國中數學2 4 2線型函數的圖形

4−2 線型函數的圖形

練習6：如右圖，在坐標平面上，已知函數y＝f(x)的圖形經過六個點， 則 f(－3)＋f(1)＋f(－1)＋f(4)的值為何？ 二、線型函數的圖形： ◎線型函數：形如 f(x)＝ax＋b 的函數稱為線型函數，其圖形都是一條直線。 (1)當 a≠0 時，f(x)＝ax＋b 為一次函數。例如：f(x)＝3x＋1、g(x)＝－5x－3 為一次函數。 (2)當 a＝0 時，f(x)＝b 為常數函數。例如：h(x)＝6、k(x)＝－1 為常數函數。 練習7：在坐標平面上畫出函數 f(x)＝3x－1 的圖形。(Hint：找兩點) 練習8：在坐標平面上畫出函數 f(x)＝2x＋3 的圖形。 練習9：在坐標平面上畫出函數 f(x)＝3 的圖形。 練習10：在坐標平面上畫出函數 f (x)＝－5 的圖形。 【觀念釐清】(1)一次函數 f(x)＝ax＋b(a≠0)的圖形就是二元一次方程式 y＝ax＋b 的圖形， 所以一次函數在坐標平面上的函數圖形是一條直線。 (2)常數函數 f(x)＝b 的圖形就是 y＝b 的圖形，所以常數函數在坐標平面上的 函數圖形是一條水平直線。 (3)一次函數與常數函數在坐標平面上的函數圖形都是一條直線，反過來說， 如果一個函數在坐標平面上的圖形是一條直線，則此函數必為一次函數或 常數函數。將一次函數和常數函數合稱為線型函數。 O y x 1 1

練習11：設 f(x)為一次函數，且其函數圖形通過(0 ,－4)、(－1 ,－1)兩點，則此函數 f(x)＝？ 練習12：設 f(x)為一次函數，且其函數圖形通過(－2 , 4)、(2 , 0)兩點，則此函數 f (x)＝？ 練習13：已知函數 y＝f(x)的圖形是平行 x 軸的直線，且圖形通過點(3 ,－4)，則此函數 f(x)＝？ 練習14：設 f(x)為常數函數，且其函數圖形通過點(－7 , 3)，則此函數 f(x)＝？ 練習15：已知右圖為線型函數 f(x)＝ 1_{2 x＋a 的圖形，試判別 a 的正負。(Hint：先找圖形與兩軸的交點)} 練習16：已知右圖為線型函數 f(x)＝ax－3 的圖形，試判別 a 的正負。 練習17：如右圖，已知兩函數 f(x)＝3x－5 與 g(x)＝ax＋5 的圖形 相交於點 P(2 , b)，則 a、b 的值分別為多少？ O y x f(x)＝ 1_{2 x}＋a O y x f(x)＝ax－3 O y x P(2 , b) f (x) g(x)

練習18：如右圖，已知函數f(x)＝2x＋b與函數g(x)＝－x－2的圖形 相交於點P(a , －4)，則a、b的值分別為多少？ 三、應用問題： 練習19：右圖是某電信公司的通話費計算方式： 未超過 300 秒只繳基本費；超過 300 秒之後的費用， 與通話時間成線型函數關係，則基本費是多少元？ 練習20：將裝有牛奶250毫升的玻璃杯放在已歸零的磅秤上，測得重量為600公克。已知喝掉100毫升 的牛奶後，由磅秤測得剩下的重量為 450 公克，若杯中牛奶的體積與磅秤測得的重量成線型 函數關係，則牛奶喝完後剩下的空玻璃杯重量是多少公克？ 練習21：右圖為小靖影印資料時，影印機中紙張剩下張數 y 和 時間 x 的關係圖，假設從開始影印到紙張印完期間的 影印速度保持一定，則 (1)寫出 x、y 的關係式。 (2)從開始影印經過多久剛好將紙張印完？ (3)開始影印前共有多少張紙？ (4)若小靖從上午九點開始影印，則剛好印了 一半的紙量時為幾點幾分？ P(a ,－4) f (x) g(x) O y x 50 36 0 _{300 500 1200} 費用 ( 元 ) 通話時間(秒) 1800 720 0 _{3 9} 剩下張 數 ( 張 ) 時間(分)

x

y

自我評量 1. 下列各函數分別屬於哪一種函數？ (A) f(x)＝2x－9 (B) f(x)＝－5 (C) f(x)＝x (D) f(x)＝0 (E) f(x)＝17－ 2_{5 x} (1)為一次函數的有： 。(2)為常數函數的有： 。(3)為線型函數的有： 。 2. 設函數 f(x)＝ax＋b(a、b 為常數)，則下列敘述何者錯誤？ (A) 若 a＝0、b≠0，則函數 f(x)的圖形為水平線 (B) 若 a＝0、b＝0，則函數 f(x)的圖形為 x 軸 (C) 若 a≠0、b＝0，則函數 f(x)的圖形經過原點 (D) 若 a≠0、b≠0，則函數 f(x)的圖形經過原點 3. 若一次函數 f(x)＝ax＋5，其中 a＜0，則下列何者可能是此函數的圖形？ (A) y O x (B) y O x (C) y O x (D) y O x 4. 在坐標平面上畫出下列各函數的圖形。(1) f(x)＝2x＋5 (2) f (x)＝－3 5. 在坐標平面上，已知：函數 f(x)的圖形經過(0 ,－3)、(1 , 1)、(2 , 5)、(3 , 9)四個點，函數 g(x)的圖形 經過(－2 , 2)、(0 , 3)、(2 , 4)、(4 , 5)四個點，則 f(3)－g(－2)－f(0)＋g(2)的值為何？ 6. 老地方麵店中，牛肉麵一碗 80 元；乾麵一碗 30 元。因為油電雙漲，老闆決定利用線性函數調漲 價格，將牛肉麵調為100 元，乾麵調為 60 元。若大滷麵原本一碗 55 元，則調漲後為多少元？

習作 1. 小凡袋子中有 20 顆球，任取 5 次，每次取出數顆球且取後會放回袋中。設 x 表示取出的球數、y 表示此時袋內所剩的球數，且將每次取球的情況寫成數對(x , y)，並畫在坐標平面上，則此圖可能 是下列哪一圖形？ (A) x y O (B) x y O (C) x y O (D) x y O 2. 在坐標平面上畫出各函數的圖形。(1) f(x)＝－x－3 (2) f(x)＝－3₂ 3. 已知線型函數 f(x)＝2x＋6，則 (1) f(x)的圖形與 x 軸的交點為何？ (2) f(x)的圖形與 y 軸的交點為何？ (3) f(x)的圖形與 x、y 軸所圍成的三角形面積為何？ 4. 設 f(x)為一次函數，且其函數圖形如右，則(1) f(x)＝？ (2) f(3)＝？ 5. 已知 f(x)為常數函數，其圖形通過(2 , －3)，則 f(2)＋f(4)＋f(6)＋f(8)＝？ 6. 已知兩函數 f(x)＝3x－a 與 g(x)＝ax＋b 的圖形相交於點(1 , 4)，則函數 g(x)＝？ (0 , 2) x y O f (x) (2 , 0)

7. 若右圖表示 A 液體的體積 x(立方公分)和質量 y(公克)的關係，則 (1) x 與 y 的關係式為何？ (2)體積 12 立方公分的 A 液體，質量是多少公克？ (3)質量 5 公克的 A 液體，體積是多少立方公分？ 8. 坐標平面上，一次函數 f(x)與 g(x)的圖形如右圖，已知兩圖形相交於(5,6)，回答下列問題： (1) f(5)＝？又 g(5)＝？ (2) f(3)與 g(3)何者較大？ (3) 若 k＞5，則 f(k)與 g(k)何者較大？ 9. 已知直角三角形 ABC 中，∠C＝90°，在 BC 上有一動點 P， 從 B 點向 C 點移動 x cm 後，三角形 ABP 的面積為 y cm2，則 (1) x 與 y 的關係式為何？ (2)當三角形 ABP 面積是 4 cm2_{時，P 點距離 B 點多少 cm？} 類題補充 1. 若一次函數 y＝f(x)＝ax＋b 的圖形通過(2 , 6)、(3 , 5)、(－1 , k)三點，則 (1) f(x)＝ 。(2) k＝ 。 2. 根據右圖回答下列問題： (1) x 與 y 的關係式為何？ (2)若圖形通過點 P(k , 3_{2 k－3)，則 k＝？} (5,6) x y O f(x) g(x) 3 cm B C A P 8 cm 體積(立方公分) 質 量 ︵ 公 克 ︶ O ₅ 2 y x 5 2 O x y

3. 在坐標平面上，已知線型函數 y＝f(x)的圖形經過(－1 , －7)、(0 , －7)兩點， 則 f(－9)＋f(9)＋f(99)＋f(－99)的值為何？ 4. 設函數 f(x)＝4，則 f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(9)＋f(10)＝？ 5. 復興汽車出租公司的收費制度如右圖，600 元可租用 4 小時， 若超過 4 小時則另外計時收費，已知超過 4 小時的收費機制 為一線型函數，則 (1)志玲姊姊租了 12.5 小時，需付費多少錢？ (2)已知王老師身上不超過 2450 元，若他租了 a 小時的車， 且 a 為整數，則王老師最多可租幾小時？ 6. 右圖是線型函數 y＝f(x)與 y＝g(x)在直角坐標平面上的圖形。 若兩圖形相交於(1 , 4)，則下列何者錯誤？ (A) f(1)＝g(1) (B) f(－1)＜g(－1) (C) f(0)＞g(0) (D) f(2)＞g(2)。

7. 在坐標平面上，f(x)＝ax4_＋bx3_＋cx2_{＋dx＋e 之圖形經過(1 , 3)及(－1 , －5)，則 a＋b＋c＋d＋e＝？}

8. 已知函數 y＝f(x)＝ax＋b，且 y＝f(1)＝7，y＝f(－1)＝3，則 (1) y＝f(x)＝？ (2) 函數 y＝f(x)圖形與兩軸圍成的三角形面積為多少？ 1200 600 4 10 y(元) x(小時) O x y y＝f(x) (1 , 4) y＝g(x)

9. 若一次函數 y＝f(x)＝ax＋b 的圖形如右圖，則下列何者正確？

(A) a＞0，b＞0 (B) a＞0，b＜0 (C) a＜0，b＜0 (D) a＜0，b＞0。

10. 右圖為高鐵公司公有停車場的收費圖，以分為計算單位，安可 今早從 7：50 到 9：20 將車停在該停車場，則他出停車場時應 繳多少錢？ (A) 100 元 (B) 120 元 (C) 140 元 (D) 160 元。

11. 兩函數 f(x)＝－6x＋(n－10)與 g(x)＝－15＋3x 的圖形交點在 y 軸上，則 n＝？

12. 已知 y＝f(x)＝ax＋b，且 f(1)＝1，f(－1)＝3，若 y＝f(x)的圖形分別與 x 軸、y 軸交於 A、B 兩點，則 三角形 ABO 的面積為何？ 13. (1)已知線型函數 y＝f(x)＝4x－k 的圖形通過點(－1 , 2)，則 k＝ 。 (2)已知線型函數 y＝f(x)＝7x－kx＋k－5 的圖形通過原點，則 k＝ 。 (3)已知線型函數 y＝f(x)＝ax＋6－9x＋a 的圖形只通過 2 個象限，則 a＝ 。 14. 數學老師因為班上同學的平時成績過低，所以想利用線型函數來提高全班同學的分數，原本最高分 80 分，將提高變成 100 分，原本最低分 50 分，將提高變成 64 分。假設此線型函數為 y＝ax＋b，x 為原本的分數，y 為調整後的分數，若小益提高後的分數為 76 分，則小益原本考幾分？ y x O f (x) 60 20 30 50 60 停車時間(分) 80 40 20 停車費 ( 元 )

加強練習

1. 設 f(x)為常數函數，且 f(2)＋f(0)＝2，則 f(2006)＝？

2. 一次函數 y＝f(x)＝ax＋b，若 f(2)＝0，f(5)＜0，則下列何者正確？ (A) f(－1)＜0 (B) f(0)＞0 (C) f(8)＞0 (D) f(10)＞0。

3. 設 f(x)＝6，且 a＜b＜c＜0，則下列哪一個選項的函數值最大？

(A) f(a＋b＋c) (B) f(a)＋f(b＋c) (C) f(a＋b)＋f(c) (D) f(a)＋f(b)＋f(c)。 4. 函數 g(x)＝－2x＋3 與函數 f(x)＝－1 兩圖形的交點坐標為 。 5. 若函數 f(x)＝ax－1 與 g(x)＝－2x＋4 的圖形交點在 x 軸上，則 a＝ 。 6. 若一次函數 f(x)＝－8x＋3 和常數函數 g(x)＝a 的圖形交於(6,－45)，則 a＝？ 7. 若函數 f(x)＝(k2－4)x2－2x＋k＋2 的圖形通過原點，則 f(－2)＝？ 8. 設函數 f(x)＝ax＋b，若 f(0)－f(－5)＝5，則 a＝？ 9. 已知 f(x)為一次函數，且 f(3)：f(5)：f(7)＝1：3：5，又 f(1)＝2，則此函數圖形與 x 軸、y 軸所圍成的 三角形面積為何？ 10. 若函數 f(x)＝ax－2 的圖形通過第二、三、四象限，則 a 0。(填＞、＝或＜) 11. 已知一次函數 f(x)＝2x＋a 和 f(x)＝－3x－b 的圖形交點在 x 軸上，則 a：b＝ 。 12. 下列何者不是線型函數？ (A) f(x)＝－3 (B) f(x)＝2＋5x (C) f(x)＝ 3 x－18 (D) f(x)＝ 4x＋1 3 。 13. 已知 f(x)為一常數函數，且 f(4)＋f(－4)＝8，則 f(0)＝？ 14. 已知攝氏溫度與華氏溫度的關係式如下：華氏溫度＝攝氏溫度 × 9_{5 ＋32。若攝氏溫度增加 10 度，則} 華氏溫度增加 度。 15. 某航空公司規定，旅客行李重量若在 a 公斤以下(包含 a 公斤)， 則完全免費，但若超過 a 公斤，則超重部分與行李托運費成 線型函數關係，其關係如右圖所示。則 a＝ 。 360 30 a 42 144 行李重量(公斤) 行李托運 費 ( 元 ) 0

Ans：1. 1；2.(B)；3.(D)；4.(2,－1)；5.1

2；6.－45；7. 4；8. 1；9. 4；10.＜；11. 2：3；12.(C)； 13. 4；14. 18；15. 22。