实用运筹学 - 万水书苑-出版资源网

(1)

第 3 章整数规划

本章学习目标

 了解整数规划问题的分类  理解整数规划问题解的特点  掌握整数规划问题的建模  熟练掌握整数规划的应用

3.1 整数规划问题的数学模型

3.1.1 引言 在前面所研究的线性规划问题中，一般问题的最优解可以是非整数，即为分数或小数．但在许多实际问题中，决策变量常常要求必须取整数，即称为整数解．例如，若问题的解表示的是安排上班的人数、机器设备的台数、裁剪钢材的根数等，分数或小数解显然就不符合实际了．整数规划是近几十年来发展起来的规划论的一个分支，要求全部或部分决策变量取整数，包括整数线性规划和整数非线性规划．由于整数非线性规划尚无一般算法，因此本章介绍的整数规划仅指整数线性规划． 3.1.2 整数规划问题的分类 根据对各变量要求的不同，整数规划问题可分为纯整数规划问题、混合整数规划问题和 0－1 整数规划问题 3 种类型．纯整数规划问题：在求解实际问题时，若要求所有的变量都取整数，称为纯整数规划问题．混合整数规划问题：若只要求一部分变量取整数值，则称为混合整数规划问题． 0－1 整数规划问题：若要求全部或部分变量取值只限于 0 或 1，则称为 0－1 整数规划问题． 3.1.3 整数规划问题的数学模型 下面介绍整数规划问题的几个典型实例，通过这几个问题来了解整数规划问题的数学模型．

(2)

60 实用运筹学 1. 纯整数规划模型 例 3.1.1 某工厂用两种原材料 A 和 B 生产两种产品Ⅰ和Ⅱ，有关数据见表 3-1：表 3-1 产品Ⅰ（件）产品Ⅱ（件）可供量原材料 A（kg） 5 4 39 原材料 B（kg） 6 7 48 利润（元） 15 12 问工厂应如何安排生产才能获得最大利润？解设x₁，x 分别为Ⅰ和Ⅱ两种产品的产量，显然，2 x1，x 为非负的整数，2 因而，这是一个纯整数规划问题．其数学模型为： max Z 15x112x2 1 2 1 2 1 2 1 2 5 4 39 6 7 48 . . , 0 , x x x x s t x x x x          ≤ ≤ ≥ 为整数 . 在该问题中，两个决策变量都有整数要求，因此，这是一个纯整数规划问题．通常把不考虑整数条件，由余下的目标函数和约束条件构成的规划问题称为该整数规划问题的松弛问题．就该问题而言，其松弛问题为线性规划问题．任何一个整数线性规划问题都可以看做是一个线性规划问题再加上整数约束．纯整数线性规划问题数学模型的一般形式为： max(min) 1 n j j j z c x  

_

1 1 2 , 1, 2,..., . . 0 1, 2,... , ,..., n ij j i j j n a x b i m s t x j n x x x           



≤（ ≥）， ≥ ，为整数 . 2．0－1 整数规划模型 例 3.1.2 某银行打算在城市 A 新增若干储蓄所以扩展银行储蓄业务，方案 中有 16 个地点Bj（ j 1, 2,...,16）可供选择，考虑到各地区居民的消费水平，特规定如下： 1 B ，B ，2 B ，3 B 四个地点至少选两个； 4 5 B ，B ，6 B 三个地点至多选一个； 7 8 B ，B ，9 B10三个地点至多选两个；

(3)

61 第 3 章整数规划 11 B ，B12两个地点至少选一个； 13 B ，B14，B15，B16四个地点至少选三个．预计各地点的设备投资及每年可获利润如表 3-2 所示．表 3-2 地点投资额利润地点投资额利润 1 B ₇₅ ₃₀ B ₉ ₁₂₀ ₅₀ 2 B ₉₀ ₄₂ B ₁₀ ₁₁₅ ₃₇ 3 B ₁₀₀ ₂₀ B 11 85 28 4 B ₈₅ ₃₅ B 12 75 30 5 B ₈₀ ₄₀ B 13 100 19 6 B ₉₅ ₃₆ B 14 120 50 7 B ₁₁₀ ₄₈ B ₁₅ ₉₅ ₃₂ 8 B ₁₀₅ ₃₈ B ₁₆ ₉₀ ₃₅ 已知该银行用于选建储蓄所的投资额不超过 1000 万元，问应在哪几个地点建储蓄所，可使年利润为最大？解令x  ，选择在地点j 1 B 建立储蓄所；j x  ，不在地点j 0 B 建立储蓄所，j 其中， j 1, 2,...16．则该问题的数学模型可表示如下： max Z 30x142x220x335x440x536x648x738x8 50x937x1028x1130x1219x1350x1432x1535x16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 75 90 100 85 80 95 110 105 120 115 85 75 100 120 95 90 1000 2 1 . . 2 1 3 0,1; 1, 2,...16 j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x j                                _       _ _  ≤ ≥ ≤ ≤ ≥ ≥ （） . 该问题的决策变量仅限于取 0 或 1 两个值，因此为 0－1 整数规划问题．0－1 规划可以是线性的，也可以是非线性的，0－1 线性规划的一般模型为： max(min) 1 n j j j Z c x  

_

(4)

62 实用运筹学 1 , 1, 2,... . . 0 1 1, 2,... n ij j i j j a x b i m s t x j n        _ _ 



≤（ ≥），或， . 3. 指派问题模型 在实际生产管理中，总希望把有限的资源（人员、资金等）进行最佳地分配，以获取最大的经济效益．在现实生活中，有各种性质的指派问题．例如，某部门 有 n 项任务要完成，而该部门正好有 n 个人能够完成其中每项任务．由于每个人的 专长不同，完成各项任务的费用也各不相同．又因任务性质的要求和管理上的需要等原因，每个人仅能完成一项任务，而每项任务仅要一个人去完成，则应指派哪个人完成哪项任务，能使完成各项任务的总费用最少？这是典型的分配问题或指派问题． 例 3.1.3 某大学将要承办一学术会议．为了会议的顺利进行，需要甲、乙、 丙、丁四个人分别完成 A，B，C，D 四项工作．由于每个人完成每项工作所花费 的时间不同，有关数据如表 3-3 所示．问应如何安排，才能使总的时间最少？表 3-3 完成每项工作的时间（小时）工作人 A B C D 甲 32 40 28 42 乙 46 43 30 52 丙 38 58 35 41 丁 31 56 27 49 解设x 表示第ij i个人分配第 j项工作，令安排第i个人做第 j项工作时， 1 ij x  ；第i个人不做第 j项工作时，x ij 0．根据题意，每个人只做一项工作，其约束条件为： 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x                 每项工作只能由一个人来完成，其约束条件为 11 21 31 41 12 22 32 42 13 23 33 43 14 24 34 44 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x                 目标函数为总时间最少，即

(5)

63 第 3 章整数规划 min Z 32x1140x1228x1342x1446x2143x2230x2352x24 38x₃₁58x₃₂35x₃₃41x₃₄31x₄₁56x₄₂27x₄₃49x₄₄ 由此可得该问题的数学模型为 min Z 32x1140x1228x1342x1446x2143x2230x2352x24 38x3158x3235x3341x3431x4156x4227x4349x44 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44 11 21 31 41 12 22 32 42 13 23 33 43 14 24 34 44 1 1 1 1 . . 1 1 1 1 0 1 , 1, 2,3, 4 ij x x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x x x x x x x i j             _ _ _ _              _ _ _ _              _ _  或（） . 该问题为指派问题． 指派问题的一般提法（以对象和任务为例）如下．有 n 个对象，n 项任务，已 知第i个对象完成第j项任务的效益（如利润、费用、时间等）为c ，要求确定对ij 象和任务之间一一对应的指派方案，使完成这 n 项任务的总效益最佳？ 下面建立一般指派问题的数学模型．在指派问题中，通常称矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ( ) ... n n ij n n nn c c c c c c C c c c c                  为效益矩阵．引入 0－1 变量x ，当指派第_ij i个对象完成第 j项任务时，x  ；ij 1 否则，x ij 0，i j, 1, 2,...,n．一般指派问题的数学模型可描述为： min（max） 1 1 n n ij ij i j Z c x   

_

1 1 1, 1, 2,..., . . 1, 1, 2,..., 0 1 , 1, 2..., n ij j n ij i ij x i n s t x j n x i j n                 



或（） . （3.1.1）（3.1.2）

(6)

64 实用运筹学在该模型中，约束条件（3.1.1）表示每个对象只能完成一项任务，约束条件 （3.1.2）表示每项任务只能由一个对象来完成， Z 为总效益． 指派问题的可行解，可用解矩阵来表示： 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ( ) ... n n ij n n n n nn x x x x x x X x x x x                   ．显然，作为指派问题的可行解，解矩阵的每一行元素中有且只有一个 1，每一 列元素中也有且只有一个 1，其余元素均为 0．因而，指派问题的可行解为 n 阶排 列矩阵，共有n!个．例如， 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1             即为例 3.1.3 的一个可行解． 此外，指派问题存在一些特殊情形，现叙述如下：（1）对象数和任务数不相等的指派问题. 若对象数少，任务数多，则添加虚拟对象，这些虚拟对象完成任务的费用设为 0，可以理解为这些费用不会发生；反之，若对象数多，任务数少，则添加虚拟任务，每个对象完成这些虚拟任务的费用也设为 0，由此可以把对象数和任务数不相等的指派问题转化为一般的指派问题．（2）一个对象可以完成几项任务的指派问题. 若某个对象可以完成几项任务，可将其化为几个相同的对象来接受指派，这几个对象完成同一项任务的费用相同．（3）某任务一定不能由某个对象来完成的指派问题. 某任务一定不能由某个对象来完成，则可以设该对象完成这项任务的费用为足够大的正数 M． 4. 存在相互排斥约束条件的混合整数规划模型 例 3.1.4 某公司研发出三种新产品，该公司有两个工厂都可以生产这些产 品．为了使产品的生产线不至过于多样化，决策层决定实施如下限制：（1）在三种新产品中，至多有两个投入生产；（2）两个工厂中，仅有一个能作为新产品的唯一生产者．对于两个工厂来说，每种新产品的单位生产成本都是相同的．然而，由于两个工厂的生产设备不同，每种产品的单位生产时间可能不同，有关数据见表 3-4．问公司应如何决策才能获取最大利润？

(7)

65 第 3 章整数规划 表 3-4 单位产品的生产时间（小时）产品工厂产品 1 产品 2 产品 3 每天可用生产时间（小时）工厂 1 2 3 5 18 工厂 2 4 2 6 20 利润（百元）／个 12 13 10 销量（个）／天 8 6 7 解设x 为第_i i种产品的生产数量，i 1, 2,3；若生产第 j种产品， y  ，j 1 否则，令y j 0，j 1, 2,3；若由工厂 1 生产新产品，令y  ，否则，令4 1 y 4 0； 令 Z 表示出售新产品获取的总利润，则有 max Z 12x₁13x₂10x₃ 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 2 8 . . 6 7 2 3 5 18 4 2 6 20 (1 ) 0, 1, 2,3 0 1, 1, 2, 3, 4 i j x My x My x My y y y x s t x x x x x My x x x M y x i y j                          _      ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≥ 或 . 其中，上述模型中的 M 为充分大的常数．第 8 和第 9 个约束表示的两个条件相互 排斥，亦即两个工厂中，只有一个工厂生产新产品．y ₄ 0，表示约束 8 起作用，工厂 1 生产新产品；y  ，表示约束 9 起作用，工厂 2 生产新产品． 4 1 一般地，如果有 m 个互相排斥的约束条件： 1 1 2 2 ix i x inxn bi     ≤ ，i1, 2,,m 若要求 m 个约束条件中只有一个起作用，可以引入 m 个 0－1 变量y （i i 1, 2,, m）和一个充分大的常数 M，则下面这一组 m+1 个约束条件 1 1 2 2 ix i x inxn bi y Mi    ≤  ，i1, 2,,m 1 2 m 1 y y y m 就合乎要求． 若要求 m 个约束条件中有 k 个起作用，只需把上式中的 1 2 m 1 y y y m

(8)

66 实用运筹学改为 1 2 m y y y m k 即可．

3.2 整数规划问题的求解

3.2.1 整数规划问题解的特点 对于整数规划问题的求解，一种很自然的方法是先撇开问题的整数要求，用单纯形法求得最优解，然后将解凑成整数．但是这样的做法通常是不可行的．一般情形下，用单纯形法求得的最优解不会刚好满足变量的整数约束条件，因而不是整数规划的可行解，自然就不是整数规划的最优解．此时，若对该最优解中不符合整数要求的分量通过“四舍五入”或“只舍不入”简单地取整，所得到的解不一定是整数规划问题的可行解，或者即便为可行解，也不一定是整数规划问题的最优解，充其量只能说是“近似最优解”．而且，当整数规划问题涉及的变量较多时，通过这样的方式取整一般是难以处理的，因为需要对每个取整后的解作出 “取”或“舍”的选择，这时的计算量是非常大的，甚至用计算机也难以处理．另一种容易想到的方法为枚举法，也就是把整数规划问题所有的整数可行点的目标值进行比较，而后从中选出最优的目标值对应的整数可行点即为最优解．这种想法没有问题，但有时会出现满足约束的整数太多的情况，此时计算量也会非常大，以至于枚举法也不可取．事实上，整数规划问题与一般的规划问题相比，其可行解不再是连续的，而是离散的．由于离散问题比连续问题更难以处理，因而，整数规划要比一般的线性规划难解得多．目前常用的方法有分支定界法、割平面法等，但手工计算都非常繁琐．目前，规模较大的整数规划问题通常通过计算机软件来处理，接下来本文介绍如何通过 Lingo 软件来求解整数规划问题． 3.2.2 整数规划问题的 Lingo 求解 前面介绍过，求解整数规划问题有两种方法：一种是分支定界法；另一种是割平面法．Lingo 软件求解整数规划问题实际上用的是分支定界法．用 Lingo 软件求解整数规划问题非常简单，只需在线性规划求解的基础上对变量加一个限制函数—@gin(x)（变量 x 取整数）即可．对于 0－1 规划，这里也只需加一个限制函数—@bin(x)（变量 x 取 0 或 1）． 例 3.2.1 用 Lingo 软件求解例 3.1.1． 解编写 Lingo 程序如下． max =15*x1+12*x2;

(9)

67 第 3 章整数规划 5*x1+4*x2<=39; 6*x1+7*x2<=48; @gin(x1); @gin(x2); 其中，程序的第一行为目标函数，第二行和第三行为约束条件，第四行限制变量为整数．计算结果如下：

Global optimal solution found.

Objective value: 105.0000 Objective bound: 105.0000 Infeasibilities: 0.000000

Extended solver steps: 0

Total solver iterations: 0

Model Class: PILP Total variables: 2 Nonlinear variables: 0 Integer variables: 2 Total constraints: 3 Nonlinear constraints: 0 Total nonzeros: 6 Nonlinear nonzeros: 0 Variable Value Reduced Cost X1 7.000000 -15.00000 X2 0.000000 -12.00000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 105.0000 1.000000 2 4.000000 0.000000 3 6.000000 0.000000

从上述求解结果可以看出，求得的为 Global optimal solution（全局最优解）， Objective value （目标函数值）为 105，Objective bound（目标函数的界）为 105，

Model Class（模型类型）是 PILP（纯整数线性规划），最优解为 X1＝7，X2＝0．即

产品 I 生产 7 件，产品 II 不生产，可获得最大利润，最大利润为 105． 例 3.2.2 用 Lingo 软件求解例 3.1.2． 解编写 Lingo 程序如下． max=30*x1+42*x2+20*x3+35*x4+40*x5+36*x6+48*x7+38*x8+ 50*x9+37*x10+28*x11+30*x12+19*x13+50*x14+32*x15+35*x16; 75*x1+90*x2+100*x3+85*x4+80*x5+95*x6+110*x7+105*x8+120*x9+115 *x10+85*x11+75*x12+100*x13+120*x14+95*x15+90*x16<=1000; x1+x2+x3+x4>=2; x5+x6+x7<=1;

(10)

68 实用运筹学 x8+x9+x10<=2; x11+x12>=1; x13+x14+x15+x16>=3; @bin(x1); @bin(x2); @bin(x3); @bin(x4); @bin(x5); @bin(x6); @bin(x7); @bin(x8); @bin(x9); @bin(x10); @bin(x11); @bin(x12); @bin(x13); @bin(x14); @bin(x15); @bin(x16); 通过 Lingo 求解，可以得到：在投资额不超过 1000 万元的资金限制下，应当在第 1，2，4，7，8，9，12， 14，15，16 个地点设立储蓄所，可获得最大年利润．最大年利润为 390 万元． 例 3.2.3 用 Lingo 软件求解例 3.1.3． 解编写 Lingo 程序如下． model: ！4 人 4 工作的分配问题 sets: persons/per1,per2,per3,per4/:capacity; works/A,B,C,D/:demand; links(persons,works):time,assignment; endsets ！目标函数 min=@sum(links:time*assignment); ！关于工作的约束 @for(works(J): @sum(persons(I):assignment(I,J))=demand(J)); ！关于人的约束 @for(persons(I): @sum(works(J):assignment(I,J))=capacity(I)); ！数据 data:

(11)

69 第 3 章整数规划 capacity=1 1 1 1; demand=1 1 1 1; time=32 40 28 42 46 43 30 52 38 58 35 41 31 56 27 49; enddata end 通过 Lingo 求解，可以得到：最优方案为甲做 B，乙做 C，丙做 D，丁做 A，所需的总时间为 142 小时． 例 3.2.4 用 Lingo 软件求解例 3.1.4． 解编写 Lingo 程序如下． max=12*x1+13*x2+10*x3; x1-1000*y1<=0; x2-1000*y2<=0; x3-1000*y3<=0; y1+y2+y3<=2; x1<=8; x2<=6; x3<=7; 2*x1+3*x2+5*x3-1000*y4<=18; 4*x1+2*x2+6*x3-1000*y4<=1200; @gin(x1); @gin(x2); @gin(x3); @bin(y1); @bin(y2); @bin(y3); @bin(y4); 应用 Lingo 进行求解，可以得到：由工厂 1 生产新产品，其中，产品 1 生产 8 个，产品 2 生产 6 个，可获最大利润为 174 百元．

3.3 整数规划的应用

在现实生活的许多领域中都有整数规划模型，这里仅介绍其中的几个典型问题，以便读者初步了解整数规划模型的重要性． 3.3.1 下料问题 例 3.3.1 制造某种机床，每台用长为 2.9 米，2.1 米和 1.5 米的轴件各一根．已

(12)

70 实用运筹学知三种轴件都要用长 7.4 米的圆钢下料．若计划生产 100 台机床，最少要用多少根圆钢．解对于下料问题，首先要确定采用哪些下料方式．所谓下料方式，就是指按照要求的长度在圆钢上安排下料的一种组合．例如，可以在每一根圆钢上截取 2.9 米，2.1 米和 1.5 米的轴件各一根，每根圆钢剩下余料 0.9 米．显然，可行的下料方式是很多的．其次，应当明确哪些下料方式是合理的．合理的下料方式通常要求余料不应大于或等于轴件的最小尺寸．为此，只需找出所有合理的下料方式，如表 3-5 所示．表 3-5 一根圆钢所截各类轴件数截法轴件（米） ₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆ ₇ ₈ 需求量 2.9 2 1 1 1 0 0 0 0 100 2.1 0 2 1 0 3 2 1 0 100 1.5 1 0 1 3 0 2 3 4 100 余料（米） 0.1 0.3 0.9 0 1.1 0.2 0.8 1.4 现在问题归结为：采用下面 8 种下料方式各截多少根圆钢，才能配成 100 套轴件，且使圆钢的总下料根数最少？设x 为按第_j j种截法下料的圆钢的数量，由此，可得该问题的数学模型如下: min Zx1x2x3x4x5x6x7x8 1 2 3 4 2 3 5 6 7 1 3 4 6 7 8 2 100 2 3 2 100 . . 3 2 3 4 100 0 1, 2,...,8 j j x x x x x x x x x s t x x x x x x x x j  _ _ _                 _  ≥ ≥ ≥ ≥ 为整数， . 编写 Lingo 程序如下： min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8; 2*x1+x2+x3+x4>=100; 2*x2+x3+3*x5+2*x6+x7>=100; x1+x3+3*x4+2*x6+3*x7+4*x8>=100; @gin(x1); @gin(x2); @gin(x3); @gin(x4); @gin(x5); @gin(x6);

(13)

71 第 3 章整数规划 @gin(x7); @gin(x8); 应用 Lingo 软件进行求解，得出：按第一种截法下料 40 根，按第二种截法下料 20 根，按第六种截法下料 30 根，可使圆钢的总下料根数最少．此时，圆钢总下料根数为 90 根． 3.3.2 选址问题 例 3.3.2 某县教育局为了方便学生入学，计划在邻近的四个村庄中的两个各 设立一所小学．各村庄内以及各村庄间的平均步行时间（分钟）及各村庄的学生人数如表 3-6 所示．该县教育局希望：两所小学的招生人数基本持平，学生总的步行时间最短．问两所小学应分别建于哪两个村庄，以及各村庄的学生应分配到哪所小学上学才能符合教育局的要求．表 3-6 在该村庄建立小学村庄 1 2 3 4 学生人数 1 4 15 20 25 200 2 15 6 12 10 150 3 20 12 5 18 300 4 25 10 18 5 250 解设y 为第_ij i个村庄的学生去第j个村庄上学的人数，若第 j个村庄建立小学，令x  ，否则，令j 1 x  ，j 0 i j , 1, 2, 3, 4．则该问题的数学模型为： min Z 4y₁₁15y₁₂20y₁₃25y₁₄15y₂₁6y₂₂12y₂₃10y₂₄ 20y3112y325y3318y3425y4110y4218y435y44 1 2 3 4 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44 11 21 31 41 1 12 22 32 42 2 13 23 33 43 3 14 24 34 44 4 2 200 150 300 250 . . 450 450 450 450 0 1, 1, 2, 3, 4 0 j ij x x x x y y y y y y y y y y y y y y y y s t y y y y x y y y y x y y y y x y y y y x x j y                                   ≤ ≤ ≤ ≤ 或 ≥ 且取 i j, 1, 2,3, 4                     整数， .

(14)

72 实用运筹学编写 Lingo 程序如下： sets: village/1..4/:stunum,x; links(village,village):t,y; endsets data: stunum=200,150,300,250; t=4 15 20 25 15 6 12 10 20 12 5 18 25 10 18 5; enddata min=@sum(links:t*y); @sum(village:x)=2; @for(village(i): @sum(village(j):y(i,j))=stunum(i)); @for(village(j): @sum(village(i):y(i,j))<=450*x(j)); @for(links:@gin(y));@for(village:@bin(x)); 计算结果如下：

Global optimal solution found.

Objective value: 8500.000 Model Class: PILP Variable Value Reduced Cost STUNUM( 1) 200.0000 0.000000 STUNUM( 2) 150.0000 0.000000 STUNUM( 3) 300.0000 0.000000 STUNUM( 4) 250.0000 0.000000 X( 1) 0.000000 0.000000 X( 2) 0.000000 0.000000 X( 3) 1.000000 0.000000 X( 4) 1.000000 0.000000 T( 1, 1) 4.000000 0.000000 T( 1, 2) 15.00000 0.000000 T( 1, 3) 20.00000 0.000000 T( 1, 4) 25.00000 0.000000 T( 2, 1) 15.00000 0.000000 T( 2, 2) 6.000000 0.000000 T( 2, 3) 12.00000 0.000000 T( 2, 4) 10.00000 0.000000 T( 3, 1) 20.00000 0.000000

(15)

73 第 3 章整数规划 T( 3, 2) 12.00000 0.000000 T( 3, 3) 5.000000 0.000000 T( 3, 4) 18.00000 0.000000 T( 4, 1) 25.00000 0.000000 T( 4, 2) 10.00000 0.000000 T( 4, 3) 18.00000 0.000000 T( 4, 4) 5.000000 0.000000 Y( 1, 1) 0.000000 4.000000 Y( 1, 2) 0.000000 15.00000 Y( 1, 3) 150.0000 20.00000 Y( 1, 4) 50.00000 25.00000 Y( 2, 1) 0.000000 15.00000 Y( 2, 2) 0.000000 6.000000 Y( 2, 3) 0.000000 12.00000 Y( 2, 4) 150.0000 10.00000 Y( 3, 1) 0.000000 20.00000 Y( 3, 2) 0.000000 12.00000 Y( 3, 3) 300.0000 5.000000 Y( 3, 4) 0.000000 18.00000 Y( 4, 1) 0.000000 25.00000 Y( 4, 2) 0.000000 10.00000 Y( 4, 3) 0.000000 18.00000 Y( 4, 4) 250.0000 5.000000 即在第三村庄和第四村庄建立小学，第一村庄中的 150 名学生和第三村庄的全部学生到第三个村庄的小学上学，第一村庄中的 50 名学生和第二村庄、第四村庄的全部学生到第四村庄的小学上学，总的上学步行时间为 8500 分钟． 3.3.3 连续投资问题 例 3.3.3 某公司在今后 5 年内考虑给下列项目投资，已知条件如下： 项目 1：从第 1 年到第 4 年每年年初需要投资，并于次年末回收本利 115%，但要求第 1 年要么不投资，要么投资金额在 4 万元以上，第 2 年，第 3 年，第 4 年不限；项目 2：第 3 年年初需要投资，到第 5 年年末能回收本利 125%，但规定要么不投资，要么投资金额在 3 万元以上，最高金额为 5 万元；项目 3：第 2 年年初需要投资，到第 5 年年末能回收本利 140%，但规定要么不投资，要么其投资金额为 2 万元；项目 4：5 年内每年年初可购买公债，于当年年末归还，并加利息 8%，此项投资金额不限．该部门现有资金 20 万元．问：应如何给这些项目投资，使到第 5 年年末拥有

(16)

74 实用运筹学的资金本利总额为最大？解设x 为第ij i个项目第 j年初的投资金额，i j , 1, 2, 3, 4．若投资第第k个项目，令y  ，否则，令k 1 y k 0，k 1, 2,3，则可得该问题的数学模型如下： max Z 1.15x₁₄1.25x₂₃1.4x₃₂1.08x₄₅ 11 41 12 32 41 42 11 13 23 42 43 12 14 43 44 13 44 45 11 1 11 1 23 2 23 2 32 3 20 1.08 0 1.15 1.08 0 1.15 1.08 0 1.15 1.08 0 4 0 . . 20 0 5 0 3 0 2 0 0 , 1, 2,3, 4 0,1 1, 2,3 ij k x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y s t x y x y x y x y x i j y k                                       ≥ ≤ ≤ ≥ ≥ ，，            . 显然，该问题为混合整数规划问题．编写 Lingo 程序如下： max=1.15*x14+1.25*x23+1.4*x32+1.08*x45; x11+x41=20; x12+x32-1.08*x41+x42=0; -1.15*x11+x13+x23-1.08*x42+x43=0; -1.15*x12+x14-1.08*x43+x44=0; -1.15*x13-1.08*x44+x45=0; x11-4*y1>=0; x11-20*y1<=0; x23-5*y2<=0; x23-3*y2>=0; x32-2*y3=0; @bin(y1); @bin(y2); @bin(y3); 通过 Lingo 求解，可得最优投资方案为：第一年年初将所有资金 20 万元全部用来投资第 4 个项目，年底收到本利共 21.6 万元；第二年年初将 2 万元资金投入第三个项目，剩余 19.6 万元用于投资第 4 个项目，年底收到本利共 21.168 万元；第三年年初将所有资金 21.168 万投资第 4 个项目，年底得本利共 22.86144 万元；

(17)

75 第 3 章整数规划第四年年初将所有资金 22.86144 万投资第 4 个项目，年底得本利共 24.69036 万元；第五年年初将所有资金 24.69036 万投资第 4 个项目，到年底时得到的本利加上第三个项目投资所得共计 29.46558 万元．

习题 3

1．制造某种机床需要 A、B 两种轴件，其规格、需要量见表 3-7．各种轴件都 用长 10 米的圆钢来截毛坯．如果制造 100 台机床，问最少要用多少根圆钢？表 3-7 轴件规格/米每台机床所需轴件数量 A 3 2 B 4 3 2．某钢筋车间要用一批长度为 5.5 米的钢筋下料，制作长度为 3.1 米的钢筋 60 根、2.1 米的钢筋 90 根和 1.2 米的钢筋 100 根．问怎样下料最省？ 3．某人有一背包可以装 20 公斤重、0.05 立方米的物品．他准备用来装甲、乙两种物品，每件物品的重量、体积和价值如表 3-8 所示．问两种物品各装多少件，能使得所装物品的总价值最大？表 3-8 重量体积价值规格物品（公斤/件）（立方米/件）（元/件）甲 2.4 0.004 8 乙 1.6 0.005 6 4．在上个问题中，假如此人还有一只旅行箱，最大载重量为 24 公斤，其体积为 0.04 立方米．又，背包和旅行箱二者只能选择其一．试针对下述情形，分别建立数学模型，使所装物品价值最大：（1）所装物品不变；（2）如果选择旅行箱，则只能装载丙和丁两种物品，价值分别是 8 元/件和 6 元/件，载重量和体积的约束为 1 2 3.6x 1.2x ≤24，3x₁2x₂≤40. 5．试引入 0－1 变量将下列各题分别表示为一般线性约束条件．（1）x₁x₂≤16或2x13x2≥ 或5 x12x2≤10；（2）若x ≤1 15，则x ≥2 10，否则x ≤ ； 2 6

(18)

76 实用运筹学（3）x 取值 0,1,3,5,7,9． 1 6．企业计划生产 5000 件某种产品，该产品可以以自己加工、外协加工任意一种形式生产．已知每种生产形式的固定成本、生产该产品的变动成本以及每种生产形式的最大加工数量如表 3-9 所示．问：怎样安排产品的加工使总成本最小？表 3-9 固定成本（元）变动成本（元/件）最大加工数量（件）本企业加工 600 7 2000 外协加工 1 900 6 2500 外协加工 2 700 9 不限 7．某种商品有 n 个销地，各销地的需求量分别为a_j（j1, 2,...,n）吨/天．现拟 在 m 个地点中选址建厂，来生产这种商品以满足供应，且规定一地最多只能建 一个工厂．若选i地建厂，将来生产能力为bi吨/天，固定费用为di（i1, 2,...,m）元/天．已知i地至销地 j的运价为c 元_ij /吨．应如何选择厂址和安排调运，使总费用最少？ 8．甲、乙、丙、丁四人加工 A，B，C，D 四种工件所需时间（分钟）如表 3-10 所示．应指派何人加工何种工件，能使总的加工时间最少？表 3-10 工件人 A B C D 甲 14 9 4 15 乙 11 7 9 10 丙 13 2 10 5 丁 17 9 15 13 9．分配甲、乙、丙、丁四个人去完成五项工作．每人完成各项工作的时间（分钟）如表 3-11 所示．由于工作数多于人数，因而其中一个人可完成两项工作，其余 3 个人每人完成一项．（1）试确定总花费时间最少的指派方案；（2）若表中数字表示完成工作所创造的利润（元），指派方案会有变化吗？（3）在问题（2）的前提下，如果将表中数字都乘以 10，然后求解，问最优解有无变化？

(19)

77 第 3 章整数规划表 3-11 工作工作人 A B C D E 甲 20 25 30 41 35 乙 36 37 24 18 32 丙 33 26 29 42 30 丁 22 43 35 22 46 10．有 5 个工人甲、乙、丙、丁、戊，要从中挑选 4 人去完成四项不同的任务，已知每人完成各项任务的时间（分钟）如表 3-12 所示．现规定每项任务只能由一个人单独完成，每个人最多承担一项任务，又假定甲不能承担第 3 项任务，丁不能承担第 4 项任务．问在满足上述条件下，如何分配任务使完成四项任务总的花费时间最少？表 3-12 任务人 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 甲 8 4 — 20 乙 3 9 5 12 丙 6 13 11 18 丁 10 2 8 — 戊 9 7 17 15 11．设有 n 个投资项目，其中第j个项目需要资金a 万元，将来可获利润j c 万j 元．若现有资金总额为b万元，则应选择哪些投资项目，才能获利最大？ 12．某公司计划在市区的东、西、南、北四区建立销售门市部，拟议中有 10 个位置Ai （i 1, 2,...,10）可供选择，考虑到各地区居民的消费水平及居民居住密度，规定：在东区由A ，₁ A ，2 A 三个点中至多选择两个； 3 在西区由A ，₄ A 两个点中至少选一个； 5 在南区由A ，₆ A 两个点中至少选一个； 7 在北区由A ，₈ A ，9 A 三个点中至多选择两个． 10 i A 各点的设备投资及每年可获利润由于地点不同都是不一样的，预测情况如 表 3-13 所示．

(20)

78 实用运筹学表 3-13 单位：万元 1 A A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 8 A 9 A 10 投资额 50 60 75 40 35 45 40 70 80 90 利润 18 20 25 11 10 15 12 24 29 30 又，投资总额不能超过 360 万元，问应选择哪几个位置建销售部，可使年利润为最大？ 13．某投资公司有 6 个项目被列入投资计划，各项目的投资额和期望的投资收益见表 3-14．表 3-14 项目投资额（万元）收益（万元）项目投资额（万元）收益（万元） 1 200 160 4 150 90 2 300 220 5 250 170 3 100 65 6 350 260 该公司现有可用资金共 1000 万元，由于技术原因，投资受以下限制：（1）在项目 1、2 和 3 中至少有一项被选中；（2）项目 3、4 和 5 只能选中一项；（3）项目 6 被选中的前提是项目 1 必须被选中．如何在上述条件下，选择一个最好的投资方案，使收益最大？ 14．某厂拟用 M 元资金购买 m 种设备A ，1 A ，…，2 A ，其中设备m A 单价为i i p（i1, 2,...,m）．现有 n 个地点B ，1 B ，…，2 B 可装置这些设备，其中n B 处最j 多可装置b 台_j （j1, 2,...,n）．预计将一台设备A 装置于i B 处可获纯利j c 元，则应ij 如何购置这些设备，才能使预计总利润为最大？ 15．某容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容器，所用资源为金属板、劳动力和机器设备，制造一个容器所需各种资源的数量如表 3-15 所示．表 3-15 资源小号容器中号容器大号容器金属板/吨 2 5 9 劳动力/(人/月) 2 3 5 机器设备/(台/月) 1 2 4 不考虑固定费用，每种容器售出一只所得的利润分别为 5 万元，6 万元，7 万元，可使用的金属板为 600 吨，劳动力为 360 人/月，机器设备为 160 台/月，此外，

(21)

79 第 3 章整数规划不管每种容器制造的数量是多少，都要支付一笔固定费用：小号为 100 万元，中号为 130 万元，大号为 180 万元．问：如何制定生产计划，使获得的利润最大？

案例分析

案例 1：工厂选址问题某企业在A 地已有一个工厂，其产品的生产能力为 35 千箱，为了扩大生产，₁ 打算在A ，₂ A ，3 A ，4 A 地中再选择几个地方建厂．已知在5 A 地建厂的固定成本2 为 180 千元，在A 地建厂的固定成本为 300 千元，在₃ A 地建厂的固定成本为 3604 千元，在A 地建厂的固定成本为 500 千元，另外，₅ A 的产量，₁ A ，₂ A ，₃ A ，₄ A₅ 建成厂后的产量，那时销地的销量以及产地到销地的单位运价（每千箱运费）如表 3-16 所示．（1）问应该在哪几个地方建厂，在满足销量的前提下，使得总的固定成本和总的运输费用之和最小；（2）如果由于政策要求必须在A ，₂ A 地建一个厂，应在哪几个地方建厂？ 3 表 3-16 销地单价产地 1 B B ₂ B ₃ _{产量/千箱} 1 A 8 3 3 35 2 A 6 2 5 15 3 A 5 4 7 25 4 A 9 8 6 35 5 A 12 5 2 40 销量/千箱 35 25 25 案例 2：机票购买策略某公司的张总经理常驻公司的北京总部，但他需要去广州营业部检查指导工作．已知第三季度他去广州的日程安排如表 3-17 所示．这样在 7 月 1 日就可以提前预定所有航班机票．表 3-18 给出北京－广州间不同提前预定的单程或往返机票价．且航空公司规定，如机票往返日期间隔超过 15 天，票价额外优惠 100 元，超过 30 天额外优惠 200 元，超过 60 天额外优惠 300 元．试为张总经理找出一个总

(22)

80 实用运筹学支出最少的购票策略．表 3-17 张总经理行程安排北京→广州广州→北京北京→广州广州→北京 7 月 2 日 7 月 6 日 9 月 4 日 9 月 9 日 7 月 22 日 7 月 25 日 9 月 22 日 9 月 26 日 8 月 11 日 8 月 14 日表 3-18 机票价提前预定天数单程往返 <15 1920 3200 ≥15 1536 2560 ≥30 1344 2240 ≥60 1152 1920