6-2-4多項式函數的微積分-積分的應用

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(1)2-4 積分的應用【目標】積分的應用能利用定積分求兩曲線間的面積､圓的面積﹐以及某些立體的體積及「自由落體運動方程式」﹒ b. 在數學及其他科學中﹐定積分 ∫ f ( x)dx 除了可以表示面積之外﹐當被積分函數 f a 被賦予不同的解釋時﹐定積分也可以用來表示不同的意涵﹒ 【討論】 1. 曲線間的面積與圓面積： b. 若 f 是定義在區間[a﹐b]上非負的連續實函數﹐則定積分 ∫ f ( x)dx 表示由曲 a. 線 y = f ( x) 與鉛直線 x = a ﹐ x = b 及 x 軸為界所圍成區域的面積﹐如圖(a)﹒. 2.. 設 f 與 g 都是定義在區間[a﹐b]上的連續函數﹐且 f ( x) ≥ g ( x) ≥ 0 恆成立﹐如圖(b)﹒這時﹐兩曲線 y = f ( x) ﹐ y = g ( x) 與鉛直線 x = a ﹐ x = b 為界所圍成區域 R 的面積等於曲線 y = f ( x) 下的區域 R f 之面積扣除曲線 y = g ( x) 下的區域 Rg 之面積﹐於是﹐ b. b. b. a. a. a. A( R ) = A( R f ) − A( Rg ) = ∫ f ( x)dx − ∫ g ( x)dx = ∫ ( f ( x) − g ( x))dx ﹒. 3.. 至於 f 與 g 不再是非負的函數﹐而僅有 f ( x) ≥ g ( x) 成立時﹐如圖(a)所示﹒利用連續函數 g 在區間[a﹐b]上有最小值﹐得知有一實數 c 使得 g ( x) + c ≥ 0 恆成立；於是﹐可以將整個區域 R 上移 c 單位而使得平移後的區域 S 中的每一點之 y 坐標均大於或等於 0﹐如圖(b)﹒. 顯然﹐區域 S 與區域 R 的面積相等﹐因此﹐ b. b. a. a. A( R ) = A( S ) = ∫ ( f ( x) + c)dx − ∫ ( g ( x) + c) dx b. b. a. a. = ∫ (( f ( x) + c) − ( g ( x) + c))dx = ∫ ( f ( x) − g ( x))dx ﹒. 33.

(2) 4.. 如圖中﹐當 x ∈ [a, c] 時﹐ f ( x) ≥ g ( x) ；而當 x ∈ [c, b] 時﹐ f ( x) ≤ g ( x) ﹒在此情況下﹐兩曲線 y = f ( x) ﹐ y = g ( x) 與鉛直線 x = a ﹐ x = b 為界所圍成區域 R 的面積可以表為 c. b. a. c. A( R ) = ∫ ( f ( x) − g ( x)) dx + ∫ ( g ( x) − f ( x))dx c. b. b. a. c. a. = ∫ | f ( x) − g ( x) | dx + ∫ | f ( x) − g ( x) | dx = ∫ | f ( x) − g ( x) | dx ﹒. 【結論】 1. 曲線間的面積：若 f 與 g 是區間[a﹐b]上的兩個連續實函數﹐則兩曲線 y = f ( x), y = g ( x) 與鉛 b. 直線 x = a, x = b 為界所圍成區域 R 的面積為 A( R ) = ∫ | f ( x) − g ( x) | dx ﹒ a. 34.

(3) 【討論】 1. 圓面積公式：將圓 x 2 + y 2 = r 2 的半徑 r 作 n 等分分割﹐分割後所得同心圓的半徑﹐分別為. kr n. （ k = 1, 2, L, n ）﹐如圖(a)所示﹐其中由內而外第 k 個環狀區域 S k 的寬度都 r n. 是 ﹒如果想像圓是由許多同心圓的線圈所組成﹐將圓 x 2 + y 2 = r 2 由半徑剪開﹐再把每一條線圈拉直為線段﹐例如：半徑 x 的線圈拉直後的線段長等於圓周長 2π x ﹐如圖(b)所示﹒. r n. 若令函數 f ( x) = 2π x ﹐則環狀區域 S k 的面積 A( S k )直觀來看會介於寬為的 (k − 1) r r kr ) ≤ A( S k ) ≤ ⋅ f ( ) ﹒ n n n n r n (k − 1)r r n kr 於是﹐圓的面積 A(r ) = ∑ A( Sk ) 就會滿足 ∑ f ( ) ≤ A(r ) ≤ ⋅ ∑ f ( ) ﹒ n k =1 n n k =1 n k =1 n r (k − 1)r ) 是函數 f ( x) = 2π x 在區間[0﹐r]作 n 等分分割的下和﹐ 上式中﹐ ∑ f ( n k =1 n r n kr 而 ∑ f ( ) 是上和﹐由於 f ( x) = 2π x 是連續函數﹐因此﹐上和與下和的極限 n k =1 n r n. 內接矩形與外接矩形的面積之間﹐即 ⋅ f (. r. 值都會等於定積分 ∫ 0 f ( x)dx ﹐故由夾擠關係可以得知：半徑 r 的圓面積為 r. r. 0. 0. A(r ) = ∫ f ( x)dx = ∫ 2π xdx = π x 2 | 0r = π r 2 ﹒. 上式也顯示出圓周長 S (r ) = 2π r 與圓面積 A(r ) = π r 2 具有微分與積分的互逆 ⎯⎯⎯ → A(r ) = π r 2 性﹐如所示： S (r ) = 2π r ←⎯⎯ ⎯ 微分積分. 【結論】 1. 圓面積公式：在圓周長 S (r ) = 2π r 已知的情形下﹐利用定積分的概念可以推得半徑 r 的圓之面積公式 A(r ) = π r 2 ﹒ 2. 圓周長 S (r ) = 2π r 與圓面積 A(r ) = π r 2 具有微分與積分的互逆性﹐如下列所示： ⎯⎯⎯ → A(r ) = π r 2 ﹒ S (r ) = 2π r ←⎯⎯ ⎯ 積分. 微分. 35.

(4) 【討論】 1. 立體的體積：我們知道：長方體的體積等於底面積×高﹐也等於長×寬×高﹐也知道正圓柱體或直立柱體的體積都等於底面積×高﹐如圖﹒. 對於空間中某些立體 T﹐我們將利用其橫截面的面積﹐再透過定積分的概念﹐ 同樣可以求出該立體的體積﹒首先﹐我們取一直線 L 作為 x 軸﹐並設立體 T 介於兩平行平面 x = a 與 x = b 之間﹒對每一個 t ∈ [a, b] ﹐設平面 x = t 與立體 T 所截出的截面面積為 A(t ) ﹐如圖(a)所示﹒. 如果 A 是區間[a﹐b]上的連續函數﹐那麼由定積分的定義. ∫. b a. n. n. A( x)dx = lim ∑ A(ck )( xk − xk −1 ) = lim(∑ A(ck ) ⋅ n →∞. n →∞. k =1. k =1. b−a )﹐ n. 其中 a = x0 < x1 < x2 < L < xn = b 是區間[a﹐b]的 n 等分分割點﹐而 ck ∈ [ xk −1 , xk ] ﹒ b−a b−a 可視為底面積為 A(ck ) ﹐高為 xk − xk −1 = 的直立柱體的體 n n 積﹐可以用來當作平面 x = xk −1 與 x = xk 所截出 T 的一小薄片（如圖(b)）體積 n b−a 的近似值；於是﹐極限 lim(∑ A(ck ) ⋅ ) 就可以用來表示立體 T 的體積﹒ n →∞ n k =1. 由於 A(ck ) ⋅. 【結論】 1. 立體的體積：設立體 T 垂直於 x 軸的截面面積為 A( x), a ≤ x ≤ b ﹒若 A 在區間[a﹐b]上連續﹐ b. 則立體 T 的體積為 V (T ) = ∫ A( x)dx ﹒ a. 36.

(5) 【範例】. 1.. 1 3. 試證：底面積為 A﹐高為 h 的正四角錐之體積等於 Ah ﹒ 證明：設正四角錐的底面正方形 P1 P2 P3 P4 之邊長為 r﹐則底面積 A = r 2 ﹒若以此四角錐的頂點為原點 O﹐與底面 P1 P2 P3 P4 的中心 B 之連線為 x 軸﹐則垂直 x 軸於 x = x0 的平面截此正四角錐的區域仍為一個正方形 Q1Q2Q3Q4 ﹐設其中心為 B0 ﹐ 邊長為 s﹐則面積為 A( x0 ) = s 2 ﹒. s r. 又 =. OQ1 OB0 x0 r r2 2 A 2 = = ﹐可得 s = x0 ﹐故 A( x0 ) = s 2 = 2 x0 = 2 x0 ﹐ h h h h OP1 OB. 亦即截面的面積 A( x) =. A 2 x ﹐其中 0 ≤ x ≤ h ﹒ h2. 因此﹐所求正四角錐的體積為 A x 3 h A h3 1 ⋅ | 0 = 2 ( − 0) = Ah ﹒ ∫0 0 3 h2 3 h 3 1 1 （以底邊邊長 r 及高 h 來表示時﹐此正四角錐的體積等於 Ah = r 2 h ） 3 3 h. V = ∫ A( x)dx = ∫. 2.. A 2 A x dx = 2 0 h2 h h. h. x 2 dx =. 正多角錐體的體積：正多角錐體的體積等於底面積乘以高的三分之一﹒. 37.

(6) 3.. 試證：半徑 r 的球體體積等於. 4π r 3 ﹒ 3. 證明：以球心為原點 O﹐則垂直 x 軸於 x = x0 的平面截此球的區域為一圓﹐其半徑為 r 2 − x0 2 ﹐得此圓面積 A( x0 ) = π (r 2 − x0 2 ) ﹐亦即截面的面積為 A( x) = π (r 2 − x 2 ) ﹐其中 − r ≤ x ≤ r ﹒因此﹐半徑 r 的球體體積為 r. r. r. V = ∫ A( x)dx = ∫ π (r 2 − x 2 ) dx = π ∫ (r 2 − x 2 )dx −r. = π (r 2 x −. −r. −r. x r r ( − r )3 4π r 3 ﹒ ) | − r = π ((r 3 − (− r 3 )) − ( − )) = 3 3 3 3 3. 3. 註：上面的球體體積公式是在公元前三世紀時﹐由阿基米得（Archimeds﹐287BC ～212BC）所導出來的結果﹒事實上﹐球體可以看成 f ( x) = r 2 − x 2 的圖形（ −r ≤ x ≤ r ）與 x 軸所圍成的半圓區域繞 x 軸旋轉一圈所得的旋轉體﹐此時截面是半徑為 f ( x) 的圓區域﹐故截面的面積 A( x) = π ( f ( x))2 ﹒因此﹐球體的 r. r. 體積可以表示如： V = ∫ − A( x)dx = ∫ − π ( f ( x)) 2 dx ﹒ r r. 4.. 試證：底半徑為 r﹐高為 h 的直圓錐體之體積等於（底面積乘以高的三分之一）. 38. π r 2h 3. ﹒.

(7) 【討論】 1. 自由落體運動方程式：在運動學上﹐若一質點在時刻 t 時的位置函數以 S (t ) 表示﹐則此位置函數對時間的微分等於質點的速度函數 v﹐即 S' = v ；又速度函數 v 對時間的微分等於加速度 a﹐即 v' = a ﹐這三者具有如下圖所示的微分與積分之互逆性：微分微分 ⎯⎯⎯ → v(t ) ←⎯⎯ ⎯⎯⎯ → a (t ) S (t ) ←⎯⎯ ⎯ ⎯ 積分. 積分. 因此﹐如果知道質點的加速度 a(t ) ﹐就可以利用微積分基本定理反推出質點的速度 v(t ) ﹒我們以自由落體為例說明如下：假設物體以初速度 v0 垂直向上拋出﹐在不計空氣阻力而僅受地心引力的影響之下﹐自由落體是一種等加速度的運動﹐其加速度 a(t ) = − g 是一常數﹐其中 g 為重力加速度﹐約為 9.8 公尺／秒 2（或 32 呎／秒 2）﹒由於速度函數 v 是加速度函數 a 的反導函數﹐ t. t. 於是﹐ v(t ) − v(0) = ∫ 0 a( x)dx = ∫ 0 (− g )dx = − gx | t0 = − gt ﹒其中 v(0) = v0 ﹐即得該物. 2.. 體在時刻 t 時的速度 v(t ) = − gt + v0 ﹒ 將一物體自高度 h﹐以初速度 v0 垂直向上拋出﹐試證：若不計空氣阻力﹐則 1 2. t 秒後﹐物體的高度 S (t ) = − gt 2 + v0t + h ﹒（此式為義大利天文學家伽利略（Galilei﹐1564～1640）﹐在十七世紀發現的自由落體運動方程式）證明：物體僅受地心引力的影響之下﹐我們已經知道物體在時刻 t 時的速度 v(t ) = − gt + v0 ﹒由於位置函數 S 是速度函數 v 的反導函數﹐因此﹐ t t 1 1 S (t ) − S (0) = ∫ v( x)dx = ∫ (− gx + v0 )dx = (− gx 2 + v0 x) | t0 = − gt 2 + v0t ﹒ 0 0 2 2 1 其中 S (0) = h ﹐於是可得 S (t ) = − gt 2 + v0t + h ﹒ 2. 3.. 在自由落體的運動中﹐若想求得物體在落地前的某一段時間內所行經的距離﹐利用速率函數 | v(t ) | = | − gt + v0 | ﹐我們可以得知：物體自時刻 t = a 至 t = b 所 b. b. a. a. 行經的距離就會等於定積分 ∫ | v(t ) | dt = ∫ | − gt + v0 | dt ﹒ 【結論】 1. 自由落體運動：物體自高度 h﹐以初速度 v0 垂直向上拋出﹐若 g 為重力加速度﹐則在時刻 t 1 2. 時﹐該物體的速度為 v(t ) = − gt + v0 ﹐高度為 S (t ) = − gt 2 + v0t + h ；而物體自時 b. 刻 t = a 至 t = b 所行經的距離為 ∫ | v(t ) | dt ﹒ a. 39.

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