1-3-1數列與級數-等差數列與等比數列

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(1)3-1 數列與級數-等差數列與等比數列【定義】數列：將數依照順序列出，就形成一個數列。數列中的第一個數叫做第一項或首項，以 a1 表示；第二個數叫做第二項，以 a 2 表示；...,；第 n 個數叫做第 n 項，以 a n 表示。數列表示方法： 1. 列舉型：把數列中每一項都列舉出來或是把數列的前幾項列出來，使能看出通 1 1 則，其餘以「…」來表示，例如： < 1, , ," > 。 2 3 2. 概括型：假定問題只牽涉到數列的概念，而對於各項為何不需去探究時，我們常以 < a n > 代表數列，通常以 < a n > kn =1 代表有限數列，< a n > ∞n =1 代表無窮數列。 3. n 項型：通常所討論的數列其各項間有一定的規則存在，而這種規則通常可以用項數 n 來表示。例如： < a n >=< 2n + 1 >=< 3,5,7," > 。有限數列：項數只有有限多項的數列。無窮數列：項數有無窮多項的數列。級數：若 < a n > 為一個數列，將 < a n > 中的各項依次相加所成的式子稱級數。部分和： S n = a1 + a 2 + " + a n 稱為此級數的首 n 項部分和。有限級數：若 < a n > 為有限數列，則 a1 + a 2 + " + a n 稱有限級數。無窮級數：若 < a n > 為無窮數列，項 a1 + a 2 + " + a n + " 稱無窮級數。【定義】等差數列：(A.P.) 數列 < an > 中，若後一項減前一項的差都相等，即 a 2 − a1 = a3 − a 2 = " = a n − a n −1 = d 時，稱數列 < a n > 為等差數列，其中 d 稱為公差。等差中項：若 a, b, c 三個數成等差數列，則稱 b 為 a, c 的等差中項或算術平均數。等差級數：設 < a n > 為一個等差數列，則 a1 + a 2 + " + a n 稱為等差級數，它們的和叫做等差級數和。等差級數的第 n 項：一個等差數列，若首項為 a1，第 n 項為 a n，公差為 d ，則第 n 項為 a n = a + (n − 1)d 。註：一般求數列的第 n 項要靠觀察與猜測，並證明之。【公式】等差級數的求和公式： 18.

(2) 一個等差數列，若首項為 a1 ，第 n 項為 a n ，公差為 d ，則首 n 項的和. n(a1 + a n ) n(2a1 + (n − 1)d ) = 。 2 2 【定義】調和數列： Sn =. 設數列 < a n > 的每一項都不為零，若每一項的倒數所成的新數列 <. 1 > 為一等差 an. 數列，則稱 < a n > 為調和數列。 a1 + a 2 + " + a n 稱為調和級數。調和中項： 2ab 若 a, b, c 三個數成調和數列，則稱 b = 為 a, c 的調和中項或調和平均數。 a+b 等比數列：數列 < an > 中，若後一項與前一項的比值都相等，即 a a 2 a3 = = " = n = r (但r ≠ 0) 時，稱數列 < a n > 為等比數列，其中 r 稱為公比。 a1 a 2 a n −1 等比級數：(G.P.) 設 < a n > 為一個等比數列，則 a1 + a 2 + " + a n 稱為等比級數，它們的和叫做等比級數和。等比中項：若 a, b, c 三個數成等比數列，則稱 b 為 a, c 的等比中項或幾何平均數。等比級數的第 n 項：一個等比數列，若首項為 a1 ，公比為 r ，則第 n 項為 a n = a1 r n −1 。【公式】等比級數的求和公式： , 當r = 1時 ⎧na1 ⎪ n r 。一個等比數列，若首項為 a1，公比為，則首 n 項的和 S n = ⎨ a1 (1 − r ) , 當r ≠ 1時 ⎪ ⎩ 1− r 【性質】 2 a+b ≥ ab ≥ 1 1 1. + 2 a b. 【應用】 1. 若本金為 p ，每期利率為 r ，則 n 期後的本利和為 p(1 + nr ) (單利)。 2. 若本金為 p ，每期利率為 r ，則 n 期後的本利和為 p(1 + r ) n (複利)。. 19.

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