AB 沿 x 軸 作 反 射 變 換 ， 得 出 影 像 A'B'。 求 證 AB A'B'。
18. 下 圖 中，ABC 的 頂 點 為 A(2, 3)、B(1, 3)和 C(1, 1)。若ABC 以 原 點 為 中 心 旋 轉 180， 得 出 影 像 A 'B 'C '。求 影 像 A 'B 'C '的 頂 點 坐 標，並 在 直 角 坐 標 平 面 上 繪 畫 AB C和 A 'B 'C '。 x y O A(2, 3) C(1, 1) B(1, 3) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
程 度 二
19. 已 知 A(2, 4)、 B(0, 2) 和 C(3, 1) 三 點 。 (a) 求 證 ABC 是 直 角 三 角 形 。 (b) 求 ABC 的 面 積 。 20. 已 知 穿 過 A(3, 2k) 和 B(3k, 18) 兩 點 的 直 線 的 斜 率 為 2， 求 k 的 值 。 21. 已 知 一 條 斜 率 為 m 的 直 線 與 x 軸 的 交 點 坐 標 是 (2, 0)。若 該 直 線 穿 過 (3, 3)，求 m 的 值 。 22. 如 果 穿 過 A(2h, 4) 和 B(2, 5) 的 直 線 與 穿 過 C(2, 3) 和 D(2, 1) 的 直 線 互 相 平 行 ， 求 h 的 值 。 23. 求 證 A(1, 1)、 B(0, 3)、 C(7, 11) 和 D(4, 7) 四 點 形 成 一 個 梯 形 。 24. 已 知 A、 B 和 C 三 點 的 坐 標 分 別 為 (3, 1)、 (2, 3) 和 (2, 5)， 若 垂 直 於 AB 的 直 線 穿 過 C 點 並 與 x 軸 相 交 於 S 點 ， 求 S 點 的 坐 標 。25. 下 圖 中 ， CD 垂 直 於 AB。 y O A(5, 2) B(4, 4) C(4, k) D(2, 0) x (a) 求 CD 的 斜 率 。 (b) 求 k 的 值 。 26. 下 圖 中 ， 線 段 AB 與 y 軸 相 交 於 P， 問 P 點 把 AB 按 甚 麼 比 分 成 兩 部 分 ？ x y A(3, 4) O P B(4, 7) 27. 一 線 段 的 兩 個 端 點 為 A(3, a)和 B(b, b)，且 P(5, 7)在 線 段 AB上。若 AP : PB 1 : 2， 求 a 和 b 的 值 。 28. 已 知 A(4, 8) 和 B(1, 4) 兩 點 。 若 延 長 線 段 AB， 它 便 與 x 軸 相 交 於 C 點 。 (a) 求 AB : BC。 (b) 求 C 點 的 坐 標 。 29. 已 知 A(1, 3) 和 B(8, 0) 兩 點 ， P 和 Q 是 線 段 AB 上 的 兩 點 。 若 P 和 Q 把 AB 分 成 三 等 份 ， 求 P 和 Q 的 坐 標 。
31. 下 圖 中，ABC的 頂 點 為 A(7, 9)、B(1, 6)和 C(4, 3)，P和 Q分 別 是 AB和 AC上 的 點 ， 其 中 AP : PB AQ : QC 2 : 1。 x y C(4, 3) O A(7, 9) B(1, 6) (a) 求 P 和 Q 的 坐 標 。 (b) 求 PQ 和 BC 的 斜 率 。 (c) 問 ABC 和 APQ 是 否 相 似 ？ 試 說 明 原 因 。
程 度 三
32. 已 知 A(0, 0)、 B(4, 3)、 P(7, 1) 和 Q(4a, 3a) 四 點 。 (a) 若 AB PQ， 求 a 的 值 。 (b) 求 證 A、 B 和 Q 三 點 共 線 。 (c) 由 此 ， 求 P 點 與 直 線 AB 的 最 短 距 離 。 33. 已 知 ABC 的 頂 點 為 A(5, k)、 B(1, 4) 和 C(1, 6)， BC 與 y 軸 相 交 於 D 點 。 (a) 求 BC 的 斜 率 。 (b) 求 D 點 的 坐 標 。 (c) 若 AD BC， 求 k 的 值 。 (d) 由 此 ， 求 證 ABC 是 一 個 等 腰 三 角 形 。 34. 把 下 圖 中 ABC 以 原 點 為 中 心 作 逆 時 針 方 向 旋 轉 90， 得 出 影 像 A'B'C'。 x y B(4, 2) O A(0, 0) C(0, 6) 1 1 1 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6
(a) 求 影 像 A'B'C' 的 頂 點 坐 標 ， 並 在 同 一 直 角 坐 標 平 面 上 繪 畫 ABC 和 A'B'C'。 (b) 分 別 求 ABC 和 A'B'C' 各 邊 的 邊 長 。 (如 有 需 要 ， 答 案 以 根 式 表 示 。 )
