2014決賽試題

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臺南市 2014 年公私立國民中學暨完全中學數學競賽決賽試題

注意事項： 1、本試卷試題總計兩大類；第一類為填充題，共 6 題，每題 8 分，共 48 分；第二類為計算及證明題， 共 4 大題，共 52 分。 2、請將答案依題號填入答案卷中；填充題只須填入最終答案，計算證明題則須詳列計算或證明過程。 3、試題所提供圖形僅供參考；如有根式請化為最簡根式，如有分數請化為最簡分數，否則不予計分。 4、請以藍筆或黑筆作答，鉛筆作答不予計分。 5、試題及答案卷的背面可當計算紙使用。

一、填充題

1. 若八位數273 49 5x y 是495的倍數，求xy的值。 2. 已知正立方體ABCD-EFGH (如右圖)，有一隻螞蟻從A點出發，沿著正立方體的邊界爬行，到達G點後立即停止。已知除了八個頂點之外，其餘邊界上的點都至多被螞蟻爬行過一次，試問：從A爬行至G點共有多少條路徑可供螞蟻選擇？

3. 若一個三位數 abc ( a 為百位數， b 為十位數， c 為個位數)為質數，且bca cab, 亦為

質數，則稱 abc 為「奇妙數」，那麼最大的奇妙數與最小的奇妙數的和為多少？

4. 如右圖，凸五邊形 ABCDE 中，ABC AED 90 , AB AE 3, 1.5, BC CD4, DE2.5, 求 ABCDE 的面積。(答案需化簡且不能有根號) 5. 數列1, 2,3, 4,5,6,7,8,10,12,14,...產生的規則如下：若已知數列中的某一項為 a , 且小於或等於 a 的正整數中，共有 t 個整數是立方數(某整數的三次方)，則 a 的下一項是 a t . 求這數列第104 項的值。 6. 如右圖，由1開始逆時針在格子填上數字，數字1寫一次，數字2二次，數字3三次，餘此類推。而有斜線經過的格子，表示填到此格時，剛好填滿一個正方形，且它的邊有偶數個格子。現在，從斜線上的數字3出發，沿著斜線往左下方的數列依序為 3, 6, 8, 11, ..., 試求此(斜線)數列的第50項的值。

二、計算證明題

1. 令 1 1 1 1 1 1 2 3 4 2013 2014 A        且 1 1 1 1 . 1007 1008 2013 2014 B      試判斷 A 和 B 的大小關係 為何？詳細說明你的理由。(12分) 2. 已知c為實數，且x的方程式x2 c |x2 2 |x 恰有3個相異的(實數)根，試求c的範圍。(12分) 3. 若 p 和 2 8 p  都是質數，試證： 3 4 p  也是質數。(12分) 4.三角形 ABC 是邊長為1單位的正三角形，在 BC 邊上取兩點D E, , 使得 ,

AD AE 為A的三等分角線，即BAE EAD DAC 20 (如右圖). 試證：(1) ADE的面積為 3 4 CD AD (2) CD AD DE  . (16分) 11 11 10 10 10 10 10 10 11 8 8 8 7 7 7 10 11 8 5 5 5 4 7 10 11 8 5 2 2 4 7 10 11 8 5 3 1 4 7 10 11 8 6 3 3 4 7 9 11 8 6 6 6 6 6 9 11 9 9 9 9 9 9 9 11 11 12 12 12 …