4−1 平行
本節課程學習重點： ◎能了解平行線的定義。 ◎能了解兩平行線的距離處處相等。 ◎能認識平行線的基本性質。 ◎能理解平行線截線性質：兩平行線同位角相等；同側內角互補；內錯角相等。 ◎能理解平行線的判別性質。 ◎能利用尺規作圖畫出過線外一點與該直線平行的直線。 一、平行線的意義： 在日常生活中，常用「平行」來描述同一平面上兩條永不相交的直線，但是只靠延長直線去檢查 兩直線有沒有相交是很困難的。在數學上，可用下列方法來檢查同一平面上的兩直線是否相交。 【說明】若直線 L1與直線 L2同時垂直 L 於 A、B 兩點，則 L1與 L2不會相交。 (反證法) 設 L1、L2交於一點 C，如右圖，在△ABC 中， ∵∠CAB、∠CBA 都是直角， ∴∠CAB＋∠CBA＋∠C＞180°， 但已知三角形的內角和為 180°，不可能超過 180°， 可知假設是錯誤的。 所以當 L1與 L2同時垂直於 L 時，L1與 L2不會相交。 ◎平行線的意義：在一平面上，兩直線如果可以找到一條共同的垂直線， 就稱這兩直線互相平行。 如右圖，L1與 L2同時垂直於直線 L，所以它們互相平行， 記作「L1 // L2」，讀作「L1平行於 L2」。 練習1：長方形的四個內角都是 90°，那麼長方形的對邊會互相平行嗎？ ◎兩平行線的距離處處相等： 將兩平行線間的垂直線段長稱為兩平行線的距離，則兩平行線的距離處處相等。 【說明】如右圖，另作一條直線 M⊥L1，可以發現 M、L、L1及 L2四條直線所 圍成的四邊形 ABCD 中，有三個角是直角，所以可得另一內角∠DCB 也是直角，即 M⊥L2。 由上可知：在一平面上，當兩直線平行時，若一直線與其中一條平行線 垂直，則此直線必與另一條平行線垂直。 又四邊形 ABCD 是長方形，因為長方形的對邊等長，所以 AB ＝CD， 由此可知兩平行線間的垂直線段都等長，即兩平行線的距離處處相等。 練習2：如右圖，L // M，且 A、B、C 在直線 L 上，D、E 在 直線 M 上，則△ADE、△BDE、△CDE 中，哪一個 面積最大？(Hint：同底等高) B L1 L2 A C L B L1 L L2 A B L1 L M D C L2 A B M A E D C L【觀念釐清】在一平面上有相異三直線 L1、L2、L3，若 L1 // L2，L2 // L3，則 L1 // L3。 【說明】若 L1 // L2，則會有一條直線 M 同時垂直於 L1、L2，又 L2 // L3時，M 也會垂直於 L3， 可知 M 同時垂直於 L1、L3，所以 L1 // L3。 練習3：在一平面上有相異三直線 L1、L2、L3，若 L1⊥L2，L2⊥L3，則 L1與 L3有什麼關係？ ◎平行線的性質：(1)已知 L1 // L2，則 L1與 L2永不相交。 (2)已知 L1 // L2，若直線 M⊥L1，則 M⊥L2。 (3)已知 L1 // L2，則 L1與 L2的距離處處相等。 (4)已知 L1 // L2、L2 // L3，則 L1 // L3，即 L1 // L2 // L3。 二、截線與截角： 在一平面上，若直線 L 同時與另兩條直線 L1、L2交於不同的兩點， 如右圖，則稱直線 L 為 L1、L2的截線。截線 L 與 L1、L2形成八個 交角，即圖中的∠1、∠2、…、∠7、∠8，都稱為截角。 截角與截角之間，隨著彼此的位置關係，會有不同的名稱如下： ◎同位角：∠1 與∠5 分別在 L1與 L2的上方，且都在截線 L 的左方， 像這樣位置對應相同的一組角稱為同位角。 同樣的，∠2 與∠6、∠3 與∠7、∠4 與∠8 也是同位角。 ◎內錯角：∠4 與∠5 在 L1與 L2的內側，且交錯在截線 L 的兩側， 像這樣的一組角稱為內錯角。同樣的，∠3 與∠6 也是內錯角。 ◎同側內角：∠3 與∠5 在 L1與 L2的內側，且都在截線 L 的同側， 像這樣的一組角稱為同側內角。同樣的，∠4 與∠6 也是同側內角。 練習4：如右圖，L 是 L1與 L2的截線，則 (1)∠1 的同位角是 。 (2)∠4 的內錯角是 。 (3)∠7 的同側內角是 。 ◎平行線的截線性質：已知兩平行線被一直線所截，則 (1)同位角相等。(2)內錯角相等。(3)同側內角互補。 【說明】如右圖，如果截線與平行線不垂直，L1 // L2，L 是截線， 且 L 與 L1、L2不垂直。 (1)∵L1 // L2，因此可找到一條垂直線 M 同時與 L1、L2垂直。 可知∠2＋∠9＋90°＝180°，∠6＋∠9＋90°＝180°， 因此∠2＋ ＼∠9＋＼90°＝∠6＋ ＼∠9＋＼90°，∴∠2＝∠6。 同理，∠1 與∠5、∠3 與 7∠ 、∠ 與4 ∠ 的度數都相等。 8 由上可知，兩平行線被一直線所截的同位角相等。 (2)因為 2∠ ＝∠ ，且6 ∠ ＝3 ∠ 對頂角相等)，可知 32( ∠ ＝∠ 。 6 同理，另一組內錯角 4∠ ＝∠ 。因此，兩平行線被一直線所截的內錯角相等。 5 (3)因為 2∠ ＝∠ ，又6 ∠ ＋2 ∠ ＝180°，4 ∴∠ ＋4 ∠ ＝180°。 6 1 2 3 4 5 6 7 8 L1 L L2 L1 L L2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 4 3 6 5 7 8 L1 L M L2
L1 M1 1 2 L2 M2 68° 練習5：如右圖，L1 // L2，∠ ＝70°，求其他七個截角的度數。 2 練習6：如右圖，L1 // L2，M、N 都是 L1與 L2的截線，其中 N⊥L2。 根據圖上所標示的度數，求∠1、∠2、∠3 和∠4 的度數。 練習7：如右圖，L1 // L2，M、N 都是 L1與 L2的截線， ∠ ＝108°、 42 ∠ ＝81°，求 1∠ 、∠ 和3 ∠ 的度數。 5 練習8：如右圖，L1 // L2，M1 // M2，求∠ 、1 ∠ 的度數。 2 練習9：如右圖，L1 // L2，M1 // M2，求∠ 、1 ∠ 的度數。 2 練習10：如右圖，L1 // L2，已知∠ ＝50°， 21 ∠ ＝60°， 求∠ABC 的度數。(Hint：練習一題多解) 1 2 4 3 6 5 7 8
L
1L
2 1 4 2 3 130°L
1M N
L
2L
1L
2M
1 2 3 4 5N
L
1M
1 1 2 68°L
2M
2 2 1L
1L
2A
C
B
B 1 2 A C L1 L2 練習11：如右圖，L1 // L2，已知∠ ＝135°， 21 ∠ ＝55°， 求∠ABC 的度數。 ◎補充：已知 L // M，則 (1) (2) (3) (4) M L 1 2 3 M L 1 2 3 M L 1 2 3 4 M L 1 2 3 4 ∠2＝∠1＋∠3 ∠1＋∠2＋∠3＝360° ∠1＋∠3＝∠2＋∠4 ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝540° 三、平行線的判別與製作： ◎平行線的判別性質：已知兩直線被一直線所截， (1)若有一組同位角相等，則此兩直線互相平行。 (2)若有一組內錯角相等，則此兩直線互相平行。 (3)若有一組同側內角互補，則此兩直線互相平行。 【說明】(1)如果這組相等的同位角度數是 90°，表示這條截線同時垂直這 兩條直線，那麼這兩條直線是互相平行的。 如果相等的同位角度數不是 90°，如右圖，同位角 1∠ ＝∠ ， 2 在截線 M 上取一點 P，過 P 點作 L1的垂線 L。 根據三角形的內角和為 180°，可知 1∠ ＋∠ ＋90°＝180°， 3 ∠ ＋2 ∠ ＋3 ∠ ＝180°，因此 14 ∠ ＋ ＼∠ ＋90°＝ 23 ∠ ＋ ＼∠ ＋3 ∠ ， 4 又 1∠ ＝∠ ，2 ∴∠ ＝90°，因此 L⊥L4 2。 ∵L 同時垂直於 L1與 L2，∴L1 // L2。 (2)如右圖，內錯角 5∠ ＝∠ ，2 ∵∠ ＝1 ∠ 對頂角相等)， 5( 又 5∠ ＝∠ ，2 ∴∠ ＝1 ∠ 。2 ∵∠ 、1 ∠ 為同位角，∴L2 1 // L2。 (3)如右圖，同側內角 2∠ ＋∠ ＝180°，6 ∵∠ ＋1 ∠ ＝180°， 6 ∴∠ ＋1 ∠ ＝6 ∠ ＋2 ∠ ，得6 ∠ ＝1 ∠ 。 2 ∵∠ 、1 ∠ 為同位角，∴L2 1 // L2。 練習12：如右圖，M 是 L1、L2的截線，則圖中的八個截角， 在下面哪些情況中，L1與 L2會互相平行呢？ (1) 4∠ ＝136°， 6∠ ＝44°。 (2) 3∠ ＝61°， 5∠ ＝152°。 (3) 1∠ ＝152°， 7∠ ＝28° 練習13：如右圖， AB // CD，且 EF 與 → GH是其中一組內錯角的 → 角平分線，那麼 EF 與GH互相平行嗎？為什麼？ 1 3 4 2 L1 L M P L2 2 1 6 L1 L2 M L1 L2 1 3 4 2 5 7 8 6 M A C B E G F H D 1 5 2 L1 L2 M
練習14：如右圖， AB // CD，且 → EF 與 GH是其中一組同位角的 → 角平分線，那麼 EF 與 GH 互相平行嗎？為什麼？ ◎平行線的製作： 【方法一】可以利用直尺和三角板來完成平行線，步驟如下： (1)將三角板中直角的一邊與 L 貼齊。 (2)將直尺的邊緣與三角板中直角的另一邊貼齊。 (3)直尺固定不動，沿著直尺邊緣滑動三角板，直到邊與 P 點貼齊為止。 (4)通過 P 點畫出直線 M，則直線 M 即為所求。 L P P L L P L M P 【觀念釐清】在方法一中，M // L 是根據「兩直線同時垂直於另一直線時，這兩直線平行」。 【方法二】可以利用直尺和圓規完成過P點且與直線L平行的直線，步驟如下： (1)過 P 點任意作一直線 K 交 L 於 A 點，其中 1∠ 為夾角。 (2)以 P 為頂點，直線 K 為一邊，在 1∠ 同位角的位置作∠ ，使得2 ∠ ＝2 ∠ 。 1 (3) 2∠ 的另一邊，也就是直線 M 即為所求。 K A 1 P L 2 K A 1 P L 2 M K 1 P L A 【觀念釐清】在方法二中，M // L 是根據「兩直線被另一直線所截的同位角相等時，這兩直線平行」。 練習15：如下圖，已知△ABC，利用尺規作圖，畫一直線通過 A 點且與BC平行。 B A C E A C F B H G D I 1 2
A L N P B 1 2 A B C D E L 1 L2 自我評量 1. 如右圖， 1∠ ＝127°、 2∠ ＝55°、 3∠ ＝53°，則 (1) L1與 L2是否互相平行？為什麼？ (2) L3與 L4是否互相平行？為什麼？ (3) 4∠ 的度數為多少？ 2. 如右圖，L // M，已知∠APB＝82°， 1∠ ＝28°，求 2∠ 的度數。 3. 如右圖，L // M，若 1∠ ＝(2x＋5)°， 2∠ ＝(4x－5)°， 則 x 所代表的數為多少？ 4. 如右圖， AB // CD，且同側內角∠BGH 與∠DHG 的 角平分線相交於 I 點，則∠GIH 的度數為多少？ 5. 如右圖，已知△ABC，P 為 AB 上一點。利用尺規作圖， 在AC上找一點 Q，使 PQ // BC。 習作 1. 如右圖，L1 // L2， AB ＝5、BC＝4，若△ABD的面積為 20， 則△ACE 的面積為多少？ 1 2 3 4 L3 L1 L2 L4 L M 2 1 A C B H I G D A P C
3 2 1 L1 L2 L3 L4 D C 2. 判別下列四個圖形中的 L1 與 L2 是否互相平行，並寫出原因。 (A) (B) (C) (D) L1 L2 60° 61° L1 L2 129° 48° 65° 64° L1 L2 L1 L2 125° 55° 3. 如右圖，L1 // L2、L3 // L4，若∠1＝98°，則∠2 與∠3 的度數分別為多少？ 4. 如右圖，L1 // L2、L3 // L4，且∠1＝80°、∠2＝130°，則∠3＋∠4＝？ 5. 如右圖，L1 // L2，若∠1＝80°，∠2＝60°，且 BO 平分∠DBC，則∠3＝？ → 6. 如右圖，將五邊形 ABCDE 沿直線 BC 往下平移，使得 新五邊形 A'B'C'D'E' 的頂點 B' 與 C 點重合。 若∠A＝103°、∠E＝110°、∠D＝113°、∠ABC＝115°， 則∠A'CD＝？ 3 4 2 1 L1 L3 L2 L4 A B D O C 1 2 3
L A B C D M E F G 30° 45° 1 2 3 4 5 7. 如右圖，L // M，四邊形 ABCD 為正方形，且點A在L上， 點C在M上。若 1∠ ＝80°，則 2∠ ＝？∠ ＝？ 3 8. 如右圖，L // M， AB //CD// EF ， ED //BC//FG， 且∠A＝45°，∠FGM＝30°，則 1∠ ＋∠ ＋2 ∠ ＋3 ∠ ＋4 ∠ ＝？ 5 類題補充 1. 如下圖，L1 // L2， AB ＝CD＝3，如果△ABC 的面積是 15，那麼陰影區域的面積是多少？ D C A B E L1 L2 2. 如下圖，L1 // L2，且∠1＝(7x＋30)°，∠2＝(4x＋40)°，則∠3＝？ 3. 如下圖，L1 // L2，L3 // L4 // L5，若∠1＝89°，則∠2＝ 度，∠3＝ 度。 1 2 3 L1 L2 L5 L4 L3 4. 如下圖，L1 // L2，∠1＝30°，∠3＝45°，則∠2＋∠4＝ 度。 L1 L2 1 2 3 4 1 2 3 L1 L2 1 3 2 L A B C D M E
5. 如下圖，若 L // M，則∠1＝ 度。 L M 1 120° 15° 6. 如下圖，L // M，四邊形 ABCD 為長方形，若∠1＝70°，則∠2＝ 度，∠3＝ 度。 A B C D L M 1 2 3 37° 7. 如下圖，若 L // M，則∠1＝？ 15° 2 3 1 30° L M 8. 如下圖，△ABC 中，¯ AD ⊥¯ BC ，¯ BE ＝¯ DE ，¯ EF // ¯ AC ，若∠CAD＝27°，∠B＝47°， 則∠DEF＝ 度。 A B FD C E 9. 如下圖，已知 L // M，¯ AB 、¯ AD 將∠EAC 三等分，∠BCD＝12°，∠EAB＝36°， 則∠ADC－∠ABC＝ 度。 E A B C F L M D 10. 如下圖，△ABC 中，∠A＝60°，∠B＝48°，L1 // L2，則∠1＋∠2＝ 度。 2 1 A B C L1 L2 11. 同一平面上，∠A 與∠B 此兩角的兩邊皆互相平行，若∠A＝80°，則∠B＝ 度。
12. 如下圖，L // M，∠A＝150°，∠B＝120°，∠C＝125°，∠D＝ 度。 D A B C L M 13. 如下圖，若 L // ¯ BC ，則∠B＝？ (x＋y－20)° A L B C (2x－y)° (2y＋10)° 60° 14. 如下圖，已知¯ AB // ¯ CD 且∠ABE＝128°，∠ECD＝87°，則∠BEC＝？ D E A B C 15. ∠A 與∠B 有一邊互相平行，另一邊互相垂直，若∠A＝43°，則∠B＝ 度。 16. 如下圖，L // M，若∠2＝120°，∠A＝40°，∠B＝30°，則∠1＝ 度。 A E B C D L M 1 2 17. 如下圖，已知 L // M， 1∠ ＝16°， 2∠ ＝110°，¯ BC ⊥¯ CD ，則∠B＝ 度。 A B C D L M 1 2 18. 如右圖，L // M，∠1＝32°，∠2＝25°，則∠3＋∠4＝ 度。 M L 1 2 3 4 5
A D E B C (6x－10)° 3x° (5x＋20)° 19. 如右圖，已知¯ AB // ¯ DE ，且∠B＝(6x－10)°，∠C＝3x°， ∠D＝(5x＋20)°，則∠C＝ 度。 20. 如下圖，L // M，且 ABCDE 為正五邊形，若∠CDG＝19°，則∠FAB＝ 度。 A D E F G B C M L 21. 如右圖，¯ AB // ¯ CE ，△BCE 的面積為 18， 四邊形 ACDE 的面積為 40，則△CDE 的面積為 。 22. 如右圖，¯ AB ⊥ ¯ DE ，¯ BC // ¯ EF ，∠E＝50°，則∠B＝？ A D B C E F 50° 23. 如下圖，△ABC 中， ¯ BD 、 ¯ CD 分別為∠ABC、∠ACB 的角平分線，¯ EF // ¯ BC 。則 (1)若∠ABC＝80°，∠ACB＝60°，則∠BDC＝ 度。 (2)若¯ AB ＝6，¯ BC ＝7，¯ AC ＝8，則△AEF 的周長：△ABC 的周長＝ 。 A E D F B C 24. 如下圖，梯形 ABCD 中， ¯ AD // ¯ BC 。若 ¯ AD ＝4，¯ BC ＝10，且△BCD 面積為 25，則△ACD 的 面積為何？ A D B C A D E B C
加強練習 1. 下列敘述何者有誤？ (A)平行於同一直線的兩直線必互相平行 (B)垂直於同一直線的兩直線必互相垂直 (C)△ABC 中，已知∠A＝70°，∠B＝40°，則¯ AB ＞¯ AC (D)同一平面上，L1 // L2，L2⊥ L3，L1⊥ L3。 2. 在同一平面上，如果 L1⊥L2、L2 // L3、L3⊥L4、L4⊥L5、L5⊥L6，則下列哪一條直線與 L3是平行的？ (A) L1 (B) L4 (C) L5 (D) L6。 3. 如右圖，大雄在線條紙上畫了 3 個不同的三角形，此線條紙的線條 互相平行且各相距5cm，且 A、B、C 三點均在平行的線上，請問 △ADE、△BDE 和△CDE 的面積比為多少？ (A) 1：1：1 (B) 4：6：3 (C) 5：6：5 (D) 5：7：4。 4. 如右圖，¯ CB // ¯ AG ，¯ AC // ¯ EB ，∠CAB＝100°，∠BCA＝60°，∠DEB＝45°， 則下列選項何者正確？
(A)∠EFB＝80° (B)∠AGF＝120° (C)∠DAG＝20° (D)∠FDB＝45°。 5. 以下四個敘述，共有幾個是正確的？ (1)在同一平面上垂直於同一直線的兩相異直線必平行 (2)在同一平面上過直線 L 外一點 P，僅有一條直線與 L 平行 (3)在同一平面上平行於同一直線的兩相異直線必平行 (4)在同一平面上一直線垂直於兩相異平行線中的一直線，則必垂直於另一直線 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4。 6. 如右圖，L1 // L2，下列敘述何者錯誤？
(A)△ABC 面積＝△BCD 面積 (B)△ABD 面積＝△ACD 面積 (C)△ABE 面積＝△CDE 面積 (D)△ADE 面積＝△ABC 面積 7. 如右圖，L1 // L2，則 c＝？
(A) 180－b (B) a－b (C) a＋b－180 (D) 90＋a－b。 8. (1)已知∠A 和∠B 的兩邊分別平行，若∠A＝(x＋42)°，
∠B＝(5x－18)°，則 x＝ 。
(2)已知∠ABC 和∠DEF 兩邊分别互相垂直，其中 ¯ AB ¯⊥ DE ，¯ BC ¯⊥ EF ，若∠ABC＝66°， 則∠DEF＝ 度。
(3)已知兩個角∠ABC 和∠DEF，若 ¯ AB // ¯ DE ，¯ BC ¯⊥ EF ，且∠ABC＝50°，則∠DEF＝ 度。
9. 如右圖，¯ AE // ¯ BD ，E 為 ¯ CD 中點，則下列四個三角形中，哪一個
面積與其他三個的面積不相等？
(A)△BDE (B)△ABD (C)△BCE (D)△ABE。
10. 如下圖，L // M，若∠1＝120°，∠2＝30°，∠3＝50°，則∠4＝？ L M 1 2 3 4 11. 如右圖，若¯ AC ＝¯ AE ，¯ BC ＝ ¯ DE ，∠ACB＝107°，∠D＝37°，∠DAE＝36°， 則¯ AB 和 ¯ DE 是否會平行？ 12. 如下圖，將一長方形 ABCD 紙條，沿著¯ EF 對摺，使 C 落在¯ AB 邊上的 G。 若∠FEC＝85°，則∠HKF＝？ D F AH K D E A B C D G E F A B C 45° 60° 100° A D B C L1 L2 E a˚ c˚ b˚ L1 L2 A B D E C A E D B C
Ans：1.(B)；2.(C)；3.(B)；4.(C)；5.(D)；6.(D)；7.(C)；8.(1) 15 或 26，(2) 66 或 114，(3) 40 或 140； 9.(D)；10.40°；11.否；12. 80°。
