一個三角不等式的幾種證明

(1)

一個三角不等式的幾種證明

梁勇能

國立台中第一高級中學

壹、起源

筆者在偶然的情況下看到大陸數學家盡量里，利用面積的方式證明下面的不等式:

『當 O:::::y 幻弓，貝U sinx-siny 2: (x-y)coSX .!l' 他利用面積的概念，建構了一個等腰三角

形 ABD 0

頂角 ζBAD=x-y ，腰 AB=AD=c ' 在 BD 的延長線上取一點 C' 使得 AC=b

'

ζCAB=x' 則 ζCAD=y 。假設 DE ， CF 分別是 ~ABD 、 ~ABC 的高， 0 點是 AD， CF 的交點，以 A 為圓心， AF 為半徑畫弧交 AD 於 H 點。

A

B

C

由 ~ABC- ~ADC=~ABD '可得 1bcsinx-lbcsiny=1cZE

2 DE

FG

FH

1

一一

l

:. sinx-siny

=一一三一-2:一一=一(x-

y)·AF

= 一 (x

- y)bcosx

= (x - y)cosx

b

b ' "

b

這種數形結合的解法，的確讓人著迷!

貳、筆者又另外從幾種不同面向來誼明此題，此題真是宮會實聽!

證明一:利用導數的概念

(2)

f(

B)

=

sin

甘12

Jr

考慮函數月8)=sin8 在 P(x， sinx) (0 三 x 三一)點的切線斜率為f'(x)

=

co日，任取該曲線

2 的其他一點 Q(y， siny)

(y<x»

，則過 p 、 Q 兩點的直線斜率為 smx 一

x-y

Jr

又因為只8)=sin8 在 0<θ 〈一範圍內為凹口向下的增函數，因此，

₂

.-~--.

- -

-

o

x-y

y 三 co日，當

y→x 時， P(x，sinx) 、 Q(Y，siny) 兩點之間的斜率會慢慢逼近切線斜率。當y=x 時，

sinx-siny

=廿一y)cosx

= 0

'等式成立。

證明二:利用積分的概念

sinx - sin

y 可表示尺的=cos8 在 [Y，x] 範圍內與 x 軸所團成的面積。其值為

fcos{)dθ= SInθI;

= sin

x - sin

y

而 (x- y)cosx 表示寬度 x-Y' 高度 co 日的長方形面積， 1.5 0.5 D

。

-

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39-科學教育月刊第 357 期中華民國 102 年 4 月

由圖可知， sinx-siny 三 (x-

y)cosx

0 當 y=x 時，等式成立。甚至，可以將此概念推至接轉體體積來證明。

考慮 f(θ)=C斗在仙]範圍內繞X 軸隨轉所團成的農轉體體積。其值為

!!?!l+叫

方[f(θ)]2 dθ=

I

Jl"[cos~fdθ=iz--一"::-dO = 一+一一一 1:= 一廿一 y)+ 一 (sin

Zθ Jl" sin

0

,. Jl"

_{x -}

_sin

_y)

J

2

'Y

2

• _ ~

x

而由寬度 x-y ，局度 cos- 的長方形繞 x 軸隨轉所形成的圓柱體體積為

2 ox

, , ,I

+

cos

x

, . = _ , Jl", Jl" Jl" COSL

一廿一y)= π(x- y)(':"':一一一) ，由圖可知，一廿一 y)+ 一個 nx-siny) ~一廿一 y)(l

₂

+

cosx) 可

~~

-

2 ' "

2

他簡得 sinx-siny 三 (x-

y)cosx

o

。

證明三:利用線段成比例的概念

y

X

(X

,

cos(xl2))

甘

原式可化為 smx-smy 主主二主，考慮、單位圓內圓形， ζ AOF弓， ζ BOF弓，則

cosx

1

ζ AOB=x-y

E

12 0.8 0,6 0.4

C

-05 -02

(4)

B(cosx' sinx)

，過 A 點做 AC//OF' 交 y 軸於點 C'

BD

J..

AC 於 D 點，

A(cosy' siny)

中點。直角 DBCD 、直角 DECG

G

F(

1 '

0) 的切線段且 CG J.. EF 於

BD

EG

‘

sinx-siny

EG

一一

-CD

CG

cosx

1

FE 為過

中，

...

AO=BO

,

CO=CO

' 由樞紐定理可得 AC>BC ' 在 AC上取 AH=BC 。在 DAHO' DBCO 中， AO=BO=l， AH=BC' 因為 HO(斜邊 »CO ，所

考慮、 DACO'

DBCO

以由樞鈕定理定理知， ζ OAH> ζ CBO' 可推知 ζ AOB=x-y< ζ ACB

C

F

C 點， O 移至 OAB 的頂點 LAOB< ζ ACB' 因此，若將扇形因為 OA=CG 斗， OAB 面積，前 sinx-siny E立王三之\ V 常\f 一 >--'->r- lJ

cosx

I

1 OAB

(如圖) ，即 DCGE 面積>扇形

司令百xE 〉 jx 白x 高 x(x-y)=>百 >x-y

，則 DCGE 將蓋住扇形 OA 和 CG重合

E

C

F

41

-O

(5)

科學教育月刊第 357 期中華民國 102 年 4 月

參、結論

由證明的過程中我們可以發現，此題可以利用函數的凹口性，得到證明。基於這個理由，我們同樣可以得到其他類似的命題，例如 cosx 一 cosy 這 (y

-x)sinx

tanx 一 tany 三 (x-

y)sec

2

_x...

_{' 在解題的過程中，試著從不同的角度切人，往往有意想不}

到的收禮帽!

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