向量三重積

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向量三重積

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*

107.11.30 ∼ 107.11.30

以高中數學的觀點出發，給一個直觀的看法。

1. 向量三重積

設 −⇀u , −⇀v , −⇀w 是空間中三個向量，則 (−⇀u × −⇀v )× −⇀w 稱為【向量三重積】，同時滿足等式 (−⇀u × −⇀v )× −⇀w = (−−⇀w · −⇀v )−⇀u + (−⇀w · −⇀u )−⇀v (1) 很特別的是：這一個式子得到的是一個向量，因此我們稱其為向量三重積。

2. 圖解向量三重積

圖 1 是向量三重積的圖形，想想看，為何圖形是這樣？又 −⇀u , −⇀v 之線性組合的係數該如何得到呢？圖 1 *_{bee 美麗之家: http:/www2.chsh.chc.edu.tw/bee} 1

(2)

3. 克拉瑪公式

我們定義 −⇀u , −⇀v , −⇀u × −⇀v 滿足右手系為此空間的方向，即由 −⇀u 旋轉到 −⇀v 為逆時針方向。我們用 − ⇀_u ⊥表示以原點為中心，將 −⇀u 依逆時針方向旋轉 90◦所得的向量，而 −⇀u⊥表示以原點為中心，將 − ⇀_u _{依順時針方向旋轉 90}◦_{所得的向量。} 接著我們敘述一個關鍵性質：克拉瑪公式。 【克拉瑪公式】：設 −⇀u , −⇀v 是兩個不平行 (線性獨立) 的向量，且 −⇀w = α−⇀u + β−⇀v，則 − ⇀_{w =} − ⇀_w − ⇀_v − ⇀_u − ⇀_v − ⇀_{u +} − ⇀_u − ⇀_w − ⇀_u − ⇀_v − ⇀_v ₍₂₎ 如圖 2 所示：圖 2

4. 證明共平面三向量之向量三重積的等式

我們先研究三向量共平面的情形。 設 −⇀u , −⇀v , −⇀w 三向量共平面，且 −⇀u × −⇀v = − ⇀_u − ⇀_v −⇀e，其中 −⇀e 是和 −⇀u × −⇀v 同方向的單位向量。 根據外積的定義，(−⇀u × −⇀v )× −⇀w 的圖形如圖 3：圖 3 計算三重積 2

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(−⇀u × −⇀v )× −⇀w = − ⇀_u − ⇀_v ·−⇀w⊥= − ⇀_u − ⇀_v         −⇀ w⊥ − ⇀_v − ⇀_u − ⇀_v − ⇀_{u +} − ⇀_u −⇀ w⊥ − ⇀_u − ⇀_v − ⇀_v         (3) = −⇀ w⊥ − ⇀_v −⇀u + − ⇀_u −⇀ w⊥ −⇀v (4) =− (−⇀w · −⇀v )−⇀u + (−⇀w · −⇀u )−⇀v (5)

5. 說明

式 (4) 中依二階行列式的方向可得 −⇀ w⊥ − ⇀_v =−(−⇀w · −⇀v ), − ⇀_u −⇀ w⊥ = −⇀w · −⇀u (6) 其間並用到外積對加法的分配律： − ⇀_w _{× (−}⇀_{u + −}⇀_{v ) = −}⇀_w _{× −}⇀_{u + −}⇀_w _{× −}⇀_v ₍₇₎

6. 任意三向量之向量三重積的等式

設 −⇀w−⇀_u_×−⇀_v 表示 −⇀_w 在由 −⇀_{u , −}⇀_v 所張出之平面上的投影向量，則如圖 3，圖 3 可得 (−⇀u × −⇀v )× −⇀w = (−⇀u × −⇀v )× −⇀w−⇀_u_×−⇀_v (8) 3

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故任意三向量之向量三重積的等式成立。

7. 後記

底下是吳大任教授的微分幾何課本寫的證明方法。首先介紹拉格朗日 (Lagrange) 恆等式： (r1 × r2)(r3× r4) = (r1r3)(r2r4)− (r1r4)(r2r3) (9) 又以 r1, r2, r3為行的行列式 (r1, r2, r3) = (r1× r2)r3 = r1(r2× r3) (10) 令 r 是任意向量，結合上兩式可得 [(r1× r2)× r3]r = (r1× r2)(r3× r) = (r1r3)(r2r)− (r1r)(r2r3) = [(r1r3)r2− (r2r3)r1]r (11) 即 [(r1× r2)× r3− (r1r3)r2+ (r2r3)r1]r = 0 (12) 因為 r 是任意向量，故可得 (r1 × r2)× r3 = (r1r3)r2 − (r2r3)r1 (13) 我第一次看到向量三重積是看到台大開放式課程中易富國教授的普通物理學。上面提到的 Lagrange 恆等式得試著證明看看喔！ 4