從一個簡單的物理演示-「雙珠競走」看大一學生的力學概念

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從一個簡單的物理演示-「雙珠競走」看大一學生的力學概念 137

物理教育學刊

2008, 第九卷第一期, 137-150 Chinese Physics Education2008, 9(1), 137-150

從一個簡單的物理演示-「雙珠競走」

看大一學生的力學概念

朱慶琪

國立中央大學科理系（投稿日期：民國97 年 5 月 18 日，修訂日期：97 年 8 月 6 日，接受日期：97 年 8 月 15 日）摘要：我們利用一個簡單的演示實驗教具（「雙珠競走」）來瞭解我國大一學生的力學概念。這個演示實驗的力學基礎學生在高中物理課程已習得，然而由於實驗的結果違背多數同學的預測，反而能有效刺激同學思考與深入分析。我們分兩個部份進行，第一部分參與的學生有323 名，透過問卷的形式，學生將預測、觀察、討論的結果寫下來，取得初步認知的統計分佈。第二部分參與的同學共50 名，請他們以繳交作業的方式，對問題作仔細及深入的分析，藉此觀察他們解決問題的歷程，並瞭解過程中出現哪些錯誤的概念。結果及分析顯示，大一學生的力學基本概念仍存在不少迷思，例如、「初速相同下，兩球雖走不同路徑，但因為能量守恆，末速相同，使得兩球走不同路徑所花費的時間相同」。又如、「重力只作用於垂直方向，故不會影響水平速度」。甚至還有同學無法區別「位移」與「距離」。整體看來，具備完整分析問題能力並推演正確結論的學生比例並不高。

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壹、緒論

一、動機及目的

物理演示藉由在演講課中、以三到五分鐘的時間操作事先設計的實驗，以輔助傳統講演式教學的不足，筆者稱此種授課法為「演示實驗輔助教學」（Demonstration-aided teaching, DAT）。演示教學的成效包括提升學習興趣、澄清基本觀念、活絡課堂氣氛、連結課本知識與實際世界等。中央大學在三年多前投入物理演示實驗的開發，並用以輔助大一普通物理教學。累積的經驗及成果，除了在校內大一普物課使用外，亦建構網站提供相關資源供各界分享（http://demo.phy.tw/）。然而演示教學如果沒有經過適當的設計，往往容易淪為課堂中的「餘興節目」，不一定能達到預期的教學目標（Crouch, Fagen, Callan and Mazur, 2004）。關於演示實驗應以何種方式協助教學才有最佳效果，有相當多面向的研究。筆者基於教學的需要，希望瞭解學生透過這樣的學習方式能學到什麼？或發現什麼？課堂演示實驗能揭露學生哪些錯誤概念？老師如何運用這個工具的協助找到學生學習的困難？演示實驗能夠達到哪些傳統講授課無法達到的效果？這個研究是個初步的嘗試，以「雙珠競走」這個實驗出發，試著瞭解學生的物理概念，以及其解決問題歷程使用的方法及策略，提供有興趣的各界同好交流討論。

貳、實驗相關說明

一、「雙珠競走」實驗

我們先描述此演示實驗的設計、內涵、原理及操作等細節，以便讀者瞭解後續的結果及分析。（一）問題的緣起「雙珠競走」實驗的概念起始於以下的提問：如圖1 所示，初速相同的兩球，一球走水平軌道(A 球)，另一球走下凹軌道（B 球），那麼誰會較快到達終點(假設摩擦力、空氣阻力可忽略、且球不脫離軌道的情況下)？為了具體呈現這個問題，我們設計了以下的教具，並於課堂中實際操作，演示給學生看。並由過程中蒐集他們的反應及看法。（二）實驗設計如何做到兩軌道的兩球是以相同初速出發？我們是以「從相同高度的斜面同時釋放」來達成。至於「同時釋放」的功能，則是以電磁鐵開關來控制。如同圖2 所示，左側上方可以看見電磁鐵。（三）實驗結果說明實驗結果總是下凹軌道的B 球先到達終點。由於結果違背多數人的直覺，演示時通常能迅速抓住注意力，有效刺激學生思考。也可以說因為實驗結果與多數學生的預測不符，反而使得學生產生好奇心，想瞭解背後的原因。另外，對於一些自覺「物理學得很好」的學生，上大學還要重談那些牛頓運動定律、力學能守恆的舊調，本來就缺乏吸引力（作者不時會收到學生要求跳過大一普物、直接修大二力學或電磁學的要求）。如果他們發現自己過去所學「竟然」無法處理這樣的簡單問題時，所產生的衝擊勢必能令他們反省所謂的「早就懂了」是不是真的懂了。（四）原理

我們把球的運動區間分為I, II, III, VI, V, VI 共六個區域。在進入區域 III 以前，兩球的運動完全相同。進入區域III 時，B 球開始加速，加速度的提供者是軌道的正向力（正向力的水平分量提供球水平方向的加速度，

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參考圖3），而使 B 球在區域 III, VI, V 具有較大的平均速度，超前A 球。上坡時雖為減速運動，但 B 球的速度仍大於其原水平速度，所以即使兩球在進入區域 VI 時，速度回到出發時的初速（不考慮摩擦力與空氣阻力），但B 球已經超前，所以較快到達終點。如果以 v-t 圖來討論，也許更容易瞭解。假設走水平軌道的A 球初速為 v0，其 v-t 圖如圖 4 (a)所示（由於我們關心的是相同的水平位移所花的時間，所以此處的v 指的是水平速度）。走下凹的軌道的B 球，其 v-t 圖如圖4 (b)所示。在 t 1期間軌道的正向力提供了水平的加速度，使得球由斜面滑下時，水平的速度增加了，變成了v (> v0)，接著在t3 期間以 v 的速度行進，雖然在 t2 （t2 = t1）期間減速回原本的初速v0，但已經超越了在水平軌道運動的球了。由於 v-t 圖下的面積代表位移大小，在我們的實驗裡，兩個軌道的位移（displacement ）是一樣的（雖然路徑長 distance 不一樣）。由圖 4 (a), (b)的比較可知，若面積A1等於A2（位移一樣)，那麼 t2 一定小於 t1。也就是說，相同的位移卻花較少的時間，就是比較快到達的意思。若以能量的角度切入，常用的觀點是「力學能（mechanical energy）守恆」。在區域III， B 球的重力位能轉換成動能，速度變快。所以在區域III, VI, V 的平均速度增加，較快抵達。但A 球與 B 球在出發時（區域 II）及結束前（區域 VI），他們的動能是一樣的，因為位能沒有改變，所以力學能（mechanical energy）守恆。稍後的分析會發現，我們的學生有不少人直覺以此觀念解題。但卻將「力學能」守恆與「花費相同時間」拉上等號，這是錯誤的推論，詳見肆、結果與討論中的分析。若以作功的觀點來看，相較於走水平軌道的 A 球而言，下凹軌道的 B 球在斜面部分，因為正向力作功的關係，使的B 球的動能增加了（功能原理）。因為平均速度增加，所以較快抵達。（五）進階討論我們完成實驗演示後，通常會進一步問學生，「如果軌道的深度增加，而原有的條件（假設摩擦力、空氣阻力可忽略、且球不脫離軌道的情況下）亦符合的情況下，實驗的結果會改變嗎？」。目的是瞭解學生的概念是否完整清楚，還是只是碰巧答對。以 v-t 圖的觀念來看，即使軌道深度增加，結果仍然不會改變，球B 仍比球 A 較快到達終點。但部分學生還是很難「想像」這個結論，他們傾向於相信球 A 反而會較快到，對符合物理定律的分析結果反而較難接受。筆者覺得這點相當有趣，我們的學生對於課室中或課本中習得的知識的「信心」，似乎在丟出一兩個「與直覺違背」的實驗後，就輕易地瓦解。學生在課堂學到的，跟老師希望傳授的，到底有多少落差？當然這是另一個議題，未來有機會我們也希望深入分析。

參、學生概念及解決問題方法的探

查

一、工具

過去在課堂中操作演示本實驗時，主要以舉手投票的方式來瞭解學生的看法，不夠精準也缺乏一致性。所以我們設計了簡單的問卷，以便統計學生對實驗結果預測的分佈，及其基本的概念。問卷共有兩個版本，分述如下：（一）問卷：

1. 第一版

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圖1：「雙珠競走」示意圖。A, B 兩球由相同高度同時出發，進入區域 II 時具有相同的初速。接下來A 球走水平軌道，B 球走下凹軌道，請問哪一個球會較快到達終點？前提是軌道摩擦力及空氣阻力不計、且球在運動過程中不脫離軌道。圖 2：「雙珠競走」演示教具。參考圖 1 設計而成的實驗裝置，軌道出發點的電磁鐵可以吸住金屬球（照片中未顯示金屬球），並透過電路開關控制同時釋放金屬球。圖3：B 球的受力圖。包括軌道給予的正向力 N 以及重力 mg。圖中將正向力 N 分解為垂直與水平分量，其中水平分量Nsin 即為B 球在水平方向加速度的來源。

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設計問卷，希望透過事前對答案大致的分類，來取得學生對實驗結果預測的分佈情形。第一版問卷參考表1。進行的流程：第一步：實驗裝置備妥，講師說明實驗的過程及假設。不操作。第二步：同學回答Q1 及 Q2，在回答的過程中同學間可以互相討論。Q1 主要蒐集學生對實驗結果的預測。Q2 進一步瞭解預測背後的理由。（時間大約5-8 分鐘）第三步：操作實驗，請同學把結果寫在Q3。第四步：在觀察實驗之後，請同學由 Q4 中選擇造成實驗結果的原因。（時間大約5-8 分鐘）第五步：Q5 進一步請學生思考，實驗參數改變時，實驗結果是否相同？原因為何？以釐清其對 Q4 的答案的理解，及整個問題的分析能力。（時間大約5-8 分鐘）第六步：回收問卷，分析每一題回答的統計分佈。(事後統計) 題目設計的目標： Q1 主要蒐集學生對實驗結果的預測。故統計分佈僅提供參考。 Q2 進一步瞭解預測背後的理由。從這裡可以看出學生利用哪些策略來理解這個系統。（但實際執行時，學生回答的情況不夠詳盡，故有第二個部分的研究。參考下文 3.深入分析。） Q3 請學生寫下觀測結果。 Q4 請學生選擇造成實驗結果的原因。由這題的答案可以初步判斷學生的想法。 Q5 進一步詢問學生當參數改變時是否影響實驗結果，以瞭解學生是否具備正確的概念。必須強調的是，問卷中的選項是根據過去幾次演示的經驗選定的，並不代表最佳化設計。針對Q4 補充說明。Q4 預設的正確答案是“結果正確，因為軌道正向力作用”。然而此版問卷中，同時並列“實驗結果正確，因為重力作用導致” 與 “實驗結果正確，因為軌道正向力作用”兩個選項，雖然精確地說後者才是直接造成加速度的作用力，但因為軌道正向力的成因間接由重力造成，故無法完全切割「重力作用導致」及「軌道正向力作用」兩個因素，此為事後分析發現的瑕疵，故有第二版問卷的設計。但值得注意的是，有49 ％學生即使在提示下、也就是兩個答案並呈的情況下，仍然選擇「重力作用導致」，意謂其中應有部分同學對此系統的理解不完全（詳見肆、結果與討論）。

2. 第二版問卷

基於前述理由，第二版問卷針對以上問題稍作修改，將Q4 中“實驗結果正確，因為重力作用導致”拿掉，改為”因為軌道正向力 A1 1 t t O 0 v v (a) A2 t O 0 v 1 v v t ∆ 3 t ∆ 2 t 2 t ∆ 1 t ∆ (b) 圖4：v-t 圖。縱軸為水平速度，橫軸為時間。 v-t 圖的面積表示位移，因為 AB 兩球的水平位移相同，也就是A1= A2，因此t1< t2

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表1：第一版問卷系級學號演示項目：雙珠競走 Q1 你認為哪一個球先到終點？（打勾） □ A（水平軌道） □B（下凹軌道） □同時到 Q2 原因是？（請簡短說明） Q3 實驗結果是誰先到？ □ A（水平軌道） □B（下凹軌道） □同時到 Q4 你認為原因是？ □實驗設備暗藏機關，因為水平方向沒有加速度，所以應該同時到 □實驗結果錯誤（或作假），因為軌道的摩擦力不同導致 □實驗結果正確，因為重力作用導致 □實驗結果正確，因為軌道正向力作用 □其他（請說明）， Q5 如果增加下凹軌道的深度，結果會是誰先到？ □A（水平軌道） □B（下凹軌道） □同時到 □不一定，看軌道深度而定（軌道無摩擦力，球在運動過程中不會離開軌道面） □其他（請說明），

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表2：第二版問卷系級學號演示項目：雙珠競走 Q1 你認為哪一個球先到終點？（打勾）（假設球在運動過程中不會離開軌道面） □A（水平軌道）□ B（下凹軌道）□同時到 Q2 原因是？（請說明） Q3 實驗結果是誰先到？ □A（水平軌道）□ B（下凹軌道）□同時到 Q4 你認為原因是？ □因為重力作用在垂直方向，水平方向沒有加速度，所以應該同時到。但B 球先到，所以實驗設備應暗藏機關 □因為軌道的摩擦力不同導致，A 軌道的摩擦力可能較大 □因為軌道正向力作用，使得B 球具有水平方向加速度，因此較早到達終點 □其他（請說明）， Q5 思考推演：如果增加下凹軌道的深度，結果會是誰先到？ □A（水平軌道），總是A 先到 □B（下凹軌道），總是B 先到 □同時到 □不一定，當軌道超過某深度時，會變成A 球先到（假設軌道無摩擦力，球在運動過程中不會離開軌道面） □其他（請說明），

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作用，使得B 球具有水平方向加速度，因此較早到達終點”。其他部分僅作措辭的修改。第二版問卷如表2所示。

3. 深入分析

為了更清楚同學們解決問題的方法，及採取的策略，我們在240 名學生中，取一個班級學生共50 人，請他們針對本實驗繳交一份作業，作進一步分析。結果請參考肆、結果與討論。

肆、結果與討論

一、第一版問卷統計分析

第一版問卷共有 240 名大一學生填答（國立大學理學院學生156 人，原子科學院 84 人）。以下針對每一個問題的答案分析。（一） Q1：你認為哪一個球先到終點？結果參考圖5。有 45％的同學覺得兩球會同時抵達終點，原因以「能量守恆」為主； 37％同學覺得下凹軌道會先到，原因以「下凹時速度變快」為主；約18％的同學選擇水平軌道先到，原因以「路徑較短」及「摩擦力較小」為主。（二）Q4：你認為原因是？結果參考圖 6。有 26%的同學選擇正確答案「軌道正向力」，然而仍有 49%的同學在有「軌道正向力」的選項提示下，仍選擇「重力」是主因。然而向下的「重力」如何提供水平方向的加速度？是否每個同學都理解這當中的因果關係，由於是選擇題型態，無法深入分析。所以我們選擇了一個班級的學生，以較深入的方式探討這個問題。另外有約 15%的同學選擇「其他」，詳細分析後顯示，其所持理由以「B 球速度較快」為主，只停留在現象的描述，並沒有把現象的背後成因找出來。（三）Q5.如果增加下凹軌道的深度，結果會是誰先到？結果參考圖 7。統計結果顯示認為走下凹軌道仍會較快抵達的人佔多數，有61%左右。有另20%的同學選擇「不一定（依軌道深度而定）」，顯然並不十分瞭解為何B 球較快抵達。對照Q4 中扣掉選「重力」（49%）加「軌道正向力」（26%）共 75%的剩下 25% 的數值大致符合。也就是說，大約有 20+% 的人一直不清楚實驗結果的原因。當然，在經過實驗演示後，部分同學抓到這個系統的癥結，所以選擇B 球先到的同學由 Q1 的 37% 增加到61%。

二、第二版問卷統計分析：

第二版問卷共有83 名大一學生填答（國立大學工學院學生）。以下針對每一個問題的答案分析。（一）Q1. 結果與第一版問卷類似，參考圖 8。有 43%（第一版 45％）的同學覺得兩球會同時抵達終點，原因也以「能量守恆」為主； 29% （第一版37％）同學覺得下凹軌道會先到，原因以「下凹時速度變快」及「位能轉換成動能，速度增加」為主；約28％（第一版 18 ％）的同學選擇水平軌道先到，原因以「路徑較短」及「摩擦力較小」為主。（二）Q4. 結果參考圖9。Q4.由於第一版問卷中， Q4 預設的正確答案是“結果正確，因為軌道正向力作用”，但與“實驗結果正確，因為重力作用導致”兩個選項有混淆之虞，因此將 Q4 中“實驗結果正確，因為重力作用導致” 拿掉，改為”因為軌道正向力作用，使得 B 球具有水平方向加速度，因此較早到達終點”。

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Q1.哪一個球先到終點? A(水平軌道) 18% B(下凹軌道) 37% 同時到 45% A(水平軌道) B(下凹軌道) 同時到 Q4.你認為原因是? 重力作用導致實驗結果正確 49% 軌道正向力作用導致實驗結果正確 26% 其他 15% 實驗結果錯誤 5% 實驗設備暗藏機關 5% 實驗設備暗藏機關實驗結果錯誤重力作用導致實驗結果正確軌道正向力作用導致實驗結果正確其他圖5：第一版問卷中，”Q1,你認為哪一個球圖 6：第一版問卷中，”Q4,你認為原因是?” 先到終點?”的統計結果的統計結果 Q5.增加下凹程度後,誰先到? A(水平軌道) 5% B(下凹軌道) 61% 同時到 5% 不一定(依軌道深度而定) 20% 其他 9% A(水平軌道) B(下凹軌道) 同時到不一定(依軌道深度而定) 其他圖7：第一版問卷中，”Q5,如果增加下凹軌道的深度，結果會是誰先到?”的統計結果 Q1你認為哪一球先到終點？同時到 43% B (下凹軌道) 29% A (水平軌道) 28% A (水平軌道) B (下凹軌道) 同時到 Q1 圖8：第二版問卷中，”Q1,你認為哪一個球先到終點?”的統計結果

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趣的是，Q4 中，當「重力作用導致」的選項被拿掉後，學生回答「軌道正向力作用」的比例大幅提昇至77％，與第一版問卷中的兩項選項相加的結果75%接近。表示多數同學可以推論實驗與重力有關、或更準確的說，重力導致的軌道正向力所提供的加速度有關。（三）Q5. 進一步詢問若下凹軌道加深時結果會如何（參考圖 10），統計結果顯示認為走下凹軌道仍會較快抵達的人佔多數，有55%左右（第一版61%）。有 43％（第一版 20%）同學認為超過一定深度，A 球反而會先到。這個部份與第一版統計數字差別較大的原因，可能來自於敘述方式的差異。在第一版描述的方式是：「不一定，看軌道深度而定」；而在第二版中改成了「不一定，當軌道超過某深度時，會變成 A 球先到」。再交叉比對發現，其中 Q4 正確選擇「軌道正向力作用」 77% 的同學中，有 42％在 Q5 選擇「不一定，當軌道超過某深度時，會變成 A 球先到」。表示說，即便在Q4 有 77%的同學選擇了正確的原因，但其中至少有42%的同學並不清楚透徹瞭解整個問題。

三、解決問題策略分析：

以 50 份同學的作業中詳細分析其解決問題的對策，歸納繪製出圖11。圖中顯示學生幾種主要的思考模式（分析策略），以打勾表示的路徑決策表示觀念正確；以驚嘆號表示的路徑決策代表有迷思。以下詳細說明。 1.策略 A：有 18%的同學以能量守恆的觀點切入看這個問題。球B 在滑下軌道時的確滿足「將重力位能轉為動能」的條件，想法是正確的。但有些同學在過程中卻出現：「下坡時位能轉動能，速度增加；上坡時動能轉為位能，速度回復為初速，因為末速等於初速，所以花費的時間相同」的迷思。能量守恆對於處理求末速的問題相當好用，但牽涉到所費時間長短時，則無法直接應用。 2.策略 B：有 16%的同學以力的觀點出發。 Q4. 你認為原因是？因為重力作用在垂直方向，水平方向沒有加速度，所以應該同時到。但B球先到，所以實驗設備應暗藏機關 2% 因為軌道的摩擦力不同導致，A軌道的摩擦力可能較大 4% 因為軌道正向力作用，使得 B球具有水平方向加速度，因此較早到達終點 77% 其他（請說明）， 17% 圖9：第二版問卷中，”Q4,你認為原因是?” 的統計結果 Q5 思考推演：如果增加下凹軌道的深度，結果會是誰先到？ B（下凹軌道），總是B 先到 55% 同時到 1% 不一定，當軌道超過某深度時，會變成A 球先到 43% 其他（請說明）， 1% A（水平軌道），總是A 先到 0% 圖 10：第二版問卷中，”Q5,如果增加下凹軌道的深度，結果會是誰先到?”的統計結果

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策略 A 18% 考慮兩端情形，假若初速接近零直覺相信水平及V字軌道所花的運動時間相同有力作用能量守恆或能量轉換 (重力位能轉為動能) 策略 B 16% 觀察實驗策略 C 22% 策略 D 12% 策略 F 4% 假設一組數字去計算時間 @#X^!*&S#... 策略 G 2% 策略 I 6% 球到達終點的速度等於初速相同運動時間作功不為零造成動能改變(功能原理) 速度增加 B球的水平速度_高於A球重力作用在球上 B球有重力造成的正向力施於球上有水平方向的加速度因為重力只作用在直方向上，因此，無水平加速度 B球在區段IV被加速，因此領先A球在A、B軌道中I、 II、III、V和VI區段的運動時間是無差別的較長的軌道需花較多的時間 _{A球應該會先到} B球在下坡時被加速，因此有較高的均速 A球勢必要花很長的時間到達終點，B球則在下坡時會加速，因此花較少時間到終點將一組數據的結論推廣到適用所有情況 A球先到 B球先到 B球先到有隱藏的機關改變實驗結果水平方向速度沒變放棄！所以，兩球應同時到使用v-t圖分析策略 E 14% 與觀察的相矛盾假設變數 (L, , v...)計算策略 H 6% 計算太複雜，無法得到結論圖11：學生解決問題的對策分析歸納圖。圖中顯示學生幾種主要的思考模式（分析策略），打勾的路徑表示觀念正確；驚嘆號表示有迷思。圖12：在圖 11 中選擇”策略 C”的同學，認為初速相同時，圖中兩種情況所花費的時間是相同的

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多數可以推論出正向力使平均速度增加，獲得正確的實驗結果。但部分同學認為，因為系統中僅有重力作用，而重力加速度只作用在垂直方向，故不會影響水平速度（適用於拋體運動卻不適用於此處！）。他們沒有覺察正向力將重力的影響轉到軌道的垂直面上，使水平方向的確有淨力，所以當然有加速度。 3.策略 C：有 22%的同學以此觀點切入，卻顯現下面的迷思概念。參考圖 11 所示，他們認為當初速相同時，圖12 中的兩個路徑所花費的時間是一樣的。應用到目前的系統時，表示圖1 中球 A 與球 B 走 III 與 V 區域花的時間是一樣的。B 球平均速度增加的區域僅有VI 區域，所以當VI 的長度縮短至消失不見，兩個球的抵達時間就會一樣。很顯然地這是錯誤的，但形成此觀念的原因待進一步探究。 4.策略 D：有 12%的同學以直覺思考，卻提不出理由，也無法以過去所學的物理定律推理驗證，所以結論不一。 5.策略 E：有 14%的同學使用 v-t 圖分析。如同原理中的解釋，利用v-t 圖解時，可以清楚看出B 球領先的原因。 6.策略 F：約 4%的同學採用。考慮極端的情況，假設兩球的初速接近零，則A 球勢必要花很長的時間才能到達終點，而B 球卻在下坡時會加速，因此將花比A 少的時間到達終點。 7.策略 G：僅有 2%的同學以此方法入手。假設一組數字去計算花費的時間，但將結論推廣至適用所有的情況的這個步驟則犯了邏輯上的錯誤。以斜面下滑運動為例，若水平位移相同，則45 度角會有最快的下降時間，假設以30 度、70 度角計算後發現，70 度角的下滑時間大於 30 度角的，便推論45 度角的時間一定大於 30 度，就得到了錯誤的結論。 8.策略 H：約有 6%的同學使用，假設參數、導出通式，但因為複雜的數學計算，常常無法獲得結論。 9.策略 I：想了一陣子後便放棄。令人驚訝的是竟有6 %的比例。

伍、結論與建議

一、結論

在第一個部分我們主要瞭解了學生在觀察實驗時的想法。對於實驗的預測，選擇同時到的比例最多（平均45％）。觀察實驗後，認為原因與重力或重力引致的正向力有關的同學比例最多，平均有76%。然而其中平均至少有 26％的同學沒有充分瞭解原因或對其推論欠缺信心。至於在問卷中最後一題，能正確回答的比例雖然平均有59％之多，然問卷未能顯現的迷思概念則隱藏其中，透過第二部份的分析可以看出一些結論，整理如下： z 18％以上的學生以能量守恆的觀點出發分析問題，具備位能、動能轉換的觀念。但推導過程中，誤用能量守恆定律與花費時間之間關連性，做出錯誤結論。 z 16％學生以力圖的方式分析，但在推導過程中，亦出現錯誤觀念。 z 14％學生採用 v-t 圖的方式入手，較能快速切入主題，並作合理的演繹及歸納。 z 6％學生以設定參數實際計算的方式，希望得出通用的結果。但受限於計算過程複雜，得不出結論。 z 2％學生以數值代入計算，希望得出

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通用的結果。但忽略不同數值可能導致不同結果。 z 4％同學以極限時的結果推論得到通用的結果。 z 至少有4％同學仍無法區分位移與距離的差別。 z 12％有人以直覺出發，雖得到正確的預測，但無法提出背後的物理觀念。 z 由此可以看出，「雙珠競走」雖然是個看似簡單的實驗，學生在觀察這樣的系統時，具備完整分析問題能力並推演正確結論的學生比例並不高。

二、研究建議

（一）未來研究建議：有關研究中發現的幾點迷思概念，其成因及形成過程相當值得探究，建議進一步設計實驗或方法來瞭解。這些迷思概念，即使在專業人士發表的文章中也無法避免。以 Shakur 和 Pica (1997) 的研究為例，Shakur 等人 (1997)推論 B 球所花費的時間與（1）滑下斜坡的角度及（2）球的初速有關，例如當斜坡與水平夾角30°度時，B 球先到終點。但若角度改為60°時，卻變成 A 球較快抵達（假設水平初速2 m/s 的情況下）。這個說法被Hite (1997)指出有誤，Hite (1997) 指出， Shakur（1997）等人沒有考慮 B 球轉下坡時，弧形轉角的軌道的效應，導致了其在計算沿著斜面的速度大小時出了問題，因而得出錯誤結論。也就是例如B 球轉向下坡時，沿著斜面的速度到底是 v0？還是 v0sin?還是 v0/cos ?  還是其他？這個問題，許多人直覺的回答是：轉下坡時，沿著斜面的速度還是v0。然而在轉向的過程中（包括由水平運動轉為斜面、也就是區域II 與 III 交界處；或在底部往上爬時、也就是區域IV 與 V 交界處），軌道正向力扮演一定的角色，它會改變球的方向及速度（注意：非「水平速度」），而使得沿著斜面的速度並非v0。假設弧形轉角做成不會改變球的水平速度的形狀（例如做成拋物線free-fall parabola 的形狀），則沿著斜面的速度將會是 v0/cos，這是因為我們限制了實驗必須在「球不離開軌道的情況下」進行，所以有以上的結果。我們發現不少學生也有這個迷思，這是值得再深入探討的議題。另外一個容易混淆的觀念是，「初速一樣」指得是速度水平分量還是速度本身大小一樣？在Zheng, Gonci, , Imparato, , Ursulet, 和 Donovan (1995) 的文章中討論了一個問題，兩球在重力作用下，走水平軌道與下凹半圓形軌道何者較快到達？結論是與初速有關，當位移設定在1 米時，初速小於 1.913 m/s 時，水平軌道較快到達；初速大於1.913 m/s 時，反而是下凹半圓形軌道較快到達。看似與本實驗的結論衝突（不是說與初速及下凹深度無關嗎？），但其實沒有。癥結同樣在於 Hite (1997)提出的迷思，值得特別留意。這個實驗的進階版，可以討論重力下的最快下降曲線問題（Figueroa, Gutierrez 和 Fehr, 1997；「重力下的最快下降曲線」，中央大學物理演示實驗網站，2008），所使用的數學稍微再多一點，但是個相當好的教學題目。（二）在教學上的建議：演示實驗時可以先做不同角度斜面滑下所需的時間比較，接下來再做雙珠競走實驗，再進階做重力下的最快下降曲線實驗（「重力下的最快下降曲線」，中央大學物理演示實驗網站，2008）。由簡單到複雜，由直線、曲線、到最佳化曲線。但要留意這些實驗細節上的差異，仔細引導學生思考辯證。本演示實驗教具的製作成本不高，約台幣3000 元以內可以製成。但在教學上應用的

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效果很好，可以刺激學生思考其過去所學、引發生生及師生間討論辯證、探討基本及進階的各種力學問題…等等。另外，學生自以為理解的程度、與其真正理解的程度、與老師認為學生理解的程度間，顯然有許多差距，如同邱韻如(2006, p.558)文中所提及的：「都教過了為什麼還不會？」一節，值得所有教學工作者深思。

參考文獻

1. 中央大學物理演示實驗網站 (2008) http://demo.phy.tw/ 2. 「重力下的最快下降曲線」，中央大學物理演示實驗網站 (2008), http://demo.phy.tw/experiment/kinematics/ speedest-decent/ 3. 邱韻如 (2006)：大一普物教學的迷思之我見我思，發表於物理雙月刊，28 卷 3 期，2006 年 6 月。

4. Crouch, C. H., Fagen, A. P., Callan, J. P. & Mazur, E. (2004). Classroom demonstrations: Learning tools or entertainment? American Journal of Physics, 72(6), 835-838.

5. Figueroa, D., Gutierrez, G., and Fehr, C.

(1997). Demonstrating the Brachistochrone and Tautochrone, The Physics Teacher, 35, 494-498.

6. Hite, G. E. (1997). Real-World Constraints, The Physics Teacher, 35, 324.

7. Shakur A. and Pica A. (1997). On An Ambiguous Demonstration, The Physics Teacher, 35, 316-317.

8. Zheng. T. F., Gonci, K.A., Imparato, M.A., Ursulet, C., Donovan, K. (1995). Does Bead B Always Reach d First? The Physics