《有理数》全章复习与巩固（提高）知识讲解

《有理数》全章复习与巩固（提高）

【学习目标】 1．理解有理数及其运算的意义，发展运算能力；了解无理数的概念，会判断无理数. 2．能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小；借助数轴理解相反数和绝 对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值． 3．体会转化、归纳等思想；掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算并能 解决简单的实际问题． 4．会用科学记数法表示较大的数，能对含有较大数字的信息作出合理的解释和推 断，发展数感． 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、有理数与无理数 1．有理数的分类： （1）按定义分类： （2）按性质分类： 要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量； （2）有理数“0”的作用：

作用 举例 表示数的性质 0是自然数、是有理数 表示没有 3个苹果用+3 表示，没有苹果用 0 表 示 表示某种状态 ₀

0 C

表示冰点 表示正数与负数的界点 0非正非负，是一个中性数 2．无理数：无限不循环小数叫做无理数． 要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限．无理数的小数部分不循环， 不能表示成分数的形式． 　 　 　 （2）目前常见的无理数有两种形式：①含

π

类．②看似循环而实质不循环的数， 　 　 　 　 如：1．313113111……（相邻两个 3 之间 1 的个数逐渐增加）． 3.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线． 要点诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有 理数，如



． （2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大． 4．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0 的相反数是 0． 要点诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等， 这两点是关于原点对称的． （2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“



”号即可． （3）多重符号的化简：数字前面“



”号的个数若有偶数个时，化简结果为正， 若有奇数个时，化简结果为负． 5．绝对值： （1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 0 的绝对 值是 0． 数 a 的绝对值记作

a

． （2)几何意义：一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点与原点的距离． 要点二、有理数的运算 1 ．法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等 的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． ③一个数同 0 相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即 a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同 0 相乘，都得 0． （4）除法法则：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数．即 a÷b=a·

1

b

(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任 何次幂都是正数，0 的任何非零次幂都是 0． 　 (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进 行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．

要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用： （1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3， －[+（－3）]=3． （2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结 果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－ 2）×6=36． （3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负； 指数为偶数，则幂为正，例如：

_{( 3)}

_

2

_

₉

_，

_{( 3)}

_

3

_{ }

₂₇

_． 2．运算律： （1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba； （ 2 ） 结 合 律 : ① 加 法 结 合 律 ： (a+b)+c=a+(b+c) ； ② 乘 法 结 合 律 ： （ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 要点三、有理数的大小比较 比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于 0，0 大 于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比 较法；（5)倒数比较法． 要点四、科学记数法 把一个大于 10 的数表示成

_a

_

10

n_{的形式（其中}

₁



_a



₁₀

_，

_n

_{是正整数），此种记} 法叫做科学记数法．例如：200 000=

_{2 10}

_

5_． 【典型例题】

类型一、有理数与无理数的相关概念

1．已知 x 与 y 互为相反数，m 与 n 互为倒数，|x+y |+（a-1）2_{＝0，求 a}2 -(x+y+mn)a+(x+y)2009_+(-mn)2010_的值． 【思路点拨】(1)若有理数 x 与 y 互为相反数，则 x+y＝0，反过来也成立． (2)若有理数 m 与 n 互为倒数，则 mn＝1，反过来也成立． 【答案与解析】因为 x 与 y 互为相反数，m 与 n 互为倒数，（a-1）2_≥0， 所以 x+y＝0，mn＝1，a＝1， 所以 a2_{-(x+y+mn)a+(x+y)}2009_+(-mn)2010 ＝a2_-(0+1)a+02009_+(-1)2010 ＝a2_-a+1． ∵a＝1，∴原式＝12_-1+1＝1 【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念． 举一反三： 【变式 1】选择题 （1）已知四种说法：

①|a|=a时，a>0； |a|=-a 时， a<0． ②|a|就是 a 与-a 中较大的数． ③|a|就是数轴上 a 到原点的距离． ④对于任意有理数，-|a|≤a≤|a|．

其中说法正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 （2）有四个说法： ①有最小的有理数 ②有绝对值最小的有理数 ③有最小的正有理数 ④没有最大的负有理数 上述说法正确的是（ ） A．①② B．③④ C．②④ D．①② （3）已知(-ab)3_{>0，则（ ）}

A．ab<0 B．ab>0 C．a>0 且 b<0 D．a<0 且 b<0 （4）若|x-1|+|y+3|+|z-5|=0，则(x+1)(y-3)(z+5)的值是（ ） A．120 B．-15 C．0 D．-120

（5）下列各对算式中，结果相等的是（ ）

A．-a6_与(-a)6 _B．-a3_与|-a|3 _C．[(-a)2_]3_与(-a3₎2 _D．(ab)3_{与 ab}3 （6）下列实数中是无理数的是（　　） A．

0.306

 

B．3.143 C．

1

3

D．3.101001000…(0 的个数逐渐增加) 【答案】（1）C；（2）C；（3）A；（4）D；(5)C（6）D 【变式 2】（2015•甘南州）在“百度”搜索引擎中输入“姚明”，能搜索到与之相关的网页约 27000000个，将这个数用科学记数法表示为（　　） 　 A．2.7×105 _{B． 2.7×10}6 _C．2.7×107 _D． 2.7×108 【答案】C． 2． （ 2016• 江 西 校 级 模 拟 ） 如 果 m ， n 互 为 相 反 数 ， 那 么 |m+n 2016﹣ | =________． 【思路点拨】先用相反数的意义确定出 m+n=0，从而求出|m+n 2016﹣ |. 【答案】 2016. 【解析】解：∵m，n 互为相反数， ∴m+n=0， ∴|m+n 2016﹣ |=| 2016﹣ |=2016； 故答案为 2016． 【总结升华】此题是绝对值题，主要考查了绝对值的意义，相反数的性质，熟知相反数的 意义是解本题的关键．

类型二、有理数的运算

3．(1)

4

2

3

1

6

1

2

1

3

3

2

4



_

 

_{ }

 

_{ }

 

_{ }





 

 

 





 

 

 



(2)

(

5

)

15

( 1.5) (

3

)

12

4

4





 

 

 

2





3 5

1

4

(3)

2

4

12

15 2

2

 

   

_{ }

   

 

(4)

1

3 7

7

7

5

1

1

1

2.5

3

4 8 12

8

6

3



_



_{ }

 

_{ }





_

_{  }







 









_

_{ }

_



_

_





(5)

 

100 3 2 2

1

5

1

12

2

1

1 3

2





  

  

_

_





   

【答案与解析】 （1）原式

4

2

3

1

6

1

2

1

2

11

3

3

2

4

12

 









（2）原式

 

_{12 15 2 3}

5



4

   

3 4

2

₉

（3）原式

32 ( 4)

1

12 ( 15 16)

3

10

4

        

 

（4）原式

[1

1

( 2) 1

2

]

5 6

(

1

) 2

3

3

2 5

3



   

   



（5）

1

125 1 12 (

)

4

1

1 9 2



   



   

原式

3.9

 

【总结升华】有理数的混合运算有很多技巧，如：正、负数分别相加；分数中，同分母或 分母有倍数关系的分数结合相加；除法转化为乘法、正向应用乘法分配律：a(b+c)＝ ab+ac；逆向应用分配律：ab+ac＝a(b+c)等． 举一反三： 【变式】 （1）

_[(

5

₎

2

₁

11 7

_{0.25] 199}

8 3

_[(

2

₎

2

_2]

7

14 8

9 2

3





 



  



（2）

_{( 1 )}

1

2

₍

5

_{) (}

5

_{) ( 2 ) (}

1

1

₎

3

5

2

9

9

2

2

9



 

   

 



【答案】 （1）

_[(

5

₎

2

₁

11 7

_{0.25] 199}

8 3

_[(

2

₎

2

_2]

7

14 8

9 2

3





 



  



25 14 7 1

8 3

4

(

) 199

(

2)

49 25 8 4

9 2

9





 



 



(

1 1

) 199

8

(

3 4 3

2)

4 4

9

2 9 2









  

0 (

2

3)

3

 



2

0

3

3

  

1

2

3



（2）

_{( 1 )}

1

2

₍

5

_{) (}

5

_{) ( 2 ) (}

1

1

₎

3

5

2

9

9

2

2

9



 

   

 



9

(

5

) (

5

) (

5

) (

1

)

5

4

9

9

2

8

9

  

 

 

  

5

9 5 1

(

) (

)

9

4 2 8

17

2

24

  

 

 

4．先观察下列各式：

1

1

1

1

1 4

3

4







_



_







；

1

1 1 1

4 7

3 4 7







_



_







；

1

1 1

1

7 10

3 7 10







_



_







；…；

1

1 1

1

(

3)

3

3

n n

n n







_



_









，根据以上观察，计算：

1

1

1

1 4 4 7 7 10













…

1

2005 2008





的值． 【答案与解析】原式

1

1

1

1 1 1

1 1

1

1

1

1

3

4

3 4 7

3 7 10

3 2005 2008



















_



_



_



_



_



_

 

_



_













…





1

1

1 1 1 1

1

1

1

3

4 4 7 7 10

2005 2008







_

    

  



_





1

1

1

3

2008

1 2007

3 2008

669

2008







_



_





 



【总结升华】根据题中提供的拆项方法把每一项拆成

1 1

1

3

n n

3



_





_







的形式，然后再进行计 算． 举一反三： 【变式】用简单方法计算： 1 1 1 1 1    

【答案】原式

=

1

1

1

1

1

1 1 1 1 1

(

...

1

1

)

5

2 4 4 6 6 8 8 10 10 12





















2 2 4 4 6

    

10 12





24

类型三、数学思想在本章中的应用

5．（1）阅读下面材料：

点 A，B 在数轴上分别表示实数 a，b，A，B 两点之间的距离表示为|AB|．

当 A，B 两点中有一点在原点时，不妨设点 A 在原点，如图（1），|AB|=|OB|=|b|=|a﹣ b|；

当 A，B 两点都不在原点时，

①如图（2），点 A，B 都在原点的右边，|AB|=|OB| |OA|=|b| |a|=b a=|a b|﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ； ②如图（3），点 A，B 都在原点的左边，|AB|=|OB| |OA|=|b| |a|= b﹣ ﹣ ﹣ ﹣（﹣a）=| a b|﹣ ； ③如图（4），点 A，B 在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+（﹣b）=|a﹣ b|； 综上，数轴上 A，B 两点之间的距离|AB|=|a b|﹣ ． （2）回答下列问题： ①数轴上表示 2 和 5 的两点之间的距离是　 　 ，数轴上表示﹣2 和﹣5 的两点之间的距离 是　 　 ，数轴上表示 1 和﹣3 的两点之间的距离是　 　 ； ②数轴上表示 x 和﹣1 的两点 A 和 B 之间的距离是　 　，如果|AB|=2，那么 x 为　 　 ； ③当代数式|x+1|+|x 2|﹣ 取最小值时，相应的 x 的取值范围是　 　 ． ④解方程|x+1|+|x 2|=5﹣ ． 【答案与解析】 解：①数轴上表示 2 和 5 的两点之间的距离是|2 5|=3﹣ ； 数轴上表示﹣2 和﹣5 的两点之间的距离是| 2﹣ ﹣（﹣5）|=3； 数轴上表示 1 和﹣3 的两点之间的距离是|1﹣（﹣3）|=4． ②数轴上表示 x 和﹣1 的两点 A 和 B 之间的距离是|x﹣（﹣1）|=|x+1|，如果|AB|=2， 那么 x 为 1 或﹣3． ③当代数式|x+1|十|x 2|﹣ 取最小值时， ∴x+1≥0，x 2≤0﹣ ， ∴ 1≤x≤2﹣ ． ④当 x≤ 1﹣ 时，﹣x 1 x+2=5﹣ ﹣ ，解得 x= 2﹣ ； 当﹣1＜x≤2 时，3≠5，不成立； 当 x＞2 时，x+1+x 2=5﹣ ，解得 x=3． 故答案为：3，3，4，|x+1|，1 或﹣3，﹣1≤x≤2． 【总结升华】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解， 体现了数形结合的优点．

类型四、规律探索

6．下面两个多位数 1248624…，6248624…都是按照如下方法得到的：将第 1 位 数字乘以 2，若积为一位数，将其写在第 2 位；若积为两位数，则将其个位数字写在第 2 位．对第 2 位数字再进行如上操作得到第 3 位数字……，后面的每一位数字都是由前一位 数字进行如上操作得到的．当第 1 位数字是 3 时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个 多位数前 100 位的所有数字之和是( )． A．495 B．497 C．501 D．503 【思路点拨】多位数 1248624…是怎么来的？当第 1 个数字是 1 时，将第 1 位数字乘以 2得 2，将 2 写在第 2 位上，再将第 2 位数字 2 乘以 2 得 4，将其写在第 3 位上，将第 3 位数字 4 乘以 2 的 8，将 8 写在第 4 位上，将第 4 位数字 8 乘以 2 得 16，将 16 的个位数 字 6 写在第 5 位上，将第 5 位数字 6 乘以 2 得 12，将 12 的个位数字 2 写在第 6 位上，再 将第 6 位数字 2 乘以 2 得 4，将其写在第 7 位上，以此类推．根据此方法可得到第一位是 3的多位数后再求和． 【答案】A 【解析】按照法则可以看出此数为 362 486 248…，后面 6248 循环，所以前 100 位的 所有数字之和是 3+(6+2+4+8)×24+6+2+4＝495，所以选 A． 【总结升华】特例助思，探究规律，这类题主要是通过观察分析，从特殊到一般来总结发 现规律，并表示出来． 举一反三： 【变式】世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示，则排在第 10 行从左边数第 3 个位置上 的数是（ ） A．

1

132

B．

1

360

C．

1

495

D．

1

660

【答案】B提示：观察发现：分子总是 1，第 n 行的第一个数的分母就是 n，第二个数的 分母是第一个数的（n-1）倍，第三个数的分母是第二个数的分母的

(

1)

2

n 

倍．根据图表

的规律，则第 10 行从左边数第 3 个位置上的数是

1

1