國中數學3 2 3畢氏定理

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2−3 畢氏定理

本節課程學習重點： ◎能理解畢氏定理，並能介紹其在生活中的應用。 ◎能由簡單面積計算導出畢氏定理。 ◎能在數線上標出平方根的點。 ◎能計算平面上兩相異點的距離。 一、發現畢氏定理： ◎畢氏定理：任意直角三角形，其兩股的平方和等於斜邊的平方。 例如：右圖的直角三角形 ABC 中，a2＋b2＝c2。 【觀念釐清】(畢氏數)常見的直角三角形三邊長 a、b、c 分別有 (3、4、5)；(5、12、13)；(7、24、25)；(8、15、17)。【說明】一般使用的三角板，都有一個角是直角(90°)，這種有一角為直角的三角形，稱為直角三角形。如下圖，其中直角所對的邊，稱為斜邊，其餘的兩個邊都稱為股。股斜邊股觀察下圖(A)、(B)、(C)的面積變化，其中三角形灰色區域皆為直角三角形，依照直角三角形的三邊長所畫出的四邊形皆為正方形，且每個小方格邊長皆為 1。

R

P

_P

P

Q

R

圖(A) 圖(B) 圖(C) 整理如下： P 的面積 (藍色區域) Q 的面積 (綠色區域) R 的面積 (紅色區域) 圖(A) 9 16 25 圖(B) 4 4 8 圖(C) 4 9 13 可知：P 的面積＋Q 的面積＝R 的面積。 【觀念釐清】利用直角三角形兩股為邊所畫出的兩個正方形面積和與斜邊為邊所畫出的正方形面積 相等，若正方形 P、Q、R 的邊長分別為 a、b、c，則滿足 a2＋b2_＝c2_。 b a c B C A

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接下來，觀察下圖的面積變化，將 4 個相同的直角三角形，其三邊長分別為 a、b、c，依下圖 的方式放到邊長為(a＋b)的正方形 ABCD 上。 可知：(1)因為四邊形 EFGH 的四邊相等，且四個角都是 90°，所以四邊形 EFGH 為正方形。 (2)由上圖推得四邊形 EFGH 面積等於正方形 ABCD 面積減去 4 個直角三角形面積。 即 c2＝(a＋b)2_－4×1 2 ab，所以 c

2_＝a2_＋2ab＋b2_－2ab＝a2_＋b2_。

【觀念釐清】(1)古希臘數學家歐幾里德(約西元前三世紀)所編著的幾何原本，提及畢達哥拉斯(古希臘數學家，西元前五世紀)最早發現此定理，所以稱為畢達哥拉斯定理(簡稱畢氏定理)。 (2)希臘為了紀念畢達哥拉斯，在 1955 年 8 月 20 日發行了紀念郵票，如下圖，中間的三角形是直角三角形，而旁邊的三個正方形則是依照直角三角形的三邊長所畫出來。 (3)在中國古書周髀算經中有一段記載商高與周公的對話：「勾廣三，股修四，徑隅五。」也討論到直角三角形邊長的關係，其中勾是指較短的股，徑是指斜邊，所以畢氏定理也稱為勾股定理或商高定理。 練習 1：求出下列各直角三角形邊長 a、b、c 的值。 (1) (2) (3)

a

3 2

b

5 12

c

9 15 A E F G B D C c c c c a a a b b b b a H

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練習 2：求出下列各直角三角形邊長 a、b、c 的值。 (1) (2) (3) 8 a 6 b 7 10 7 c 24 二、畢氏定理的應用： 練習 3：「2001 希望之旅」是臺灣第一次主導帆船環航世界一周的活動，完成此項壯舉的是「跨世紀號」。已知跨世紀號的主帆為一直角三角形，如右圖，其中一股長為 15 公尺，斜邊長為 17 公尺，須將 船帆拉離桅桿 a 公尺，才能將整張帆展開，此時 a 為多少？ 練習 4：通常 21 吋的電視，表示電視螢幕對角的距離是 21 吋。現在有一臺電視，它的螢幕長 20 吋、寬 15 吋，如右圖，則這是幾吋的電視(即求 ¯ AC 長)？ 練習 5：某天下午突然發生了劇烈的地震，一根長 1.3 公尺的橫梁從天花板掉了下來，正好靠在牆上。 (1)此時牆腳和橫梁的尾端距離為 0.5 公尺，則橫梁頂端距離牆腳多少公尺？ (2)再經過一次餘震後，橫梁往下滑了 0.7 公尺，此時橫梁尾端頂住了樓梯，則橫梁尾端滑動了多少公尺？ 17 15 a 主帆 D C A 20 B 15

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練習 6：小靖拿著 2.5 公尺長的梯子靠在一垂直牆上。已知牆腳與梯腳距離為 0.7 公尺，若梯腳滑移了 1.3 公尺，則梯頂下移多少公尺？ 練習 7：如右圖，直角三角形 ABC 中，∠ABC 為直角，且 ¯ AB ＝10， ¯ BC ＝24，若 ¯ BD 為斜邊上的高，則 ¯ BD 的長為多少？ 練習 8：小祐搭設了一個簡易帳篷，如右圖，其中∠ABC 為 直角，且 ¯ AC ＝2.5 公尺、 ¯ BC ＝2 公尺，則 ¯ BD 的長為多少？練習 9：如右圖，有一正方體盒子，其邊長 6 公分， 則 A、D 兩點的距離為多少公分？(Hint：先求 ¯ BD ) 練習 10：小妍暑假到東京迪士尼樂園遊玩，買了 一張 3D 電影海報。回飯店整理行李時， 她必須將長 65 公分的海報筒斜放，才能剛好裝入行李箱內，如右圖。則行李箱的高 ¯ FG 為多少公分？ 2.5 0.7 24 10 A C D B A B D C 6 6 6

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◎在數線上標出平方根的點：(考慮坐標為 2 ，－ 3 的點) 如下圖，在數線上 O 為原點，A 點坐標為 1。在直角三角形 OAB、OBC 中， ¯ AB ＝ ¯ BC ＝1。則 (1) ¯ OB ＝ OA ¯2＋ ¯ AB 2 ＝ 12＋12 ＝ 2 ； ¯ OC ＝ OB ¯2＋ ¯ BC 2 ＝ ( 2 )2＋12 ＝ 3 。 (2)利用圓規，在下圖的數線上找到 B'點，使得 B'點的坐標為 2 。 (3)利用圓規，在下圖的數線上找到 C'點，使得 C'點的坐標為－ 3 。 三、直角坐標平面上兩點的距離公式： ◎複習：如果 A(a)、B(b)是數線上的兩點，則 A 與 B 的距離 ¯ AB ＝∣a－b∣或∣b－a∣。【觀念釐清】直角坐標平面上有相異兩點， (1)若 y 坐標相同，則這兩點在同一條水平線上，且兩點間的距離為 x 坐標差的絕對值； (2)若 x 坐標相同，則這兩點在同一條鉛垂線上，且兩點間的距離為 y 坐標差的絕對值。 如果直角坐標平面上的兩點，不在同一水平線上或同一鉛垂線上，則可以透過作水平線和鉛垂線，找到一個直角三角形，再利用畢氏定理求出兩點間的距離。 練習 11：直角坐標平面上有 A(2 , 0)、B(5 , 0)、C(－4 , 3)、D(2 , 3)四點，分別求出下列各小題中兩點 的距離。(1) A、B (2) C、D 練習 12：求下列各小題中兩點的距離。(1) A(1 , －2)、B(－6 , －2) (2) C(－7 , 3)、D(－2 , 3) 練習 13：直角坐標平面上有 A(0 , 3)、B(0 ,－3)、C(－3 , 1)、D(－3 , 5)四點，分別求出下列各小題中 兩點的距離。(1) A、B (2) C、D 練習 14：求下列各小題中兩點的距離。(1) M(1 , 3)、N(1 , －2) (2) P(－2 , －1)、Q(－2 , －5)

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◎直角坐標平面上兩點的距離公式： 如果 A(x1 , y1)、B(x2 , y2)是直角坐標平面上的兩點，則 A 與 B 的距離 ¯ AB ＝ (x1−x2)2+(y1−y2)2 。 例如：若 A(－3 ,－1)、B(2 , 5)，則 ¯ AB ＝ [(－3)－2]2＋[(－1)－5]2 ＝ 25＋36 ＝ 61 。 1 1 0 A(－3,－1 ) x y B(2, 5) C(2,－1 ) 【說明】在直角坐標平面上有 A(－3 ,－1)，B(2 , 5)兩點， (1)畫出過 A 點平行於 x 軸的水平線及過 B 點平行於 y 軸的鉛垂線，如上圖。 (2)設兩直線相交於 C 點，則 C 點的坐標為(2 ,－1)。 (3)從圖中可以看出，三角形 ABC 是直角三角形， ¯ AB 為斜邊， ¯ AC 、 ¯ BC 為兩股，其中 ¯ AC ＝∣(－3)－2∣＝5、 ¯ BC ＝∣5－(－1)∣＝6，由畢氏定理可以得到： ¯ AB 2＝ ¯ AC 2＋ ¯ BC 2＝52_＋62_{＝25＋36＝61，所以 ¯} AB ＝ 61 。 同理，如果 A(x1 , y1)、B(x2 , y2)是直角坐標平面上的兩點，且不在同一水平線或鉛垂線上，則

可找一點 C(x2 , y1)，使得三角形 ABC 為直角三角形，且 ¯ AC ＝︱x1－x2︱、 ¯ BC ＝︱y1－y2︱，

所以由畢氏定理可以得到： ¯ AB ＝ AC ¯2＋ ¯ BC 2 ＝ x₁−x₂ 2+ y₁−y₂2 ＝ 2 2 1 2 1 2 (x −x ) +(y −y ) 。 練習 15：直角坐標平面上有 A(6 , 4)、B(－3 ,－7)兩點，則 ¯ AB ＝？ ◎補充：(1)設 m＞n＞0，則 m2_－n2_、2mn、m2_＋n2_{必為直角三角形的三邊長，m}2_＋n2_{必為斜邊。} (2)直角三角形斜邊上的高＝兩股乘積_斜邊 。如下圖，h＝ab c。(Hint：面積) b a c h B(x2, y2) C(x2, y1) A(x1, y1) x y

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自我評量 1. 已知一直角三角形，其兩股長分別為 11 、7，求斜邊長。 2. 已知一直角三角形的兩邊長分別為 6、8，則第三邊長可能是哪些數值？ 3. 求出下列線段長 a、b、c、d 的值。 (1) (2) B C D 4 4 5 a b A 4 3 c d A B D C 4. 如右圖，三角形 ABC 為一等腰三角形，已知 ¯ AB ＝ ¯ AC ＝13 公分， ¯ AD 垂直 ¯ BC ，且 ¯ BD ＝5 公分，則三角形 ABC 的面積為多少平方公分？ 5. 王伯伯有一塊地，如右圖， ¯ BC ＝ ¯ CD ＝4 公尺、 ¯ DE ＝3 公尺、 ¯ EF ＝7 公尺，若他想將地的外圍用鐵絲圍起來，則他至少要準備多少公尺的鐵絲？ 6. 直角坐標平面上有 A(3 ,－2)、B(－4 ,－5)、C(0 , 6)、D(－9 , 12)四點，則 ¯ AB 、 ¯ BC 、 ¯ CD 、 ¯ AD 分別為多少？ A B D C 13 13 5 B A D C E 7 3 4 4 F

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7. 在直角坐標平面上，已知小翊從原點出發，向東走 3 個單位，再向北走 3 個單位到達 P 點，小靖從 原點出發，向西走 3 個單位，再向南走 5 個單位到達 Q 點，則 P、Q 兩點的距離為多少？ 習作 1. 已知下列黃色圖形都是正方形，且圖中的數字為各正方形的面積，試問哪一個字母所代表的正方形面積是 169？ A 144 144 121 49 87 400 256 225 B _C D 2. 將 4 個完全相同的直角三角形及一個小正方形拼成大正方形，如右圖。 已知直角三角形的兩股分別是 7 和 10，求大正方形 ABCD 的面積。 3. 求出下列線段長 a、b、c、d 的值。 (1) (2)

b

a

13 5 A _B C D 5 15 8

c

d

D A B C 4. 將長 17 公尺的竹竿斜靠在一垂直牆上，已知竿腳到牆腳的距離是 8 公尺，則竿頂距離地面多少公尺？ A B D C 17 8

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5. 有一隻蜜蜂不小心掉到正方體盒子裡，已知盒子內部邊長為 10 公分， 若牠從 G 點飛到 A 點，則牠飛了多少距離？(假設飛行路線為一直線) 6. 根據右圖，在下列空格中填入 a、b、c、d 所代表的數。 a＝；b＝；c＝；d＝。 7. 坐標平面上有 A(3 , 6)、B(－2 , 3)、C(5 , －4)三點，則(1) AB ＝？ (2) BC ＝？ (3) AC ＝？ 8. 如右圖，直角三角形 ABC 中， AC ＝8 公分， BC ＝6 公分。 檢驗半圓甲加上半圓乙的面積是否等於半圓丙的面積。 9. 放學後，小妍和小翊從學校分開，分別沿東南方向和西南方向回家。若小妍和小翊行走的速度都是每分鐘 30 公尺，小妍花 15 分鐘回到家，小翊花 20 分鐘回到家，則小妍家和小翊家的最短距離是多少公尺？ A 1 0 B F G H E C _D a b c d 1 1 1 1 1 6 B C A 丙乙甲 8

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類題補充 1. 直立在地面的旗桿，有一繩由桿頭垂下，繩比桿長 2 公尺，把繩往外拉 8 公尺後，繩子才拉直，則桿長有公尺。 2. 右圖是以 ¯ BC 為斜邊的直角三角形 ABC，將其三邊長分別向外作三個 甲、乙和丙的正方形，已知甲面積是 10，乙面積是 6，則△ABC 的 面積是多少平方單位？ 3. 已知 x、 2 、2 為直角三角形的三個邊，則 x 可為多少？ 4. 有一個機器人，他只能直線前進或是轉角 90°，右圖為此機器人 從 A 點到 B 點的行走路徑，則¯ AB ＝。 5. 如下圖，以直角三角形 ABC 三邊各自向外作正方形。若 ¯ BC ＝18 公分，¯ AD ＝ 949 公分，則此 正方形 ABFG 的面積為平方公分。 A C D E F G B 甲丙乙 A C B 4 2 2 4 2 5 1 A B

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6. 如右圖，有一正方形 ABCD 和一半圓，C、D 兩點在直徑上，A、B 兩點在 圓弧上，若正方形面積為 36 平方單位，則此半圓的圓半徑為單位。 7. 如下圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的面積是 22，則圖中七個正方形的面積和是。 8. 有一個三角形三邊長的比為 8：15：17，且周長為 40 公分，則其面積為多少平方公分？

9. 如下圖，△ABC 中∠B＝90°，正方形 BCDE、正方形 ABFG 面積分別為 64 平方公分、36 平方公分， 若四邊形 AHIC 也是正方形，則陰影部分的面積為平方公分。 A C D E G H I B F 10. 右圖是由 A、B、C、D 四個正方形所圍成，若 A、B、C 三個正方形面積 分別為 9、16、25，則正方形 D 的面積為多少平方單位？ A C _B D A B E D O C F

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11. 如右圖，有一直角三角形，其一股為 2 7 ，若已知周長為 14＋2 7 ，則另一股及斜邊長分別為何？ 10. 已知 y 軸上有一點 P 到 A(5 , 6)、B(－2 , 3)兩點間的距離相等，則 P 點坐標為。 11. 在坐標平面上，P(4 , m)、Q(n , 3)兩點均在直線 L：3x＋4y＝12 的圖形上，則 (1) P、Q 兩點的距離為，(2)原點到直線 L 的最短距離為。 12. 如下圖，長方形 ABCD 中，E 為內部一點，¯ AE ＝1，¯ BE ＝2，¯ CE ＝3，則¯ DE ＝。 A D B E C 13. 如右圖，有 16 個點，相鄰兩點的上、下、左、右間隔均為 1 單位，在圖中任取兩點，則下列哪一個數可能是兩點的距離？ (A) 13 (B) 15 (C) 11 (D) 7 14. 有一長、寬、高各為 3、4、12 的長方體，則此長方體的任意兩頂點間距離最長者為。 c b 2 7

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加強練習 1. 小明從家中到學校的路徑為先向東 4 公里，再向北 5 公里，再轉向西 16 公里，則學校到小明家的直線距離有多遠？ (A) 12 公里 (B) 13 公里 (C) 17 公里 (D) 119 公里 2. 若在坐標平面上有 A(2 , 3)、B(－1 , 4)、C(2 , 4)三點，則¯ AB 、 ¯ BC 、¯ AC 的大小關係為下列何者？ (A) ¯ AB ＞ ¯ BC ＞¯ AC (B) ¯ AB ＞¯ AC ＞ ¯ BC (C) ¯ BC ＞¯ AB ＞¯ AC (D) ¯ BC ＞¯ AC ＞¯ AB 3. 找出下列各圖中的 x 值。 (1) 3 4 13 x (2) 3 3 1 x (3) 6 8 x 4. 下列何者距離原點最遠？ (A) (5 , －4) (B) (4 , 4) (C) (5 , －5) (D) (－4 , 5) 5. 坐標平面上有 A(－4 , 3)、B(4 , 7)、C 三點，若¯ AB 2＝¯ AC 2＋¯ BC 2且¯ AC 平行 y 軸，則 C 點坐標為何？ 6. 圓 O 直徑兩端點 A(1 , 1)，B(7 , 9)，則圓 O 面積為平方單位。 7. 將一塊邊長為 a 的正方形，與四塊邊長為 b 的正方形(其中 b＞a)，拼成

如右圖，其中AB￣、BC￣、CD￣、AD￣形成一個四邊形，則四邊形 ABCD 的

面積為多少？ (A) b2_＋(b－a)2 (B) b2＋a2 (C) (b＋a)2 (D) a2＋2b 8. 下列哪一組數可以為直角三角形的三邊長？ (A) 32、42_、52 (B) 3 ＋ 2 、 3 － 2 、 10 (C) 5、6、11 (D) 3 、 4 、 5 9. 如右圖，ABCD 為一四邊形，∠A＝∠C＝90°、 ¯ BC ＝ ¯ CD ＝5、¯ AD ＝2， ¯ AB 的長會落在下列哪一個範圍內？ (A) 5＜¯ AB ＜6 (B) 6＜¯ AB ＜7 (C) 7＜¯ AB ＜8 (D) 8＜¯ AB ＜9 10. 如右圖，一圓柱型透明玻璃杯內部半徑 3cm，高 8cm， 今有一吸管長 15cm 置於杯內，若不考慮吸管的粗細， 則吸管露出杯外的長度至少為何？ 11. 如下圖，已知一直角三角形的兩股長分別為 3、3 3 ， 則此三角形斜邊上的高 h＝單位長。 h 3 3 3 12. 右圖為一個長方體，已知¯ AB ＝6 公分、¯ AD ＝8 公分、 ¯ CG ＝10 公分，且 P、Q 分別為 ¯ FG 、¯ DH 的中點，則¯ PQ ＝公分。 13. 在坐標平面上，原點(0 , 0)到直線 12x－5y－60＝0 的最短距離為。 14. 春嬌與志明在 O 點相遇後，春嬌沿著 O-A-B-C 到達 C 點，其中 ¯ OA ＝3 2 、¯ AB ＝2、 ¯ BC ＝2，志明則沿著 O-D-E-F 到達 F 點，其中 ¯ OD ＝2、¯ DE ＝3、¯ EF ＝1，則春嬌在 C 點、志明在 F 點時，兩人相距多遠？ 15. 如右圖，有一直線通過 A(－9 , 0)，且與 y 軸交於 B 點， 若¯ AB ＝15，則此直線方程式為何？ A C b B D a A B C D 8 3 A D C E B F P G H Q A E D O B F C 135° 45° A _x O B y

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Ans：1.(B)；2.(A)；3.(1) 12，(2) 19 ，(3) 4.8；4.(C)；5.(－4 , 7)；6.25π ；7.(A)；8.(B)；9.(B)； 10. 5 cm；11.3 3 2 ；12. 77 ；13. 60 13；14. 10；15. 4x－3y＋36＝0。心得筆記