TLCD之高樓抗風設計與應用

國 立 交 通 大 學

土木工程學系碩士班

碩 士 論 文

TLCD 之高樓抗風設計與應用

Design and Application of TLCD for

High-rise Buildings

研 究 生：曾建華

指導教授：王彥博 博士

TLCD 之高樓抗風設計與應用

Design and Application of TLCD for

High-rise Buildings

研 究 生：曾建華 Student：Chien-Hua Tseng

指導教授：王彥博 博士 Advisor： Dr. Yen-Po Wang

國立交通大學 土木工程學系碩士班

碩士論文

A Thesis

Submitted to Department of Civil Engineering

College of Engineering

National Chiao Tung University

In Partial Fulfillment of the Requirements

for the Degree of

Master of Science

in

Civil Engineering

July 2008

Hsinchu, Taiwan, Republic of China

變斷面TLCD抗風減震系統之試驗與分析

研究生：曾建華 指導教授：王彥博 博士

國立交通大學土木工程研究所

摘 要

本研究針對水平及旋轉運動之變斷面調諧水柱消能系統(Variable Tuned Liquid Column Damper, VTLCD)系統進行動力特性試驗，參考並修正 Wu＇s formula 建立水頭損失係數之經驗公式，以供日後 VTLCD 系統工程實務設計之

用。根據本文之理論推導結果，VTLCD 系統之水頭損失係數與斷面比﹙β﹚成

正比，此與斷面比β≧1 之 VTLCD 試驗結果相符；本研究提出之 modified Wu＇s formula 水頭損失係數經驗公式中考慮了斷面比的影響，可將 Wu＇s formula 分 別針對斷面比β=1,2 及 3 等三組經驗公式統合為一。當 VTLCD 之斷面比β<1 時，試驗結果所得之水頭損失係數並未呈現與斷面比﹙β﹚成正比之關係，應為 尺寸效應。小尺寸 VTLCD 之流體運動行為受邊界層流影響較大，以經驗公式預 估其落水頭損失係數會偏低。此外，本研究針對一座 31 層樓之細長結構進行 VTLCD 之抗風減振效能評估，證明其減振效能。針對本文分析案例之參數研究 結果顯示， VTLCD 對於結構位移及加速度反應之折減率，基本上隨阻塞率之增 加而增加，當阻塞率為 80%時達到最佳。 關鍵字：調諧水柱消能系統、斷面比、阻塞率、水頭損失

Design and Application of TLCD for

High-rise Buildings

Student：Chien-Hua Tseng Advisor：Dr. Yen-Po Wang

Institute of Civil Engineering

College of Engineering

National Chiao Tung University

Abstract

The horizontal and pitching motions of variable tuned liquid column damper (VTLCD) have been explored through a series of dynamic component tests in this study. An empirical formula of the headloss coefficient for practical engineering design of VTLCD has been proposed based on the Wu’s design formula. In accordance with the theoretical derivation results, the headloss coefficient of VTLCD is proportional to the cross-section area ratio (β ), which is consistent with the experimental results of β≧1. The modified Wu’s empirical formula proposed in this study takes the cross-section area ratio into account and integrates the three empirical formulas as a single one for the cross-section area ratios of β=1,2 and 3, respectively. In the case of β<1, the experimental headloss coefficient is not proportional to the cross-section area ratio (β ). This result may be due to the size effect of the scale-down VTLCD system. The liquid motion of the scale-down VTLCD is influenced by the boundary layer flow and the headloss coefficient predicted by the modified formula will be underestimated. Moreover, the feasibility of wind-induced vibration control of VTLCD system for a 31-story slender building structure has been confirmed through numerical simulations. The parametric study results indicate that

the control effectiveness of structural displacement and acceleration increases with the blocking ratio and the optimal control performance is achieved as the blocking ratio is 80%.

Keyword: Tuned Liquid Column Damper, TLCD, Cross-Section Area Ratio, Blocking Ratio, Headloss Coefficient

誌謝

感謝吾師 王彥博教授兩年來的悉心指導，使學生無論在研究上 或做學問的態度上均有深刻的體會，並提供充分且優良的研究設備與 環境。另外，吾師嚴謹的治學態度與努力不懈的研究熱忱，並以自身 做為榜樣，給予我深遠的影響，在此衷心致上最誠摯的謝意。 感謝交大防災中心 李建良博士兩年來給予學生的指導，使學生 在試驗及學習上均獲益良多。此外，學生也特別感謝文榮企業股份有 限公司的 胡俊雄老闆在試驗元件上的建議及精準的元件製作，使本 研究之試驗能順利完成。 論文口試承蒙淡江大學 吳重成教授、中興大學 林其璋教授、空 軍航空技術學院 黃銘智教授、交通大學 陳誠直教授、交通大學 趙 文成教授親臨指導，並提供諸多寶貴意見，使得論文之內容更為充實 與完備，特別在此表示感激之意。 在交大的研究生活中，感謝研究室諸學長李建良博士、嘉賞學 長、逸軒學長；畢業學長志軒、欣晏、俊成；同窗好友哲維、家杰、 羅開；學弟顥勳、力郕、勵元、羿廷等在學業及生活上之切磋討論與 實驗上之協助；以及諸多好友們在求學過程中的勉勵與關心，在此一 併致上最誠摯之謝意。 最後，謹以本文獻給辛苦養育我的雙親及最愛的女友 Apple，感 謝你們兩年來給予我精神上的鼓勵、支持與包容，讓我無後顧之憂的 完成研究所的求學生涯，謝謝你們。 謹誌於交大工程二館 2008 年 7 月

目錄

中文摘要...i 英文摘要...ii 誌謝...iv 目錄...v 表目錄...vii 圖目錄...ix 符號對照表...xvii 第一章 緒論...1 第二章 調諧水柱消能系統之理論解析...7 2.1 等斷面 TLCD 系統運動方程式 ...7 2.2 變斷面 VTLCD 系統運動方程式 ...9 2.3 VTLCD 系統旋轉向之運動方程式 ...12 2.4 解析模式...14 2.5 結構安裝 VTLCD 系統之運動方程式…...…………...…………...16 2.6 系統識別...19 第三章 變斷面調諧液柱消能系統之試驗與分析...23 3.1 變斷面 VTLCD 落水頭損失預估 ...23 3.2VTLCD 元件之模型安裝 ...24 3.3 試驗設備與感應器配置...24 3.4 試驗規劃...25 3.4.1 水平運動 VTLCD 系統之元件測試 ...26 3.4.2 旋轉運動 VTLCD 系統之元件測試 ...26

3.4.2 變斷面 VTLCD 之尺寸效應試驗...27 3.5 試驗結果...27 3.5.1 水平運動 VTLCD 試驗結果 ...27 3.5.2 旋轉運動 VTLCD 試驗結果 ...29 3.5.3 VTLCD 尺寸效應試驗結果 ...30 第四章 變斷面 VTLCD 之高樓抗風設計 ...33 4.1 前言...33 4.2 結構物安裝 VTLCD 系統之設計規劃 ...33 4.3 高層結構物安裝 VTLCD 系統之風力分析 ...34 4.4 風力分析結果...38 4.5 實尺寸 VTLCD 系統設計流程...39 4.6 變斷面 VTLCD 之厚度檢核...41 4.6.1 VTLCD 之變形量之設計要求 ...43 4.6.2 ANSYS 有限元素分析軟體知簡介 ...43 4.6.3 變斷面 VTLCD 模型之建立... 45 4.6.4 元素種類之選取及描述... 45 4.6.5 材料參數之定義... 46 4.6.6 網格建立... 46 4.6.7 邊界條件之設定及荷載之定義... 46 4.6.8 VTLCD 系統變形量分析... 47 4.7ANSYS 分析結果...47 第五章 結論與建議...51 參考文獻...53

表目錄

表 3.1 變斷面 VTLCD 元件之設計參數(小尺寸，β=0.31) ...58 表 3.2 變斷面 VTLCD 元件之設計參數(大尺寸，β=0.31) ...59 表 3.3 變斷面 VTLCD 元件之設計參數(小尺寸，β=0.6) ...60 表 3.4 變斷面 VTLCD 元件之設計參數(大尺寸，β=1.0) ...61 表 3.5 變斷面 VTLCD 元件之設計參數(大尺寸，β=2.0) ...62 表 3.6 變斷面 VTLCD 元件之設計參數(大尺寸，β=3.0) ...63 表 3.7 各元件之擾動頻率輸入值...64 表 3.8(a) 水平運動 VTLCD 水頭損失係數系統識別結果(小尺寸 β=0.31)...64 表 3.8(b) 水平運動 VTLCD 水頭損失係數系統識別結果(大尺寸 β=0.31)...64 表 3.8(c) 水平運動 VTLCD 水頭損失係數系統識別結果(小尺寸 β=0.6)...65 表 3.8(d) 水平運動 VTLCD 水頭損失係數系統識別結果(大尺寸 β=1.0)...65 表 3.8(e) 水平運動 VTLCD 水頭損失係數系統識別結果(大尺寸 β=2.0)...65 表 3.8(f) 水平運動 VTLCD 水頭損失係數系統識別結果(大尺寸 β=3.0) ...66 表 3.9(a) 小尺寸 VTLCD 系統之雷諾數(β=0.31)...66 表 3.9(b) 大尺寸 VTLCD 系統之雷諾數(β=0.31)...66 表 3.9(c) 小尺寸 VTLCD 系統之雷諾數(β=0.6)...67 表 3.9(d) 大尺寸 VTLCD 系統之雷諾數(β=1.0)...67 表 3.9(e) 大尺寸 VTLCD 系統之雷諾數(β=2.0)...67 表 3.9(f) 大尺寸 VTLCD 系統之雷諾數(β=3.0)...68 表 3.10(a) VTLCD 旋轉向於系統識別所得之水頭損失係數(大尺寸 β=1.0)...68 表 3.10(b) VTLCD 旋轉向於系統識別所得之水頭損失係數(大尺寸 β=2.0)...68 表 3.10(c) VTLCD 旋轉向於系統識別所得之水頭損失係數(大尺寸 β=3.0)...69 表 3.11 尺寸效應試驗結果之差異百分比...69

表 4.1 變斷面 VTLCD 元件之設計參數(實尺寸斷面比β=0.31) ...70 表 4.2 御盟建設 20 代建案結構系統參數...70 表 4.3 變斷面 VTLCD 於不同孔口板之減振效益 ...70 表 4.4 變斷面 VTLCD 厚度設計參數 ...70 表 4.5 水之物理性質(SI 制) ...72 表 4.6 VTLCD 垂直段壁面(厚度 1 cm)變形量及應力分析結果...72 表 4.7 孔口板(厚度 1 cm)變形量及應力分析結果 ...73 表 4.8 變斷面 VTLCD 整體(厚度 1 cm)變形量及應力分析結果...73

圖目錄

圖 1.1 台北國際金融大樓與單擺式 TMD 系統...74 圖 1.2 TLCD 系統於加拿大 Wall center 之減振應用...74 圖 1.3 TLCD 系統於東京 Cosima 旅館之減振應用...75 圖 1.4 TLCD 系統於東京千禧塔之減振應用 ...75 圖 1.5 TLCD 系統於高塔之減振應用 ...76 圖 1.6 U 形 TLCD 系統於橋塔之減振應用 ...76 圖 2.1 等斷面 TLCD 理論推導示意圖 ...77 圖 2.2 變斷面 VTLCD 理論推導示意圖 ...77 圖 2.3 旋轉向 VTLCD 理論推導示意圖 ...78 圖 2.4 單自由度結構裝置變斷面 VTLCD 理論推導示意圖 ...78 圖 3.1 VTLCD 元件設計詳圖(小尺寸，β= 0.31) ...79 圖 3.2 VTLCD 元件設計詳圖(小尺寸，β= 0.6) ...79 圖 3.3 VTLCD 元件設計詳圖(大尺寸，β= 0.31) ...80 圖 3.4 孔口板設計詳圖...80 圖 3.5 VTLCD 旋轉運動試驗配置圖 ...81 圖 3.6 振動台之設計尺寸詳圖...82 圖 3.7 MTS 407 控制器 ...83 圖 3.8 雷射位移計...83 圖 3.9 波高計(WHA-600 和 WHA-800) ...84 圖 3.10(a) 小尺寸水平運動 VTLCD 之水柱激盪位移歷時(頻率比=0.6，β=0.31)...85 圖 3.10(b) 小尺寸水平運動 VTLCD 之水柱激盪位移歷時(頻率比=0.9，β=0.31) ...86 圖 3.10(c) 小尺寸水平運動 VTLCD 之水柱激盪位移歷時(頻率比=1.0，β=0.31) ...87 圖 3.10(d) 小尺寸水平運動 VTLCD 之水柱激盪位移歷時(頻率比=1.1，β=0.31) ...88

圖 3.10(e) 小尺寸水平運動 VTLCD 之水柱激盪位移歷時(頻率比=1.4，β=0.31) ...89 圖 3.11(a) 大尺寸水平運動 VTLCD 之水柱激盪位移歷時(頻率比=0.6，β=0.31) ...90 圖 3.11(b) 大尺寸水平運動 VTLCD 之水柱激盪位移歷時(頻率比=0.9，β=0.31) ...91 圖 3.11(c) 大尺寸水平運動 VTLCD 之水柱激盪位移歷時(頻率比=1.0，β=0.31) ...92 圖 3.11(d) 大尺寸水平運動 VTLCD 之水柱激盪位移歷時(頻率比=1.1，β=0.31) ...93 圖 3.11(e) 大尺寸水平運動 VTLCD 之水柱激盪位移歷時(頻率比=1.4，β=0.31) ...94 圖 3.12(a) 小尺寸水平運動 VTLCD 之水柱激盪位移歷時(頻率比=0.6，β=0.6) ....95 圖 3.12(b) 小尺寸水平運動 VTLCD 之水柱激盪位移歷時(頻率比=0.9，β=0.6) ....96 圖 3.12(c) 小尺寸水平運動 VTLCD 之水柱激盪位移歷時(頻率比=1.0，β=0.6) ....97 圖 3.12(d) 小尺寸水平運動 VTLCD 之水柱激盪位移歷時(頻率比=1.1，β=0.6) ....98 圖 3.12(e) 小尺寸水平運動 VTLCD 之水柱激盪位移歷時(頻率比=1.4，β=0.6) ....99 圖 3.13(a) 大尺寸水平運動 VTLCD 之水柱激盪位移歷時(頻率比=0.6，β=1.0) ...100 圖 3.13(b) 大尺寸水平運動 VTLCD 之水柱激盪位移歷時(頻率比=0.9，β=1.0) ...101 圖 3.13(c) 大尺寸水平運動 VTLCD 之水柱激盪位移歷時(頻率比=1.0，β=1.0) ...102 圖 3.13(d) 大尺寸水平運動 VTLCD 之水柱激盪位移歷時(頻率比=1.1，β=1.0) ...103 圖 3.13(e) 大尺寸水平運動 VTLCD 之水柱激盪位移歷時(頻率比=1.4，β=1.0) ...104 圖 3.14(a) 大尺寸水平運動 VTLCD 之水柱激盪位移歷時(頻率比=0.6，β=2.0) ...105 圖 3.14(b) 大尺寸水平運動 VTLCD 之水柱激盪位移歷時(頻率比=0.9，β=2.0) ...106 圖 3.14(c) 大尺寸水平運動 VTLCD 之水柱激盪位移歷時(頻率比=1.0，β=2.0) ...107 圖 3.14(d) 大尺寸水平運動 VTLCD 之水柱激盪位移歷時(頻率比=1.1，β=2.0) ...108 圖 3.14(e) 大尺寸水平運動 VTLCD 之水柱激盪位移歷時(頻率比=1.4，β=2.0) ...109 圖 3.15(a) 大尺寸水平運動 VTLCD 之水柱激盪位移歷時(頻率比=0.6，β=3.0) ...110 圖 3.15(b) 大尺寸水平運動 VTLCD 之水柱激盪位移歷時(頻率比=0.9，β=3.0) ...111 圖 3.15(c) 大尺寸水平運動 VTLCD 之水柱激盪位移歷時(頻率比=1.0，β=3.0) ...112 圖 3.15(d) 大尺寸水平運動 VTLCD 之水柱激盪位移歷時(頻率比=1.1，β=3.0) ...113 圖 3.15(e) 大尺寸水平運動 VTLCD 之水柱激盪位移歷時(頻率比=1.4，β=3.0) ...114

圖 3.16(a) 頻率比與水柱激盪位移峰值之關係(小尺寸，β=0.31) ...115 圖 3.16(b) 頻率比與水柱激盪位移峰值之關係(大尺寸，β=0.31) ...115 圖 3.16(c) 頻率比與水柱激盪位移峰值之關係(小尺寸，β=0.6) ...116 圖 3.16(d) 頻率比與水柱激盪位移峰值之關係(大尺寸，β=1.0) ...116 圖 3.16(e) 頻率比與水柱激盪位移峰值之關係(大尺寸，β=2.0) ...117 圖 3.16(f) 頻率比與水柱激盪位移峰值之關係(大尺寸，β=3.0) ...117 圖 3.17(a) 阻塞率

ψ

與水頭損失係數之關係(小尺寸，β=0.31) ...118 圖 3.17(b) 阻塞率

ψ

與水頭損失係數之關係(大尺寸，β=0.31) ...118 圖 3.17(c) 阻塞率

ψ

與水頭損失係數之關係(小尺寸，β=0.6) ...119 圖 3.17(d) 阻塞率

ψ

與水頭損失係數之關係(大尺寸，β=1.0) ...119 圖 3.17(e) 阻塞率

ψ

與水頭損失係數之關係(大尺寸，β=2.0) ...120 圖 3.17(f) 阻塞率

ψ

與水頭損失係數之關係(大尺寸，β=3.0) ...120 圖 3.18 不同斷面比之阻塞率與水頭損失係數之關係(λ=1.0) ...121 圖 3.19 不同阻塞率之斷面比與水頭損失係數之關係(λ=1.0) ...121 圖 3.20(a) 斷面比(β)與水頭損失係數(δ)之關係(

ψ

=20%) ...122 圖 3.20(b) 斷面比(β)與水頭損失係數(δ)之關係(

ψ

=40%) ...122 圖 3.20(c) 斷面比(β)與水頭損失係數(δ)之關係(

ψ

=60%) ...123 圖 3.20(d) 斷面比(β)與水頭損失係數(δ)之關係(

ψ

=80%) ...123 圖 3.21(a) 小尺寸水平運動 VTLCD 之遲滯迴圈(頻率比=0.6，β=0.31) ...124 圖 3.21(b) 小尺寸水平運動 VTLCD 之遲滯迴圈(頻率比=0.9，β=0.31) ...125 圖 3.21(c) 小尺寸水平運動 VTLCD 之遲滯迴圈(頻率比=1.0，β=0.31) ...126 圖 3.21(d) 小尺寸水平運動 VTLCD 之遲滯迴圈(頻率比=1.1，β=0.31) ...127 圖 3.21(e) 小尺寸水平運動 VTLCD 之遲滯迴圈(頻率比=1.4，β=0.31) ...128 圖 3.22(a) 大尺寸水平運動 VTLCD 之遲滯迴圈(頻率比=0.6，β=0.31) ...129 圖 3.22(b) 大尺寸水平運動 VTLCD 之遲滯迴圈(頻率比=0.9，β=0.31) ...130 圖 3.22(c) 大尺寸水平運動 VTLCD 之遲滯迴圈(頻率比=1.0，β=0.31) ...131

圖 3.22(d) 大尺寸水平運動 VTLCD 之遲滯迴圈(頻率比=1.1，β=0.31) ...132 圖 3.22(e) 大尺寸水平運動 VTLCD 之遲滯迴圈(頻率比=1.4，β=0.31) ...133 圖 3.23(a) 小尺寸水平運動 VTLCD 之遲滯迴圈(頻率比=0.6，β=0.6) ...134 圖 3.23(b) 小尺寸水平運動 VTLCD 之遲滯迴圈(頻率比=0.9，β=0.6) ...135 圖 3.23(c) 小尺寸水平運動 VTLCD 之遲滯迴圈(頻率比=1.0，β=0.6) ...136 圖 3.23(d) 小尺寸水平運動 VTLCD 之遲滯迴圈(頻率比=1.1，β=0.6) ...137 圖 3.23(e) 小尺寸水平運動 VTLCD 之遲滯迴圈(頻率比=1.4，β=0.6) ...138 圖 3.24(a) 大尺寸水平運動 VTLCD 之遲滯迴圈(頻率比=0.6，β=1.0) ...139 圖 3.24(b) 大尺寸水平運動 VTLCD 之遲滯迴圈(頻率比=0.9，β=1.0) ...140 圖 3.24(c) 大尺寸水平運動 VTLCD 之遲滯迴圈(頻率比=1.0，β=1.0) ...141 圖 3.24(d) 大尺寸水平運動 VTLCD 之遲滯迴圈(頻率比=1.1，β=1.0) ...142 圖 3.24(e) 大尺寸水平運動 VTLCD 之遲滯迴圈(頻率比=1.4，β=1.0) ...143 圖 3.25(a) 大尺寸水平運動 VTLCD 之遲滯迴圈(頻率比=0.6，β=2.0) ...144 圖 3.25(b) 大尺寸水平運動 VTLCD 之遲滯迴圈(頻率比=0.9，β=2.0) ...145 圖 3.25(c) 大尺寸水平運動 VTLCD 之遲滯迴圈(頻率比=1.0，β=2.0) ...146 圖 3.25(d) 大尺寸水平運動 VTLCD 之遲滯迴圈(頻率比=1.1，β=2.0) ...147 圖 3.25(e) 大尺寸水平運動 VTLCD 之遲滯迴圈(頻率比=1.4，β=2.0) ...148 圖 3.26(a) 大尺寸水平運動 VTLCD 之遲滯迴圈(頻率比=0.6，β=3.0) ...149 圖 3.26(b) 大尺寸水平運動 VTLCD 之遲滯迴圈(頻率比=0.9，β=3.0) ...150 圖 3.26(c) 大尺寸水平運動 VTLCD 之遲滯迴圈(頻率比=1.0，β=3.0) ...151 圖 3.26(d) 大尺寸水平運動 VTLCD 之遲滯迴圈(頻率比=1.1，β=3.0) ...152 圖 3.26(e) 大尺寸水平運動 VTLCD 之遲滯迴圈(頻率比=1.4，β=3.0) ...153 圖 3.27(a) 大尺寸旋轉運動 VTLCD 之水柱激盪位移歷時(頻率比=0.6，β=1.0) ....154 圖 3.27(b) 大尺寸旋轉運動 VTLCD 之水柱激盪位移歷時(頻率比=0.9，β=1.0) ....155 圖 3.27(c) 大尺寸旋轉運動 VTLCD 之水柱激盪位移歷時(頻率比=1.0，β=1.0) ....156 圖 3.27(d) 大尺寸旋轉運動 VTLCD 之水柱激盪位移歷時(頻率比=1.1，β=1.0) ....157

圖 3.27(e) 大尺寸旋轉運動 VTLCD 之水柱激盪位移歷時(頻率比=1.4，β=1.0) ....158 圖 3.28(a) 大尺寸旋轉運動 VTLCD 之水柱激盪位移歷時(頻率比=0.6，β=2.0) ....159 圖 3.28(b) 大尺寸旋轉運動 VTLCD 之水柱激盪位移歷時(頻率比=0.9，β=2.0) ....160 圖 3.28(c) 大尺寸旋轉運動 VTLCD 之水柱激盪位移歷時(頻率比=1.0，β=2.0) ....161 圖 3.28(d) 大尺寸旋轉運動 VTLCD 之水柱激盪位移歷時(頻率比=1.1，β=2.0) ....162 圖 3.28(e) 大尺寸旋轉運動 VTLCD 之水柱激盪位移歷時(頻率比=1.4，β=2.0) ....163 圖 3.29(a) 大尺寸旋轉運動 VTLCD 之水柱激盪位移歷時(頻率比=0.6，β=3.0) ....164 圖 3.29(b) 大尺寸旋轉運動 VTLCD 之水柱激盪位移歷時(頻率比=0.9，β=3.0) ....165 圖 3.29(c) 大尺寸旋轉運動 VTLCD 之水柱激盪位移歷時(頻率比=1.0，β=3.0) ....166 圖 3.29(d) 大尺寸旋轉運動 VTLCD 之水柱激盪位移歷時(頻率比=1.1，β=3.0) ....167 圖 3.29(e) 大尺寸旋轉運動 VTLCD 之水柱激盪位移歷時(頻率比=1.4，β=3.0) ....168 圖 3.30 VTLCD 旋轉運動試驗水頭損失係數與預估值之比較(β=1) ...169 圖 3.31 VTLCD 旋轉運動試驗水頭損失係數與預估值之比較(β=2) ...169 圖 3.32 VTLCD 旋轉運動試驗水頭損失係數與預估值之比較(β=3) ...170 圖 3.33(a) 大尺寸旋轉運動 VTLCD 之遲滯迴圈(頻率比=0.6，β=1.0) ...171 圖 3.33(b) 大尺寸旋轉運動 VTLCD 之遲滯迴圈(頻率比=0.9，β=1.0) ...172 圖 3.33(c) 大尺寸旋轉運動 VTLCD 之遲滯迴圈(頻率比=1.0，β=1.0) ...173 圖 3.33(d) 大尺寸旋轉運動 VTLCD 之遲滯迴圈(頻率比=1.1，β=1.0) ...174 圖 3.33(e) 大尺寸旋轉運動 VTLCD 之遲滯迴圈(頻率比=1.4，β=1.0) ...175 圖 3.34(a) 大尺寸旋轉運動 VTLCD 之遲滯迴圈(頻率比=0.6，β=2.0) ...176 圖 3.34(b) 大尺寸旋轉運動 VTLCD 之遲滯迴圈(頻率比=0.9，β=2.0) ...177 圖 3.34(c) 大尺寸旋轉運動 VTLCD 之遲滯迴圈(頻率比=1.0，β=2.0) ...178 圖 3.34(d) 大尺寸旋轉運動 VTLCD 之遲滯迴圈(頻率比=1.1，β=2.0) ...179 圖 3.34(e) 大尺寸旋轉運動 VTLCD 之遲滯迴圈(頻率比=1.4，β=2.0) ...180 圖 3.35(a) 大尺寸旋轉運動 VTLCD 之遲滯迴圈(頻率比=0.6，β=3.0) ...181 圖 3.35(b) 大尺寸旋轉運動 VTLCD 之遲滯迴圈(頻率比=0.9，β=3.0) ...182

圖 3.35(c) 大尺寸旋轉運動 VTLCD 之遲滯迴圈(頻率比=1.0，β=3.0) ...183 圖 3.35(d) 大尺寸旋轉運動 VTLCD 之遲滯迴圈(頻率比=1.1，β=3.0) ...184 圖 3.35(e) 大尺寸旋轉運動 VTLCD 之遲滯迴圈(頻率比=1.4，β=3.0) ...185 圖 3.36(a) 斷面比與水頭損失係數之尺寸效應關係圖(頻率比=0.6) ...186 圖 3.36(b) 斷面比與水頭損失係數之尺寸效應關係圖(頻率比=0.9) ...186 圖 3.36(c) 斷面比與水頭損失係數之尺寸效應關係圖(頻率比=1.0) ...187 圖 3.36(d) 斷面比與水頭損失係數之尺寸效應關係圖(頻率比=1.1) ...187 圖 3.36(e) 斷面比與水頭損失係數之尺寸效應關係圖(頻率比=1.4) ...188 圖 4.1 御盟建設 20 代建案頂樓結構平面圖...189 圖 4.2 御盟建設 20 代建案結構立面圖...190 圖 4.3 御盟建設 20 代建案結構物模型示意圖...191 圖 4.4 御盟建設 20 代建案結構物模型頂樓平面圖...191 圖 4.5 實尺寸 VTLCD 系統尺寸設計祥圖(β=0.31) ...192 圖 4.6 順風向與橫風向之風力示意圖...192 圖 4.7 順風向風力歷時圖...193 圖 4.8 順風向風力頻譜圖...193 圖 4.9 結構物頂樓加速度均方根折減值...194 圖 4.10 結構物頂樓位移均方根折減值...194 圖 4.11 VTLCD 阻塞率 80%之加速度折減 ...195 圖 4.12 變斷面 VTLCD 尺寸標示示意圖 ...195 圖 4.13 穩態流流線管之能量示意圖...196 圖 4.14 VTLCD 系統管壁內液體壓力分佈圖 ...196 圖 4.15 剛性儲存槽理論推導示意圖...197 圖 4.16 VTLCD 管壁內流體慣性力分佈圖 ...197 圖 4.17 ANSYS 幾何模型水位交界面示意 ...198 圖 4.18 實尺寸變斷面 VTLCD 之幾何模型 ...198

圖 4.19 實尺寸變斷面 VTLCD 孔口板(阻塞率 80%)之幾何模型 ...199 圖 4.20 SOLID45 元素示意圖...199 圖 4.21 ANSYS 分析模型材料性質輸入(輸入內容：彈性模數及包松比)...200 圖 4.22 ANSYS 分析模型材料性質輸入(輸入內容：材料密度)...200 圖 4.23 變斷面 VTLCD 模型邊界固接設定 ...201 圖 4.24(a) ANSYS 表面壓力設定值(斜率、作用方向及最終質設定) ...201 圖 4.24(b) ANSYS 表面壓力設定值(初始質設定) ...202 圖 4.25 變斷面 VTLCD 局部分析-垂直段管壁邊界條件設定...202 圖 4.26 ANSYS 表面壓力示意圖 ...203 圖 4.27 ANSYS 流體作用力之模擬 ...203 圖 4.28 孔口板邊界條件設定...204 圖 4.29 孔口板邊荷載之施加...204 圖 4.30 變斷面 VTLCD 網格劃分示意圖 ...205 圖 4.31 變斷面 VTLCD 荷載施加示意圖 ...205 圖 4.32 變斷面 VTLCD 局部分析變形量示意圖 ...206 圖 4.33(a) 變斷面 VTLCD 局部分析 X 軸應力分佈圖...206 圖 4.33(b) 變斷面 VTLCD 局部分析 Y 軸應力分佈圖...207 圖 4.33(c) 變斷面 VTLCD 局部分析 Z 軸應力分佈圖 ...207 圖 4.33(d) 變斷面 VTLCD 局部分析 XY 平面剪應力分佈圖...208 圖 4.33(e) 變斷面 VTLCD 局部分析 XZ 平面剪應力分佈圖 ...208 圖 4.33(f) 變斷面 VTLCD 局部分析 YZ 平面剪應力分佈圖...209 圖 4.33(g) 變斷面 VTLCD 局部分析 Von Mises 應力分佈圖...209 圖 4.34 孔口板變形量示意圖...210 圖 4.35(a) 孔口板 X 軸應力分佈圖 ...210 圖 4.35(b) 孔口板 Y 軸應力分佈圖 ...211 圖 4.35(c) 孔口板 Z 軸應力分佈圖...211

圖 4.35(d) 孔口板 XY 平面剪應力分佈圖 ...212 圖 4.35(e) 孔口板 XZ 平面剪應力分佈圖...212 圖 4.35(f) 孔口板 YZ 平面剪應力分佈圖 ...213 圖 4.35(g) 孔口板 Von Mises 應力分佈圖...213 圖 4.36 變斷面 VTLCD 變形量示意圖 ...214 圖 4.37 變斷面 VTLCD 最大變形量位置 ...214 圖 4.38(a) 變斷面 VTLCD X 向應力分佈圖...215 圖 4.38(b) 變斷面 VTLCD Y 向應力分佈圖...215 圖 4.38(c) 變斷面 VTLCD Z 向應力分佈圖 ...216 圖 4.38(d) 變斷面 VTLCD XY 面剪應力分佈圖...216 圖 4.38(e) 變斷面 VTLCD XZ 面剪應力分佈圖 ...217 圖 4.38(f) 變斷面 VTLCD YZ 面剪應力分佈圖 ...217 圖 4.38(g) 變斷面 VTLCD Von Mises 應力分佈圖...218

符號對照表

A ：TLCD U 型管之截面積 h A ：VTLCD 水平段截面積 i A ：節點 i 受風截面積 v A ：VTLCD 垂直段截面積 * A ：系統矩陣 A ：離散時間系統矩陣 i a ：系統識別之輸出訊號係數 B ：系統之樓層側向力擾動向量 i b ：系統識別之輸入訊號係數 C ：系統之阻尼矩陣 s c ：結構之阻尼係數 D ：等斷面 TLCD 管徑 d ：水平段長度 E ：系統之擾動配置矩陣 * E ：地表擾動力分配矩陣 0 E ：前瞬時離散時間地表擾動力分配矩陣 1 E ：後瞬時離散時間地表擾動力分配矩陣 er ：定義誤差 f ：VTLCD 自然振動頻率

( )

H_z s f ：結構之振動頻率

( ) f t ：作用於結構之側向力 g ：重力加速度 H ：VTLCD 之總高度 h ：VTLCD 蓄水高度 v h ：TLCD 垂直段有效長度

J

_α ：結構之質量慣性矩 K ：系統之勁度矩陣

K

_α ：結構旋轉向勁度 0 k ：地表粗糙度 s k ：結構勁度 L ：VTLCD 系統總長度 e L ：TLCD 之有效長度 M ：系統之質量矩陣 s m ：結構質量 w m ：VTLCD 系統流體質量 a n ：系統識別輸出訊號之維度 b n ：系統識別輸入訊號之維度 Q ：非保守力 Re ：雷諾數 1

S

：右邊垂直段液柱中心至橋面板旋轉中心之距離 2

S

：左邊垂直段液柱中心至橋面板旋轉中心之距離 T ：系統之總動能

U ：系統之總重力位能

( )

u ⋅ ：系統識別輸入訊號 g u ：基座之水平位移 g u ：基座之移動速度 g u ：基座之加速度 r V ：距地 10 公尺之平均風速 i V ：第 i 層樓之平均風速 w( )t ：擾動向量 x( )t ：系統之位移向量 f x ：VTLCD 垂直段液柱激盪振幅 f x ：VTLCD 垂直段液柱激盪速度 f x  ：VTLCD 垂直段液柱激盪加速度 h x ：VTLCD 水平段段液柱位移 h x ：VTLCD 水平段液柱速度 s x ：結構頂樓相對於地表之位移 0

y

：橋面板旋轉中心到 VTLCD 系統水平段中心之距離

( )

y ⋅ ：系統識別之輸出訊號 z( )t ：狀態向量

α

：VTLCD 系統之旋轉角 β ：VTLCD 之斷面比 θ ：系統識別之每一瞬時系統參數

ω ：VTLCD 系統之自然頻率

(

rad/ sec

)

δ ：落水頭損失係數 κ ：遺忘因子 μ ：流體之黏滯度 ρ ：流體密度 ε ：容許誤差 s ς ：結構之阻尼比 ψ ：孔口板之阻塞率

第一章

緒論

風災地震乃自古以來人類便無法抗拒的災害。台灣地處環太平洋地震 帶及西太平洋熱帶氣旋區，因此深受颱風及地震所困擾。 近年在建築技術不斷進步下，各國相繼興建許多超高層大樓做為城市 的新地標。高樓建築結構與一般結構之主要差別在於其質量輕、細長(高寬 比大)及自然頻率與阻尼較低等，故對風力擾動相對敏感。基於安全及舒適 性考量，風力設計通常是影響結構設計尺寸的重要因素。如何降低受風力 擾動下結構的變位及加速度以提升其舒適性，乃結構工程控制領域之重要 議題。 一般而言，要降低結構動力反應，不外乎增加結構的阻尼或改變結構 的基本振動頻率等方法，此即結構控制的主要目標。若依控制系統之運作 需要額外提供能量與否，可將其劃分為主動控制(Active Control) 與被動控 制(Passive Control)兩大類[1]，茲分述如下：

主動控制包括主動斜撐系統(Active Bracing System)、主動鋼鍵系統 (Active Tendon System)以及質塊制動器(Active Mass Damper, AMD)[2-9]。 其中質塊制動器係由被動式的調諧質塊阻尼器演化而來。這些控制系統的 目的在於改變結構之動力特性，特別是提高其阻尼。此外，尚有能量需求 較小之半主動控制系統[10]，如調閥式阻尼器(Variable Orifice Dampers)及 電流變異阻尼器(Electro-rheological Dampers)等。

被 動 控 制 系 統 不 需 提 供 能 量 即 可 運 作 ， 包 括 基 礎 隔 震(Base Isolation)[11-14]、各式消能器[15-16]，及調諧質塊阻尼器(Tuned Mass Damper, TMD)[16-18]或調諧水柱消能系統(Tuned Liquid Column Damper, TLCD)。基礎隔震裝置適用於低矮的結構，主要是利用基礎與地表間之柔 性或曲面滑動支承延長結構週期，以隔絕地震能量輸入上部結構，並提供

阻 尼 降 低 基 層 之 位 移 ， 如 鉛 心 橡 膠 支 承(LRB) 與 摩 擦 單 擺 支 承 (FPS)[19-27]。消能器藉由高阻尼材料或鋼材之降伏，在反覆受力變形所產 生 之 遲 滯 迴 圈 增 加 結 構 之 消 能 能 力 ， 如 黏 彈 性 阻 尼 器(Visco-elastic Damper)、加勁阻尼器(ADAS)及消能制震板[28]等。調諧質塊阻尼器則是 利用與主結構振頻相近之次結構系統在接近共振的情況下吸收大部分振 動能量以降低主結構的反應。 高樓建築對風極度敏感，尤其在超高層大樓的結構設計中，抗風設計 往往是最關鍵的技術所在。為能同時滿足結構安全及舒適性的設計條件， 常需採用結構控制技術加以克服。過去二十年中，調諧質塊阻尼系統是高 樓抗風設計最常用的結構控制系統[29-30]，如加拿大多倫多 553 m 高的 CN Tower，美國波士頓 60 層高之 John Hancock 大樓，澳洲雪梨 305 m 高 之Center-point Tower 及 508 m 高的台北 101 大樓(圖 1.1)等。惟近年來， TMD 有逐漸被調諧液態消能系統(Tuned Liquid Damper, TLD)取代的趨 勢，其中又以調諧水柱消能系統(Tuned Liquid Column Damper, TLCD)的應 用最具潛力。 目前北美及亞洲地區應用TLCD 的高樓抗風工程，主要均由加拿大及 日本各一家公司承攬，這些案例在 2000 年前後已陸續完成。舉例來說， 北美地區完成的工程案例包括：溫哥華 Wall Center 住宅大樓[31](48 層， 圖1.2)安裝 TLCD 進行結構抗風減震(總用水量約 600 頓)，該 TLCD 系統 除可降低風力振動反應，改善住戶的舒適性外，亦可兼作消防用水之功 能。此外，在美國應用TLCD 系統之案例包括紐約 Random House 及芝加 哥South Dearborn 等大樓。亞洲地區的案例包括，日本東京的 Cosima 旅館 (圖 1.3)－該高樓建築為 26 層之鋼骨建築，總高 106.2 m ，屬細長結構， 易為風力作用所影響，固於頂樓安裝一組 TLCD(重約 58 頓)作為抗風之 用，根據Shimizu and Teramura11的研究顯示，裝設TLCD 可降低該大樓之

大阪的 Hyatt 旅館以及 Ichida 大樓都安裝了 TLCD。此外，煙囪、高塔均 可安裝TLCD 系統進行抗風減震，如圖 1.5 所示。TLCD 系統可應用之領 域極為廣泛，未來TLCD 系統有機會成為高樓減振系統之主流。本研究除 建立TLCD 系統之非線性理論分析模式外，並對一系列變斷面 VTLCD 元 件模型進行元件測試，俾便充分掌握其設計。 TLCD 系統最早被應用於船舶與離岸結構(off-short structure)的搖晃控 制，主要藉由 U 型連通管內含之水柱總長度(有效長度)調整其自然頻率， 並藉由閘門、孔口板(orifice)或變化斷面製造落水頭損失(headloss)而產生消 能作用。TLCD 系統整個 U 連通管內之水柱均為有效質量，因此控制效能 較佳。有關TLCD 的研究課題在 90 年代蔚為風潮-Saoka 等人[32]首先推導 水柱消能系統之運動方程式，Saoka 等人[33] 隨後經由一系列的試驗加以 驗證，其結果顯示，TLCD 系統的阻尼為非線性阻尼，其大小與落水頭損 失及液體激盪速度的平方成正比。此外，試驗結果進一步指出，孔口阻尼 的非線性度並不顯著，因此對於窄頻寬(narrow-band)的反應可利用等效線 性(equivqlent linearization)[34,35]的方法進行分析。Sakai 等人更將 TLCD 系統應用於斜張橋塔之振動控制(圖 1.6)，以增加其穩定性，為土木結構應 用的首例。Xu 等人[36]亦評估以 U 型 TLCD 系統應用於細長結構受到零 均值平穩高斯(zero-mean stationary Gaussian process)風力作用的減振效 益，分析時將運動方程式中的非線性孔口阻尼項以一等效阻尼係數取代， 因此可求得輸入與輸出之頻域反應函數，並將分析結果與 TMD 控制的結 果進行比較。其結果顯示，結構以TLCD 進行控制的反應折減率可達到與 TMD 控制相當的效果。Hitchcock 等人[37]根據 U 型 TLCD 系統的運作原 理發展液態水柱振動消能器(Liquid Column Vibration Damper, LCVD)，可 藉由調整水平段斷面積與垂直段斷面積的比例(變斷面系統)得到較佳之減 振效果。該文探討面積比(垂直段斷面積/水平段斷面積)，垂直段水柱高度、 水平段長度及初始擾動振幅等參數對於 LCVD 之振動頻率及阻尼比的影

響。Balendra[38]探討 TLCD 應用於高塔結構抗風的研究，其結果顯示，當 TLCD 系統與結構之振動頻率一致時，TLCD 具有良好的控制效果，且孔 口板開孔比在1.0 與 0.5 時，TLCD 系統之減振效益最佳。Gao[39]及 Chang、 Hsu[40]則進行 TLCD 系統之最佳化參數設計分析，並評估其控制效益。由 Gao 的研究結果顯示，當結構受簡諧擾動時，TLCD 系統對於結構的峰值 反應具有良好的折減效果。Xue 等人[41]利用 TLCD 系統針對橋面板受到 風 力 作 用 所 產 生 得 扭 轉 運 動(pitching motion) 進 行 控 制 ； Won[42] 及 Sadek[43]則探討以 TLCD 應用於結構防震的性能表現，由於結構受到外力 擾動的作用可能產生兩正交側向振動及扭轉反應，因此Sadek 考慮以兩組 TLCD 分別置於兩正交軸向進行控制之情況。此外，Shum 等人[44]則提出 多重調諧水柱消能器(Multiple)之設計，俾便同時控制結構數個振態的反 應，如此不僅可降低每個TLCD 的尺寸，使建造及安裝更為容易，並可於 有限的空間上進行較佳的設計配置，以提升控制效果。Yalla 等人[45]利用 半主動TLCD 系統進行結構振動控制，根據結構的振動反應以模糊(fuzzy) 控制法則調整閥門(Valve)的開孔大小，以達到較佳之減振效果。Chen 等人 [46]則提出主動式 TLCD 系統針對單自由度擺動結構模型進行振動控制之 理論分析與試驗驗證。該主動控制系統是由伺服馬達及螺旋槳(propeller) 所構成，馬達驅動螺旋槳擾動液體所造成之作用力即為主動控制力。此 外，Chang 及 Qu 等人[47]分別討論 TMD、TLCD、LCVA、C-TLD(圓柱) 及 R-TLD(矩行)等系統應用於高樓結構抗風減振之效益評估。沈瑛璋[48] 建立一套結構受風力作用時之 TLCD 最佳參數設計表格，工程師進行 TLCD 之設計時可據以得到 TLCD 之水頭損失係數與頻率比等參數之最佳 設計值。陳連杰[49]利用變斷面 VTLCD 系統針對單層鋁構架進行參數研 究 及 振 動 台 試 驗 ， 其 結 果 顯 示 ， 當 水 平 段 長 度 與 有 效 長 度 比 值 為 0.55 ~ 0.75 β = 時，減振效果較佳。張恩杰[50]則提出氣密式調諧水柱消能

率，增加TLCD 應用範圍，並利用數值模擬研究 101 大樓安裝 TLCD 於水 平向及扭轉向之減振效益。Wu 等人[51]探討 TLCD 應用於結構受風力作用 下之水平向控制及最佳化參數演算，其試驗結果顯示，等斷面TLCD 於結 構水平向控制效果最好，並根據試驗結果提出TLCD 落水頭損失係數之經 驗公式。該經驗公式對於等斷面TLCD 在共振擾動條件下之水頭損失係數 能準確預估，有助於TLCD 之工程實務設計。吳重成、廖佩亘等人[52-54] 研究TLCD 與結構旋轉向(pitch mode)之互制行為，推導 TLCD 與結構互制 行為之運動方程式，並提出一項其他文獻未曾提及之修正項。其試驗結果 顯示，在考慮修正項之情況下，理論分析更接近試驗結果。此外，水頭損 失係數除隨著阻塞率之增加而增大外，亦隨著面積比(垂直段斷面積/水平 段斷面積)之增加而增大，其中廖[53]經由 VTLCD 系統旋轉向之試驗結果 提出斷面比β=1、2、3 之水頭損失經驗公式，此三組預估公式均能準確預 估其所對應之水頭損失係數。 本研究主旨在探討變斷面 TLCD 系統之水頭損失係數之經驗公式， Wu[51]所提出之水頭損失係數經驗公式能準確預估等斷面 TLCD 系統於共 振擾動下，對應於各阻塞率之水頭損失係數，但在變斷面的條件下，經驗 公式應予修正[52-53]。本研究經由變斷面 TLCD 系統之理論推導發現， VTLCD 系統之阻尼力應與斷面比 β 成正比，可據此修正 Wu 的水頭損失係 數經驗公式。VTLCD 之元件測試結果顯示，當斷面比大於 1 時，修正後 之經驗公式能準確預估水頭損失係數，惟當斷面比小於1 時，該修正公式 對於水頭損失係數之預估並不準確。為釐清此是否為尺寸效應所致，本研 究遂再以等比例大尺寸之試體進行試驗。其結果顯示，當 VTLCD 系統尺 寸變大時，水頭損失係數有降低之趨勢，此現象與流體力學之邊界層流 (Boundary Layer Flow)有關。VTLCD 之試驗結果將在本文第三章詳細討 論。

VTLCD 之運動方程式與建立非線性數值解析模型，並介紹水頭損失係數 之系統識別方法。第三章為變斷面調諧水柱消能系統之試驗與分析，包括 利用振動台進行 VTLVD 系統之元件測試，探討 VTLCD 系統之斷面比與 水頭損失係數之關係，並經由修正後之公式預測系統識別結果。此外本文 也將探討尺寸效應對落水頭損失係數影響之原因。第四章將介紹 VTLCD 系統安裝於高層結構物之風力分析，本章將以御盟建設二十代建案為例， 該結構物為一棟31 層之鋼骨構造物，高度為 145.6 m，高寬比為 8:1，屬 細長型結構，故對風力較為敏感，本研究將兩組 VTLCD 系統安裝於結構 頂樓，以變換阻塞率為條件，分析 VTLCD 系統抗風減振效益，並決定系 統設計参數；此外，本文建立一套 VTLCD 系統之尺寸設計流程，盼能供 日後VTLCD 系統實務設計之參考。第五章為結論與建議。

第二章

調諧水柱消能系統之理論解析

2.1 等斷面 TLCD 系統運動方程式

U 型等斷面調諧水柱消能系統(Tuned Liquid Column Damper, TLCD) 之示意圖如圖2.1 所示，建立其運動方程式之基本假設如下： (1) 當 TLCD 基座受到水平擾動( )u_g 作用時，液柱激盪為( )x_f ，由於任 何時刻液面不得低於 TLCD 水平段高度Bh，因此需滿足 |x_f |≤ −h_v B_h (2.1) 其中，hv：TLCD 垂直段有效長度。 h B ：TLCD 水平段之高度。 (2) 考慮流體(水)之不可壓縮性。 (3) 不產生任何波浪。

此外，綜合上述(a)(b)兩點， TLCD 系統之動能(Kinetic Energy)，T， 及重力位能(Potential Energy)，U，可分別計算如下： 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 v v v v f f f f h h h h f f g g x x x x T ρAx dx ρAx dx ρAu dx ρAu dx − − =

∫

+

∫

+

∫

+

∫

2 0 1 ( ) 2 d f g A x u dx ρ +

∫

+ 2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 2ρAxf hv xf 2ρAxf hv xf 2ρAug hv xf = − + + + − 2 2 1 1 ( ) ( ) 2ρAug hv xf 2ρAd xf ug + + + + 2 2 1 _{( )}2 2 f v g v f g Ax h Au h Ad x u ρ ρ ρ = + + + (2.2) 0 0 0 1 2 v f v f h x h x d h U = − ρAgxdx+ + ρAgxdx+ ρAg⎛_⎜ B ⎞_⎟dx ⎝ ⎠

∫

∫

∫

2 2 1 1 1 ( ) ( ) 2ρAg hv xf 2ρAg hv xf 2ρAgdBh = − + + +

2 2 1 ( ) 2 v f h Ag h x AgdB ρ ρ = + + (2.3) 其中， ρ ：流體密度 g：重力加速度 g u ：基座水平位移 A：TLCD U 型管之截面積 f x ：TLCD 垂直段液柱激盪振幅 d：TLCD 水平段有效長度 將動能及重力位能代入拉格朗治方程式(Lagrange’s Equation)如下： f f f d T T U Q dt x x x ⎛ _∂ ⎞ _{∂ ∂} − + = ⎜ ⎟ ⎜_∂ ⎟ _{∂ ∂} ⎝ ⎠ 因總動能是速度之函數，而非位移之函數， 0 f T x ∂ ₌ ∂ ，故可整理如下式： (2 _v ) _{f g} f d T Ah Ad x Adu dt x ρ ρ ρ ⎛ _∂ ⎞ = + + ⎜ ⎟ ⎜_∂ ⎟ ⎝ ⎠ (2.4) 2 _f f U Agx x ρ ∂ ₌ ∂ (2.5) 此外，系統之非保守力乃由奧席恩(Oseen)延伸史托克(Stokes)定律 [55,56]所推導之方程式加以應用，其中流體因落水頭損失(headloss)所產生 之阻尼力，該阻尼力與流體之動壓力有關，可表示如下： 2 2 1 0 2 1 0 2 f f f f A x x Q A x x ρ δ ρ δ ⎧− > ⎪⎪ = ⎨ ⎪ _< ⎪⎩ (2.6) 或 1 2 f f Q= − ρ δA x x (2.7) 其中，δ 為水頭損失系數 根據式(2.4)、(2.5)與式(2.7)，可建立 TLCD 系統之運動方程式如下：

1 (2 ) 2 2 v f f f f g Ah Ad x A x x Agx Adu ρ +ρ + ρ δ + ρ = −ρ (2.8) 式(2.8)忽略阻尼項進行特徵分析，可求得等斷面 TLCD 之自然頻率

(

rad sec

)

ω

為： 2 2 2 v 2 v Ag g Ah Ad h d ρ ω ρ ρ = = + + (2.9) 令L_e =2h_v+d，則式(2.9)可表示為

(

)

2 sec e g rad L ω = (2.10)

2.2 變斷面 VTLCD 系統運動方程式

U 型三段式變斷面調諧水柱消能系統(Variable Tuned Liquid Column Damper ,以下簡稱 VTLCD)之示意圖如圖 2.2 所示，其水平段截面積( )A_h 與 垂直段截面積( )A_v 不同。若考慮流體(水)之不可壓縮性，則 v f h h A x =A x (2.11) v h f h A x x A = (2.12) 將(2.13)式等號兩邊同時對時間微分，可得 VTLCD 水平段流體之流速 v h f h A x x A = (2.13) 令 v h A A β = (2.14) 則x_h =βx_f (2.15) 其中， : v A VTLCD 垂直段之截面積

: h A VTLCD 水平段之截面積 : h x VTLCD 水平段液柱激盪振幅 : β 斷面比 變斷面VTLCD 系統之動能(Kinetic Energy)，T，及重力位能(Potential Energy)，U，計算如下： 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 v v v v f f f f h h h h v f v f v g h g x x x x T ρA x dx ρA x dx ρA u dx ρA u dx − − =

∫

+

∫

+

∫

+

∫

2 0 1 ( ) 2 d h h g A x u dx ρ +

∫

+ (2.16) 將(2.15)式代入(2.16)式可得 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 v v v v f f f f h h h h v f v f v g h g x x x x T ρA x dx ρA x dx ρA u dx ρA u dx − − =

_∫

+

_∫

+

_∫

+

_∫

2 0 1 ( ) 2 d h f g A x u dx ρ β +

_∫

+ 2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 2ρA xv f hv xf 2ρA xv f hv xf 2ρA uv g hv xf = − + + + − 2 2 1 1 ( ) ( ) 2ρA uv g hv xf 2ρA dv βxf ug + + + + 2 2 1 _{( )}2 2 v f v v g v h f g A x h A u h A d x u ρ ρ ρ β = + + + (2.17) 0 0 0 1 2 v f v f h x h x d v v h h U = − ρA gxdx+ + ρA gxdx+ ρA g⎛_⎜ B ⎞_⎟dx ⎝ ⎠

∫

∫

∫

2 2 1 1 1 ( ) ( ) 2ρA g hv v xf 2ρA g hv v xf 2ρA gdBh h = − + + + 2 2 1 ( ) 2 v v f h h A g h x A gdB ρ ρ = − + (2.18) 將總動能及總重力位能代入拉格朗治方程式(Lagrange’s Equation) (2 _{v v v} ) _{f v g} f d T A h A d x A du dt x ρ ρ β ρ ⎛ _∂ ⎞ = + + ⎜ ⎟ ⎜_∂ ⎟ ⎝ ⎠ (2.19) 2 v f f U A gx x ρ ∂ = ∂ (2.20) 系統之非保守力以垂直段液面激盪速度表示如下：

2 2 1 0 2 1 0 2 h h h h h h A x x Q A x x ρ δ ρ δ ⎧− > ⎪⎪ = ⎨ ⎪ _< ⎪⎩ (2.21) 將(2.15)式代入(2.21)式，則系統之非保守力可表示如下： 1 2 v f f Q= − ρ βδA x x (2.22) 根據(2.19)、(2.20)式與(2.22)式，建立 VTLCD 系統之運動方程式如下： 1 (2 ) 2 2 v v v f v f f v f v g A h A d x A x x A gx A du ρ +ρ β + ρ βδ + ρ = −ρ (2.23) (2.23)式忽略阻尼向進行特徵分析，吾人可求得 VTLCD 之自然振動頻 率

ω

(

rad sec

)

為： 2 2 2 2 v v v v v A g g A h A d h d ρ ω ρ ρ β β = = + + (2.24) 令L_e =2h_v+βd (2.25) 2 ( / sec) e g rad L ω = (2.26) 1 ( ) 2 2 e g f Hz L ω π π = = (2.27) VTLCD 之自然振動週期可表示為： 2L_e T g π = (2.28) 綜上所述，變斷面VTLCD 系統之運動方程式可模擬成單一自由度系 統，其振動週期為液體有效長度之函數，可由有效長度與管徑面積比(垂直 段之面積/水平段之面積)調整。此外，變斷面 VTLCD 系統因阻尼力與落水 頭損失係數及流體流速的平方有關，使得變斷面 VTLCD 系統為一非線性 系統。本文將發展一套數學解析模式來求變斷面VTLCD 系統之動態反應。

2.3 VTLCD 系統旋轉向之運動方程式

U 型變斷面 VTLCD 旋轉向(pitch motion)運動之示意圖如圖 2.3 所示， 其運動方程式之推導如下： 系統之動能 T，及重力位能 U 分別計算如下：

(

)

2

(

)

2 1 1 2 v f v f 2 2 v f v f 2 d d T = ρ h +x A _⎜⎛x + α⎞_⎟ + ρ h −x A _⎜⎛x + α⎞_⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )

( )

0 0 0 0 2 2 1 1 2 2 v f v f y h x y h x v _y v _y A h dh A h dh ρ + + α ρ + − α +

∫

+

∫

(

)

2 2

( )

2 ₂ 0 ₂ 1 1 1 2 2 2 d h f h d A d x y A l dl J_α ρ β α ρ α α − + − +

∫

+

(

)

2 2 2 2 3 2 0 0 0 1 3 3 3 2 3 v v f v v v v f v d A h x A y h y h h x y h ρ ⎛ α⎞ ρ α ⎡ ⎤ = _⎜ + _⎟ + _⎣ + + + + _⎦ ⎝ ⎠

(

)

2 ₂ 3 ₂ 0 1 1 1 2 h v f 3 h 2 2 d A h x y A J_α ρ β α ρ α ⎛ ⎞ α + − + _{⎜ ⎟} + ⎝ ⎠ (2.29)

(

)

1cos

(

1

)

(

)

2cos

(

2

)

v v f v v f U =ρA g h −x _⎣⎡S θ α+ _⎦⎤+ρA g h +x ⎡_⎣S θ α− ⎤_⎦ 2 0 1 cos 2 h A gdy K_α ρ α α + + (2.30) 其中， 0

y

：橋面板旋轉中心到VTLCD 系統水平段中心之距離

J

_α：結構之質量慣性矩

K

_α：結構旋轉向勁度 1

S

：右邊垂直段液柱中心至橋面板旋轉中心之距離 2

S

：左邊垂直段液柱中心至橋面板旋轉中心之距離

α

：VTLCD 系統之旋轉角 系統之位能項，可由下列關係式整理：

(

)

1cos 1 1cos cos1 1sin sin1 S θ α+ =S θ α−S θ α 0 cos sin 2 2 v h y d y − α α ⎛ ⎞ =_⎜ + _⎟ − ⎝ ⎠ (2.31)

(

)

2cos 2 2cos 2cos 2sin sin1 S θ α− =S θ α +S θ α 0 cos sin 2 2 v h y d y + α α ⎛ ⎞ =_⎜ + _⎟ + ⎝ ⎠ (2.32) 則(2.30)式經由關係式整理得：

(

2 2

)

0cos 2 0cos cos

h v v v v v f U =ρgA h y α + ρgA h y α ρ+ gA h +x α 2 1 sin 2 v v gA h K_α ρ α α + + (3.33) 將動能及重力位能代入拉格朗治方程式，整理如下式：

(

2

)

(

0

)

v v f v v f d T A h d x A d h y dt x ρ β ρ α ∂ _{= + + +} ∂ (3.34) 2 _{v f v v} f d U A gx gA h dt x ρ ρ α ∂ _{= +} ∂ (3.35) 液柱激盪之非保守力為落水頭損失係數所提供之阻尼力，表示如下： 1 2 v f f Q= − ρ βδA x x (3.36) 將(2.29)式、(2.33)式及(2.36)式代入拉格朗治方程式，可得旋轉向之液 柱激盪位移運動方程式如下所示：

(

2

)

1 2 2 v v v f v f f v f A h A d x A x x A gx ρ +ρ β + ρ βδ + ρ

(

0

)

v v v v A d h y gA h ρ α ρ α = − + − (3.37) 則VTLCD 旋轉向之自然頻率

ω

(

rad sec

)

為： 2 2 ( / sec) 2 v v v v e A g g rad A h A d L ρ ω ρ ρ β = = + (3.38) VTLCD 旋轉向之自然振動週期可表示為：

2L_e T g π = (3.39)

2.4 解析模式

由(2.23)式可知，變斷面 VTLCD 系統之阻尼項為非線性，本文將採用 狀態空間法(State Space Procedure, SSP)[57,58]，並利用迭代過程求得 VTLCD 之流速xf 及水位變化xf 。本文之解析方式說明如後： 首先將VTLCD 系統之運動方程式(2.23)表示成： M ( ) C ( ) K ( )x t + x t + x t = −E ( )w t (2.40) 其中， ( ) _f x t =x 為系統之位移向量(此處為單自由度系統，故為一常量函數); ( ) _g w t =u 為擾動力向量； M 2= ρA hv v+ρ βAv d為系統之質量矩陣； 1 C 2ρ βδAv xf = 為系統之阻尼矩陣； K 2= ρA gv 為系統之勁度矩陣； E=ρA dv 為系統之擾動力配置矩陣； (2.40)式可以狀態空間法表示為： * * ( ) ( ) ( ) z t = A z t +E w t (2.41) 其中， ( ) ( ) ( ) x t z t x t ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (2.42) 為2n×1之狀態向量(次處為單自由度系統，n=1)； * 1 1 0 I A M K− M C− ⎡ ⎤ = ⎢_{− −} ⎥ ⎣ ⎦ (2.43)

為2n×2n之系統矩陣； * 1 0 E M E− ⎡ ⎤ = ⎢₋ ⎥ ⎣ ⎦ (2.44) 為2n×1擾動力分配矩陣。 對式(2.41)取拉普拉氏轉換(Laplace transformation)可得： 0 ( ) H( ) ( ) H( )G( ) z s = s z t + s s (2.45) 其中， * 1 H( ) ( I A )s = s − − (2.46) * G( ) E ( )s = w s (2.47) 0 ( ) z t 表示初始條件。 動力系統式(2.41)之解可由式(2.46)與式(2.47)取拉普拉氏逆轉換至時 域如下： * * 0 ( ) ( ) * 0 ₀ ( ) A t t ( ) t A t [E ( )] z t =e − z t +

∫

e −τ wτ τd (2.48) 欲展開式(2.48)中之積分式時，w( )τ 在取樣週期內須為已知之連續函 數。由於風力或地震紀錄通常為離散訊號，因此假設擾動函數在兩連續點 之間呈線性變化，令t₀ =(k− Δ1) t，t= Δk t及z k[ ]=z k t( Δ )，則 ( 1) ( ) k t [( 1) ] k t [ ] w w k t w k t t t τ τ τ = Δ − − Δ + − − Δ Δ Δ Δ (2.49) 其中，(k− Δ ≤ ≤ Δ1) t τ k t。 狀態方程式(2.41)之解析解可透過式(2.48)及式(2.49)得一離散時間差 分方程式如下： 0 1 [ ] A [ 1] E [ 1] E [ ] z k = z k− + w k− + w k (2.50) 其中， * A A t e Δ = 為2n×2n之離散時間系統矩陣；

* 1 * 2 * 0 1 E (A ) A (A ) (I A) E t − − ⎡ ⎤ =_⎢ + − _⎥ Δ ⎣ ⎦ 為2n×1之前瞬時離散時間擾動力分配矩陣； * 1 * 2 * 1 1 E ( A ) (A ) (A I) E t − − ⎡ ⎤ = −_⎢ + − _⎥ Δ ⎣ ⎦ 為2n×1之後瞬時離散時間擾動力分配矩陣； VTLCD 動力反應之解析步驟說明如下： (1) 假設VTLCD 於第 k 瞬時之液體激盪速度為xf =xf k_, ； (2) 計算 1 _, 2 k v f k C = ρ βδA x ，代入式(2.43)可得系統矩陣A*，並計算 VTLCD 之速度反應xf =xf k_, +₁； (3) 定易誤差 , 1 , , 1 , 2( f k f k) f k f k x x er x x + + − = + ； (4) 令容許誤差為ε。若er≤ε，則x_{f k, +1}即為所求，可進行下一瞬時之 反應分析。 (5) 若er>ε ，則令x_f =x_{f k, +1}，重複步驟(1)～(4)直到er≤ε為止。

2.5 結構安裝 VTLCD 系統之運動方程式

單自由度結構安裝 VTLCD 系統進行結構控制之分析模型如圖 2.4 所 示。當結構物的基礎與樓層受到水平地表擾動u_g作用時，樓層將產生一相 對於地表之水平側向位移xs，VTLCD 系統則因結構振動而產生一液柱激 盪位移x_f ，此時必須滿足液面激盪不得低於變斷面 VTLCD 水平段管徑 h B ，且不得高於垂直段高度H之限制，如式(2.1)所示。VTLCD 控制結構 之動能，T，與重力位能，U ，可分別計算如下：

(

)

2 2 2 1 1 1 2 2 2 v v v f f f h h h v f v f v s g x x x T ρA x dx ρA x dx ρA x u dx − =

_∫

+

_∫

+

_∫

+

(

)

2

(

)

2 ₂ 0 1 1 1 ( ) 2 2 2 v f h d v s g h f s g s s g x ρA x u dx ρA βx x u dx m x u − +

_∫

+ +

_∫

+ + + +

(

)

2 2 _{( )}2 1 2 v v f v v s g h f s g A h x A h x u A d x x u ρ ρ ρ β = + + + + + 2 1 ( ) 2m xs s ug + + (2.51) 2 0 0 0 1 1 2 2 v f v f h x h x d v v h h s s U = − ρA gxdx+ + ρA gxdx+ ρA g⎛_⎜ B dx⎞_⎟ + k x ⎝ ⎠

∫

∫

∫

2 2 2 1 1 1 1 ( ) ( ) 2ρA g hv v xf 2ρA g hv v xf 2ρA gdBh h 2k xs s = − + + + + 2 2 1 1 2 ( ) 2 2 v v f h h s s A g h x A gdB k x ρ ρ = + + + (2.52) 將(2.51)式及(2.52)式代入拉格朗治方程式如下： 1 f f f d T T U Q dt x x x ⎛ _∂ ⎞ _{∂ ∂} − + = ⎜ ⎟ ⎜_∂ ⎟ _{∂ ∂} ⎝ ⎠ 2 s s s d T T U Q dt x x x ⎛∂ ⎞₋∂ ₊∂ ₌ ⎜_∂ ⎟ _{∂ ∂} ⎝ ⎠ 因動能僅為速度之函數，與位移函數無關，因此 0 f s T T x x ∂ ∂ = = ∂ ∂ 。經整 理後可得：

(

2 _{v v v}

)

_{f v s v g} f d T A h A d x A dx A du dt x ρ ρ β ρ ρ ⎛ _∂ ⎞ = + + + ⎜ ⎟ ⎜_∂ ⎟ ⎝ ⎠ (2.53)

(

2

)

v f v v h s s s d T A dx A h A d m x dt x ρ ρ ρ ⎛∂ ⎞_{= + + +} ⎜_∂ ⎟ ⎝ ⎠

(

2ρA h_{v v} ρA d_h m u_s

)

_g + + + (2.54) 2 _{v f} f U A gx x ρ ∂ ₌ ∂ (2.55) s s s U k x x ∂ ₌ ∂ (2.56) 此外，系統之非保守力包括：流體因落水頭損失所產生之阻尼力Q₁與作用

於結構之固有阻尼力Q₂，兩者可分別表示如下： 2 1 2 1 0 2 1 0 2 v f f v f f A x x Q A x x ρ βδ ρ βδ = ⎧− > ⎪⎪ ⎨ ⎪ _< ⎪⎩ 或整理如下： 1 1 2 v f f Q = − ρ βδA x x (2.57) 2 s s Q = −c x (2.58) 將(2.53)式、(2.55)式及(2.57)式代入拉格朗治方程式，可整理如下：

(

2

)

1 2 2 v v v f v s v f f v f A h A d x A dx A x x A gx ρ +ρ β +ρ + ρ βδ + ρ 2ρA duv g = − (2.59) 同理，(2.54)式、(2.56)式及(2.58)式亦可整理如下：

(

2

)

v f v v h s f s s s s A dx A h A d m x c x k x ρ + ρ +ρ + + +

(

2ρA hv v ρA dh m us

)

g = − + + (2.60) 若將(2.59)式及(2.60)式以矩陣的型式表示，則吾人可得 VTLCD 控制結構 之運動方程式如下：

(

)

(

)

1 2 0 2 2 0 v v v v f v f f v v v h s s s s A h A d A d x A x x A d A h A d m x x c ρ ρ β ρ ρ βδ ρ ρ ρ ⎡ ⎤ ⎡ + ⎤⎧ ⎫ _{⎢ ⎥}⎧ ⎫ + ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎢ _{+ +} ⎥ _{⎢ ⎥} ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎣ ⎦ _{⎢⎣ ⎥⎦}

(

)

2 2 0 2 0 v v f g v v h s s s A d A g x u A h A d m k x ρ ρ ρ ρ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫ +_{⎢ ⎥⎨ ⎬}= −_{⎢ ⎥} + + ⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎣ ⎦ (2.61) 其中， s x ：結構頂樓相對於地表之位移； s m ：結構質量； c ：結構阻尼；

s k ：結構勁度； 或將(2.61)式表示如下： M ( ) C ( ) K ( )x t + x t + x t = −E ( )w t (2.62) 其中，

(

)

(

)

2 M 2 v v v v v v v h s A h A d A d A d A h A d m ρ ρ β ρ ρ ρ ρ ⎡ + ⎤ = ⎢ _{+ +} ⎥ ⎣ ⎦ 為系統之質量矩陣； 1 0 C 2 0 v f s A x c ρ βδ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 為系統之阻尼矩陣； 2 0 K 0 v s A g k ρ ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦為系統之勁度矩陣；

(

2

)

E 2 v v v h s A d A h A d m ρ ρ ρ ⎡ ⎤ = ⎢ _{+ +} ⎥ ⎣ ⎦為系統之地表擾動向量；

2.6 系統識別

本節介紹 ARX 系統識別[59-61]方法，用以求得單層鋁構架模型之振 動頻率與阻尼比等動力特性参數，並結合變斷面 VTLCD 系統之運動方程 式與ARX 系統識別方法，發展出水頭損失係數之識別模式。 線性結構動力系統之等效離散時間模式，若以單一輸入-單一輸出 (Single Input Single Output, SISO)的情況為例，可以線性差分方程式表示 為：

( )

1

(

1

)

na

(

a

)

0

( )

1 ( 1) nb

(

b

)

y k +a y k− + +… a y k−n =b u k +b u k− + +… b u k−n

(2.63)

( )

y ⋅ 代表系統之輸出，

a

_i，

s

為輸出訊號係數，na為其維度；

( )

u ⋅ 代表系統之輸入，

b

，_i

s

為輸入訊號係數，nb為其維度； 根據ARX 模型可進一步表示為：

( )

T

( )

( )

y k

= Ψ

k

θ

+

e k

(2.64)

( )

(

1

)

(

) ( )

,

(

)

T a b

k

⎡

y k

y k

n

u k

u k

n

⎤

Ψ

= −

_⎣

−

…

−

−

…

−

_⎦

(2.65) 1 _a

,

0 _b T n n

a

a

b

b

θ

_{= ⎣}

⎡

…

…

⎤

_⎦

(2.66) 其中，

e k

( )

代表雜訊，通常假設其為零均值(zero mean)之白雜訊(white noise)。

利用遞迴預測誤差法(Recursive Prediction Error Method)，經運算整理 後可得系統参數之遞迴型式解如下：

( ) (

1

)

( ) ( )

T

( ) (

1

)

k

k

L k

y k

k

k

θ

=

θ

− +

⎡

_⎣

− Ψ

θ

−

⎤

_⎦

(2.67) 其中，

( )

_{( )}

(

_{( ) (}

1

) ( )

_{) ( )}

1

T

P k

k

L k

k

k P k

k

κ

− Ψ = + Ψ − Ψ (2.68)

( )

_{( )}

_{( ) (}

(

1

)

_{) ( )}

1

T

P k

P k

k

k P k

k

κ

− = + Ψ − Ψ (2.69)

( )

k

0

(

k

1

)

1

0

κ

=

κ κ

− + −

κ

(2.70)

κ

稱為遺忘因子(forgetting factor)，通常採用

κ

₀

=

0.99

，

κ

( )

0

=

0.95

。 通常選擇初始條件

P

( )

0

=

10 ~ 10

8 10以加速其收斂速度。 由於結構統的振動特性與係數

a

_i，

s

有關，識別出系統的最佳係數

a

_i，

s

後，即可計算結構之振動頻率及阻尼比如下：

( )

2 ₂

1

ln

2

j j j

f

r

t

φ

π

= + Δ (2.71)

( )

( )

2 ₂

ln

ln

j j j j

r

r

ξ

φ

= − + (2.72) 其中，Δ

t

為取樣週期；

( )

( )

2

_,

_tan

1

I

R

j j j j j j

P

r

P P

P

φ

− ⎡ ⎤ = = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ； j

P

為以

a

_i，

s

作為多項式係數所得之第j 個複數根。 本文以上述之系統識別的技巧求取變斷面VTLCD 系統之水頭損失係 數。首先將變斷面VTLCD 系統之運動方程式(2.23)等號兩邊同除以

ρ

A

_v修 正如下：

(

4

h

_v

2

β

d x

)

_f

4

gx

_f

2

du

_g

βδ

x x

_{f f} − + − − = (2.73) 其中，

x

_f 為VTLCD 之液柱激盪振幅，可由波高計量得。分別將

x

_f 對 時間微分一次與兩次，可得VTLCD 系統之液體流速

( )

x

_f 及液體激盪加速 度

( )

x

_f 。至此(2.73)式僅餘水頭損失係數

δ

未知。 令：

[ ]

(

4

_v

2

)

_f

4

_f

2

_g

y k

= −

h

+

β

d x

−

gx

−

du

(2.74) 則(2.73)式可表示如下：

[ ]

T f f

y k

=⎡_⎣

β

x x

⎤_⎦

δ ψ θ

= (2.75) 其中， T f f

x x

ψ

_{= ⎣}⎡

β

⎤_⎦

θ δ

= (2.75)式可利用(2.67)式、(2.68)式及(2.69)式之遞迴預測誤差法求得每

一瞬時之系統參數

θ

，即為 VTLCD 系統之水頭損失係數

δ

。有關變斷面 VTLCD 系統之元件測試將採用上述的方法識別各元件於不同擾動頻率下 之水頭損失係數。