國中數學2 4 2線型函數的圖形

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4−2 線型函數的圖形

一、認識函數圖形: 在坐標平面上,將滿足 y=f(x)關係的所有點(x, y)描畫出來,則所得到的圖形就是函數 f(x)的圖形。 練習 1:設 x 代表平年中的月分,f(x)代表該月分的天數,在坐標平面上畫出函數 y=f(x)的圖形。 練習2:下表是某班 8 位同學的體重,若 x 代表座號,f(x)代表 x 號同學的體重,試在坐標平面上 畫出 y=f(x)的函數圖形。 座號 x(號) 1 2 3 4 5 6 7 8 體重 y(公斤) 40 52 44 48 51 52 46 50 練習3:在坐標平面上,函數 y=f(x)的圖形經過(-1 , 4)、(0 , 3)、(1 , 0)、(2 , 1)、(3 , 2)、(4 , 7) 這六個點,求 f(-1)+f(1)+f(2)+f(4)的值為何? 練習4:在坐標平面上,函數 y=f (x)的圖形經過(0 , 0)、(-1 , 1)、(2 , 4)、(3 , 9)、(-4 , 16)這五個點, 求 f (0)+f (2)+f (-4)的值為何? 練習5:如右圖,在坐標平面上,已知函數 y=f(x)的圖形經過六個點, 則 f(-2)-f(-1)+f(2)-f(4)的值為何? O 1 1 y x

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練習6:如右圖,在坐標平面上,已知函數y=f(x)的圖形經過六個點, 則 f(-3)+f(1)+f(-1)+f(4)的值為何? 二、線型函數的圖形: ◎線型函數:形如 f(x)=ax+b 的函數稱為線型函數,其圖形都是一條直線。 (1)當 a≠0 時,f(x)=ax+b 為一次函數。例如:f(x)=3x+1、g(x)=-5x-3 為一次函數。 (2)當 a=0 時,f(x)=b 為常數函數。例如:h(x)=6、k(x)=-1 為常數函數。 練習7:在坐標平面上畫出函數 f(x)=3x-1 的圖形。(Hint:找兩點) 練習8:在坐標平面上畫出函數 f(x)=2x+3 的圖形。 練習9:在坐標平面上畫出函數 f(x)=3 的圖形。 練習10:在坐標平面上畫出函數 f (x)=-5 的圖形。 【觀念釐清】(1)一次函數 f(x)=ax+b(a≠0)的圖形就是二元一次方程式 y=ax+b 的圖形, 所以一次函數在坐標平面上的函數圖形是一條直線。 (2)常數函數 f(x)=b 的圖形就是 y=b 的圖形,所以常數函數在坐標平面上的 函數圖形是一條水平直線。 (3)一次函數與常數函數在坐標平面上的函數圖形都是一條直線,反過來說, 如果一個函數在坐標平面上的圖形是一條直線,則此函數必為一次函數或 常數函數。將一次函數和常數函數合稱為線型函數。 O y x 1 1

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練習11:設 f(x)為一次函數,且其函數圖形通過(0 ,-4)、(-1 ,-1)兩點,則此函數 f(x)=? 練習12:設 f(x)為一次函數,且其函數圖形通過(-2 , 4)、(2 , 0)兩點,則此函數 f (x)=? 練習13:已知函數 y=f(x)的圖形是平行 x 軸的直線,且圖形通過點(3 ,-4),則此函數 f(x)=? 練習14:設 f(x)為常數函數,且其函數圖形通過點(-7 , 3),則此函數 f(x)=? 練習15:已知右圖為線型函數 f(x)= 12 x+a 的圖形,試判別 a 的正負。(Hint:先找圖形與兩軸的交點) 練習16:已知右圖為線型函數 f(x)=ax-3 的圖形,試判別 a 的正負。 練習17:如右圖,已知兩函數 f(x)=3x-5 與 g(x)=ax+5 的圖形 相交於點 P(2 , b),則 a、b 的值分別為多少? O y x f(x)= 12 xa O y x f(x)=ax-3 O y x P(2 , b) f (x) g(x)

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練習18:如右圖,已知函數f(x)=2x+b與函數g(x)=-x-2的圖形 相交於點P(a , -4),則a、b的值分別為多少? 三、應用問題: 練習19:右圖是某電信公司的通話費計算方式: 未超過 300 秒只繳基本費;超過 300 秒之後的費用, 與通話時間成線型函數關係,則基本費是多少元? 練習20:將裝有牛奶250毫升的玻璃杯放在已歸零的磅秤上,測得重量為600公克。已知喝掉100毫升 的牛奶後,由磅秤測得剩下的重量為 450 公克,若杯中牛奶的體積與磅秤測得的重量成線型 函數關係,則牛奶喝完後剩下的空玻璃杯重量是多少公克? 練習21:右圖為小靖影印資料時,影印機中紙張剩下張數 y 和 時間 x 的關係圖,假設從開始影印到紙張印完期間的 影印速度保持一定,則 (1)寫出 x、y 的關係式。 (2)從開始影印經過多久剛好將紙張印完? (3)開始影印前共有多少張紙? (4)若小靖從上午九點開始影印,則剛好印了 一半的紙量時為幾點幾分? P(a ,-4) f (x) g(x) O y x 50 36 0 300 500 1200 費用 ( 元 ) 通話時間(秒) 1800 720 0 3 9 剩下張 數 ( 張 ) 時間(分)

x

y

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自我評量 1. 下列各函數分別屬於哪一種函數? (A) f(x)=2x-9 (B) f(x)=-5 (C) f(x)=x (D) f(x)=0 (E) f(x)=17- 25 x (1)為一次函數的有: 。(2)為常數函數的有: 。(3)為線型函數的有: 。 2. 設函數 f(x)=ax+b(a、b 為常數),則下列敘述何者錯誤? (A) 若 a=0、b≠0,則函數 f(x)的圖形為水平線 (B) 若 a=0、b=0,則函數 f(x)的圖形為 x 軸 (C) 若 a≠0、b=0,則函數 f(x)的圖形經過原點 (D) 若 a≠0、b≠0,則函數 f(x)的圖形經過原點 3. 若一次函數 f(x)=ax+5,其中 a<0,則下列何者可能是此函數的圖形? (A) y O x (B) y O x (C) y O x (D) y O x 4. 在坐標平面上畫出下列各函數的圖形。(1) f(x)=2x+5 (2) f (x)=-3 5. 在坐標平面上,已知:函數 f(x)的圖形經過(0 ,-3)、(1 , 1)、(2 , 5)、(3 , 9)四個點,函數 g(x)的圖形 經過(-2 , 2)、(0 , 3)、(2 , 4)、(4 , 5)四個點,則 f(3)-g(-2)-f(0)+g(2)的值為何? 6. 老地方麵店中,牛肉麵一碗 80 元;乾麵一碗 30 元。因為油電雙漲,老闆決定利用線性函數調漲 價格,將牛肉麵調為100 元,乾麵調為 60 元。若大滷麵原本一碗 55 元,則調漲後為多少元?

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習作 1. 小凡袋子中有 20 顆球,任取 5 次,每次取出數顆球且取後會放回袋中。設 x 表示取出的球數、y 表示此時袋內所剩的球數,且將每次取球的情況寫成數對(x , y),並畫在坐標平面上,則此圖可能 是下列哪一圖形? (A) x y O (B) x y O (C) x y O (D) x y O 2. 在坐標平面上畫出各函數的圖形。(1) f(x)=-x-3 (2) f(x)=-32 3. 已知線型函數 f(x)=2x+6,則 (1) f(x)的圖形與 x 軸的交點為何? (2) f(x)的圖形與 y 軸的交點為何? (3) f(x)的圖形與 xy 軸所圍成的三角形面積為何? 4. 設 f(x)為一次函數,且其函數圖形如右,則(1) f(x)=? (2) f(3)=? 5. 已知 f(x)為常數函數,其圖形通過(2 , -3),則 f(2)+f(4)+f(6)+f(8)=? 6. 已知兩函數 f(x)=3x-a 與 g(x)=ax+b 的圖形相交於點(1 , 4),則函數 g(x)=? (0 , 2) x y O f (x) (2 , 0)

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7. 若右圖表示 A 液體的體積 x(立方公分)和質量 y(公克)的關係,則 (1) x 與 y 的關係式為何? (2)體積 12 立方公分的 A 液體,質量是多少公克? (3)質量 5 公克的 A 液體,體積是多少立方公分? 8. 坐標平面上,一次函數 f(x)與 g(x)的圖形如右圖,已知兩圖形相交於(5,6),回答下列問題: (1) f(5)=?又 g(5)=? (2) f(3)與 g(3)何者較大? (3) 若 k>5,則 f(k)與 g(k)何者較大? 9. 已知直角三角形 ABC 中,∠C=90°,在 BC 上有一動點 P, 從 B 點向 C 點移動 x cm 後,三角形 ABP 的面積為 y cm2,則 (1) x 與 y 的關係式為何? (2)當三角形 ABP 面積是 4 cm2時,P 點距離 B 點多少 cm? 類題補充 1. 若一次函數 y=f(x)=ax+b 的圖形通過(2 , 6)、(3 , 5)、(-1 , k)三點,則 (1) f(x)= 。(2) k= 。 2. 根據右圖回答下列問題: (1) x 與 y 的關係式為何? (2)若圖形通過點 P(k , 32 k-3),則 k=? (5,6) x y O f(x) g(x) 3 cm B C A P 8 cm 體積(立方公分) 質 量 ︵ 公 克 ︶ O 5 2 y x 5 2 O x y

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3. 在坐標平面上,已知線型函數 y=f(x)的圖形經過(-1 , -7)、(0 , -7)兩點, 則 f(-9)+f(9)+f(99)+f(-99)的值為何? 4. 設函數 f(x)=4,則 f(0)+f(1)+f(2)+…+f(9)+f(10)=? 5. 復興汽車出租公司的收費制度如右圖,600 元可租用 4 小時, 若超過 4 小時則另外計時收費,已知超過 4 小時的收費機制 為一線型函數,則 (1)志玲姊姊租了 12.5 小時,需付費多少錢? (2)已知王老師身上不超過 2450 元,若他租了 a 小時的車, 且 a 為整數,則王老師最多可租幾小時? 6. 右圖是線型函數 y=f(x)與 y=g(x)在直角坐標平面上的圖形。 若兩圖形相交於(1 , 4),則下列何者錯誤? (A) f(1)=g(1) (B) f(-1)<g(-1) (C) f(0)>g(0) (D) f(2)>g(2)。

7. 在坐標平面上,f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e 之圖形經過(1 , 3)及(-1 , -5),則 a+b+c+d+e=?

8. 已知函數 y=f(x)=ax+b,且 y=f(1)=7,y=f(-1)=3,則 (1) y=f(x)=? (2) 函數 y=f(x)圖形與兩軸圍成的三角形面積為多少? 1200 600 4 10 y(元) x(小時) O x y y=f(x) (1 , 4) y=g(x)

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9. 若一次函數 y=f(x)=ax+b 的圖形如右圖,則下列何者正確?

(A) a>0,b>0 (B) a>0,b<0 (C) a<0,b<0 (D) a<0,b>0。

10. 右圖為高鐵公司公有停車場的收費圖,以分為計算單位,安可 今早從 7:50 到 9:20 將車停在該停車場,則他出停車場時應 繳多少錢? (A) 100 元 (B) 120 元 (C) 140 元 (D) 160 元。

11. 兩函數 f(x)=-6x+(n-10)與 g(x)=-15+3x 的圖形交點在 y 軸上,則 n=?

12. 已知 y=f(x)=ax+b,且 f(1)=1,f(-1)=3,若 y=f(x)的圖形分別與 x 軸、y 軸交於 A、B 兩點,則 三角形 ABO 的面積為何? 13. (1)已知線型函數 y=f(x)=4x-k 的圖形通過點(-1 , 2),則 k= 。 (2)已知線型函數 y=f(x)=7x-kx+k-5 的圖形通過原點,則 k= 。 (3)已知線型函數 y=f(x)=ax+6-9x+a 的圖形只通過 2 個象限,則 a= 。 14. 數學老師因為班上同學的平時成績過低,所以想利用線型函數來提高全班同學的分數,原本最高分 80 分,將提高變成 100 分,原本最低分 50 分,將提高變成 64 分。假設此線型函數為 y=ax+b,x 為原本的分數,y 為調整後的分數,若小益提高後的分數為 76 分,則小益原本考幾分? y x O f (x) 60 20 30 50 60 停車時間(分) 80 40 20 停車費 ( 元 )

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加強練習

1. 設 f(x)為常數函數,且 f(2)+f(0)=2,則 f(2006)=?

2. 一次函數 y=f(x)=ax+b,若 f(2)=0,f(5)<0,則下列何者正確? (A) f(-1)<0 (B) f(0)>0 (C) f(8)>0 (D) f(10)>0。

3. 設 f(x)=6,且 a<b<c<0,則下列哪一個選項的函數值最大?

(A) f(a+b+c) (B) f(a)+f(b+c) (C) f(a+b)+f(c) (D) f(a)+f(b)+f(c)。 4. 函數 g(x)=-2x+3 與函數 f(x)=-1 兩圖形的交點坐標為 。 5. 若函數 f(x)=ax-1 與 g(x)=-2x+4 的圖形交點在 x 軸上,則 a= 。 6. 若一次函數 f(x)=-8x+3 和常數函數 g(x)=a 的圖形交於(6,-45),則 a=? 7. 若函數 f(x)=(k2-4)x2-2x+k+2 的圖形通過原點,則 f(-2)=? 8. 設函數 f(x)=ax+b,若 f(0)-f(-5)=5,則 a=? 9. 已知 f(x)為一次函數,且 f(3):f(5):f(7)=1:3:5,又 f(1)=2,則此函數圖形與 x 軸、y 軸所圍成的 三角形面積為何? 10. 若函數 f(x)=ax-2 的圖形通過第二、三、四象限,則 a 0。(填>、=或<) 11. 已知一次函數 f(x)=2x+a 和 f(x)=-3x-b 的圖形交點在 x 軸上,則 a:b= 。 12. 下列何者不是線型函數? (A) f(x)=-3 (B) f(x)=2+5x (C) f(x)= 3 x-18 (D) f(x)= 4x+1 3 。 13. 已知 f(x)為一常數函數,且 f(4)+f(-4)=8,則 f(0)=? 14. 已知攝氏溫度與華氏溫度的關係式如下:華氏溫度=攝氏溫度 × 95 +32。若攝氏溫度增加 10 度,則 華氏溫度增加 度。 15. 某航空公司規定,旅客行李重量若在 a 公斤以下(包含 a 公斤), 則完全免費,但若超過 a 公斤,則超重部分與行李托運費成 線型函數關係,其關係如右圖所示。則 a= 。 360 30 a 42 144 行李重量(公斤) 行李托運 費 ( 元 ) 0

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Ans:1. 1;2.(B);3.(D);4.(2,-1);5.1

2;6.-45;7. 4;8. 1;9. 4;10.<;11. 2:3;12.(C); 13. 4;14. 18;15. 22。

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參考文獻

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