20-極限與導數的應用(甲)

20- 極限與導數的應用

(2)若 y  f (x)之圖形不通過原點，試利用第(1)小題之結果，證明：直線OP為 y  f (x) 之圖形上過 P 點之法線。 【解答】見詳解 【87】設 a  0，O(0，0) 為原點。在拋物線 ay  a2_{ x}2_{上取一點P( s，t )，s  0。過 P 點作} 拋物線之切線，交x 軸、y 軸於 Q、R 兩點。當 P 點變動時，△OQR 面積的最小值 為何？ 【解答】 2 9 3 4 a 【89】設 a 為一非零實數，試問方程式 x3_{ x}2_{ x  a  0 的根可能的情形為何？}

(A)有三個負根　(B)有兩個負根和一個正根　(C)有一個負根和兩個正根　 (D)有三個正根　(E)僅有一個實根 【解答】(B)(C)(E) 【90】設 n 為正整數，坐標平面上有一等腰三角形，它的三個頂點分別是(0，2)、( n 1 ，0)、 (  n 1 ，0)。假設此三角形的外接圓直徑長等於 Dn，則_nlim_Dn 　　　　　。 【解答】2 【91】m 為實數，已知四次方程式 3x4_{ 4mx}3_{ 1  0 無實根，求 m 的範圍。} 【解答】 1 m  1 【92】f (x)是個首項係數為 1 的實係數三次多項式，k 是常數。已知 k  0 當或 k  4 時， f (x)  k  0 只有一個實根；當 0  k  4 時，f (x)  k  0 有三個相異實根。請選出正確 的選項。(1) f (x)  4  0 和 f (x)  0 有共同實根　(2) f (x)  0 和 f (x)  0 有共同實根　 (3) f (x)  3  0 的任一實根大於 f (x)  6  0 的任一實根　 (4) f (x)  5  0 的任一實根小於 f (x)  2  0 的任一實根 【解答】(1)(2)(4)



x

) ( x f 的函數值恆正。下列選項有哪些必定是正確的？ （1） f( x)的次數至少為6。（2） f( x)的次數為奇數。（3） f(1)為奇數。 （4）f(4)0。 【解答】(1)(4) 【93-2】將tanxx的所有正實根由小到大排列，得一無窮數列x x₁, , , ,_{2 } x_{n }， 則lim_n(xn1xn)（四捨五入到小數第二位）。 【解答】



20 公分的等速率增長。已知神針之底圓半徑只能從 12 公分縮到 4 公分為止，且知在這 段變形過程中，當底圓半徑為10 公分時其體積最大。 (1)（2 分）試問神針在變形開始幾秒時其體積最大？ (2)（6 分）試求定海神針原來的長度。 (3)（5 分）假設孫悟空將神針體積最小時定形成金箍棒，試求金箍棒的長度。 【解答】(1) 2 秒；(2) 60 公分；(3) 220 公分 【96】2. 試問下列有關極限lim的敘述何者正確？ (1) 極限不存在　　(2) 極限為 0　　(3) 極限為 1　　(4) 極根為 5　　(5) 極限為－2 【解答】(4) 【96】張師傅想為公司設計底面為正方形且沒有蓋子的一個長方體紙盒，裡面白色，外面灰 色。在灰色部分的面積為432 平方公分的限制之下，為了使紙盒的容量達到最大，他應 將此無蓋長方體紙盒的底面每邊邊長設計為 公分。 【解答】12 【96】考慮坐標平面上函數 y＝x3_{＋2x＋3 的圖形（x 為任意實數），試問下列哪些選項是正} 確的？(1) 圖形有最高點，也有最低點　(2) 圖形有水平切線 (3) 圖形與任一水平直線恰 有一交點　　(4) 若（a , b）在圖形上，則（－a , －b＋6）也在圖形上 (5) 圖形與三直線 x＝0，x＝1，y＝0 所圍成的區域之面積大於 4 【解答】(3)(4)(5) 【97】設f x( )表示實係數多項式函數 ( )f x 的導函數﹐已知y f x( )的圖形是一個通過點 (1,0) 和點 (2,0) 且開口向上的拋物線﹒試問下列哪些選項是正確的？ 0 2 8 f '( t ) ＋ 0 － f ( t ) ↗ ↘

(1) ( )f x 一定是三次多項式 (2) ( )f x 在1  的範圍內必為遞增 (3) ( )x 2 f x 一定恰有兩個極值 (4) ( ) 0 f x  一定有三個實根 (5) ( ) 0f x  在1  的範圍內一定有實根﹒x 2 【解答】(1)(3) 【97】設 n 為正整數﹐方程式_x2_{2x n  的兩根為0} n a 與b ﹐且n an ﹒試問下列哪些選項是正確的？bn (1)an 對所有 n 皆成立 (2)0 anbn 對所有 n 皆成立 (3)2 bn1 對所有 n 皆成立 (4)bn lim_n n n1 1 a a n    (5) lim n n 2 n a b n    ﹒ 【解答】(1)(2)(4)(5) 【98】設y f x( )是一個實係數四次多項式﹐其函數圖形在 ( 1, 2) 和 (1, 2) 各有一個反曲點﹐且知在 ( 1,2) 和 (1, 2) 此函數圖形切線的斜率分別為1和 1 ﹐則下列哪些選項是正確的？ (1)x 是1 f x( )的因式 (2) ( )f x 的常數項不等於零 (3) (f   x) f x( ) (4) ( )f x 的首項係數是1﹒ 【解答】(1)(3)

【99】設a﹐b﹐c 分別為函數 f x( ) x 2 x   ﹐g x( ) x2 2₂ x   ﹐ 2 2 2 ( ) h x x x   在x 為任意正實數時的 最小值﹒試問下列哪些選項是正確的？ (1)_{b a} 2 ₍₂₎ 3 4 2 c (3) f x( )g x( )在x 為任意正實數時的最小值為a b (4)g x( )h x( )在x 為任意正實數時的最小值為b c 【解答】(2)(4) 【99】已知多項式 f x( )滿足 f x( ) 8 x11﹐且y f x( )在x1有局部極值﹐則 f (0)_________ _﹒ 【解答】-15 【99】設_{f x( )ax}3_bx2_{cx d 為實係數三次多項式﹒已知原點(0,0)為函數y} _{f x( )的圖形之反曲} 點﹐且此圖形在原點的切線為y x﹒(1)試求 b﹐c﹐d﹒（5 分） (2)若a0且y f x( )的圖形與直線y0所圍的有界區域面積為2﹐試求 a﹒（8 分） 【解答】(1)b0﹐c 1﹐d 0　(2) 1 4 【99】設f x( )為實係數三次多項式﹐右圖所示為函數y f x( )的圖形﹐其中(5, (5))f 為反曲點﹒試問 f x( )的導函數 f x( )可能為下列哪一個選項？ (1)_(x5)2_{1 (2)(x5)}2_{1 (3)(x5)}2 (4)_{ (x 5)}2_{1 (5) (x 5)}2_1﹒ 【解答】(2)

【100】設 f 為實係數三次多項式函數﹒已知五個方程式的相異實根個數如下表所述﹕ 方程式 相異實根的個數 ( ) 20 0 f x   1 ( ) 10 0 f x   3 ( ) 0 f x  3 ( ) 10 0 f x   1 ( ) 20 0 f x   1 關於 f 的極小值 ﹐試問下列哪一個選項是正確的？ (1) 不存在　(2)20   10　(3)  10  0　(4)0  10　(5)10  20　 註﹕極小值是指相對極小值﹐或稱為局部極小值﹒ 【解答】(3) 【100】如圖所示﹐PQRS為一給定的矩形﹐長PQ12﹐寬QR5﹐而△ABC為等腰三角形﹐ 其中_{AB AC}﹐P Q, 在_BC邊上﹐R S, 分別在CA AB, 邊上﹐則當△ABC中_BC邊上的高 為__________時﹐△ABC的面積為最小﹒ 【解答】10