应用高等数学（上、下册） - 万水书苑-出版资源网

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(1)第 5 章不定积分微分学的基本问题是：已知一个函数，求它的导数．但是，在科学技术领域中往往还会遇到与此相反的问题：已知一个函数的导数，求原来的函数，由此产生的积分学由两个基本部分组成：不定积分和定积分．本章主要研究不定积分的概念、性质和基本积分方法．. 本章学习目标 z z z z z z. 理解原函数与不定积分的概念．了解积分与微分之间的关系．掌握不定积分的几何意义及性质．熟记积分基本公式．求不定积分的方法：直接积分、第一换元法、第二换元法、分部积分法．了解简单的有理分式函数的不定积分．. 5.1 原函数与不定积分一、原函数的概念已知变速直线运动的方程 s = s (t ) ，求它的瞬时速度问题，实质上是求已知函数的导数问题；反过来，如果已知直线运动在任一时刻的速度 v = v(t ) ，求它的运动规律 s (t ) ．这类问题实质就是已知一个函数的导数要求原来的函数，这就形成了原函数问题．下面我们一起来看一下原函数的概念．定义 5.1.1 设函数 f ( x) 在区间 I 上有定义，若存在一个函数 F ( x) ，使得对于任何一个 x ∈ I ，都有 F ′( x) = f ( x) ，则称 F ( x) 为 f ( x) 在区间 I 上的一个原函数． d (sin x) = cos x ，这时我们称函数 dx sin x 是 cos x 在区间 (−∞, +∞) 上的一个原函数，不难验证. 例如，对于 (−∞, +∞) 内的每一个点 x ，有. sin x + 1、sin x + 2、sin x + c 都是 cos x 的原函数．由上述情况，我们是否能得到这样一个结论：如果一个函数的原函数存在，那么必有无穷多个原函数，而且这些函数之间仅相差一个常数．我们用下面的这个定理来回答这个问题．定理 5.1.1（原函数族定理）若函数 F ( x) 是函数 f ( x) 在区间 I 上的一个原函数，则.

(2) 108 应用高等数学（上册）. （1） F ( x) + C 也是 f ( x) 的一个原函数，其中 C 是任意常数．（2） f ( x) 的任意两个原函数之间只能相差一个常数．可以证明：凡在区间 I 上连续的函数都有原函数．由于初等函数是连续函数，因此说初等函数在其定义区间上都有原函数．二、不定积分的概念定义 5.1.2 函数 f ( x) 在区间 I 上的全体原函数称为 f ( x) 在 I 上的不定积分，. 记作 ∫ f ( x)dx = F ( x) + C ，其中 ∫ 为积分号， f ( x) 称为被积函数， f ( x)dx 称为被积表达式， x 称为积分变量，并且把 F ( x) + C 称为 f ( x) 的原函数的一般表达式，其中 C 遍取一切实数值，称它为积分常数．例 5.1.1 解. 求 ∫ x 2 dx ．. 1 ⎛ 1 ⎞′ 因为 ⎜ x3 ⎟ = x 2 ，所以 x3 是 x 2 的一个原函数，即 3 ⎝3 ⎠ 1 3 2 ∫ x dx = 3 x + C. 例 5.1.2 求 ∫ sin xdx ．解. 因为 (− cos x)′ = sin x ，所以 − cos x 是 sin x 的一个原函数，即. ∫ sin x = − cos x + C 当积分常数 C 变动时，不定积分表示的不是一个函数，而是一族函数．从几何角度来看，他们代表一族曲线，我们通常称这族曲线为函数 f ( x) 的积分曲线，其中任何一条积分曲线都可以由某一条积分曲线沿 y 轴方向向上或向下平移适当的位置而得到．另外，在积分曲线族上横坐标相同的点作切线，这些切线都是平行的（如图 5.1.1 所示），即它们的斜率都是相等的，均为函数 f ( x) ．. 图 5.1.1. 例 5.1.3 设某一曲线通过点 (0,1) ，且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐.

(3) 标的平方，求此曲线方程．解. 设所求曲线的方程为 y = y ( x) ，按题意有 y ′ = x 2 ，于是 y =. x3 +C 3. 因为此曲线通过点 (0,1) ，代入上式可得 C = 1 ．故所求曲线的方程为 y =. x3 +1． 3. 三、不定积分的性质定理 5.1.2 若函数 f ( x ) 和 g ( x ) 在区间 I 上有原函数，则 kf ( x)（ k ≠ 0 为常数）. 和 f ( x) ± g ( x) 在 I 上也都有原函数，且（1） ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx （2） ∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx 由上述的定理，我们很容易将其推广到有限多个函数的线性组合的情形，即：. ∫ (c f. 1 1. + c2 f 2 + " + cn f n )dx =c1 ∫ f1dx +c2 ∫ f 2 dx + " +cn ∫ f n dx. 四、不定积分的基本积分表. 根据不定积分的定义，若 F ′( x) = f ( x) ，则 ∫ f ( x)dx = F ( x) + C ，从而. ( ∫ f ( x)dx )′ = ( F ( x) + C )′ = F ′( x) = f ( x) 又如果 f ( x) 是可导函数，则对 f ′( x) 求不定积分就有. ∫ f ′( x)dx = f ( x) + C 把求导的基本公式反过来就得出积分的基本公式，列表如下： x μ +1 （1） ∫ kdx = kx + C （ k 为常数）（2） ∫ x μ dx = + C （ μ ≠ −1 ） μ +1 dx （3） ∫ = ln x + C （4） ∫ e x dx = e x + C x ax +C （5） ∫ a x dx = （6） ∫ sin xdx = − cos x + C ln a （9） ∫ csc 2 xdx = − cot x + C. （10） ∫ sec x ⋅ tan xdx = sec x + C. （11） ∫ csc x ⋅ cot xdx = − csc x + C. （12） ∫. （13） ∫. dx 1 − x2. 不定积分. （8） ∫ sec2 xdx = tan x + C. 第章 5. （7） ∫ cos xdx = sin x + C. = arcsin x + C. dx = arctan x + C 1 + x2 109.

(4) 110. 基本积分公式是求积分运算的基础，读者一定要熟记．应用高等数学（上册）. 五、直接积分法. 我们现在可以利用上面讨论的基本积分公式和不定积分的性质来求解一些简单的积分．我们现在可以利用上面讨论的基本积分公式和不定积分的性质来求解一些简单的积分．例 5.1.5 求下列不定积分． (1 − x) 2 x4 + 1 （1） ∫ （2） ∫ 2 dx dx x +1 x 1 dx （3） ∫ tan 2 xdx （4） ∫ 2 cos x sin 2 x 1 x （5） ∫ sin 2 dx （6） ∫ dx 1 + sin x 2 1 − 2 x + x2 解（1）原式 = ∫ dx x. ∫. −. 1. 1. ∫. ∫. 3. = x 2 dx − 2 x 2 dx + x 2 dx 1 2. 3 2. 5 2. 2 2 = 2x − 2 ⋅ x + x + C 3 5 4 2 2⎞ ⎛ = x ⎜2− x + x ⎟+C 3 5 ⎠ ⎝ (1 + x 2 ) x 2 − (1 + x 2 ) + 2 （2）原式 = ∫ dx 1 + x2 2 ⎞ ⎛ = ⎜ x2 − 1 + ⎟ dx 1 + x2 ⎠ ⎝ 1 = x3 − x + 2 arctan x + C 3. ∫. （3）原式 = ∫ (sec 2 x − 1)dx = ∫ sec 2 xdx − ∫ dx = tan x − x + c ． sin 2 x + cos 2 x dx （4）原式 = ∫ cos 2 x sin 2 x = ∫ sec 2 x dx + ∫ csc 2 x dx = tan x − cot x + C.

(5) x 1 1 − cos x dx = − sin x + C 2 2 2 1 − sin x dx （6）原式 = 1 − sin 2 x 1 − sin x dx = cos 2 x. （5）原式= ∫. ∫. ∫ = ∫ (sec. 2. x − sec x tan x )dx. = tan x − sec x + C. 习题 5.1 一、选择题. 1．下列函数中，（）是 cos x 的原函数. B． − sin x C． − cos x A． sin x 1 2．若 ∫ f ( x)dx = + c ，则 f ( x) = （）. x 1 1 A． ln x B． C． − 2 x x 3．下列等式中（）不正确.. D． cos x. D．. A． ∫ f ′( x)dx = f ( x) + c. B． ∫ f ′( x)dx = f ( x). C． ∫ f ′( x)dx = f ( x). D． ∫ dx = x + c. 2 x3. 二、填空题. 1． ∫ darctg x =________．. 2．若 f ′( x) = 2 x，f (1) = 2 ，则 f ( x ) =________．. 3． ∫. 1 dx = ________． x +1. （3） ∫ 5t dt （5） ∫ (3x − 5 x ) 2 dx. 1 dx x2 x2 （4） ∫ dx 1 + x2 cos 2 x dx （6） ∫ 2 sin x cos 2 x. （2） ∫. 不定积分. （1） ∫ 4a 2 x 6 dx （ a ≠ 0，a 是常数）. 第章 5. 三、求下列不定积分. 111.

(6) 112 应用高等数学（上册）. 2 ⎛ 3 （7） ∫ ⎜ − 2 1 + x 1 − x2 ⎝. ⎞ ⎟ dx ⎠. 四、已知某曲线在任意点 x 处的切线斜率为 2x ，且曲线经过点 (0,1) ，则该曲线方程．. 5.2 换元积分法求不定积分有两个主要方法：换元积分法和分部积分法．本节讲换元积分法，换元积分法分为第一类换元积分法和第二类换元积分法．一、第一类换元法（凑微分法）. 换元积分法是通过积分变量的代换，使欲求的积分化为能直接利用基本积分公式的方法．我们先来看下面这个例题．例 5.2.1 求 ∫ sin 3 x cos xdx ．分析：我们可以将被积函数看成是两个函数的乘积，即 sin 3 x cos x = (sin 3 x )(cos x). 一个函数 sin 3 x = f (sin x) ，另一个函数 cos x 是 sin x 的导数，于是被积函数可写成如下形式： sin 3 x cos x = f (sin x)(sin x)′. 解. ∫ sin. 3. ∫. x cos xdx = sin 3 xd sin x 用积分公式. 换元令u = sin x. ∫ u du 3. 还原 1 1 4 u +C sin 4 x + C 4 u = sin x 4. 这种求不定积分的方法就是第一换元积分法，本例用该方法的关键是被积函数具有形式 f (sin x)(sin x)′ ，若将函数 sin x 换成一般函数的形式 ϕ ( x) ，则被积函数应该具有形式 f (ϕ ( x))(ϕ ( x))′ ．一般地，被积函数若具有 f (ϕ ( x))(ϕ ( x))′ 形式，则可用第一换元积分法．第一换元积分法如下叙述：定理 5.2.1 第一换元积分法设函数 u = ϕ ( x) 可导，若 ∫ f (u )du = F (u ) + C ，则. ∫ f (ϕ ( x))ϕ ′( x)dx = ∫ f (ϕ ( x))dϕ ( x) 回代. u = ϕ（x）. F [ϕ ( x)] + C. ∫ f (u)du. 积分. F (u ) + C.

(7) 1. ex 求 2 dx ． x. ∫. 例 5.2.2. 1. 解. 1 ex ⎛ 1 ⎞′ 我们发现被积函数 f ( x) = 2 可变形为 f ( x) = −e x ⎜ ⎟ ，于是 ⎝x⎠ x 1. ∫ 例 5.2.3 求解. 1. ∫. x (1 + x). 被积函数 f ( x) =. ∫. 1 x (1 + x). 1. ex dx = − eu du = −eu + C = −e x + C x2. ∫. dx ． 1 x (1 + x). dx = 2∫. =. 2 2. (1 + x ). ( x )′ ，则. 1 du = 2 arctan u + C = 2 arctan x + C 1+ u2. 例 5.2.4 求 ∫ tan xdx ． 1 (cos x)′ ，则 cos x du = − ln u + C = − ln cos x + C tan xdx = − u 解题较熟练时，可以不写出换元过程．例 5.2.5 求下列不定积分：. 解. 被积函数 f ( x) = tan x = −. ∫. ∫. （1） ∫ sin 4 x cos5 xdx. （2） ∫ cos 2 xdx. （3） ∫ cos 4 xdx. （4） ∫ sin 2 x cos 3xdx. （5） ∫ csc xdx. （6） ∫ sec 4 xdx. 解. （1） ∫ sin 4 x cos5 xdx = ∫ sin 4 x cos 4 xd(sin x). ∫ = ∫ sin x(1 − 2sin = ∫ (sin x − 2sin. = sin 4 x (1 − sin 2 x) 2 d(sin x) 4. x + sin 4 x)d sin x. 6. x + sin 8 x)d(sin x). 不定积分. 1 2 1 = sin 5 x − sin 7 x + sin 9 x + C 5 7 9. 第章 5. 4. 2. 1 (1 + cos 2 x)dx 2 1 1 = dx + cos 2 xd(2 x) 2 4. （2） ∫ cos 2 xdx =. ∫. ∫. ∫. 113.

(8) 114 应用高等数学（上册）. x sin 2 x + +C 2 4 x sin 2 x 类似求出 sin 2 x dx = − +C ． 2 4 2 ⎛ 1 + cos 2 x ⎞ （3） cos 4 xdx = ⎜ ⎟ dx ⎝ ⎠ 2 1 ⎛1 1 ⎞ = ⎜ + cos 2 x + cos 2 2 x ⎟ dx ⎝4 2 ⎠ 4 1 1 1 = dx + cos 2 xd(2 x) + cos 2 2 xd(2 x) 4 4 8 1 1 1⎛ 1 ⎞ = x + sin 2 x + ⎜ x + sin 4 x ⎟ + C ⎠ 4 4 8⎝ 4 3 1 1 = x + sin 2 x + sin 4 x + C 8 4 32 1 （4） sin 2 x cos 3 x = (sin 5 x − sin x)dx 2 1 1 = sin 5 xd(5 x) − sin xdx 10 2 1 1 = − cos 5 x + cos x + C 10 2 dx dx （5） csc xdx = = x x sin x 2sin cos 2 2 x⎞ ⎛ x⎞ ⎛ d⎜ ⎟ d ⎜ tan ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 2 =∫ =∫ x x 2 x tan cos tan 2 2 2 x = ln tan + C 2 x 1 − cos x 由于 tan = = csc x − cot x ，所以原式还可以写成： 2 sin x =. ∫. ∫. ∫. ∫. ∫. ∫. ∫. ∫. ∫. ∫. ∫. ∫. ∫. ∫. ∫ csc xdx = ln csc x − cot x + C csc x(csc x + cot x) dx csc x + cot x (csc x + cot x)′dx = −∫ = − ln csc x + cot x + C csc x + cot x 同理还可以求出：另解. ∫ csc xdx = ∫. ∫ sec xdx = ln sec x + tan x + C.

(9) （6） ∫ sec 4 xdx = ∫ sec 2 xd(tan x) = ∫ (1 + tan 2 x)d(tan x) 1 = tan x + tan 3 x + C 3 例 5.2.6 求下列不定积分： dx dx （1） ∫ 2 （a ≠ 0）（2） ∫ 2 （a ≠ 0） a + x2 x − a2 dx （a > 0）（3） ∫ （4） x 1 − x 2 dx 2 2 a −x ⎛x⎞ d⎜ ⎟ dx 1 ⎝ a ⎠ = 1 arctan x + C 解（1） ∫ 2 = a a + x 2 a ∫ ⎛ x ⎞2 a 1+ ⎜ ⎟ ⎝a⎠ dx 1 ⎛ 1 1 ⎞ （2） ∫ 2 = − ⎜ ⎟ dx x − a 2 2a ∫ ⎝ x − a x + a ⎠ 1 = (ln x − a − ln x + a ) + C 2a 1 x−a = +C ln 2a x + a. ∫. （3） ∫. dx a −x 2. 2. =. ∫. ⎛ x⎞ d⎜ ⎟ ⎝a⎠ 2. = arcsin. x +C a. ⎛ x⎞ 1− ⎜ ⎟ ⎝a⎠ 1 （4） x 1 − x 2 dx = − 1 − x 2 d(1 − x 2 ) 2 3 1 2 = − ⋅ (1 − x 2 ) 2 + C 2 3 3 1 = − (1 − x 2 ) 2 + C 3 例 5.2.7 求下列不定积分：. ∫. x ln(1 + x 2 ) dx 1 + x2. （2） ∫. arctan x x (1 + x ). dx. （1） ∫. 不定积分. x ln(1 + x 2 ) 1 ln(1 + x 2 ) dx = ∫ d (1 + x 2 ) 2 2 1+ x 1 + x2 1 1 = ln(1 + x 2 )d ln(1 + x 2 ) = ln 2 (1 + x 2 ) + C 2 4 arctan x arctan x （2） dx = 2 d( x ) 1+ x x (1 + x). 解. 第章 5. （1） ∫. ∫. ∫. ∫. ∫. 115.

(10) 116. ∫. = 2 arctan xd(arctan x ) = (arctan x ) 2 + C 应用高等数学（上册）. 二、第二类换元法定理 5.2.2（第二类换元法）若函数 x = ϕ (t ) 在某个区间上满足：（1） ϕ ′(t ) 可导且 ϕ ′(t ) ≠ 0 ．. （2） x = ϕ (t ) 的反函数 t = ϕ −1 ( x) 存在．（3） f (ϕ (t ))ϕ ′(t ) 有原函数 G (t ) ，则有. ∫ f ( x)dx = ∫ f (ϕ (t )) ϕ ′(t )dt = G(ϕ. −1. ( x)) + C. 第二换元积分法就是把原积分变量 x 替换成 x = ϕ (t ) ，使积分转换成关于新变量 t 的积分，因此该法又称为变量替换法．对积分引进适当的变量替换后，要同时做到“两换一还原”，两换是：一换被积函数，二换积分微元，缺一不可；一还原是积分结果还需要变量还原． dx 例 5.2.8 求 ∫ ． x+3x 解. 令 x = t 6 （t > 0），则 dx 6t 5 dt = ∫ x + 3 x ∫ t3 + t2 1 ⎞ ⎛ = 6 ⎜ t2 − t +1− ⎟ dt 1+ t ⎠ ⎝ ⎛ t3 t2 ⎞ = 6 ⎜ − + t − ln(1 + t ) ⎟ + C ⎝3 2 ⎠. ∫. = 2 x −3. 例 5.2.9. 求. ∫. 3. x +6. 6. x − 6 ln(1 + 6 x ) + C. a 2 − x 2 dx （a > 0）．. π⎞ ⎛ 解令 x = a sin t ⎜ t < ⎟ ，则 a 2 − x 2 = a cos t ， dx = a cos t dt ，于是 ⎝ 2⎠. ∫. ∫. ∫. a 2 − x 2 dx = a cos t ⋅ a cos t dt = a 2 cos 2 t dt a2 ⎛ t sin 2t ⎞ = a2 ⎜ + ⎟ + C = (t + sin t cos t ) + C 4 ⎠ 2 ⎝2 2 a x x 2 a − x2 + C = arcsin + a 2 2. 例 5.2.10. ∫. dx a + x2 2. （a > 0）．. π⎞ ⎛ 解令 x = a tan t ⎜ t < ⎟ ，则 a 2 + x 2 = a sec t ， dx = a sec2 t dt ，于是 2⎠ ⎝.

(11) ∫. dx. =∫. a2 + x2. a sec 2 t dt = ∫ sec tdt a sec t. = ln sec t + tan t + C1. a2 + x2 x + + C1 a a. = ln. = ln x + a 2 + x 2 + C. 求∫. （C = C1 − ln a）．. dx. （a > 0）． x − a2 π⎞ ⎛ 解令 x = a sec t ⎜ 0 < t < ⎟ ，则 x 2 − a 2 = a tan t ， dx = a sec t tan tdt ，于是 2⎠ ⎝ a sec t tan t dx ∫ x2 − a 2 = ∫ a tan t dt = ∫ sec tdt 例 5.2.11. 2. = ln sec t + tan t + C1 x x2 − a2 + a a. = ln. + C1. = ln x + x 2 − a 2 + C （C = C1 − ln a）．从上面后 4 个例子容易看到，当被积函数含有根式： a 2 − x 2 ， a 2 + x 2 ， x 2 − a 2 时，可以分别令 x = a sin t ， x = a tan t ， x = a sec t ，以消去根号，使被积表达式简化．这 3 种变换，通常称为三角代换．下面的例子表明，换元法虽然也有些规律可循，但在具体运用时十分灵活．不定积分的求出在很大程度上依赖于我们的实际经验、运算技巧和机智． dx 例 5.2.12 求． x 4 − x2 π⎞ ⎛ 解法一：令 x = 2sin t ⎜ t < ⎟ ，则 2⎠ ⎝ 2 cos t 1 dt = csc tdt 原式 = 4sin t cos t 2 1 = ln csc t − cot t + C 2. ∫. 1 2 − 4 − x2 ln 2 x. +C. 不定积分. ∫. 第章 5. =. ∫. 1⎛ 1⎞ 解法二：令 x = ⎜ t > ⎟ ，则 t⎝ 2⎠ 117.

(12) 118. t2. 应用高等数学（上册）. ⎛ 1⎞ ⋅ ⎜ − 2 ⎟ dt 4t − 1 ⎝ t ⎠ dt 1 =− = − ln 2t + 4t 2 − 1 + C 2 2 4t − 1. 原式 = ∫. 2. ∫. 1 2 + 4 − x2 = − ln 2 x. +C. 解法三：令 4 − x 2 = t （0 < t < 2），则. 原式 = ∫ =. xdx x. 2. 1 ln 4. 4− x. 2. =. ∫t. 4 − x2 − 2 4 − x2 + 2. 2. −x 4 − x2. dx = dt ，. dt 1 t−2 = ln +C −4 4 t+2. +C. 本例采用 3 种不同的方法换元，其结果形式虽然不同，但均可互相转化．此 2+ x 1⎛ 1⎞ 外，本例还可采用其他方法换元，如令 x 2 = ⎜ t > ⎟ ， = t （t > 0）等，从 2− x t⎝ 4⎠ 而进一步说明换元积分法的灵活性．我们只有在熟记基本公式的基础上，通过做大量的练习去积累经验，才能做到熟中求巧，运用自如．. 习题 5.2 一、选择题. 1．下列凑微分正确的是（ A． sin xdx = d cos x 1 C． arcsin xdx = d 1 − x2. ）． B． xdx = d x 2. D． 2 xe x dx = de x. 2. 2．求 ∫ 1 + x 2 dx 时，经变量代换 x = tgt ，与此积分相同的是（ A． ∫ sec tdt C． ∫. sec t dt 1+ t2. B． ∫ sec3 tdt D． − ∫ sec3 tdt. 二、填空题. 1．在下列等号右端填入适当系数，使等式成立：. ）．.

(13) dx = ________d. x 2. xdx = ________( x 2 + 1). 1 dx = ________d(5 + 6 ln x) x cos 2 xdx = ________d(sin 2 x) 1 1 − 16 x 2. dx = ________d(arcsin 4 x). 1 ⎛ 1⎞ dx = ________d ⎜1 + ⎟ 2 ⎝ x⎠ x 1 dx = ________d(arctg2 x) 1 + 4 x2 2x dx = ________d 1 + x 2 2 1+ x. ∫. sin x 2． cos xe dx =________．. 3． F ′( x) = f ( x) ，则 ∫ xf ( x 2 )dx = ________．三、求下列不定积分. （1） ∫ (1 − 2 x)5 dx （3） ∫. e. （2） ∫ x 2 e x dx 3. 1 + 2 ln x dx x x +1 dx （6） 1 − x2. x. x. （4） ∫. dx. ∫. （5） ∫ (sin πx + 1)dx （7） ∫. arctg x x (1 + x). dx. 四、求下列不定积分. （1） ∫ 4 − x 2 dx. （2） ∫ x 2 − 9dx. （3） ∫ 4 + x 2 dx. （4） ∫. （5） ∫. dx. （6） ∫. x ( x2 − 9 ) 2. dx 3. (1 − x 2 ) 2 dx. x3 1 + x 2. 五、求下列不定积分. 16 x + 8 x + 5 dx. dx. （2） ∫ x x − 2dx. 不定积分. （3） ∫. 1 2. 第章 5. （1） ∫. x (1 + x ). 119.

(14) 120 应用高等数学（上册）. 5.3 分部积分法由乘积求导法，可以导出分部积分法．定理 5.3.1. 若函数 u ( x ) 与 v( x) 可导，且不定积分 ∫ u ′( x)v( x)dx 存在，则. ∫ u( x)v′xdx 也存在，并有 ∫ u( x)v′( x)dx = u( x)v( x) − ∫ u ′( x)v( x)dx 上式表明，把比较难求的 ∫ udv 化为比较容易求的 ∫ vdu 来计算，可以化难为易．例 5.3.1 求 ∫ x cos xdx ．解 ∫ x cos xdx = ∫ xd sin x = x sin x − ∫ sin xdx = x sin x + cos x + C 若令 u = cos x ，则得. x2. x2 x2 cos x + ∫ sin xdx 2 2 反而使所求积分更加复杂．可见使用分部积分的关键在于被积表达式中的 u 和 dv 的适当选择．我们在应用分部积分法时，恰当地选取 u 和 dv 是一个关键．选取 u 和 dv 一般要考虑下面两点：（1） v 要容易求得．. ∫ x cos xdx = ∫ cos xd 2. =. （2） ∫ vdu 要比 ∫ udv 容易积出．例 5.3.2 求下列不定积分：. （1） ∫ x ln xdx. （2） ∫ arccos xdx. （3） ∫ x 2 e x dx. （4） ∫ x sin 2 xdx. x2 x2 1 x2 = ln x − ∫ ⋅ dx 2 2 x 2 2 x 1 = ln x − xdx 2 2 x2 x2 = ln x − + C 2 4 dx （2） arccos xdx = x arccos x + x ⋅ 1 − x2. 解. （1） ∫ x ln xdx = ∫ ln xd. ∫. ∫. ∫. = x arccos x − 1 − x 2 + C. （3） ∫ x 2 e x dx = ∫ x 2 de x = x 2 e x − ∫ 2 xe x dx.

(15) ∫. ∫. = x 2 e x − 2 xde x = x 2 e x − 2 xe x + 2 e x dx = ( x − 2 x + 2)e + C 2. x. 1 − cos 2 x dx 2 1 1 = xdx − xd sin 2 x 2 4 1 1 1 sin 2 xdx = x 2 − x sin 2 x + 4 4 4 1 1 1 = x 2 − x sin 2 x − cos 2 x + C 4 4 8 由以上例题，我们总结出选 u 的一条准则，那就是“指三幂对反，谁在后谁为 u ”，即若被积函数是由指数函数、三角函数、幂函数、对数函数和反三角函数中的两种的乘积而构成，则可按准则中的顺序判断谁为 u ，如例 5.3.2（1）的被积函数就是由幂函数和对数函数的乘积而构成，此时对照准则中的前半句话得知：对数函数在幂函数后，所以就选对数函数为 u ．. （4） ∫ x sin 2 xdx = ∫ x. ∫. ∫. ∫. 例 5.3.3 求 ∫ sec3 xdx ．解. ∫ sec. 3. ∫. xdx = sec xd tan x. ∫ = sec x tan x − ∫ (sec x − 1) sec xdx = sec x tan x − ∫ sec xdx + ∫ sec xdx = sec x tan x − tan x ⋅ sec x tan xdx 2. 3. 1 1 所以 ∫ sec3 xdx = sec x tan x + ∫ sec xdx 2 2 1 1 = sec x tan x + ln sec x + tan x + C 2 2 求不定积分有时需要兼用换元法与分部积分法．. 例 5.3.4 求 ∫ xe x dx ．解. 令 x = t ，则 x = t 2， dx = 2tdt x. ∫. ∫. dx = 2 t 3 et dt =2t 3 et − 6 t 2 et dt. 第章 5. ∫ xe. ∫. = 2t e − 6t e + 12 tet dt 3 t. 2 t. 不定积分. = 2t e − 6t e + 12tet − 12et + C 3 t. 2 t. = 2( x x − 3 x + 6 x − 6)e. x. +C. 在以上两节求积分的例子中，我们曾多次把一些积分所得结果直接代入运算中作为公式应用，现在将这些结果汇总起来，作为对基本积分表的补充． 121.

(16) 122 应用高等数学（上册）. （14） ∫ tan xdx = − ln cos x + C ；（15） ∫ cot xdx = ln sin x + C ；（16） ∫ sec xdx = ln sec x + tan x + C ；（17） ∫ csc xdx = ln csc x − cot x + C ； x sin 2 x − +C ； 2 4 x sin 2 x （19） cos 2 xdx = + +C ； 2 4 dx 1 x （20） 2 = arctan + C ； 2 a a a +x dx 1 a+x （21） ∫ 2 ln = +C ； a − x 2 2a a − x dx x （23） = arcsin + C ； 2 2 a a −x. （18） ∫ sin 2 xdx =. ∫. ∫ ∫. （24） ∫ （25） ∫. dx a + x2 dx. = ln( x + a 2 + x 2 ) + C ；. 2. x −a 2. 2. = ln x + x 2 − a 2 + C ；. x 2 a2 x a − x 2 + arcsin + C ； 2 2 a x 2 a2 a 2 + x 2 dx = a + x 2 + ln( x + a 2 + x 2 ) + C ； 2 2 2 x a x 2 − a 2 dx = x 2 − a 2 − ln x + x 2 − a 2 + C ． 2 2. （26） ∫ a 2 − x 2 dx = （27） ∫ （28） ∫. 习题 5.3 一、选择题. 1．下列分部积分中， u 和 v ′ 选择正确的有（. ）．. A． ∫ x cos 2 xdx, u = x, v′ = cos 2 x. B． ∫ x cos 2 xdx, u = cos 2 x, v′ = x. C． ∫ ln xdx, u = 1, v′ = ln x. D． ∫ x 2 ln xdx, u = x 2 , v′ = ln x. 2． ∫ xd(sin x) = （. ）．. A． x sin x − cos x + C. B． x sin x − sin x + C.

(17) C． x sin x + cos x + C. D． x sin x + sin x + C. 二、填空题. 1．若 uv = x sin x， ∫ u ′vdx = cos x + C ，则 ∫ uv′dx =________． 2．设 f ( x) = cos 2 x ，则 ∫ xf ′′( x)dx =________． x 3． ∫ ln dx =________． 2. 三、计算下列不定积分. （1） ∫ x sin 2 xdx. （2） ∫ x 2 e − x dx. （3） ∫ e x cos xdx. （4） ∫ arcsin xdx. （5） ∫ x 2 arctgxdx. （6） ∫ ( x 2 + 2) sin xdx. （7）设 f ( x ) 的原函数为. sin x ，求 ∫ xf ′( x)dx 的值． x. （8） ∫ x ln( x − 1)dx. （9） ∫ e x dx. （10） ∫ ( x 2 − 1) sin 2 xdx. x （11） ∫ e −2 x sin dx 2. （12） ∫. ln cos x dx cos 2 x. *5.4 有理函数的积分. 第章 5 不定积分. 前面我们介绍了不定积分两类重要的积分法 —— 换元积分法和分部积分法．尽管积分（不定积分）是微分的逆运算，但积分运算要比微分运算困难得多．我们知道，任一个初等函数只要可导，我们就一定能利用基本求导法则和基本导数公式求出它的导数．但是一个初等函数的积分，即使函数形式很简单，其积分计算却很复杂，很难计算出结果，甚至有的积分根本无法表达出来，因为它的原函 2 sin x 1 dx 、 ∫ dx 等．然而在初等函数中有一数不再是初等函数了，如 ∫ e x dx 、 ∫ x ln x 类函数——有理函数，有理函数在理论上一定是可积的，也就是有理函数的原函数一定是初等函数．下面我们简单讨论有理函数的不定积分． P ( x) 形如的函数称为有理分式函数．其中 P ( x) 、 Q( x) 是关于 x 的多项式 Q( x) 函数．. 123.

(18) 124. 设 P ( x ) = an x n + an −1 x n −1 + " + a1 x + a0 应用高等数学（上册）. Q ( x) = bm x m + bm −1 x m + " + b1 x + b0 ，其中 an ≠ 0 ， bm ≠ 0 ．. 如果 n≥m，则称. P( x) P ( x) 为有理假分式；如果 n<m，则称为有理真分式． Q( x) Q( x). 当 n≥m 时，根据多项式的带余除法，有 P ( x) = g ( x)Q ( x) + r ( x) ，其中：r ( x) = 0 或者 ∂ (r ( x )) < ∂ (Q( x )) ．于是，. P ( x) r ( x) r ( x) = g ( x) + ．而为有理真分式． Q( x) Q( x) Q( x). 综上所述，有如下结论：任一个有理分式. P( x) 一定可以表示成一个多项式函 Q( x). 数与一个有理真分式之和．我们知道，多项式的不定积分是简单的，所以，能有效地解决有理真分式的不定积分问题，就能有效地解决有理真分式的不定积分问题．这样，我们的问题就放到如何解决有理真分式的不定积分上来了．对于有理真分式，我们有如下的概念和结论： 1）部分分式的概念（也称简单分式）． A A Ax + B Ax + B 形如，， 2 及 2 的有理真分式称为部分分 n x−a ( x − a) x + px + q ( x + px + q ) n 式，其中 x 2 + px + q 是实数域上的不可约多项式（即 p 2 − 4q < 0 ）．. 2）任何一个有理真分式必能表示成一系列部分分式之和．综上述有：有理函数一定可以表示成多项式函数与部分分式之和．于是，有理函数的不定积分，最终归结到部分分式 A A Ax + B Ax + B ，， 2 ， 2 n x−a ( x − a) x + px + q ( x + px + q) n 的不定积分上来了． 3）有理真分式表示成部分分式之和的基本方法．在解决有理真分式不定积分之前，首先要解决如何把有理真分式表示成部分分式之和．我们采用的基本方法称为待定系数法，具体步骤如下：首先求出 Q( x) 的标准分解式，现假定 Q( x) 的标准分解式为： Q ( x) = b( x − α1 )l1 " ( x − α k )lk ( x 2 + p1 x + q1 ) s1 " ( x 2 + pt x + qt ) st A1l1 A A12 P( x) 再假设 = 11 + +" + +" 2 Q( x) x − α1 ( x − α1 ) ( x − α1 )lt C1s x + D1s1 C x + D11 C x + D12 + 2 11 + 2 12 +" + 2 1 +" 2 x + p1 x + q1 ( x + p1 x + q1 ) ( x + p1 x + q1 ) s1. 其中 A11，A12， "" ，C11，D11， "" ，为待定系数．.

(19) 然后等式右边进行通分，相加后把分子整理成一个多项式，比较等式两边分子同次项系数，得到一个线性方程组，最后解线性方程组，求出所有待定系数．这样，该有理真分式就表示成部分分式之和了．在分解过程中，要特别强调的是：如果 Q( x) 的标准分解式中有因式 ( x − α ) k ，那么在分解成部分分式的和的时候，和式中必须含有. A1 A2 , , ", x − α ( x − α )2. Ak ．这 k 个部分分式，同样地， Q( x) 的标准分解式中有因式 ( x 2 + px + q ) s ， ( x − α )k. 那么在分解成部分分式的和的时候，和式中同样必须含有 Cs x + Ds C1 x + D1 C2 x + D2 , , ", 2 2 2 2 ( x + px + q ) s x + px + q ( x + px + q ) 这 s 个部分分式． 3x 4 + 10 x3 + 16 x 2 + 11x + 3 比如，把分解成部分分式之和． ( x + 1)3 ( x 2 + x + 1) 设. 3x 4 + 10 x3 + 16 x 2 + 11x + 3 A B C Dx + E = + + + x + 1 ( x + 1) 2 ( x + 1)3 x 2 + x + 1 ( x + 1)3 ( x 2 + x + 1). =. A( x + 1) 2 ( x 2 + x + 1) + B ( x + 1)( x 2 + x + 1) + C ( x 2 + x + 1) + ( Dx + E )( x + 1)3 ( x − 1)3 ( x 2 + x + 1). =. F ( x) ( x + 1) ( x 2 + x + 1) 3. 其中 F ( x ) = ( A + D) x 4 + (3 A + B + 3D + E ) x 3 + (4 A + 2 B + C + 3D + 3E ) x 2. +(3 A + 2 B + C + D + 3E ) x + ( A + B + C + E ). 比较等式两边分子多项式同次项系数，由 3x + 10 x3 + 16 x 2 + 11x + 3 = ( A + D) x 4 + (3 A + B + 3D + E ) x3 + (4 A + 2 B + C + 3D + 3E ) x 2 +(3 A + 2 B + C + D + 3E ) x + ( A + B + C + E ) 4. 不定积分. 即. ⎧ A =1 ⎪ B = −2 ⎪⎪ ⎨ C =1 ⎪D=2 ⎪ ⎪⎩ E = 3. 第章 5. A+ D = 3 ⎧ ⎪ 3 A + B + 3D + E = 10 ⎪⎪ 得 ⎨4 A + 2 B + c + 3D + 3E = 16 ，解方程组 ⇒ ⎪ 3 A + 2 B + C + D + 3E = 11 ⎪ A+ B +C + E = 3 ⎪⎩. 3x 4 + 10 x3 + 16 x 2 + 11x + 3 1 2 1 2x + 3 = − + + x + 1 ( x + 1) 2 ( x + 1)3 x 2 + x + 1 ( x + 1) 2 ( x 2 + x + 1) 2. 下面我们来看部分分式的不定积分．. 125.

(20) 126 应用高等数学（上册）. A dx = A ln x − α + C x −α A A 1 （2） ∫ + C （n>1 的整数） dx = 1 − n ( x − α ) n −1 ( x − α )n （1） ∫. A ( x 2 + px + q)′ Ap ⎞ 1 Ax + B ⎛ d x dx + ⎜ B − dx = ⎟ 2 2 2 2 x + px + q 2 ⎠ x + px + q x + px + q ⎝ A Ap ⎞ 1 p⎞ ⎛ ⎛ d⎜ x + ⎟ = ln x 2 + px + q + ⎜ B − ⎟ 2 2 2 2 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ p ⎞ ⎛ p⎞ ⎝ ⎜q − ⎟+⎜x+ ⎟ 4 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝. ∫. （3） ∫. ∫. ∫. 2 B − Ap 2x + p A +C ln x 2 + px + q + arctan 2 2 4q − p 4q − p 2. =. Ax + B A ( x 2 + px + q)′ Ap ⎞ 1 ⎛ dx = dx + ⎜ B − dx ⎟ n n n 2 2 2 2 ( x + px + q ) ( x + px + q ) ⎝ ⎠ ( x + px + q ) A 1 Ap ⎞ 1 ⎛ = +⎜B− dx ⎟ 2 n −1 2 n 2(1 − n) ( x + px + q ) 2 ⎠ ⎪⎧⎛ ⎝ p2 ⎞ ⎛ p ⎞ ⎪⎫ ⎨⎜ q − ⎟+⎜x+ ⎟ ⎬ 4 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎪⎭ ⎪⎩⎝ 1 剩下来的积分问题就变成了 I n = dx 的积分了．这个积分我们可以 2 (a + x 2 )n. （4） ∫. ∫. 2. ∫. ∫. ∫. 用三角代换就很容易地解决此问题．这样，有理函数的不定积分问题，我们就算完全得到解决了．下面来看几个具体的例题． x dx ．例 5.4.1 计算 ∫ 2 x + 3x + 2 x A B = + 解令 2 ，则 x + 3x + 2 x + 1 x + 2 x A( x + 2) + B ( x + 1) ( A + B) x + (2 A + B) = = ( x + 1)( x + 2) x2 + 3x + 2 x 2 + 3x + 2. ⎧ A+ B =1 ⎧ A = −1 所以 ⎨ ⇒ ⎨ ⎩B=2 ⎩2 A + B = 0 所以 ∫. 2 ( x + 2)2 −1 x d x = x + x = +C d d ln ∫ x +1 ∫ x + 2 x +1 x 2 + 3x + 2. 例 5.4.2 计算 ∫ 解. 令. 2x + 5 dx ． ( x + 1)( x 2 + 4 x + 6). 2x + 5 A Bx + C ，则 = + ( x + 1)( x 2 + 4 x + 6) x + 1 x 2 + 4 x + 6.

(21) 2x + 5 A( x 2 + 4 x + 6) + ( x + 1)( Bx + C ) = 2 ( x + 1)( x + 4 x + 6) ( x + 1)( x 2 + 4 x + 6) =. ( A + B) x 2 + (4 A + B + C ) x + (6 A + C ) ( x + 1)( x 2 + 4 x + 6). ⎧ A+ B = 0 ⎧ A =1 ⎪ ⎪ 即 ⎨4 A + B + C = 2 ⇒ ⎨ B = −1 ⎪ 6A + C = 5 ⎪C = −1 ⎩ ⎩ 1 x +1 2x + 5 dx − 2 dx dx = 所以 2 x + 1 x + 4x + 6 ( x + 1)( x + 4 x + 6). ∫. ∫. ∫. 1 ( x 2 + 4 x + 6)′ 1 dx + ∫ 2 dx 2 ∫ x2 + 4 x + 6 x + 4x + 6 1 1 dx = ln x + 1 − ln x 2 + 4 x + 6 + 2 2 + ( x + 2) 2 = ln x + 1 −. ∫. x+2 1 1 arctan = ln x + 1 − ln x 2 + 4 x + 6 + +C 2 2 2 x+2 dx ．例 5.4.3 计算 2 ( x + 2 x + 2) 2. ∫. 解. ∫. x+2 1 ( x 2 + 2 x + 2)′ 1 = d dx + dx x 2 2 2 2 2 2 ( x + 2 x + 2) ( x + 2 x + 2) ( x + 2 x + 2) 2. ∫. ∫. =−. 1 1 1 + (1 + x) 2 (1 + x) 2 d ( x + 1) − ∫ dx +∫ 2 2 2 2 x + 2x + 2 (1 + (1 + x) ) (1 + (1 + x) 2 ) 2. =−. 1 1 1 1 1 d(1 + x ) + (1 + x)d + 2 2 2 x + 2x + 2 2 1 + (1 + x) 1 + (1 + x) 2. =−. 1 1 1 1+ x 1 1 + arctan(1 + x) + − d( x + 1) 2 x2 + 2 x + 2 2 x 2 + 2 x + 2 2 1 + (1 + x) 2. =. ∫. ∫. ∫. 1 x 1 + arctan(1 + x) + C 2 2 x + 2x + 2 2. 习题 5.4 第章 5. （2） ∫. 1 dx x( x + 1). 2x + 3 dx x 2 + 3x − 10. （4） ∫. x+3 dx x2 − 5x + 6. （3） ∫. 不定积分. 计算下列不定积分： x （1） ∫ dx ( x − 1) 2. 127.

(22) 128 应用高等数学（上册）. （5） ∫. 1 dx x(1 + x 2 ). （6） ∫. 3 dx x3 + 1. （7） ∫. x+2 dx 3 x − 2 x2. （8） ∫. x3 dx x+2. 复习题 5 一、选择题. 1．（. 1 的原函数． x 1 1 B． − 2 C． 2 x x. ）是函数 f ( x) =. A． ln x. 2．若 ∫ f ( x)dx = x 2 e 2 x + C ，则 f ( x ) =（. D． x. ）．. B． 2 x 2 e 2 x A． 2 xe 2 x C． xe 2 x D． 2 x(1 + x)e 2 x 3．若 f ( x) 的一个原函数是 cos x ，则 f ′( x) =（）． A． sin x B． − sin x 4．下列凑微分形式正确的是（ A． sin xdx = d cos x C． arctgxdx = d. 1 1 + x2. C． cos x. D． − cos x. ）． 2 1 B． xe −2 x dx = − de −2 x 4 1 ⎛ 1 ⎞ D． dx = d ⎜ − 2 ⎟ x ⎝ x ⎠. 5．设 f ( x) 为连续函数，且 ∫ f ( x)dx = F ( x) + C ，则 ∫ f (2 x)dx =（ A． F ( x ) + C. B． F (2 x + C ). 1 C． F (2 x) + C 2. D． 2 F ( x ) + C. 6．若 ∫ f ( x)dx = x 2 + C ，则 ∫ xf (1 − x 2 )dx =（ A． 2(1 − x 2 ) 2 + C. ）．. B． −2(1 − x 2 ) 2 + C. 1 1 C． (1 − x 2 ) 2 + C D． − (1 − x 2 ) 2 + C 2 2 7．设 u = u ( x)、v = v( x) 都有连续的导数，则（）．. A． ∫ u ′dv = uv − ∫ v′du. B． ∫ uvdx = uv + ∫ vu ′dx. C． ∫ udv = uv − ∫ vdu. D． ∫ uvdx = uv − ∫ uv′dx. ）．.

(23) 8． ∫ xf ( x 2 ) f ′( x 2 )dx =（. ）．. 1 2 f ( x) + C 2 1 C． f 2 ( x) + C 4. A．. 1 2 2 f (x ) + C 2 1 D． f 2 ( x 2 ) + C 4. B．. 二、填空题. 1．若 F ′( x) = f ( x) ，则 ∫ f ( x)dx =________． 1 ⎛ 5⎞ 2．若曲线 y = f ( x) 在 x 处的切线斜率为 x ，且过点 ⎜ 2, ⎟ ，则该曲线方程 ⎝ 2⎠ 4 为________．. （1） ∫ (2 − x)99 dx =________；（2） ∫ f ′(2 x )dx =________． 3．. 4．若 F ′( x) = f ( x) ，则 ∫ xf ( x ) 2 dx =________． 5．若 ∫ f ( x)dx = e x + C ，则 f ( n ) ( x ) =________． 6．已知 f ( x ) 的一个原函数为 ln 2 x ，则 ∫ xf ′( x)dx =________．三、计算下列不定积分 1+lnx dx x. （1） ∫ x 2 1 + x3 dx. （2） ∫. （3） ∫ x 2 e x dx. （4） ∫ xarctgxdx. （5） ∫. ln x dx x3. （7） ∫ ln( x + 1 + x 2 )dx. （6） ∫ （8） ∫. 1 1 + 1 − x2. dx. x2 + 7 x2 − 2 x − 3. 本章小结 2．不定积分的几何意义（ ∫ f ( x)dx = F ( x) + c 表示 f ( x ) 全部积分曲线所组成. 第章 5. 1．原函数与不定积分的概念. 不定积分. 的积分曲线族） 3．不定积分的性质（1） ( ∫ f ( x)dx)′ = f ( x) ⇔ d ( ∫ f ( x)dx) = f ( x)dx （2） ∫ F ′( x)dx = F ( x) + c ⇔ dF ( x) = F ( x) + c 129.

(24) 130 应用高等数学（上册）. （3） ∫ [ f ( x) ± g ( x) ] dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx. ∫. ∫. （4） kf ( x)dx = k f ( x)dx （ k ≠ 0 的常数）. 4．基本积分公式应用 5．第一换元积分法（凑微分法）（1） dx = d( x + b) =. 1 d(ax + b) （a、b为常数a ≠ 0） a. 1 d( x a +1 + b) （a、b为常数a ≠ 0且a ≠ −1） a +1 1 1 （3） dx = dlnx = d(alnx + b) （a、b为常数a ≠ 0） x a d(a x ) （a > 0且a ≠ 1）（4） e x dx = de x，a x dx = lna （5） sin xdx = −d(cos x)，cos xdx = d(sin x) （2） x a dx =. （6） sec 2 xdx = d(tan x)，csc 2 xdx = d(− cot x). 1 dx = d(arctan x) 1 + x2 1 dx = d(arcsin x) （8） 1- x 2 6．第二换元积分法，适用于以下 3 种情况：（7）. （1）被积函数含有 a 2 − x 2 ，这时可以设x = a sin t （2）被积函数含有 a 2 + x 2 ，这时可以设x = a tan t （3）被积函数含有 x 2 − a 2 ，这时可以设x = a sec t. 7．分部积分公式： ∫ u ( x)v′( x)dx = u ( x)v(x)- ∫ v(x)du ( x) ⇔ ∫ udv=uv- ∫ vdu （设. u ( x)、v ( x) 可微，且 u ( x)v′( x) 和 u ′( x)v( x) 有原函数） 8．分部积分选择 u、v′ 的原则：（1）（由 v′ 易求 v ）（2）（ ∫ vdu 易积分）. 数学家简介——牛顿英国数学家、物理学家、天文学家、自然哲学家．1643 年 1 月 4 日生于林肯郡伍尔索普，1727 年 3 月 31 日卒于伦敦．早年在格兰瑟姆读书，1661 年以优异成绩考入剑桥大学三一学院，数学上受教于巴罗．1664 年毕业后曾为躲避鼠疫回乡，1665-1666 年间做出流数术、万有引力和光的分析三大发明，年仅 23 岁． 1667 年回剑桥在三一学院执教． 1669 年继巴罗之后任卢卡斯数学教授职位．晚.

(25) 年致力于哲学和公务，1696 年任造币厂监督，3 年后任厂长．1703 年当选为皇家学会主席．他在数学上以创建微积分而著称，其流数法始于 1665 年，系统叙述于《流数法和无穷级数》（1671 年完成，1736 年出版），首先发表在《自然哲学之数学原理》（1687）中．其中借助运动学中描述的连续量及其变化率阐述他的流数理论，并创用字母上加一点的符号表示流动变化率．讨论的基本问题是已知流量间的关系，求它们的流数的关系以及逆运算，确立了微分与积分这两类运算的互逆关系，即微积分基本定理．此外他还论述了有理指数的二项定理（1664）、数论、解析几何、曲线分类、变分法等问题．在物理学上发现了万有引力定律（1666-1684），并据此指出行星运行成椭圆轨道的原因．1666 年用三棱镜实验光的色散现象，1668 年发明并亲手制作了第一具反射望远镜．在哲学上深信物质、运动、空间和时间的客观存在性，坚持用观察和实验方法发现自然界的规律，力求用数学定量方法表述的定律说明自然现象，其科学研究方法支配后世近 300 年的物理学研究．. 第章 5 不定积分. 131.

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