國中數學3 2 1平方根與近似值

2−1 平方根與近似值

本節課程學習重點： ◎能了解二次方根的意義，並用「 」表示。 ◎能理解 a 僅在 a 不為負數時才有意義。 ◎能以十分逼近法求 a ( a 為正整數)的近似值。 ◎能理解如何估算 a ( a 為正整數)的整數部分。 ◎能用查表求出 a 的近似值。 ◎能用電算器求出 a 的近似值。 一、由正方形的面積與邊長引進 a ： ◎複習：若正方形面積為4 平方單位，因為 4＝22，可得到邊長為2 單位； 若正方形面積為 9 平方單位，因為 9＝32，得到邊長為3 單位。 ◎ a 的意義：(a＞0) (1)若一個正方形的面積為 a，則它的邊長為「 a 」，滿足( a )2_＝a。 例如：若一個正方形的面積為 16，則它的邊長為「 16 」，滿足( 16 )2＝16。 (2)設 a、b 為兩個正數，若滿足 a＝b2_{，則 a ＝ b}2 _＝b。 例如：16＝42， 16 ＝ 42 ＝4。 【觀念釐清】面積分別為 a、b 的兩正方形，它們的邊長分別為 a 、 b 。若 a＞b，則 a ＞ b 。 ◎討論：假設面積為2 平方單位的正方形，其邊長為 a 單位，則 a2＝2，即 a＝ 2 。 【說明】(十分逼近法求 2 的近似值) (1) a 的整數位為 1：由 12＜a2＜22，得到1＜a＜2。 (2) a 的小數點後第 1 位為 4：由 1.42＜a2＜1.52，得到1.4＜a＜1.5。 (將 1 和 2 之間分成 10 等分，並求出各等分點 1.1、1.2、…、1.9 的平方， 可知：1.42＝1.96，1.52＝2.25。) (3) a 的小數點後第 2 位為 1：由 1.412＜a2＜1.422，得到1.41＜a＜1.42。 (將 1.4 和 1.5 之間分成 10 等分，並求出各等分點 1.41、1.42、…、1.49 的平方， 可知：1.412＝1.9881，1.422＝2.0164。) (4)重複同樣的過程可以找出 a 的小數點後第 3 位、第 4 位、…，但事實上沒有辦法用過去 學到的數(如整數、分數和小數)來表示面積為 2 平方單位的正方形邊長，所以就用符號 「 2 」(讀作「根號二」)來代表這個邊長，因此( 2 )2＝2。 【觀念釐清】1.411、1.412、1.413、1.414、1.415、1.416、1.417、1.418、1.419 這 9 個數的平方都很 接近 2，但都不是 2，它們都只是近似面積為 2 的正方形的邊長。 練習1：(1)分別以「 」表示面積為 3 平方公分、2 平方公分和 5.3 平方公分的正方形邊長。 (2)承(1)，試比較這三個正方形邊長的大小。

練習2：(1)( 7 )2＝ 。(2)( _{10 )}3 2＝ 。(3)( 7.9 )2＝ 。 練習3：試比較下列各數的大小關係：(1) 46 、 50 、7 (2) 5_{4 、} 4₃ 練習4：在 中填入＞、＜或＝。(1) 63 56 (2) 6 331_{3 (3) 0.1 0.1} 二、 a 的值：若 a＞0，則 a2 ＝a。 ◎完全平方數：若某一個正整數可以寫成另一個正整數的平方，就稱這個數為完全平方數。 下表是 1～400 內的完全平方數。 整數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 完全平方數 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 整數 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 完全平方數 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400 練習5：求出下列各數的值。(1) 144 (2) 169_{9 (3) 1.21 (4) 0.0361} 【觀念釐清】若無法直接看出根號內的數是否為另一個數的平方，則可以利用標準分解式來求其值。 練習6：求出下列各數的值。(1) 576 (2) 39.69 練習7：求出下列各數的值。(1) 784 (2) 98.01

◎以十分逼近法求 a 的近似值： 利用每一段範圍十等分點的值來逐漸逼近，得到 a 的近似值，這樣的過程稱為十分逼近法。 例如： 2 取到小數點後第 2 位的近似值為 1.41，記為 2 ≒1.41，其中「≒」就是「近似值為…」。 練習8：試以十分逼近法求 5 的近似值。(以四捨五入法求到小數點後第 1 位) 練習9：試以十分逼近法求 13 的近似值。(以四捨五入法求到小數點後第 1 位) 練習10：試估算 120 的整數部分。 練習11：試估算 456 的整數部分。 練習12：下圖的數線上有 A、B、C、D、E 五點，其中哪個點所表示的數最接近 19 ？ 練習13：下圖的數線上有 A、B、C、D 四點，其中哪個點所表示的數最接近 13.3 ？

◎利用查表求出 a 的值或近似值： 對於正數 a，可以利用乘方開方表，求得 a 的值或近似值。 【說明】考慮 N＝12， 第 一 行 ↓ 第 二 行 ↓ 第 三 行 ↓ 第 四 行 ↓ N N 2 N 10N 11 121 3.316 625 10.48809 同一列→ 12 144 3.464 102 10.95445 13 169 3.605 551 11.40175 14 196 3.741 657 11.83216 15 225 3.872 983 12.24745 16 256 4.000 000 12.64911 17 289 4.123 106 13.03840 18 324 4.242 641 13.41641 19 361 4.358 899 13.78405 20 400 4.472 136 14.14214 在第一行 N 中，有一個自然數 12； 在第二行 N2中與12 同列的數是 144，即得 122＝144，也可以得到 144 ＝12； 在第三行 N 中與 12 同列的數是 3.464102，即得 12 ≒3.464102； 在第四行 10N 中與 12 同列的數是 10.95445，即得 120 ≒10.95445。 練習14：請利用上表查出下列各數的值或近似值(以四捨五入法求到小數點後第 4 位)。 (1) 180 (2) 225 練習15：根據乘方開方表，查出下列各數的值或近似值(以四捨五入法求到小數點後第 2 位)。 (1) 45 (2) 450 (3) 2025 (4) 48 (5) 410 (6) 1764 【觀念釐清】一般電算器上有一個「 」鍵，對於正數 a，它可以用來求 a 的值或其近似值。 練習16：利用電算器求下列各數的近似值。(以四捨五入法求到小數點後第 4 位) (1) 7 (2) 5_{7 (3) 0.7 (4) 10 (5)} 20_{3 (6) 1.5}

三、平方根的意義： 如果一個數的平方等於 a，這個數就稱為 a 的平方根(又稱為二次方根)。 例如：32＝9、(－3) 2＝9，得 3、－3 都是 9 的平方根，或說 9 、－ 9 都是 9 的平方根。 【說明】每個正數 a 都有兩個平方根，一正一負，通常以 a 表示正數 a 的正平方根，以－ a 表示 正數 a 的負平方根。這兩個平方根可以合併寫為 ± a ，讀作「正負根號 a」。 例如：2 有正、負兩個平方根，正平方根記為 2 ，負平方根記為－ 2 ，合併記為 ± 2 。 【觀念釐清】(1)對於每個正數 a，它的平方根為 ± a 。 (2)對於每個正數 a，(± a )2_＝a。 (3) 02＝0，所以 0 是 0 的平方根，即 0 ＝0。 練習17：寫出下列各數的平方根。(1) 23 (2) 100 (3)₂₅ 9 練習18：寫出下列各數的平方根。(1) 51 (2) 196 (3)_{120 (4) 1.44} 47 【觀念釐清】(1) 1 的平方根為 1 和－1。 (2)任何非 0 的數，其平方皆為正數，所以負數沒有平方根。 練習19：若－5 是 2x－1 的平方根，求 x 的值，並檢驗是否正確。 練習20：若 3_{2 是 3x＋2 的平方根，求 x 的值。} 練習21：試問 56 的負平方根的值介於哪兩個連續整數之間？ 練習22：－ 99 的值介於哪兩個連續整數之間？

◎補充：(1) a2_{＝∣a∣＝} ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧ a－ (若 a≧0) －a (若 a＜0) 。 (2) (a－b)2＝∣a－b∣＝ ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧ a－b (若 a≧b) b－a (若 a＜b) 。 (3)若 a2_{＋ b}2_{＝0，則可得∣a∣＋∣b∣＝0 ⇒ a＝0 且 b＝0。} 自我評量 1. 求下列各數的值。(1) 169_{121 (2)－ 361 (3)－ 12.25} 2. (1)比較 12、 139 、 149 的大小關係。 (2)比較－12、－ 139 、－ 149 的大小關係。 3. (1)試估算 220 的整數部分為何。 (2)－ 220 的值介於哪兩個連續整數之間？ 4. 下圖的數線上有 A、B、C、D 四點，其中哪個點所表示的數最接近 29 ？ 5. 利用下面的乘方開方表，查出下列各數的值或近似值(以四捨五入法求到小數點後第 2 位)。 (1) 27 (2) 280 (3) 676 6. 判斷下列各敘述是否正確，對的打「○」，錯的打「×」。 (1) ( 5 )2＝5，所以 5 是 5 的平方根。 (2) 16 的平方根是 ±4。 (3)－72＝－49，所以－7 是－49 的平方根。 (4)－2 是 16 的平方根。 N N 2 N 10N 26 676 5.009020 16.12452 27 729 5.196152 16.43168 28 784 5.291503 16.73320

7. 寫出下列各數的平方根。(1) 157 (2) 2.25 (3) 71₉ 8. 若 3x− 是 8 的正平方根，求 x 的值。 1 習作 1. 將一個長、寬分別為 6 公分、3 公分的長方形， 沿虛線剪下來拼成正方形，如右圖。 (1)這個正方形的面積為 平方公分。 (2)這個正方形的邊長為 公分。

2. 比較下列各題 a、b 的大小。(1) a＝ 13_{2 、b＝} 11_{5 (2) a＝－ 33 、b＝－6}

3. 計算下列各數的值。 (1) 169 (2)－ 400 (3) 121_{49 (4)－ 0.0025 (5) 2304 (6) 110.25} 4. 利用右表的數值，以十分逼近法求 50 的近似值。(以四捨五入法求到小數點後第 2 位) N N 2 7.1 50.41 7.2 51.84 7.06 49.8436 7.07 49.9849 7.08 50.1264 7.075 50.055625 6 3 3

5. 利用下面的乘方開方表，求下列各數的值或近似值。(1) 24 (2) 250 (3) 3969 6. 求下列各數的平方根。(1) 10000 (2) 1.96 (3) 121₄ 7. 判斷下列敘述是否正確，對的打「○」，錯的打「×」。 (1)若 a＝(－29)2，則 a 為－29 的平方根。 (2)因為－16＝－42，所以－4 是－16 的平方根。 (3)若 a 是 26 的平方根，則－a 也是 26 的平方根。 (4)因為找不到一個整數、分數或小數的平方等於 30，所以 30 沒有平方根。 8. 判斷下列敘述是否正確，對的打「○」，錯的打「×」。 (1)－3 是－9 的平方根 (2)－8 是 64 的平方根 (3) 0.2 是 0.4 的平方根 (4) 144 ＝－12 (5) (－25)2＝－25 (6)－11_{2 是 2}1_{4 的平方根} 9. 已知－9 是 4a－3 的平方根，則 a 的值為多少？ 10. 比較下列各數的大小。(1) A＝1＋ 12 、B＝1＋ 15 (2) C＝5－ 6 、D＝5－ 3 N N 2 N 10N N N 2 N 10N 24 576 4.898979 15.49193 61 3 721 7.810250 24.69818 25 625 5.000000 15.81139 62 3 844 7.874008 24.89980 26 676 5.099020 16.12452 63 3 969 7.937254 25.09980 27 729 5.196152 16.43168 64 4 096 8.000000 25.29822

11. 已知 a 為正整數，若 6615×a為整數，則 a 的最小值為多少？

12. 已知 2a－1 的正平方根為 3，3a＋b－1 的負平方根為－4，則 2a＋3b 的平方根為多少？

類題補充 1. 若 m＞0，且 m 為 6.25 的平方根之一，若 n2＝0.36 且 n＞0，則 m＋n＝ 。 2. 若－5 是 9＋2x 的一個平方根，則(1) x＝ 。(2) 3x＋1 的平方根為 。 3. 設 x＋y＋1 的平方根為 ±3，且－2 是 3x－2y＋5 的一個平方根，試求 (1) x、y 之值。 (2) 2x＋6y 的平方根。 4. 若 2＋ ₈₁a.＝ 13_{9 ，則 a＝ 。} 5. 已知 x 為正整數，而且 10－x 為整數，則 x 值共有 個。

6. 若 7 的整數部分為 a，小數部分為 b，則 a＝ ，b＝ 。 7. 若(3x－2)2的平方根為 ±16，則 x＝ 。 8. 若 π 代表圓周率，則｜π－4｜＋ (4－π)2 ＝ 。 9. 已知 300 ＝17.32，若 a、b、c、d 皆為正整數，且 300a 、 300 b . 、 300＋c 、 300－d 也為 正整數，則 300a ＋ 300_b .＋ 300＋c ＋ 300－d 的最小值為 。 10. 已知 720 ＝26.8，欲使 720a 、 720 _b 、 720＋c 、 720－d 均為正整數，當 a、b、c、d 均為 最小正整數時，求 a＋b＋c＋d＋1 ＝ 。 11. 正方形周長為 80公分，則其面積為 平方公分。

12. 若 a、b、c 表三整數，且 (a＋2)2＋ (a＋b－3)2＋ (2a＋b－c)2＝0，則 a＋b＋c＝ 。 13. 將大小相同的正方形磁磚 1000 塊，不經切割且無破損，鋪成一個最大的正方形區域，那麼鋪完後還 剩下 塊磁磚。 14. 若 1＋3＋5＋7＝42_{，1＋3＋5＋7＋9＝5}2_{，1＋3＋5＋7＋9＋11＝6}2_。 根據上式的規律，則(1＋3＋5＋…＋21)的平方根為 。 15. 設 1＞b＞0，且 b2_＋ 1 b2＝83，則 b－ 1 b＝ 。 16. 設 4＜x＜10，且－ (x－11)2＋ (3x－7)2＝10，則 x＝ 。

加強練習 1. 若 a＝ 312 ，b＝ (－31)2 ，c＝－ 312 ，則 a、b、c 三數的大小關係為何？ 2. 下列何者正確？ (A) 7＜ 56 ＜8 (B) 7＜ 48 ＜8 (C) 7＜ 27 ＜8 (D) 7＜ 15 ＜8 3. 有一邊長為甲的正方形面積是 196，有一邊長為乙的正方形面積是 256，則甲＋乙＝ 。 4. 下列哪一個選項是正確的？       (A) 25 的平方根有 5、－5，所以任一個數都有兩個平方根，一個為正數，一個為負數 (B)因為－62＝－36，所以－6 是－36 的平方根 (C) 152.＝15，而 (－15)2.也等於15 (D)因為 9＝32，所以 9 1₉.＝3 1₃ 5. 對下列有關平方根的敘述，哪些是錯誤的？    (A)甲乙錯 (B)乙丙錯 (C)甲丙錯 (D)乙丁錯  甲：每個正數都有兩個平方根 乙：若 a 是 b 的平方根，則 b.＝a

丙：數線上沒有負數的平方根 丁：a、b 為任意數，則 (a＋b)2.＝a＋b 6. 下列敘述共有幾個是正確的？ (A) 1 個 (B) 2 個 (C) 3 個 (D) 4 個

甲： 4 1₉.＝2 1_{3 乙：－ (－2)}2.＝2 丙： (－2)2.＝－2 丁： (－2)2.＝2

7. 若 2 a 是 2b 的平方根，則 a、b 的關係為何？ (A) b＝2a (B) b＝ 2 a (C) b＝a2 _{(D) b＝2a}2 8. 大於 500 且小於 900 的正整數中，其平方根為整數的有 個。

9. 計算 (1－ 2 )2 ＝ 。 10. 若 a＜b，則 (a－b)2.＝ 。

11. 已知 x 為正整數，30≦x≦60，且 4x＋25.為正整數，則符合以上條件的 x 共有 個。 12. 已知 c＜b＜a＜0，則 (b－a)2＋ (c－b)2＝？ (A)－a－c (B) a－c (C) 2b－a－c (D) 0 13. 比較 5_{2 、} 5₂.、 5 2、 5 2 四數的值，何者最小？ (A) 5 2 (B) 5 2. (C) 5 2 (D) 5 2 14. 數線上哪個數最接近 3.3？ (A) 9 (B) 10 (C) 11 (D) 12 15. 試問： 1、 2、 3、…、 50中，總共有 個數大於 4，且小於 6？ 16. 將自己的出生年月日當成密碼是常見的方式，王先生發現他出生那一年的公元年數字恰是完全平方 數，於是將此四位數設為他的提款卡密碼，已知前兩位數字是19，則第三個數字為何？ 17. 若 (a－1)2＝2， (b＋1)2＝1，且 a 為正整數，b 為負整數，則 a＋b＝ 。 18. 若 2x＋3y 的平方根為 ±2 ，x－2y 的平方根為 ±3，則 x＋2y 的平方根為 。

19. 已知 a、b、c 在數線上的位置如下圖，則 b2－｜a＋b｜＋ (c－b)2＝ 。(以 a、b、c 表示)

20. 若 8＜ x ≦9，則 x 可能的整數值有 個。 21. 若 a＜－2 14 ＜a＋1，則整數 a＝ 。

22. 設 x 的整數部分是 3， y 的整數部分是 7，則 x＋y 整數部分是 。

23. 已知 4.22＝17.64、4.32＝18.49、4.42＝19.36、4.242＝17.9776、4.252＝18.0625、4.262＝18.1476， 則 18 的小數點後第一位數字與第二位數字的和為 。

24. 已知 120 ＝a＋b，其中 a 為正整數，0＜b＜1，則 a＝ 。

25. 已知 a、b 皆不為 0，且 a2 _{＝a， b}2 _{＝－b，則(a , b)在坐標平面上的第 象限。} b

0 c

Ans：1. a＝b＞c；2.(A)；3. 30；4.(C)；5.(D)；6.(A)；7.(C)；8. 7；9. 2 1− ；10. b－a；11. 4；12.(B)； 13.(D)；14.(C)；15. 19；16. 3；17. 1；18. ±1；19. a＋3b－c；20. 17；21.－8；22. 7 或 8；

23. 6；24. 10；25.四。 心得筆記