3−1 證明與推理
本節課程學習重點: ◎能理解數學的推理與證明的意義。 ◎能理解數學證明是由已知條件或已確認的性質來推導出結論的過程。 ◎能理解「已知」、「求證」、「證明」的三段式之證明的意義。 ◎能理解三角形內分比性質,並進行計算。 ◎能理解「舉例」與「證明」是不同的。 一、幾何證明:(符號說明:「因為 ∵」;「所以 ∴」。使用時,順序不可錯置。) ◎證明:(1)由「已知條件」或「已確認的性質」推論出結論的過程,稱為證明。 (2)證明的過程常寫成「已知、求證、證明」的格式: 已知:題目給的條件。 求證:題目所要得到的結論。 證明:運用「已知條件」或「已確認的性質」所做的推論過程。 【說明】(1)以角平分線的尺規作圖為例,作法如下: 如下圖左,以 P 點為圓心,適當長為半徑畫弧,交∠P 的兩邊於 A、B 兩點。 如下圖中,分別以 A、B 為圓心,大於12 AB 的相同長度為半徑畫弧,兩弧相交於 Q 點。 連接 → PQ ,則 → PQ 即為∠P 的角平分線。 證明過程如下: 已知:如右圖, PA = PB , AQ = BQ 。 求證: → PQ 是∠APB 的角平分線。 證明:在△APQ 和△BPQ 中, ∵⎩⎪
⎨
⎪⎧
PA = PB ( 已知) AQ = BQ ( 已知) PQ = PQ ( 共用邊) ∴△APQ ≅ △BPQ (SSS 全等), 得∠APQ=∠BPQ,故 → PQ 是∠APB 的角平分線。 (2)以證明等腰三角形的頂角平分線會垂直平分底邊為例,過程如下: 已知:如圖,等腰△ABC 中, AB = AC ,頂角∠A 的角平分線交 BC 於 E 點。 求證: AE ⊥ BC ,且 AE 平分 BC ,即 AE 垂直平分 BC 。 證明:在△ABE 和△ACE 中, ∵⎩⎪
⎨
⎪⎧
AB = AC ( △ABC 為等腰三角形) ∠BAE=∠CAE ( AE 平分∠A) AE = AE ( 共用邊)∴△ABE ≅ △ACE (SAS 全等),
得 BE = CE , 且∠AEB=∠AEC,又∠AEB+∠AEC=180°,得∠AEB=∠AEC=90°, 可知: AE ⊥ BC ,且 AE 平分 BC 。 P A B P A B Q P A B Q P A B Q A E B C
【觀念釐清】在前一頁的等腰三角形頂角平分線會垂直平分底邊的證明過程中,可知: (1) AB = AC , AE 平分∠A 是已知的條件。 (2) AE ⊥ BC , AE 平分 BC 是求證的結論。 ◎推理思考的步驟: 【說明】已知:如右圖, AC 和 BD 相交於 O 點,且 AO = CO , BO = DO 。 求證: AB // CD 。 證明:在△AOB 和△COD 中, ∵
⎩⎪
⎨
⎪⎧
AO = CO ( 已知) ∠AOB=∠COD ( 對頂角相等) BO = DO ( 已知)∴△AOB ≅ △COD (SAS 全等),得∠A=∠C (對應角相等), 故 AB // CD (一組內錯角相等,則兩直線平行)。 思考步驟如下: (1)如何判別兩直線平行呢? 同位角相等,或內錯角相等,或同側內角互補,則兩直線平行。 (2)哪些角可以用來判別 AB 和 CD 平行呢? 觀察圖形可知∠A、∠C是一組內錯角,如果∠A=∠C成立,就可以推得 AB // CD 。
(3)如何知道∠A=∠C 呢? 如果圖中的△AOB和△COD全等,就可以得到∠A=∠C。 (4)如何知道△AOB ≅ △COD 呢?
因為 AO = CO 、 BO = DO 、∠AOB=∠COD,可推得△AOB ≅ △COD (SAS全等)。
【觀念釐清】前面的思考方向是從想要求證的結果( AB // CD )倒推回來,若要寫出證明過程,則要 從已經知道的部分推到想要的結果。此時思考的方向和證明的過程剛好相反,如下圖。 AB // CD ∠A=∠C (或∠B=∠D) △AOB≅△COD AO = CO ∠AOB=∠COD BO = DO 思考 方向 證明 過程 ◎幾何問題的證明過程中,常用來當做幾何推理時的依據:(已知事實) (1)畢氏定理 (2)三角形的基本性質 (3)三角形的全等性質 (4)角平分線和垂直平分線的性質 (5)樞紐定理與逆樞紐定理 (6)平行線的性質與判別性質 (7)平行四邊形的性質 (8)中點連線性質 (9)平行線截比例線段性質 (10)平行線截比例線段性質的應用 (11)三角形內分比性質 (12)三角形的相似性質 (13)圓的基本性質 A D C B O
練習1:已知:如右圖,∠A、∠B 的兩邊分別平行。 求證:∠A=∠B。 練習2:已知:如右圖,∠A、∠B 的兩邊分別平行。 求證:∠A+∠B=180° 練習3:已知:如右圖,等腰△ABC 中, AB = AC ,且 BD 、 CE 分別為 AC 、 AB 上的高。 求證: BD = CE 。(Hint:畫出△ABD 和△ACE) 練習4:已知:如右圖,等腰△ABC 中, AB = AC ,D、E 分別為 AC 、 AB 的中點。 求證: BD = CE 。 練習5:已知:如右圖,四邊形 ABCD 及四邊形 AEFG 皆為正方形。 求證: DE = BG 。 練習6 :已知:如下圖,在正△ABC的兩邊 AB 、 AC 往外側作正△ABD、正△ACE。 求證: BE = CD 。 A B B A A B E D C A B E D C D A E B C A E D C B F G
練習7 :已知:如右圖,△ABC為正三角形,P、Q兩點分別在 BC 、 AC 上,且∠APQ=60°。 求證:△ABP~△PCQ。
練習8 :已知:如右圖,四邊形 ABCD 為長方形,E、F 兩點分別在 BC 、 CD 上,且∠AEF=90°。 求證:△ABE~△ECF。 ◎(複習)梯形兩腰中點連線性質:(1)梯形兩腰中點連線與兩底平行。 (2)梯形兩腰中點的連線段長等於兩底和的一半。 已知:如右圖,梯形 ABCD 中, AD // BC ,E、F 分別為 AB 、 CD 中點。 求證: EF // BC // AD ,且 EF =12( BC + AD )。 證明:(1)連接 → AF ,與 → BC 交於 G 點。 ∵ AD // BC ,∴∠ =1 ∠2 (內錯角), 又 3∠ =∠4 (對頂角),且 DF = FC , ∴△ADF ≅ △GCF (ASA 全等), 得 AD = GC , AF = GF ,即 F 為 AG 中點。 (2)在△ABG 中,∵E、F 分別為 AB 、 AG 中點,∴ EF // BG , 且 EF =12 BG =12( BC + CG )=12 ( BC + AD ), 所以 EF // BC // AD ,且 EF =12( BC + AD )。 練習9:如右圖,梯形 ABCD 中, ¯ AD //¯ BC , ¯ AH ⊥¯ BC ,¯ EF 為兩腰中點 連線段。若¯ EF = ¯ AH =10 公分,則梯形 ABCD 面積為多少? ◎三角形內分比性質: 已知:如右圖,△ABC 中,∠BAC 的角平分線與 BC 相交於 D 點。 求證:¯ AB :¯ AC =¯ BD : ¯ DC 。 60° A P Q C B A D B F C E A D E F C B H B A C D A D E F B C 1 3 4 2 A D E F B C G
證明:(1)由 D 點分別向¯ AB 、¯ AC 作高¯ DF 、 ¯ DG ,則¯ DF = ¯ DG 。 △ABD 面積:△ACD 面積 =( 12 AB ׯ¯ DF ):( 12 AC × ¯¯ DG )=¯ AB :¯ AC 。 (2)由 A 點向¯ BC 作高¯ AE ,則 △ABD 面積:△ACD 面積 =( 12 BD ׯ¯ AE ):( 12 CD ׯ¯ AE )=¯ BD : ¯ CD 。 (3)由(1)、(2)知¯ AB :¯ AC =¯ BD : ¯ DC 。 練習10:如右圖,△ABC中,∠BAC的角平分線與 BC 相交於D點。 若¯ AB =5、¯ AC =3。則 (1)¯ BD : ¯ DC =? (2)△ABD 面積:△ACD 面積=? 二、代數證明: ◎偶數與奇數的表示:(1)偶數都可以用 2k (其中 k 是整數)來表示。 (2)奇數都可以用 2k+1 或 2k-1 (其中 k 是整數)來表示。 【說明】(1)因為每一個偶數都是2的倍數,所以偶數都可用2k (其中k是整數)的型式來表示。 (2)因為每一個奇數都是某個偶數加 1,所以奇數可用 2k+1 (其中 k 是整數)的型式來表示。 因為每一個奇數都是某個偶數減 1,所以奇數也可用 2k-1 (其中 k 是整數)的型式來表示。 【觀念釐清】因為正整數中的奇數和偶數都有無限多個,所以「舉例」(有限個)不能當做「證明」。 練習11:已知a是整數,判斷下列各式所代表的數是奇數還是偶數,或都有可能。 (1) a+1: 。 (2) a+2: 。 (3) 2a+2: 。 (4) 2a+1: 。 (5) 2(2a-1): 。 【觀念釐清】偶數與奇數的和是奇數;偶數與偶數的和是偶數。 練習12:已知:a是任意一個偶數,b是任意一個奇數。求證:(a+b)是奇數。(Hint:假設的正確性) 【觀念釐清】上述的證明中,不能假設a=2k、b=2k+1(其中k是整數)。因為a、b各為任意的偶數、 奇數,若假設a=2k、b=2k+1,則會呈現a、b為相鄰的偶數、奇數。 A B D C B A C D F G B A C D E
練習13:已知:a、b是任意兩個偶數。求證:(a+b)是偶數。 【觀念釐清】奇數的平方一定是奇數;偶數的平方一定是偶數。 練習14:已知:a是任意一個奇數。求證:a2也是奇數。 練習15:已知:a是偶數。求證:a2也是偶數。 練習16:已知:直角三角形的三邊長為 a、b、c(a、b、c 均為正整數),其中 c 為斜邊。 求證:a2是(b+c)的倍數。 練習17:已知:k 為正整數。求證:(k+2)2-k2是4 的倍數。 【觀念釐清】兩不相等的正數中,大數的平方恆大於小數的平方。 練習18:已知:a、b 為正數,且 a>b。求證:a2>b2。 練習19:已知:a、b 為正數,且 a2>b2。求證:a>b。 【觀念釐清】若 a>b,則 a2>b2。(不一定成立!)(例如:a=1,b= −2。)
自我評量 1. 已知:如右圖,∠DAB=∠CBA,∠DBA=∠CAB。 求證: ¯ AC = ¯ BD 。 2. 直角坐標平面上有 A(1 , 4)、B(0 , 0)、C(7 , 0)、D(4 , 4)四點,若 E、F 分別為¯ AB 、 ¯ CD 的中點, 則¯ EF 長為多少? 3. 已知:如右圖,在平行四邊形 ABCD 中,E 為¯ AB 的中點,F 為¯ AC 與 ¯ ED 的交點。 求證: ¯ CF =2¯ AF 。 4. 已知:a、b 均為奇數。求證:ab 也是奇數。 習作 1. 以下是「若一三角形有兩邊上的高相等,則此三角形為等腰三角形」的性質證明。 已知:如右圖,△ABC 中, ¯ BD 、¯ CE 分別為¯ AC 、¯ AB 上的高,且¯ BD =¯ CE 。 求證:△ABC 為等腰三角形。 2. 以下是「等腰三角形兩底角的角平分線段長相等」的性質證明。
已知:如右圖,△ABC 中,¯ AB =¯ AC ,→BE、→CF分別是∠ABC、∠ACB 的角平分線。
求證:¯ BE =¯ CF 。 A D C B B C A D E F C A D B E C A F B E
3. 已知:如右圖,△ABC 中,過 A 點作 ¯ AD ⊥¯ AB 、¯ AE ⊥¯ AC , 且 ¯ AD =¯ AB 、¯ AE =¯ AC ,連接 ¯ CD 、¯ BE 。 求證: ¯ CD =¯ BE 。 4. 已知:如右圖,¯ BC // ¯ AD ,¯ AB =8,¯ BC =6,¯ AC =9, ¯ AD =13.5。 (1)求證:△ABC~△DCA。 (2)求 CD 之長。 5. 已知:如右圖,∠BEC= 1∠ +∠ 。 2 求證:¯ AB // ¯ CD 。 6. 如右圖,梯形 ABCD 中, ¯ AD // ¯ BC ,E、F 為兩腰的中點。 已知 ¯ AD =4、¯ BC =12,則 EF 的長為多少? 7. 如右圖,△ABC 中,¯ AB =¯ AC =13、¯ BC =10, AD 、→ BE 分別為→ ∠BAC 與∠ABC 的角平分線,且交於 F 點,則 (1)¯ AF :¯ FD =? (2)¯ AF =? (3)△ABF 面積=? D C B A C D B E 1 2 A A B C E D A B C D E F A B E F D C
8. 已知:直角三角形的三邊長為 7、b、c (b、c 為正整數),其中 c 為斜邊。 求證:證明(c+b)是 49 的因數。
9. 若 a 是正整數,且 a 被 4 除後餘 2,則 a 是偶數還是奇數?為什麼?
10. 如右圖,四邊形 ABCD 為正方形,¯ BE =¯ CF ,則∠AGF 的度數為何?
11. 如右圖,在△ABC 中,∠ACB=2∠B,∠A 的角平分線交¯ BC 於 D,∠ACB 的角平分線交 ¯ AD 於 E。 若¯ AB =10,¯ AC =6,則 (1) ¯ AD :¯ AE =? (2) ¯ CD =? 類題補充 1. 直角△ABC 中,∠C=90°, CD ⊥ AB , AD =2, BD =2 CD ,則 CD =? 2. 如右圖,△ABC 中,∠BAC=90°, AD ⊥ BC ,若 AB =15, BD =9, 則 AC =? A D B E C F G B D C A A B D C E
3. 如圖,若 AB // DE , BC ⊥ EF ,∠ABC=55°,求∠DEF=? A C E B D F 4. 如圖,若 L//M,若∠1+∠2+∠3+∠4=250°,求∠1+∠3=? L M 3 1 2 4 5. 如圖,若 L//M,若∠1+∠4=80°,求∠2+∠3=? L M 3 1 2 4 6. 如圖,△ABC 中, AB = AC =13, BC =24, DE ⊥ AB , DF ⊥ AC ,則 DE + DF =? A C E B D F 7. 如圖, AC =12, BC =4,∠C=30°,求△ABC 的面積為多少平方單位? 8. 如圖,△ABC 中, AB = AC =10, DE ⊥ AB , DF ⊥ AC ,若 DE + DF =485 , 則△ABC 腰上的高=? A E C B D F C B A
9. 如圖,△ABC 與△BDE 均為正三角形,且∠AED=140°,則∠ECD=?
A
E C
B
D
10. 如圖,△ABC 為邊長為 6 的正三角形,D、E 兩點分別在 BC 、 AC 上,且∠ADE=60°, BD =2, 則 CE =?
E A
C
B D
11. 如圖,△ABC 中, BF 、 CF 分別平分∠ABC 與∠ACB,且 DE // BC ,求 (1)若 DE =10,則 BD + CE = 。 (2)若 AB =8, BC =10, AC =15,則△ADE 周長為 。 12. 如圖,△ABC 中, DE 垂直平分 BC ,若 BC =48 公分, CD =25 公分, AD =5 公分,則 (1) DE = 公分。 (2) △ABC 面積為 平方公分。 13. 如圖,正方形 ABCD 的兩對角線 AC 、 BD 交於 O 點,若∠EOF=90°, 且 AB =10,則四邊形 OEDF 面積為 平方單位。 A C E B D F A C E B D A C E B D F O
14. 如圖,矩形 ABCD 中,沿著 EF 摺疊,使得 CD 與 BG 重合,若∠ABE=24°,則∠EFG=? 15. 如圖, BD 平分∠ABC, AD = CD , BC > AB ,且∠BAD=112°,則∠C= 度。 B D C 112° A 16. 如圖,等腰△ABC 中, AB = AC =12, BD 平分∠ABC,且 DE // BC ,若 DE =5, 則△ADE 的周長為 。 B D C E A 17. 如圖, BE 、 CE 分別平分∠ABC 與∠ACD,若∠A=70°,則∠E= 度。 B D C E A
18. 已知:如右圖,在△ABC 的兩邊 AB 、 AC 往外側作正方形 ABFG 及正方形 ACDE。 求證: BE = CG 。 19. 如圖,正方形 ABCD 與正方形 CEFG 中,∠1=35°,∠2=25°,則∠3= 、∠4= 。 B F G D C E 1 3 4 2 A A C E B D F G A B C D E G F
加強練習
1. △ABC 中, AB = AC , BD 平分∠ABC, CE 平分∠ACB,則可根據何種全等性質證得 △BCE ≅△CBD? (A) SSS (B) RHS (C) ASA (D) AAS
2. 關於奇數、偶數的判別,下列何者正確?
(A)偶數與奇數的和是偶數 (B)任意兩個偶數的和是偶數 (C)任意兩個奇數的和是奇數 (D)奇數與偶數的積是奇數
3. 如下圖,四邊形 ABCD 為矩形,E、F 兩點分別在 BC 、 CD ,且∠AEF=90°, AB =4、
AD =8、 CF =2, BE < CF ,則 BE =? A C E B D F 4. 已知:a、b 皆為正整數,且 a=2b。求證:a2+b2是5 的倍數。 5. 已知:a、b 皆為正整數,且 b=a-3。求證:a2-b2是3 的倍數。 6. 如右圖,△ABC 中,∠BAC=90°, AD ⊥ BC , 已知 CD =8, AC =10,下列何者錯誤? (A) BD =4.5 (B) AD =6 (C) AB =7.5 (D)△ABC 面積:△ACD 面積=5:4 7. 如右圖,L//M,四邊形 ABCD 為平行四邊形,∠1=30°,則∠2=? (A) 10° (B) 20° (C) 30° (D) 40° 8. 若 k 是正整數,則(2k-3)2-4k2必是多少的倍數? (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 6 9. 菱形兩條對角線長的比為 3:4,且其面積為 24,則菱形的周長為 。 10. 如右圖,ABCD 為正方形,若 DF = CE ,則下列推論何者錯誤?
(A) △ADF
≅
△DCE (B) △ADF~△DGF (C) △AGD~△DGF (D) △AGE~△DGF11. 如右圖,△ABC 中,∠BAC=90°, AD ⊥ BC ,若 AB =6, AC =8, 則 BD =? (A) 3.6 (B) 4.2 (C) 4.8 (D) 5.2
12. 如下圖,四邊形 ABCD 是正方形,△BCE 是正三角形,則∠AED=? (A) 75° (B) 140° (C) 150° (D) 160° B E D C A
13. 在△ABC 和△DEF 中,若 AB = DE , AC = DF ,且∠B=∠E,則此兩三角形的關係為下列何者? (A) 全等 (B) 不全等 (C) 不一定全等 (D) 條件不足,無法判斷 14. 如右圖, BD ⊥ L, EC ⊥ L,∠BAC=90°, AB = AC ,若 AD =3, AE =4,則 BD = , CE = , BC = 。 A C B D 1 2 A C B D L M B F D C E G A B D C A B L D C E A
Ans:1.(C);2.(B);3. 4-2 2 ;4.略;5.略;6.(D);7.(C);8.(B);9. 20;10.(D);11.(A);12.(C); 13.(C);14. 4,3,5 2 。