國
立
交
通
大
學
電子物理學系
碩士論文
低維度多組閘極侷域之電子系統的電性傳輸
Electrical Transport of Multiple-gated Low Dimensional Systems
研究生：莊勝豪
指導教授：許世英 副教授
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低維度多組閘極侷域之電子系統的電性傳輸
學生：莊勝豪 指導教授：許世英 副教授
國立交通大學電子物理學系
摘
要
本論文探討由分離閘極技術侷域之低維度電子系統的電性傳輸，利用微影技術在具 有高遷移率的GaAs/AlxGa1-x 在類一維窄通道系統中，我們製作出四種不同通道長度的量子線，並排組合出三種 不同的串聯窄通道形式，(I)通道長度近似零和 1µm的量子線，間距D=1µm, (II) 通道 長度 0.25µm和 2µm的量子線，間距D=1µm，以及(III) 通道長度 0.25µm和 2µm的量子線 間距 D=1.7µm，電子在此串聯形式窄通道間的傳輸可以用直接穿透率係數T As異質接面結構之二維電子氣樣品上製作出多對串聯型式的 金屬閘極以及量子空腔，利用外加負偏壓於金屬閘極對二維電子氣產生位障形成低維度 電子系統，在低溫的環境中來研究類一維窄通道(串聯)和類零維量子空腔的電性傳輸。 d來描述，Td 值越接近 1 代表電子有較高比例是由彈道式傳輸通過兩窄通道；由實驗分析的結果，間 距越遠的串聯窄通道會因為有限同調長度的關係而有較小的Td值，另外Td也會被窄通道 產生的位障形式所影響，在通道開口附近具有緩慢增寬位障形式的窄通道具有將電子流 對準下一個窄通道的效應，具有這種對準效應的窄通道可以增加電子直接穿透下一個窄 通道的機率，具有較高的Td 我們製作出兩種面積的電子空腔，分別為 0.48 和 0.12μm 值。 2 ，在電導值與源極,汲極 電位分析中發現有震盪產生，震盪發生的電壓條件是空腔與環境有較大的耦合強度所以 震盪形式並不屬於庫倫阻絕式震盪；在外加垂值磁場的縱向磁電阻量測中發現兩種不同 的量子干涉效應，在高磁場部分磁電阻隨磁場變化出現週期性震盪的磁電阻，經過分析 發現與Aharonov-Bohm效應與磁通量週期變化的干涉效應相吻合，在低磁場的部分則是
ii
有負磁阻效應產生，這是由弱侷域效應所造成，並且在零磁場負磁阻波峰形式隨閘極電 壓的變化，發現空腔形式在越負的閘極電壓電壓之下會由chaotic空腔變成regular空 腔。
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Electrical Transport of Multiple-gated
Low Dimensional Systems
Student: Sheng-Hao Juang Advisor: Dr. Shih-Ying Hsu
Department of Electrophysics
National Chiao Tung University
ABSTRACT
We have investigated the electrical properties of low dimensional electron systems defined by the split-gate technique. Our samples are QWs of different channel lengths placed longitudinally and sequentially with an edge-to edge distance D, and cavities of different area enclosed formed in a high mobility GaAs/AlxGa1-x
In the work of serially connected QWs, three configurations are employed for QWs in series: (I) a quasi-zero and a 1µm QWs with D=1µm, (II) a 0.25µm and a 2µm QWs with D=1µm, and (III) a 0.25µm and a 2µm QWs with D=1.7µm. The transport of serially connected QWs is characterized by the direct transmission coefficient T
As heterostructure by negatively biasing split gates.
d which represents the portions of electrons traveling
ballistically from one quantum wire to the other. By a combination of
measurements on the individual QWs and on the composite structure, Td can be
determined. The transmission through a pair of QWs depends on details of
confinement potentials and the 2DEG region between the two QWs. That Td is
smaller for larger D by comparing configurations (II) and (III) can be understood under the consideration of the finite coherence length. For a fixed
D, Td of configuration (I) is smaller than that of configuration (II). The
phenomenon is attributed to the collimation effect of injected electrons from one QW to the other by channel length. In a fixed configuration while
iv
and made comparison with theory taken account of collimation effect.
By negatively biasing a pair of metal gates, electrons can be confined in a small region forming a cavity.Two cavities with topological area of 0.48 and 0.12μm2
,respectively, are studied. Osci llations of conductance are observed in conductance-gate voltage characteristics and source-drain bias spectroscopy. These oscillations are not the well-known “Coulomb blockade oscillations”, since both cavities are strongly coupled to their reservoirs in the observation range. In the presence of perpendicular magnetic field, two quantum interference effects take place in longitudinal resistance measurement. In high magnetic fields, oscillations of resistance occurs with the periodicity in magnetic flux in consistence with interference condition of Aharonov -Bohm effect. In low magnetic fields, a negative magnetoresistance is present and is ascribed to Weak localization effect. By varying gate voltages, the line shape of the low field MR curve would transits from Lorentzian to linear. We suggest that the transition may be due to the shape change of cavity from chaotic to regular with further decreasing negative gate bias.
v
誌 謝
時光飛逝，兩年的碩士班生涯即將結束，從大三開始進入實驗室以來，得到了許多 人的幫忙與鼓勵，讓我在課業與實驗上由懵懂無知逐漸成長；首先，我要感謝我的指導 教授許世英老師，老師做研究的態度以及教學上的熱忱令人相當敬佩，無論是再小再簡 單的問題，老師都願意不厭其煩的為學生解答，四年來著實讓我獲益良多。 特別感謝劉凱銘學長，整本論文由理論到實驗上，大大小小的地方都曾得到您的幫 助，尤其是在實驗量測部分，複雜的低溫系統與量測操作全仰賴您豐富的經驗進行指 導，任何有疑惑的地方您也都耐心的詳細解釋，讓我得到許多寶貴的經驗與意見，祝您 未來一切順利。 謝謝鐘廷翊與郭昌洋學長，在剛進入實驗室時儀器的操作訓練以及實驗室內的大小 事兩位學長都不吝指導與分享，讓我可以快速的熟悉實驗室的步調。謝謝林欣毅與林子 諒學長，兩年間無論是實驗上的討論與日常生活瑣事解惑，讓我得到許多啟發。謝謝碧 珊、馨慧、惠潔、智鈞、柯昇，謝謝你們平常在實驗室的陪伴，讓我可以適時的抒發壓 力。謝謝斯衍、訓全、新安、裕仁、昱庭學長、維聰、宣懿、邵軒、祐誠、潤東、裕廉 以及所有在交大認識的朋友們，謝謝你們多年來的照顧。vi
目 錄
中文摘要 ………i 英文摘要 ………iii 誌謝 ………v 目錄 ………vi 圖目錄 ………viii 表目錄 ………xi 一、緒論………1 二、低維度系統的電子傳輸特性………3 2.1 二維電子氣與類一維系統的電性傳輸理論………3 2.1.1 二維電子氣系統………3 2.1.2 二維電子氣的特徵值－電子密度和遷移率………5 2.1.3 量子化電導………8 2.1.4 串聯窄通道………10 2.2 量子點系統………13 2.2.1 庫倫阻絕式震盪………142.2.2 The Aharonov-Bohm Effect………18
2.2.3 弱侷域效應………19 三、樣品製作與量測系統………23 3.1 樣品製作………23 3.1.1 光微影製程………24 3.1.2 濕式蝕刻………27 3.1.3 歐姆接觸………27 3.1.4 金屬薄膜沉積………27 3.1.5 電子束微影製程………29 3.1.6 絕緣層製作………31 3.2 低溫系統與電性量測………32 3.2.1 3 3.2.2 He低溫系統 ………33 3 He－4 He 稀釋致冷低溫系統………33
vii 3.2.3 超導磁鐵………35 3.2.4 漏電流量測………35 3.2.5 兩點量測與四點量測………36 3.2.6 定電壓量測………36 3.2.7 源極、汲極電位量測………37 四、實驗結果分析與討論………38 4.1 類一維窄通道………38 4.1.1 窄通道的量子化電導………39 4.1.2 源極、汲極電位分析………41 4.2 串聯窄通道形式的傳輸特性………42 4.2.1 串聯窄通道的電導值量測………43 4.2.2 直接穿透率Td 4.2.3 對準效應………47 的計算………44 4.3 電子空腔系統………51 4.3.1 電子空腔電導值的震盪形式………51 4.3.2 電子空腔的磁電阻量測………56 4.3.3 電子空腔內的量子干涉效應………59 五、結論………64 參考文獻………65
viii
圖 目 錄
圖 2-1 GaAs/Al0.37Ga0.63 圖 2-2 利用表面閘極侷域二維電子氣示意圖。………4 As異質結構剖面(右)與對應能帶(左)圖。………4 圖 2-3 Hall bar 結構示意圖。………5圖 2-4 Cage 在 1985 年在 modulation doped GaAs 半導體薄膜上進行磁電阻量測， 縱向電壓觀察到明顯的震盪形式以及橫向電壓在高磁場的平台結構。………7 圖 2-5 在磁場下二維電子氣能態密度 N(E)對能量 E 關係圖。………8 圖 2-6 利用閘極偏壓形成一維窄通道示意圖。………8 圖 2-7 通道中 y 方向拋物線位能井形式前三能階示意圖。………9 圖 2-8 Van Wees B.J 量測量子點尖端接觸電導與閘極電壓的關係，發現量子化電導 平台結構。 ………10 圖 2-9 Beenakker 在 1989 年提出理論模型探討兩量子尖端接觸串聯傳輸模式。 …12 圖 2-10 二維電子氣系統量子點示意圖。………13 圖 2-11 量子點與周圍環境等效電路示意圖。………14 圖 2-12 量子點電子數目與電導值隨閘極電壓變化關係圖。………14 圖 2-13 實驗結果與理論計算探討溫度變化對 CB 震盪形式的影響。………17 圖 2-14 Foxman 在 1993 年實驗上改變量子點與外界耦合強度觀察震盪形式的變化。18 圖 2-15 (a)兩相同路徑,相反方向金屬中傳導電子與數個碰撞中心進行多次彈性碰撞 示意圖。(b) (a)中電子經過碰撞後又回到原點形成一封閉迴路。…………19 圖 2-16 在量子點內進行多次碰撞且時間反轉對稱沒被破壞的電子對。………20 圖 2-17 實驗上在量子點系統中觀察到在 B=0 位置出現的震盪尖峰。………20 圖 2-18 Baranger 透過理論計算，不同形式的空腔會對應到不同的零磁場尖峰形式， chaotic 空腔會呈現 Lorentzian 形式，而 regular 則是線性關係。………21
圖 2-19 實驗上觀察到 Chaotic 和 regular 兩種不同腔體的零磁場尖峰確實展現兩種不 同形式。 ………22 圖 2-20 因為閘極偏壓改變造成零磁場尖峰形式由 Lorentzian 轉變為 Linear，a 圖閘 極電壓為-0.689V，b 圖為-0.710V。………22 圖 3-1 樣品製作與低溫量測流程圖。………23 圖 3-2 在 GaAs 基板上完成光微影與電子束微影製程的對照組 SEM 影像。…………24 圖 3-3 光微影製程使用的光罩設計圖。………25
ix 圖 3-4 光微影製程流程示意圖。………26 圖 3-5 熱蒸鍍系統示意圖。………28 圖 3-6 透過電子束微影製作的三對分離閘極對照組 SEM 影像。………29 圖 3-7 電子束微影流程示意圖。………31 圖 3-8 完成分離閘極,絕緣層製作,頂端閘極與跨線的對照組 SEM 影像。………32 圖 3-9 絕緣層絕緣性量測 IV 曲線圖。………32 圖 3-10 3 圖 3-11 He低溫系統示意圖。………33 4 He(l),3He(l) 圖 3-12 稀釋致冷系統循環降溫示意圖。………35 混合液體的相變圖。………34 圖 3-13 兩點量測與四點量測示意圖。………36 圖 3-14 定電壓四點量測示意圖。………37 圖 3-15 源極,汲極電位分析四點量測接線圖。………37 圖 4-1 不同幾何形狀量子線的電子顯微鏡照片，通道寬度均約 450nm。 ………38 圖 4-2 不同幾何形狀窄通道的量子化電導。………39 圖 4-3 通道長度 L=1.0μm 的窄通道，電導與閘極電壓關係圖。 ………40 圖 4-4 (a)通道長度 2μm的窄通道(W2)G-Vtp的關係圖，Vsd ΔV 由左至右從 0 改變為 2.5mV， sd =0.1mV，Vsg=-1.08V。(b)由(a)圖微分而得到dG/dVtp與Vsd,Vtp 圖 4-5 四對不同窄通道一維與二維載子密度與頂端閘極電壓關係圖。………42 的灰階關 係圖， 黑色部分代表微分值接近於零，也就是(a)圖的平台位置，白色則代表 電導值有劇烈改位的位置。………41 圖 4-6 串聯組態(i) quasi-0μm-1μm(Q1-W1)，D=1μm，Q1 通道內能態數N=3，Vtp 由左至右+0.3~-1.7V，ΔVtp 圖 4-7 串聯組態(i) quasi-0μm-1μm(Q1-W1)，D=1μm，Q =0.1V。 ………44 1 W 通道寬度固定為N=1,2,3， 1 圖 4-8 串聯組態(ii) 0.25μm-2μm(Q3-W2)，D=1μm，Q 由M=1,2,3,4。 ………45 2 W 通道寬度固定為N=1,2,3， 2 圖 4-9 串聯組態(iii) 0.25μm-2μm(Q2-W2)，D=1.7μm，Q 由M=1,2,3,4。………45 3 W 通道寬度固定為N=1,2,3， 2 圖 4-10 古典穿透機率幾何模型示意圖。………46 由M=1,2,3,4。………45 圖 4-11 (a)組態(ii)與(iii)固定Q2 與Q3 能態數N=1,2,3，Td與W2寬度(M=1~4)關係
x 圖。(b)Takagaki 在 1992 年串聯 QPC 穿透機率的模擬，實線 QPC 距離最遠， 有最小的Td 圖 4-12 圖 4-12 組態(i)與(ii)固定Q 值。………47 1與Q3能態數N=1,2,3，Td與W1,2 關係圖。 ………47 寬度(M=1~4) 圖 4-13 Beenakker所提出Td 圖 4-14 Takagaki 串聯窄通道模型示意圖。 ………49 受窄通道幾何形狀產生的對準效應而增加示意圖。……48 圖 4-15 Gurzhi 理論計算電子流與通道開口關係。 ………49 圖 4-16 兩種不同面積電子空腔的電子束微影影像。………51 圖 4-17 Cavity1 電導與頂端閘極電壓關係圖。………52 圖 4-18 Cavity2 電導與頂端閘極電壓關係圖。………52 圖 4-19 Cavity1 電導震盪與閘極電壓、dI/dVsd 圖 4-20 Cavity2 電導震盪與閘極電壓、dI/dV 、波峰電壓位置關係圖。………53 sd 圖 4-21 Cavity2 電導震盪波峰形式與理論擬合結果。………55 、波峰電壓位置關係圖。………54 圖 4-22 Cavity1,2 電導震盪與溫度變化關係圖。………56 圖 4-23 二維電子氣縱向與橫向磁電阻關係圖。 ………56 圖 4-24 縱向磁電阻與磁場倒數及橫向磁電阻關係圖。………57 圖 4-25 Cavity2 電導與磁場關係圖，B=-4.0T~+4.0T。………58 圖 4-26 二維電子氣與空腔侷域後縱向磁電阻比較圖。………58 圖 4-27 不同閘極電壓下電導與磁場週期倒數關係圖。………59 圖 4-28 Cavity2 高磁場磁電阻週期性震盪圖。………60 圖 4-29 Cavity2 磁電阻量測，磁場 B=-4.0T~+4.0T。………61 圖 4-30 Cavity2 不同偏壓低磁場磁電阻曲線實驗數據擬合圖。………62
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表 目 錄
表 4-1 二維電子氣與電子空腔縱向磁阻量測求得之載子密度。………59 表 4-2 由 Aharonov-Bohm effect 估算出的電子空腔面積大小。………60
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第一章 緒 論
奈米科技的進步已經在我們的生活中產生了巨大的影響，在材料,光電,生醫各方面 都受到奈米科技影響而有重大的突破出現，其中最顯著的便是半導體工業的發展，自從 1947 年 Bardeen 隨著磊晶技術的 1970 年代的進步，半導體結構的成長也近趨穩定，材料的載子密 度與遷移率有顯著的提高，在 1988 年 B. J. van Wees 首次將製作出的奈米等級元件應用 在半導體異質結構上，觀察一維系統的量子效應－量子化電導(Quantized conductance)， 也開啟了後續一系列在這類量子系統中的研究，利用不同的元件形式、改變系統的溫 度、磁場等，例如由多對分離閘極侷域的量子點系統，觀察在一般材料中無法產生的量 子效應。 、Brattain、Shockley發明第一個電晶體開始，半導體元件的尺寸根據Intel 創始人之一Gordon Moore提出來的摩爾定律：IC上可容納的電晶體數目，每隔 18 個月 就會增加一倍，半導體元件的效能也跟著增加一倍，到現今半導體製程也由 90、45 即 將進步到 13nm，奈米結構的製作在數十年來已經有顯著的發展，在物理學上也可由巨 觀系統進入介觀、微觀的物理系統觀察新的物理特性。 1989 年 L. P. Kouwenhoeven 將兩個一維量子系統連接，量測電子經過兩個串聯窄通 道的電性傳輸特性，發現可以分為絕熱傳輸範疇與歐姆傳輸範疇，在高磁場下電阻值只 由最窄的窄通道決定，有別於古典的歐姆定律，同一年 Beenakker 透過理論計算發現可 以用直接穿透機率(direct transmission probability)來描述電子在此系統中的傳輸特性，並 認為通道開口的位障形式會影響此傳輸特徵值；另外一個引起廣泛興趣的是類零維的量 子點系統，透過閘極侷域的方式可以控制量子點的尺寸與位能隨電壓作連續的變化，使 量子點具有更高的可操縱性，在 1990 年代開始引起廣泛的研究與討論。- 2 - 論文共分為五章，架構如下： 第一章 緒論 介紹實驗背景，以及整篇論文的架構。 第二章 低維度系統的電子傳輸特性 介紹二維電子氣的形成與物理特徵值，類一維與類零維量子系統的理論與背 景，包括量子化電導、串聯窄通道傳輸型式的特性、傳輸特徵值與量子點系統 的介紹。 第三章 樣品製作與電性量測 簡介樣品製作流程與應用到的相關技術，低溫量測使用的低溫系統與電性量測 方法。 第四章 實驗結果分析與討論 觀察類一維電子系統在不同載子密度下的電性傳輸特性，包含單獨與串聯的窄 通道形式，利用傳輸特徵值Td 第五章 結論 分析不同串聯形式與窄通道幾何形狀對電子傳輸 造成的影響；在類零維系統中，針對震盪形式分析電子的傳輸行為，以及在這 類系統中的量子干涉效應。 總結論文的發現與成果。
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第二章 低維度系統的電子傳輸特性
本章將首先介紹二維電子氣系統，並介紹其物理特徵值的計算原理。利用二維電子 氣上的表面閘極偏壓侷域，可以使傳導電子的運動被侷限在類一維、類零維形成低維度 系統。接著會介紹在類一維系統中窄通道的量子化電導，以及電子在兩對窄通道串聯形 式的傳輸理論模型。另外一部分是在類零維系統(量子點)的電子傳輸特性的介紹，包含 庫侖阻絕式震盪以及量子干涉效應(Aharonov-Bohm effect、Weak localization effect)。2.1 二維電子氣與類一維系統的電性傳輸理論
二維電子氣系統是利用磊晶技術成長的二維電子海，在此系統中電子的運動方向受 到能階的限制被侷限在二維平面上，利用閘極偏壓侷域的方式，可以更進一步使電子在 此系統中的運動維度更進一步減少，形成類一維系統，接下來會介紹二維電子氣以及在 類一維系統中的電性傳輸相關理論。2.1.1 二維電子氣系統
由於 1970 年代早期磊晶技術的進步，特別是 MOCVD (metal organic vapor deposition) 和 MBE (molecular beam epitaxy)，可以成長出由多種不同半導體材料組成的複雜多層結 構，並且良好的控制厚度達到單一原子層等級。相較於一般的單晶半導體結構，這些由 不同材料組成產生的異質結構(heterostructure)因為具有不同的能隙(band gap)大小，在性 質上會有許多完全不同的特性。例如在能隙較大的兩層 AlGaAs 之間成長一層較薄厚度 只有 5-20 nm 的 GaAs 量子井，由於 GaAs 能隙較小，在垂直方向上的運動會因量子化 而只有少數幾個能階，但是在平面上仍然可以自由運動，載子運動的自由度也因此從三 維減低為二維。 利用適當的在AlGaAs參雜雜質同樣可以在AlxGa1-xAs和GaAs的接面形成三角形的 位能井，如圖 2-1 所示，在費米能量以下只有基態可以填入，第一激發態的能量遠高於 基態 150 meV，因此在這個接面的載子同樣會因為能隙的關係在ｚ方向的運動會被限制 住，在x-y平面則可以自由移動，形成二維的載子海，如果載子是電子則被稱為二維電 子氣，利用分子束磊晶製作的二維電子氣系統具有高載子密度(~1011 cm-2)及高遷移率 (106 cm2/Vs)的特性，適合用來製作高速傳輸元件及探討低維度的量子傳輸現象。
- 4 - 圖 2-1 GaAs/Al0.37Ga0.63 板表面下方 93nm，GaAs 與 AlGaAs 接面處如虛線所示。 As異質結構剖面(右)與對應能帶(左)圖，二維電子氣存在於基 在 1980 年代利用微影製程可以在半導體二維系統上更進一步減少載子的運動維 度，利用蝕刻,離子佈植和電子束微影製程等方式可以製作出類一維系統，例如利用蝕刻 的方式將原本二維平面除去多餘的部分只留下長條狀的部分供載子移動，藉此將載子的 運動侷限成只剩下一個維度，形成類一維系統。 蝕刻或是離子佈植的方式會有容易產生缺限(imperfections)的缺點，Thornton 等在 1986 年利用分離閘極(split gates)的技術[1-3]，在表面閘極外加負偏壓降低閘極下方區域 的載子密度，也就是閘極區域載子無法通過，如此一來閘極之間的區域便形成寬度很窄 的量子線，如圖 2-2 所示，利用這種方式最大的好處是可以藉由調變閘極電壓使量子線 的線寬做連續性的變化，比起蝕刻等方式產生的一維系統具有更高的可操控性。 圖 2-2 利用表面閘極侷域二維電子氣示意圖，閘極下方區域電子無法通過。
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2.1.2 二維電子氣的特徵值－電子密度和遷移率
二維電子氣樣品的特徵值(電子密度、遷移率)，可以利用外加垂直磁場進行電性量 測求得，一般在半導體薄膜上會製作出如圖 2-3 所示的 Hall bar 接點結構，進行縱向 (longitudinal)與橫向(transverse)電阻率的量測，得到實驗所需要的樣品參數，二維電子氣 系統存在的區域稱為平台結構(mesa structure)，實驗上利用蝕刻的方式將直接將平台結 構製作成 Hall bar 的樣式。 圖 2-3 Hall bar 結構示意圖，磁場方向垂直於紙面。 電子在磁場下運動的行為可以利用古典電磁理論來描述，根據 Drude model，電子 經由散射失去的動量恰會等於從電磁場獲得的動量；)
(
v
B
e
E
e
v
m
dt
dp
dt
dp
d m d field scattering×
+
=
⇒
=
τ
(2.1) mτ :momentum relaxation time，vd :電子飄移速度，考慮電子侷限在 xy 平面上：
^ ^
y
v
x
v
v
d=
x+
y ，我們可以將(2.1)式改寫成矩陣的形式： = − y x y x m m E E v v e m B B e m τ τ (2.2) 將電流密度與漂移速率的表示式J =evdns以及電導率(conductivity)σ = ensµ還有遷移 率 m eτm µ = 代入(2.2)中，整理之後可以得到電場與電流密度的關係為： − = − y x y x J J B B E E 1 1 1 µ µ σ (2.3)- 6 - 將上式與電阻率張量形式直接比較係數； = y x yy yx xy xx y x J J E E ρ ρ ρ ρ (2.4) 我們可以將縱向電阻率跟橫向電阻率可以寫成以下兩式： µ σ ρ s xx n e 1 1 = = − (2.5) s xy yx n e B B = = − = σ µ ρ ρ (2.6) 由(2.5)式縱向電阻率在磁電阻量測中由古典理論預測應該是定值，與系統載子密度及遷 移率的乘積導數有關，而橫向電阻率(或稱為霍爾電阻)會隨磁場產生線性變化，因此我 們可以透過橫向電阻率隨磁場改變的斜率求得系統的載子密度。 實驗上可以將電流端置於Hall bar長軸兩端，中間區域分別為三個電壓端V1、V2、 V3如圖 2-3 所示，縱向壓降Vx= (V1-V2)及霍爾電壓VH= (V2-V3 I W L Vx xx = ρ )，利用簡單的電性關係 可以將縱向及橫向電阻率分別寫成： 和 I VH yx = ρ W、L是Hall bar的幾何參數，VH 1 ] [ − = dB d e ns ρyx 和I可以從實驗求得，藉此獲得我們需要的半導體特徵 值大小： (2.7) xx s n e ρ µ = 1 (2.8) 圖 2-4 中 Cage 等的實驗數據[4]縱向電阻率在低磁場範圍如古典理論所預測是定 值，但是隨著磁場增加會有震盪(Shubnikov de Haas oscillations)出現，震幅隨磁場增加而 增大，橫向電阻率在低磁場的部分同樣遵守古典模型的預測，跟磁場呈線性關係，在高 磁場部分卻有平台結構產生，平台的位置剛好對應到縱向電阻率震盪谷底的位置，古典 模型無法解釋高磁場時縱向橫向電阻率的特殊現象，必需引進藍道能階(Landau level)的 形成來說明。
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圖 2-4 Cage 等在 1985 年在 modulation doped GaAs 半導體薄膜上進行磁電阻量測，縱 向電壓觀察到明顯的震盪形式以及橫向電壓在高磁場的平台結構[4]。 在高磁場下電子的能態分布會重新排列成同心圓的形式，電子由最內圈(n=1，能量 最低)開始向外填，相同圈數上的電子具有相同的能量，稱為藍道能階(Landau levels)， 第 n 個同心圓上電子的能量可以表示成： c s n E n E )ω 2 1 ( + + = (2.9) 在磁場下的能態密度為：
∑
∞ = + − − ≈ 0 ] ) 2 1 ( [ 2 ) , ( n c s s E E n h eB B E N δ ω (2.10) ωc=eB/m是電子的迴轉角頻率，Es c ω 是最低臨界能量，每個藍道能階的態密度為 2eB/h， 如圖 2-5 所示，隨著磁場增加同一圈上可填入電子數目會增加，同時相鄰能階能量差( ) 也會增大，當費米能量經過某一藍道能階時電子會填滿第N層藍道能階，沒有額外電子 可以進行x方向的傳輸，也就是ρxx震盪谷底的位置，而當費米能量在兩相鄰藍道能階中 間時，ρxx會有最大值，因此當費米能量從相鄰藍道能階中心移動到下一個相鄰藍道能 階中心時，ρxx的震盪剛好對應到從某個峰值移動到下一個波峰，假設兩個波峰的磁場 分別為B1及B2 1 / 2 / 2 1 − eB2 h = n h eB ns s ，藍道能階的變化數為 1，我們可以寫下： (2.11) ) / 1 ( ) / 1 ( 1 2 2 1 B B h e ns − = (2.12)- 8 - 利用 SdH 任兩個相鄰振盪波峰的磁場值可以簡單的計算出系統的載子密度。 2eB/h N(E) E Density of states E2 E1 ES c
ω
圖 2-5 在磁場下二維電子氣能態密度 N(E)對能量 E 關係圖。2.1.3 量子化電導(Quantized conductance )
接下來要介紹在介觀系統下，如圖 2-6 所示的一維窄通道內，電子進行彈道式傳輸 時的量子現象，首先讓我們區分宏觀系統(Macroscopic)與介觀系統(Mesoscopic)的區別， 當系統尺寸大於載子的相位同調長度(L>lΦ)時屬於宏觀系統，反之(L<lΦ 在介觀系統下兩次彈性碰撞之間載子所走的距離稱為平均自由徑l )則屬於介觀系 統，在介觀系統中載子的傳輸可以維持其同調性(coherent transport)，因此可以觀察到許 多量子干涉效應。 e，若元件尺寸大 於平均自由徑(L>le)時載子是屬於擴散範疇內進行運動，隨著微影製程技術上的進步， 次微米等級的量子元件製作不再是非常困難的事情，當元件尺寸減小到這個數量級就會 小於載子的平均自由徑(L<le)，在系統中的傳輸可以不考慮載子間的互相碰撞造成的影 響，稱為彈道式傳輸範疇(ballistic regime)。 圖 2-6 利用閘極偏壓形成一維窄通道示意圖。- 9 - 考慮之前章結所提到類一維系統的量子線，假設載子傳輸在 x 方向，且假設量子線 寬度很窄，那麼我們可以寫下載子的運動方程式： 在ｘ方向電子是以平面波來傳遞，在 y 方向則受到侷限位能(confinement potential)的影 響，電子會填在量子化的次能階內，必須滿足薛丁格方程式： ) ( ) ( ) ( * 2 2 y E y y V m conf
ϕ
n = nϕ
n + ∆ − (2.13) 2 0 * 2 1 ) (y m w y Vconf = 是通道內 y 方向的位能(通常是以拋物線位能井的型式來描述)，因此 對某個佔據第 n 個次能階的電子所具有的能量為： ... 3 , 2 , 1 , * 2 ) 2 1 ( ) ( 2 2 0+ = − = n m k w n k E x x n (2.14) 圖 2-7 通道中 y 方向拋物線位能井形式前三能階示意圖，電子沿 x 方向傳遞。 考慮在費米能量附近一小的能量區間為源極跟汲極之間的化學位勢差，則通過此通 道的電流可以寫成：I
e
E
v
nE
T
nE
dE
N n n d s)
(
)
(
)
(
2
1
1∑ ∫
==
µ µρ
(2.15) 其中 1 ) ( 2 ) ( − = x x n n dk k dE Eπ
ρ
是一維的態密度(density of states)， = x x n n dk k dE E v ( ) 1 ( ) 是電子在次能階間傳播的速度， ) (E Tn 是第ｎ個次能階的穿透機率，eVsd源極跟汲極間的能量差，考慮Vsd ) ( ~ ) ( n F n E T E T 很小： ，則通過通道的電導值為：- 10 - dE E T E v E V e e G n n N n n d s d s ) ( ) ( ) ( 2 -I 1
∑ ∫
= = = µ µ ρ µ µ (2.16) N h e E T h e N n F n 2 1 2 2 ) ( 2∑
= = = (2.17) 2e2 h e2 2 /h：conductance quantum，實驗有關電導的量測都以這個數值為單位，N代表通道內 的次能階數，每個次能階總共會貢獻 (2:考慮電子的兩個簡併自旋方向)。 van Wees和Wharam[5-6]等先後在 1988 首次發現在量子尖端接觸(QPC)系統量測 中，發現了電導值隨閘極電壓改變具有平台結構(plateau structure)，如圖 2-8 所示，而平 台發生在 2e2 /h的整數倍的位置，也就是所謂的量子化電導(Quantized conductance)。 圖 2-8 Van Wees B. J 量測量子點尖端接觸電導與閘極電壓的關係，發現量子化電導平 台結構，平台位置出現在 2e2 /h的位置，總共觀測到 11 個量子化電導平台[5]。2.1.4 串聯窄通道(QPCs in series)
將兩對閘極並排在一起，當侷限量子尖端接觸的閘極電壓固定，電子傳輸會先後通 過兩個類一維的窄通道，可以視為源極跟汲極兩片電子海中間串聯二個量子電阻，古典 電路上電流流經兩個電阻串聯時可以簡單的將兩個電阻直接相加，但在此新系統中是否 適用? 在這種量子系統中電子的電性傳輸特性有兩種極端的可能，如果是完全遵守古典歐 姆傳輸的話，系統的總電阻值應該會是兩個 QPC 單獨電阻直接相加，電子在經過第一 個 QPC 會經過某個特定的次能帶，但是在經過第二個 QPC 之前便完全失去這個資訊， 因此可以看成電子分別經過兩個獨立的電阻。如果是在絕熱傳輸範疇，電子在經過第一- 11 - 個 QPC 之後仍然會帶有第一個次能帶的訊息，如此一來在要經過第二個 QPC 時，可能 有完全通過或是完全反射兩種情形，則系統的總電阻就由最窄的 QPC 貢獻。 1988 年Wharam等[7]量測兩對QPC串聯情況下的電阻值，實驗上將兩對QPC分別單 獨量測後固定在相同的電阻值R0，再進行串聯實驗，發現系統總串聯電阻值介於 1~2 R0 1989 年Beenakker等接著提出了理論模型[8]來說明實驗上所看到的現象，如圖 2-9 所示，考慮兩個完全相同的QPC分別連接源極和汲極兩端，流經的電流大小為I，電子經 過第一個QPC之後可能有三個方向的穿透機率T 之間，也代表說電子在串聯量子尖端接觸系統中並不完全屬於歐姆傳輸或是絕熱傳輸兩 種範疇之一，而是介於兩者之間，端看系統其他條件的影響造成其一傳輸範疇會有較大 的貢獻。 d、Tr、Tl，其中Td代表從第一個QPC到 第二個QPC的直接穿透機率，Tr,Tl s s l r d T T N R T + + = − 分別代表電子往左右兩方向的穿透機率，對第一個 QPC來說： ，Ns是源極到QPC的能階數，Rs N h e R N h e G s s − = 2 2 ( )~ 2 2 是被反射回源極的機率， QPC的電導值可以寫成： (2.18) N 是 QPC 內的次能階數目，由 Buttiker formula[9]：
∑
≠ → − − = α β β α β α α α α N R µ T µ I e h/2 ) ( ) ( (2.19) α I :由α極(能階數Nα)到各化學位勢µβ的電流，Tβ→α：由α到β的穿透機率，α,β分別等於s、 d、r、l，假設流經左右的電流Ir=Il=0，總電流I=Is= -Id ) ( s d series eI Gµ
µ
− = ，串聯電導為： (2.20) 由四條聯立方程式求解可以得到：(
)
(
)
− − − − + + = l r r r l r d series T T R N T T T h e G G 2 2 2 1 2 2 (2.21)- 12 - 圖 2-9 Beenakker 在 1989 年提出理論模型探討兩相同量子尖端接觸串聯傳輸模式示意 圖。 在零磁場的情況下Tr = ，上式可以簡化成： Tl + = = d series T h e G B G 2 2 2 1 ) 0 ( (2.22) d T 是介於 0~1 之間的數字，當T =1 時，系統電導只由單一 QPC 所貢獻，屬於完全的絕d 熱傳輸範疇內，當T =0 則代表系統是完全的歐姆傳輸，系統總電阻值由兩個 QPC 電阻d 直接相加求得。 Beenakker [8]考慮兩個完全相同的 QPC 得到了理論上串聯電導的形式，1992 年 Takagaki [10]則是假設如果兩個 QPC 寬度不同(次能階個數不同)的時候，串聯電導值又 會是怎樣的形式，同樣由 Buttiker formula [9]：
∑
≠ → − − = α β β α β α α α α N Rµ
Tµ
I e h/2 ) ( ) ( (2.23) 出發，同樣在零磁場下的串聯電導值可以寫成：(
)
[
]
[
(
)
]
(
)
d d d d series T h e G G T h e G T h e G T h e G / 2 2 / 2 / 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 − + − − + = (2.24) G1與G2分別是QPC1與QPC2單獨量測時的電導值，在Beenakker考慮的系統中G1=G2 + = = d series T h e G B G 2 2 2 1 ) 0 ( ，代 入上式可以得到相同的結果： (2.25) 在Takayaki的模型中[10]，若T =0 時，d Gs−1 =G1−1+G2−1，總電阻值等於QPC1與QPC2的 電阻值相加。- 13 -
2.2 量子點系統(Quantum dot)
前面章節所提到的量子線,量子尖端接觸屬於類一維系統，在探討相關特性時都考慮 到大量的電子進行傳輸，假設我們將原本的一維系統再減少一個維度，形成一個只由數 十個(或更少)電子組成的系統，例如一個大小只有奈米等級的 GaAs 圓點，只含有數個 電子在其中並且跟周圍隔絕，可以稱做零維系統(zero dimensional system)或是一般熟知 的量子點，量子點會有量子化的能階產生，此類系統可以類比到自然界的各種原子，原 子由原子核跟價電子兩個部分來組成，由人工製造出來的量子點同樣具有小數目的電子 數，而且特性可以透過外加電極來控制，因此可以展現出與其他維度量子系統截然不同 的特性。 利用許多不同的半導體製程可以製作出許多類似的零維系統，利用磊晶的方式控制 相鄰兩層半導體材料有不匹配的晶格常數，在沉積接面處會產生應變(strain effect)，使 得薄膜無法平坦的沉積，當應變累積到一定程度就會使薄膜產生突起來釋放壓力，透過 適當的控制沉積條件與材料選擇，突起部分的薄膜會成點狀並且大小可以達到 10 奈米 以下的量子點。 在金屬材料上形成的量子點可以透過絕緣層的方式將金屬與源極汲極獨立開來，假 使絕緣層的厚度夠薄，電子就能透過穿隧效應進行傳輸，另外一種方式是由閘極來形成 並控制量子點，如圖 2-10 所示，在二維電子氣系統中，透過適當的表面閘極幾何設計， 可以產生一獨立的量子點經由兩對量子尖端接觸(開口)與源極汲極相連，控制閘極負偏 壓的大小可以直接改變量子點的尺寸以及開口的位障(potential barrier)高低[11]。 圖 2-10 二維電子氣系統量子點示意圖，利用表面閘極電壓驅離下方電子，留下少數電 子獨立在中央空腔區域。
- 14 -
2.2.1 阻絕式庫倫震盪(Coulomb blockade oscillation)
量子點系統跟周圍環境的交互作用可以用簡單的電路模型來描述，如圖 2-11 所示， 量子點上含有少數目的電子，因此可以將量子點跟周圍系統可以看做是一個等效電容 g l r C C C C= + + ，Cr,Cl,Cg sd V 分別代表量子點跟源極,汲極,和閘極間的耦合電容，另外透過 改變閘極電壓可以直接影響量子點本身的位能高低，而通過量子點的電流由源極汲極兩 端的化學位勢差 來決定。 圖 2-11 量子點與周圍環境等效電路示意圖 當一個電子由源極經由穿隧效應到達量子點上，量子點上電子的數目會從原本的 N 變成 N+1 個，量子點的電位能也會增加Ec =e2 /C，這個能量稱為 Charging energy。接 著電子會在透過穿隧效應離開量子點到達汲極，量子點上的電子數目再次由 N+1 變成原 來的個數 N，考慮一系列的電子穿隧進入,離開量子點時，對應的電子數目變化會是 ... 1 1 1→ → + → → + + →N N N N N N 連續的震盪變化，如圖 2-12 所示，在電導電壓 量測中就會觀察到周期性的震盪發生，稱為庫倫阻絕式震盪(Coulomb blockade oscillation)。 圖 2-12 量子點電子數目與電導值隨閘極電壓變化關係圖，電子個數會呈階梯狀增加。
- 15 - 接下來討論CB震盪的震盪周期，考慮源極汲極兩端的化學位勢差為： e Vsd =(µ −s µd)/ ，量子點本身能階是不連續的量子化能階，若量子點的位能大小使得 沒有次能階在µ − 之間則沒有電子可以穿隧到量子點上，流經量子點的電流大小為s µd 0，透過連續性的調變閘極電壓大小Vg可以改變量子點本身位能高低，使得在µ −s µd這 個能量差之間Vg 新增一個電子到量子點上會使得量子點的總能量增加，假設量子點上電子的個數由 N-1 變成 N 個，則增加的能量大小為： 每隔幾個mV(視量子點大小而定)就會有次能階可供電子佔據，因此可 以觀察到週期性的震盪。 g g N dot V C C e C e N N E N = + − − − 2 0 1/2) ( ) ( µ (2.26) N E 代表第N個電子佔據的能階，N代表Vg =Vg時的電子數，N 為0 Vg =0時的電子數， 可以將上式改寫為：µdot(N)=µch(N)+eϕN，分成化學位勢以及電位能兩個部分，第一 個部分µch(N)=EN是電子在量子點內的能階高低，eϕ 則由電子不連續穿隧到量子點上N 的不連續還有閘極Vg C e E N N dot dot 2 ) ( ) 1 ( + −µ =∆ + µ 連續變化這兩部分組成。假設閘極電壓固定，量子點上的電子數目 由N增加為N+1，能量變化為： (2.27) N N E E E= − ∆ +1 , C e e e N N 2 1− = + ϕ ϕ 考慮閘極電壓改變造成量子點上電子數目改變，µdot(N,Vg)=µdot(N+1,Vg +∆Vg)代入式 (2.26)中，我們可以得到相鄰兩 CB 震盪間電壓的變化為： + ∆ = ∆ C e E eC C V g g 2 (2.28) 第 N 個震盪位置的電壓值等於： − + = C e N E eC C N V N g g 2 ) 2 1 ( ) ( (2.29) 在絕對零度 T=0 時的 CB 震盪波峰會是十分銳利的形式(FWHM~0)，隨著溫度升 高，量子點內次能階會溫度的效應遵守費米狄拉克分佈(Fermi-Dirac Distribution)，使得 波峰半高寬(FWHM) 增加，以下考慮三個不同溫度區間分別對應三種不同的 CB 震盪的 範疇以及波峰形狀(lineshape of peaks)：
- 16 -
1. e2/C <<kBT，單電子傳輸特性無法分辨
2. ∆E<<kBT <<e2/C，古典庫倫阻絕式震盪(classical Coulomb blockade regime)範疇
3. kBT E e /C
2
<< ∆
<< ，量子庫倫阻絕式震盪(quantum Coulomb blockade regime)範疇，
一次只有一個次能階參與傳輸。 在第一種溫度相對高的情況下，溫度造成的熱擾動遠大於單電子穿隧增加的電位 能，此時量子點的電導值將與量子點的大小以及電子數目無關，而由左右兩個位障的電 導值所貢獻：1/G=1/G∞ =1/Gleft +1/Gright ，G∞是量子點在高溫極限時的電導值。 第二個情形是古典的 CB 震盪範疇，溫度下降到低於單電子增加的電位能 C e T kB / 2 << ，但遠大於相鄰能階的能量差，此傳輸時電子進出一次有多個能階同時參
與，仍然不屬於極低溫時的單能階穿隧(single level tunneling)，在這個範疇內波峰的形式 由 Beenakker [12]推導如下： ≈ = − ∞ k T k T T k G G B B B 5 . 2 cosh 2 1 ) / sinh( 2 / 2 δ δ δ for h , E kBT e /C 2 << << ∆ Γ (2.30) 其中δ =e(Cg /C)Vg,res −Vg ，Vg,res是震盪波峰的閘極電壓，波峰的寬度會隨溫度上升而 增加，但是波峰的值跟溫度並沒有明顯的關係，最高電導值等於高溫極限的二分之一 2 / max = G∞ G 。 在量子 CB 震盪範疇內，量子點內一次只有一個次能階參與傳輸，波峰的電導值 跟溫度的關係式同樣由 Beenakker[12]推導出來： ∆ = − ∞ k T k T E G G B B 2.5 cosh 4 2 δ for h kBT E,e /C 2 ∆ << << Γ (2.31) 跟古典 CB 震盪最大的不同是波峰最高值會隨溫度增加而成線性遞減，而古典的情況中 波峰最大值是一固定值，不隨溫度變化改變，可以藉由此一特性來區別量子點的傳輸特 性是屬於哪一個範疇。 Kastner 與 Wind [13]等在 1991 年從實驗上量測量子點電導值與閘極電壓的關係發現 有 CB 震盪產生(量子點與周圍環境耦合強度很低，hΓ<<kBT)，改變系統溫度從 0.2K ~ 1.25K，如圖 2-13(a)所示，發現隨著溫度升高 CB 震盪的波峰寬度也會隨著增加，在低 溫的情況下(T=0.2K)可以發現波峰的峰值大小並不是定值，而是隨著閘極電壓變化呈隨 機分布，這是因為量子點內能態密度的不連續(discrete density of states)所造成，Meir 根
- 17 - 據實驗數據進行理論計算出來的結果，如圖 2-13(b)所示，與實驗相當吻合。 圖 2-13 實驗結果與理論計算探討溫度變化對 CB 震盪形式的影響[13]。 除了溫度對CB震盪波峰形狀造成的影響，量子點與源極汲極之間的耦合強度也扮 演很重要的角色，在探討溫度效應對CB震盪的影響時都特別強調hΓ<<kBT，也就是量 子點與周圍環境是屬於低耦合強度，也就是量子點左右開口的位障很高(電導值很低＜ e2 T kB << Γ h /h)，將位障能量降低可以增加量子點與系統的耦合強度，Foxman等在 1993 年量子點 的量測實驗中[14]，藉由改變閘極電壓調整量子點的耦合強度，圖 2-14(a)中由左至右耦 合強度分別為低到高，可以明顯看出在高耦合強度時震盪波峰寬度增加，造成相鄰兩波 峰間原本波谷位置的電導值不為 0，圖 2-14(b)為低耦合強度波峰的放大圖，實線部分是 與式(2.31)的擬合並得到很好的結果，表示在低耦合強度區域的電性傳輸是屬於量子CB 範疇，圖 2-14(右)是高耦合強度部分的波峰放大圖，式(2.31)不再適用(虛線部分)，因為 在這區域已經不符合 的假設，波峰形狀展現的是Lorentzian的形式，實線部分
是與non-interacting Breit-Wigner formula：
( )
( )
2 2 2 2 2 δ + Γ Γ = h h h e GBW (2.32) 的擬合結果，比式(2.31)有更高的吻合度。- 18 -
圖 2-14 Foxman 在 1993 年實驗上改變量子點與外界耦合強度觀察震盪形式的變化，(a) 閘極電壓由左至右從 280mV 改變為 300mV，量子點耦合強度由弱至強(b)弱耦 合強度區域波峰放大圖(c) 弱耦合強度區域波峰放大圖[14]。
2.2.2 The Aharonov-Bohm Effect
1959 年 Aharonov 和 Bohm 提出了相當有名的量子干涉效應[15]，帶電粒子經過一 包含有磁通量ΦB的區域，考慮所有可能的古典路徑，其中會有一封閉迴路包含此磁通 量經過的區域 ，磁位勢對在此封閉迴路上相反方向傳輸的粒子產生相位變化，使得原 本同相位能夠產生建設性干涉的路徑間有相位差存在，利用費曼路徑積分法(Feynman path-integral method )可以得到兩路徑之間的相位差為： B below X X above X X c e ds A c e ds A c e ds A c e N N Φ = • = • − •
∫
∫
∫
1 1 (2.33) B Φ 是磁場不為零區域的單粒子磁通量，改變該區域磁場大小會造成在 B 點發現帶電粒 子的機率有周期性的變化，以 7 2 0 4.135 10 2 cm Gauss e c = × − = Φ π − 為單位做震盪。1981 年，Aronov 與 Spivak 兩人預期在金屬導體中也能觀察到 Aharonov-Bohm effect 的存在[16]，考慮一圓柱型金屬薄殼，圓柱中心空心區域侷現有一方向平行圓柱的磁場 B，在金屬殼中電子由任意初始位置出發沿圓柱行走形成一封閉路徑(closed loops)，同 時電子也有可能以相反方向沿同一封閉路徑傳遞，兩路徑經過同樣次數的彈性散射並且 有同樣的行走距離，相位差為零，考慮兩者之間的量子干涉，則電子在這樣的封閉迴路 中出現在原點的機率會是古典情況下的兩倍，圓柱薄殼的電阻值也會因為這種量子干涉 現象的產生而升高；現在考慮圓柱中心磁場對這封閉迴路造成的影響，磁場不為零時會 對上面提到的封閉迴路中兩不同方向的路徑造成相位變化，相位變化大小與磁通量(∆φ) 有關：e∆φ/，兩方向的相位改變符號相反，因此總共造成的相位差為：2e∆φ/，隨
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著磁場變化造成磁通量改變，兩路徑會經歷由建設性干涉到破壞性干涉，造成圓柱薄殼 電阻產生隨磁場改變的週期性震盪[17]。
在高磁場的情況下，電子進入量子點空腔內的移動會因為羅倫茲力的影響而沿著腔 體內壁做迴轉式的移動(skipping orbit)，在腔壁附近產生可供電子傳導的能階形成 edge states，電子從左端進入和右端進入的會分別沿著腔體兩端移動，形成環狀路徑，上下兩 路徑的電子會因空腔內不為零磁通量而造成一相位差，使得在量子點內同樣會形成類似 Aharonov-Bohm effect 的干涉現象，震盪的週期與腔體內磁通量大小有關，所以可以間 接得到量子點的面積大小。
2.2.3 弱侷域效應(Weak localization effect)
在一般的金屬中因為熱擾動以及晶格缺限的關係，沒辦法形成完美的周期性位能 (perfectly periodicity potential)，因此電子在無序金屬(disordered metal)中傳輸時會因非彈 性碰撞(inelastic scattering)而在平均自由徑(mean free path)內就喪失其同調性(phase coherence)，在低溫的情況下，非彈性碰撞的機率可以大大降低，電子在多次彈性碰撞 間仍可以保持同調性不被破壞，考慮在一電子在無序金屬中進行多次同調背向散射 (coherent backscattering)又回到原來的位置，如圖 2-15(b)所示，同時電子也有可能經過 同樣路徑的散射但是方向相反，這種特殊的電子路徑會產生同調干涉(coherent interference)現象降低電子穿透機率，看起來就像是電子被侷限(Localized)在該區域，造 成電阻值上升；然而在外加磁場的情況下，這種反向行進同調干涉的電子路徑同調性會 被破壞，穿透機率增加使得電阻下降，在實驗上會觀察到負磁阻現象，稱為弱侷域效應。 圖 2-15 (a)兩相同路徑,相反方向金屬中傳導電子與數個碰撞中心進行多次彈性碰撞示 意圖。(b) 圖 2-15(a)中電子經過碰撞後又回到原點形成一封閉迴路。 在量子點系統內，可以將量子點看成是一個空腔(cavity)，在量子點與周圍強耦合(開
- 20 - 放式量子點，電導>2e2 /h)的情況下，電子可以直接傳輸而非穿隧，由於入射角度不同， 電子在進入量子點後也會經過多次碰撞才離開，若量子點的尺寸遠小於電子同調長度， 電子在量子點內的碰撞都屬於彈性碰撞，不會失去它的同調性，同樣考慮電子在量子點 內兩路徑進行相同次數的碰撞但是方向相反，類似於在一般金屬中的情況，這時候此電 子路徑同樣會造成同調干涉造成穿透機率下降，如圖 2-16 所示，電阻值上升；接下來 考慮一外加磁場，這時候兩路徑受到磁場的影響會失去原本的時間反轉對稱性 (time reversal symmetry)，兩路徑間存在一相位差，使得原本的建設性干涉被破壞，穿透機率 上升，電阻值下降，所以在量子點系統中低磁場部分的磁電阻量測會在零磁場的位置觀 察到一峰值，也就是磁場不為零時造成負的磁電阻，這便是在量子點系統內的弱侷域效 應，在 1990 年代初期許多在二維電子氣系統上量子點的量測都有觀察到這個效應，如 圖 2-17 所示 [18-20]。 圖 2-16 在量子點內進行多次碰撞且時間反轉對稱沒被破壞的電子對。 圖 2-17 實驗上在量子點系統中觀察到在 B=0 位置出現的震盪尖峰[18-19]。 Baranger 等在 1993 年計算電子在彈道式傳輸範疇的空腔內[21]，弱侷域效應在零磁 場處產生的波峰形狀應該會是何種型式，作者考慮兩種不同類型的空腔：chaotic (例如:
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stadium)和 regular(例如: square)，在 chaotic 空腔中電子的運動是各態歷經(ergodic)的， 各種路徑都有可能經過，然而在 regular 空腔則否，在低磁場時，電子在量子點的路徑 不會受到太大的影響，但是原本具有時間反轉對稱路徑間會有相位差存在，將所有路徑 對電阻的貢獻積分可以得到磁阻變化量δR與磁場 B 之間的關係，如圖 2-18 所示，對 chaotic 空腔來說： ] ) 2 ( 1 [ ) ( 2 0 Φ + = cl B R B R α δ (2.34) R 是零磁場時的電阻值，αcl是古典路徑行經的有效面積倒數分之一， 0 φ 是 Aharonov-Bohm effect 中磁通量標準單位，由上式可以發現在低磁場處電阻值會有 很大的變化量，當磁場逐漸增加之後電阻值會達到飽和，變化量趨近於零，將δR對 B 作圖會得到 Lorentzian 形式的波峰形狀；如果是 regualr 空腔的話，磁電阻變化量δR會 跟 B 呈簡單的線性關係： δR(B) ∝B，如圖 2-19 所示。 圖 2-18 Baranger 透過理論計算，不同形式的空腔會對應到不同的零磁場尖峰形式， chaotic 空腔會呈現 Lorentzian 形式，而 regular 則是線性關係[21]。
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圖 2-19 實驗上觀察到 Chaotic 和 regular 兩種不同腔體的零磁場尖峰確實展現兩種不同 形式[22]，符合 Baranger 的預期。
除了腔體設計上造成尖峰展現出不同的形式，Bird 等[18]在 1995 年的實驗中發現， 同樣設計的量子點空腔，隨著閘極電壓的改變，在趨向負偏壓的過程中，零磁場尖峰的 形式會有從 Lorentzian 轉變成 linear 形式的現象發生，如圖 2-20 所示，原本是 chaotic 的空腔在不同閘極電壓下也會展現出 regular 空腔的特性，Zozoulenko 等[23]在 1996 年 針對這個特性進行理論模擬，發現會有這樣的轉變是由於空腔內部角落位障形式變化有 關，在閘極電壓較正的情形腔體內角落會有較平滑(rounding)，隨著閘極電壓往負方向改 變，原本平滑的形狀會逐漸改變成直角，腔體形狀會轉變成正方形，也就是 regular 的 空腔，所以在實驗上才會觀察到這樣的尖峰形式改變。 圖 2-20 因為閘極偏壓改變造成零磁場尖峰形式由 Lorentzian 轉變為 Linear，a 圖閘極 電壓為-0.689 V，b 圖為-0.710 V[18]。
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第三章 樣品製作與量測系統
在這一章中將會介紹樣品的製作流程以及低溫量測所應用的技術。樣品從剛開始二 維電子氣基板開始處理到完成可以進行電性量測的微結構之間，會經過多次的光微影製 程,電子束微影製程以及熱蒸鍍沉積金屬的過程。低溫量測方面則使用兩套不同低溫極限 的低溫系統(3 He系統與稀釋致冷系統)，完整的流程圖如圖 3-1： 圖 3-1 樣品製作與低溫量測流程圖。 二維電子氣樣品結構如圖 2-1 所示，本實驗使用的二維電子氣樣品由以色列 Umansky 團隊所提供，本次使用編號 5-70 樣品。3-1 樣品製作
我們希望能夠利用閘極侷域的方式產生符合彈道式傳輸範疇的電子系統，因此表面 閘極的尺寸需要小於二維電子氣的平均自由徑，也就是需要製作出次微米等級的閘極結 構，如圖 3-2 所示；常見的微影製程可分為光微影製程與電子束微影製程兩種，電子束 微影製程使用電子當作曝光源，有較小的物質波波長，因此可以達到較好解析度的圖形 轉移，我們應用在尺寸 5 微米以下的製程，而光微影製程雖然受限於光源波長與光的繞- 24 - 射等因素，難以達到次微米等級尺寸的要求，然而卻有同時間大面積曝光的優點，因此 主要利用來製作尺寸 5 微米以上的部分，連接次微米結構到供打線機打線的接腳區，再 以金線連接到樣品座的針腳，最後在連結到低溫系統進行電性量測。以下將分別介紹兩 種技術的基本流程。 圖 3-2 在 GaAs 基板上完成光微影與電子束微影製程的對照組 SEM 影像。
3.1.1 光微影製程(Optical lithography technology process)
光微影製程在我們的製程上的應用有三個部分，如圖 3-3 所示，第一部分：平台結 構的製作，限定二維電子氣存在的區域，光微影製程可以一次進行大面積重覆圖形的轉 移，為了量測上不互相干擾，我們必須將區與區之間二維電子氣的連接破壞，每一區的 二維電子氣只存在於獨立的平台結構內，第二部分是歐姆接觸的製作，後續的電性量測 需要電壓,電流腳與基板下方二維電子氣的連接，實驗上可以利用金屬的熱退火擴散到二 維電子氣的位置產生歐姆接觸，第二部分的光微影製程便是負責限定歐姆接觸存在的位 置，最後一部分是表面閘極的製作，用來連接微結構與打線區接腳，最小線寬為 5 微米。 光微影製程的原理是利用光阻劑在受到曝光源照射之後，化學性質會產生變化，曝 光後可以溶解於特定的化學溶液(正光阻)，利用光罩阻擋部分光源對光阻劑可以做選擇
- 25 - 性的曝光，完成光罩圖案轉移到光阻上，留下來的光阻劑被當作化學遮罩保護下方的基 板，後續的製程一用途不同可以利用蝕刻或是沉積金屬的方式，完成光罩圖案轉移到基 板上，這便是一個完整的微影製程。 實驗上使用的曝光光源為 UV 紫外光，使用的光阻劑是屬於正光阻的 AZ5214E，利 用接觸式曝光方式可達到的解析度約為 1 微米。 圖 3-3 光微影製程使用的光罩設計圖。在樣品的設計上需要經過三道光微影製程才算完 成，三片光罩分別在基板上定義出：左：平台結構。中：歐姆接觸。右：閘極結 構。 流程: a. 清洗基板： 利用丙酮酒精去除基板表面的灰塵微粒化學髒汙，接觸式曝光在曝光過程中因為基 板會與光罩直接接觸，因此任何基板上的髒污都會造成圖型轉移後產生缺限。 b. 旋轉塗佈： 將適量光阻液滴在基板上，透過旋轉塗佈機的高速旋轉使得光阻液可以均勻分布在 基板表面，實驗使用是兩階段的塗佈方式，第一階段為轉速為 10 秒 1000 轉低轉速 的預轉，緊接著第二階段為 40 秒 5000 轉的高速旋轉。 c. 預烤： 將旋轉塗怖完成的基板放在加熱平台上以 90 度 C 加熱 90 秒去除部分光阻液中的揮 發性溶劑使其固化。 d. 曝光： 基板放入曝光對準機，緩慢將基板向上移動至緊貼光罩後打開光源使光阻曝光(約 1 秒)，若基板沒有緊貼光罩的話，會因為繞射的關係造成轉移後的圖形產生形變，正
- 26 - 光阻的特性為曝光的部分化學鍵會被破壞而可以溶於特定溶液中(顯影液)。 e. 反轉烤： 將曝光完成的基板再次放上加熱平台以 120 度 C 加熱 90 秒，上一階段已經接受曝光 的光阻性質發生變化，即使再次曝光也不會溶於顯影液中。 f. 全曝： 拿下對準機的光罩，讓基板所有部分都接受曝光(約 10 秒)，經過反轉烤的作用，接 受過兩次曝光的部分在顯影液中反而能夠保留下來。同時我們可以得到較好的縱向 內切(undercut,上窄下寬)的顯影圖案，有利於接下來金屬電極製作時可以避免。 g. 顯影： 將基板浸泡在顯影液中將不需要的光阻除去完成圖型的轉移，利用正光阻和反轉烤 的特性保留下來的是第一次曝光時接受曝光的圖形。顯影液為 AZ400K: DI Water =1:3，浸泡時間約 20 秒至 1 分鐘不等，待圖形完整出現後置於 DI Water 中 30 秒即 可。 光微影流程圖，圖 3-4： 旋轉塗佈： 預烤 90 度 C ,90 秒 曝光： 反轉烤： 120 度 C ,90 秒 全曝： 基板 AZ5214E 基板 AZ5214E 基板 AZ5214E 基板 AZ5214E
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顯影：
圖 3-4 光微影製程流程示意圖。分為旋轉塗佈、曝光、反轉烤、全曝、顯影幾個步驟。
3.1.2 濕式蝕刻(Shallow wet etching)
為了能夠有效利用基板，光微影製程可以將重復的圖形轉移到基板上，形成數個能 夠分別利用進行不同後續不同電子束微影製程的區域，因此需要將這些區域之間二維電 子氣分別獨立使其不會互相導通。我們利用濕式蝕刻的方式將二維電子氣侷限在每個區 域特定的位置且兩兩無法互相導通，利用光微影製程光罩的設計可以將不同區域量測需 要的部分以光阻覆蓋形成化學遮罩來抵擋化學溶液的侵蝕，實驗使用的蝕刻液為：H2S04: H2O2: H2O =1:8:160，蝕刻深度約為 50~60 奈米，不直接破壞在基板下方約 93 奈米的二 維電子氣結構所在的位置，而是利用淺式蝕刻的方式破壞其能帶結構使得原本侷限電子 z方向移動的位障消失來達到同等效果，透過這種方式可以避免金屬閘極碰觸到外露的 二維電子氣結構造成的漏電流。
3.1.3 歐姆接觸(Ohmic contacts)
為了進行後續的電性量測，基板表面的金屬閘極需要和下方的二維電子氣能夠產生 電性傳輸，利用光微影製程和熱蒸鍍技術我們可以在基板表面特定位置沉積需要的金 屬，再利用熱退火的方式使金屬向下擴散到二維電子氣而形成歐姆接觸，此一步驟的成 功與否對後續電性量測有相當大的影響，理想的歐姆接觸的 IV 特性應該遵守歐姆定 律，而且接點電組應該要越小越好以避免對實驗量測造成的誤差。3.1.4 金屬薄膜沉積(熱蒸鍍系統)
經由光微影製程完成圖形的轉移之後，我們可以將金屬沉積在我們所指定的基板表 面位置，不論是歐姆接觸或是表面閘極都是利用熱蒸鍍的方式來完成，在高真空的環境 下，利用高電流經過鎢舟產生的焦耳熱熔化金屬至氣相而沉積到基板的表面，整個熱蒸 鍍系統可分為產生高真空的抽真空系統及加熱鍍材的蒸鍍系統兩個部分，簡單的示意圖- 28 - 如圖 3-5 所示： 圖 3-5 熱蒸鍍系統示意圖。 蒸鍍流程： 1. 事前準備： 利用丙酮酒精清洗鎢舟以及鍍材表面的灰塵及髒汙，在高真空的情況下進行蒸鍍時 若有雜質會造成蒸鍍品質不佳，影響金屬與基板的附著力。基板用碳膠固定在待鍍 平台上放入真空腔體，位置在鍍材正上方。確認加熱用電極與腔體間為斷路避免實 驗過程中碰觸腔體觸電。 2. 抽真空： 完成事前準備後，先以機械幫浦將腔體壓力降到 5x10-2 torr以下，再打開高真空閥使 用渦輪幫浦將壓力降到高真空 10-6 torr，正常情況下，真空系統可以將腔體壓力下降 到 0.7x10-6 torr，通常在壓力達到 2x10-6 3. 離子轟擊： 腔體壓力到達高真空度之後，可以將氧氣或氬氣注入腔體直到壓力上升到 8 mtorr， 再打開高電壓源 800 V，游離進入腔體的氣體形成電漿撞擊樣品表面，透過這個步驟 可以除去顯影步驟時殘留在基板上的阻劑。 torr左右即可開始蒸鍍。 4. 蒸鍍： 針對欲鍍的鍍材在膜厚計選擇正確的參數程式，膜厚計是利用一片置於腔體內的石 英震盪片，蒸鍍時鍍材也會附著於其上使得震盪頻率產生變化，藉此來得知蒸鍍時
- 29 - 的鍍率以及蒸鍍的厚度的數值。緩慢增加電流給鎢舟直到鍍材因焦耳熱而轉變到氣 相，可由觀察膜厚計的鍍率得知。
3.1.5 電子束微影製程
相較於光微影製程的光阻與光源，電子束微影製程則是利用掃描式電子顯微鏡的電 子束對電子阻劑進行曝光，使其化學鍵產生變化而溶於顯影液中。掃描式電子顯微鏡的 原理是利用場發或熱阻式產生電子，在經由加速電壓的影響將電子導向樣品，路徑中透 過數個電磁透鏡的聚焦作用，使得電子束可以聚焦在樣品上很小的區域，電子束微影製 程利用這樣的特性，在塗佈有電子阻劑的樣品上透過電子束一個點一個點的進行曝光， 來達到圖形轉移的目的。也因為電子束可以良好聚焦在小範圍的特性，我們實驗上使用 到次微米等級的元件都是透過電子束微影製程來製作，如圖 3-6 所示。 不同於光微影製程是將光罩上固定的圖案透過曝光進行轉移，電子束微影可以在 DesignCAD 圖形設計軟體上設計出需要的結構尺寸大小，再利用控制電子束的介面軟體 NPGS (Nanometer Pattern Generation System)精密的控制電子束的停留位置，以及屏蔽板 (Beam blanker)來阻擋電子束避免曝光到沒有設計圖形的區域，如此一來可以直接將設計 的圖形轉移到電子阻劑上，而且圖形比起光微影製程的光罩可以有更大的彈性，可以隨 時更改設計，並且有更高的解析度，可以輕鬆的製作出次微米等級的元件。 圖 3-6 透過電子束微影製作的三對分離閘極對照組 SEM 影像。三對分離閘極通道寬度 均約為 470nm，通道長度分別為 230、230nm 以及2μm，長度 2μm 的量子線在 通道中央與通道開口的寬度差在 10%以內。- 30 - 電子束微影流程： a. 清洗基板： 同光微影製程，先以丙酮酒精除去基板上的灰塵微粒，基板上的異物會造成阻劑塗 佈的不均勻，造成相同電子束曝光時間在不均勻的阻劑上形成不符合我們預期的圖 形轉移。 b. 旋轉塗佈： 將適量電子阻劑(PMMA,)滴在基板上，旋轉條件為單一階段 30 秒 6000 轉，在 A5 的阻劑使用此一條件約可產生 300 nm 厚的均勻薄膜。 c. 預烤 將塗佈完成的基板放上加熱平台以 180 度 C 烘烤 5 分鐘將 PMMA 烤硬就可以進行接 下來曝光的動作。 d. 曝光： 曝光全程可由控制軟體全程自動進行，只要將設計好的圖形及相關參數輸入即可， 電子束曝光劑量大小為(nC/cm)，需要良好的控制這個參數才能得到跟設計圖形相近 的結果，劑量太大會因為電子在阻劑內的散射造成周圍沒有曝光的區域阻劑化學性 質也產生變化，造成轉移後的圖形過大，太小的劑量則無法得到我們希望的元件尺 寸。 e. 顯影&定影： 將曝光完成的基板浸泡在 MIBK:IPA=1:3 的顯影液內 75 秒，被電子束照射過的阻劑 會溶解其中，在放入 IPA 溶液中 25 秒進行定影，圖形轉移就算大功告成。 f. 熱蒸鍍： 完成電子束製程後需要在挖空的阻劑位置沉積我們需要的金屬，以我們元件來說， 一般金屬閘極都是由 10nm 的 Ti 和 70nm 的 Au 組成，金具有良好的導電性，是電性 量測電極的優良材料，而 Ti 可以增加 Au 和基板之間的附著力。 g. 舉離： 我們使用的電子阻劑 PMMA 易溶於丙酮溶液中，蒸鍍完成的基板表面會覆蓋一層金 屬薄膜，在沒有曝光的區域金屬是附著在 PMMA 上而非直接與基板相連，此時只要 將基板浸泡在丙酮溶液中會溶解未曝光的電子阻劑，同時也使附著在阻劑上的金屬 跟著離開基板表面。
- 31 - 流程示意圖，如圖 3-7： 旋轉塗佈： 曝光： 顯影： PMMA 蒸鍍： Metal PMMA 舉離： Metal 圖 3-7 電子束微影流程示意圖。
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