牛頓最先所提出功與動能概念的意涵

(1)

牛頓最先所提出功與動能概念的意涵

姚 1行 1* 李秉書 2

l 國立臺灣師範大學物理系 2 臺北市立大理高級中學 τ圖~ -‘國已.一宣、倒置功與動能是能量物理學裡非常基礎且關鍵的概念，在中學、大學教科書中與許多文獻中，皆會述及和討論。大部分作者都如此描述:當力與位移方向相同時，作用在物體上的功是物體所受的力與位移的乘積;若力與位移方向不同時，則功為力與位移的內積。而運動物體的動能為其質量與速度平方乘積的一半(國立台灣師範大學科學教育中心，

1995 ; Halliday

,

Resni 此，

&

Walker

,

2011); 或說能量是一

種作功的能力(

Hobson

,

2004

)。至於功與動能為何要如此定義?它們最初是由誰提出?是為了要處理什麼樣的物理問題而發生?對於這些議題的討論觀點並不一致，而顯得相當分歧( Jewe此，

2008; Mungan

,

2007; Voroshilov

,

2008)

，這是本文要釐清的重點。另外，電磁學家里互主盛(

C. Maxwell

,

1831-1879) 主張功是從一物體或系統到另一物體或系統的能量轉移作用(

Maxwell

,

1878

,

p.

104)' 若為如此，則能量概念似乎應先於功概念。功與能究竟孰先孰後，本文也欲加以澄清。 *為本文通訊作者我們將從理論發展的觀點，由原著的選讀，追本溯源著手探討及了解:功、動能與功能定理之最初內涵。研究發現早在全盟(I.

Newton

,

1642-1727) 時期，他便已清楚提出功與動能的概念，雖然他尚未使用這些術語，然而多數文獻卻甚少指出此點 (Mungan ， 2007) 。此外，許多教科書為了方便起見，常將對物體做功時，它所受的外力為人或機械所施的向上拉力

(Halliday

,

Resnick

, &

Walker

,

2011 ; Serway

&

Jewett

,

2012) 。我們也將強調最初生盟所吉對物體作功的外力，指的是重力或向心力，而非是外界所施的向上拉力。從這些探索過程中，可掌握功與動能原初的基本意義、清楚明白功與能之間的先後和相互關條、以及體會主盟處理力學問題的思考方式、特色與影響，這些皆有助於教師及學習者了解物理知識如何的發展與成長。

貳、工力與動能的基礎一力與運動定律

古典物理學的真基者為主盟，他所獨創的「力」概念與特殊的思考方法，開歐 7 物理的新世界。在其巨著《自然哲學的數學原理) (底下簡稱為《原理»)的序吉中開宗明義地寫道﹒

(2)

科學教育月刊第 387 期中拳民國 105 年 4 月我奉獻這一作品，作為哲學的數學原理，因為哲學的全部困難似乎在於一從運動的現象去研究自然界中的力，然後從這些力去說明其他自然現象。 (Newton ，

1687

/1

846)

力概念是他建構出整個物理學的基骨架，沒有力概念的使用，就沒有古典物理學。「力」的提出是物理學獲得重大成果的轉換點 (Westfall， 1977/2001) 。全盟認為: 定義 4: 外力(

impressed

force) 是施予在物體的作用，可改變其處於靜止或沿一直線作等速度運動的狀態。

(Newton

,

1687

/1

846 ,

pp. 73-74)

亦即「外力」並不涉及推、拉或碰撞，只要當物體運動「狀態」改變，我們便可說有「外力」作用在物體上。而力與運動狀態改變的量他關條，則由運動定律來描述: 定律 I

I

:運動的變化與外加的運動力

(motive

force)成比例;且運動的變化是沿著外力的直線方向上。(

Newton

,

1687

/1

846 ,

p. 83)

其中運動的變化就是現今所吉的動量的變化。「通過在物質和運動的基礎上，加上一個新的範疇一力，...全盟把它們放在一個精確的物理背景中，這些力都可由數學準確地描述出。 J

(Westfall

,

1977/2001

,

p152)

1736 年瑞士數學家丘豆豆豆!L(J

Bernoulli

,

1667-1748) 直接清楚地將全盟第二運動定律表示成:

(Bemoulli

,

1736

,

p. 6)

j=ma

J't l、‘.'，、、由於此式清晰簡潔，而成為日後教科書中所採用第二運動定律的標準寫法。注意第二運動定律戶ma 左邊的!，並非總是固定的推力或拉力，生盟所討論的力常幾乎總是指行星受到太陽作用的向心力、或物體受到地球的吸引力，也就是一種物體與力心距離的位置函數，他從未提過機械或人所施予物體的向上拉力 (Newton ，

16871

1846

,

p.

83) 。參、與動能概念的首;欠出現一命題

39

當生盟提出創新的力概念及建立起運動定律後，在〈原理〉的第一卷第 t 章，他提出了隱含有「功」與「動能」概念、在內的重要命題 39 '這也是最早清楚出現此二概念的出處文獻: 若給定任意形式的向心力以及(力一位置關條)曲線下圓形的面積，求治一直線上升或下降的物髓，在它所經過各個位置時的速度。(如圈 1

)

(Newton

,

1687

/1

846 ,

p. 165)

A

_向J心力

位置圖I.力一-位置關條圈。修改自 Newton' Princip悶，

Newton

,

1687

/1

846

,

p.

165 。

-

(3)

26-在此命題中，全盟是想探討沿垂直線運動(如沿著直線經過 D 、 E 點下降)的物體，在受到向心力，尤其是地球表面上的重力作用時，物體在任意位置處與其所對應的速度(原理〉全書中皆使用 velocity 一字，未曾使用速率 speed) 之關像。如圖 I ，他還定力為橫軸，位置為縱軸之後，寫出底下相當重要、但很精簡的論證: l 物體經過桂小線段 DE 所需的時問 (~t ) 正比於該線段的長度 DE( 或 fu) ，反比於速度 ν 。(即 ~tc丈 ful v) 。 2. 由第二定律:作用力正比於速度的增量(或 ~v

)

，反比於時間 ( ~t ) 0 (

!!r

F仗 ~v

I

~t ) 。 3. 因此，物體在極短時間內落下時，作用力的大小 DF 將會與 ~v·vlfu 成正比。 4 所以， (在任意點 E 的)作用力 EG 將會使物體以一特定速度落下，

!!r

(在 E 點)速度的平方正比於面積 ABGE 0

(Newton

,

1687/1846

, p.

166)

在此，他僅使用速度一位移定義關保式阿 6.

xl

6.

t 及第二定律式(1) ，即可得到第 3 步驟的結果

F

ex:_~v

·v I

fu 或 Ffu 反 ν ~v

(2)

如果物體自 A 點由靜止受力作用後，重直下落至 E 點，可將此微小時刻下的關條 (2) 累積起來表示在 E 點所對應的總效果，即 z. Ffu 仗 z. v~v

(3)

上式左邊就是力→立置關條曲線下之面積 ABGE' 右邊則為由 v

6.

v 所累積的面積，牛頓最先所提出功與動能概念的意渴若物體在 A 點為靜止，則 ~v 6. v 之累積值即為斜率為 l 的斜線下所含蓋自原點至末速率 v 的三角形面積 v2_{/2 ' 遂可得:}

z.

Ffu

ex:

v

2

/2

(4)

亦即在 E 點速度的平方正比於面積

ABGE

0 若以現今數學表示，式(4)等式左邊的累積值即為積分值IF俏，而此值正是外力對物體所作之「功J' 在不考慮質量條件下，等式右邊之累積值為v2_{/2 ' 代表著} 物體的「動能」。故在此命題及其論證中，全盟已經清楚地暗示7 日後「功」與「動能」的概念，與彼此間的先後與正確關條: 是先考慮力一位置關你曲線下圓形的面積一或功，由它可得到所經過不同位置時的速度一或動龍，即功先於動能。此外，生盟雖然沒有明確使用今日的術語，但此命題可說是物理史上功與動能概念最早的起源與出處。一般學生從課堂上或教科書裡學習功概念時，總容易將功與工程上的工作一對應在一起，且認為抵抗重力的向上拉力、或抵抗彈力的水平拉力所作的功，是思考和解決動能與位能問題的重要物理基 (國立台灣師範大學科學教育中心，

1995

,

pp.

10-17;

Hallid呵，

Resnick

,

&

Walker

,

2011

)。但由上述討論可知，生盟考慮的是向心力或重力對落體所作的功，未曾探討「拉力」作功的情形，也代表該量並非是他所廠興趣的物理量。因此，若避開去思考拉力所作的功，對欲了解全盤力學裡有關功與動能最初的根本意涵及內容的學習者，必有直接澄清的助益。

(4)

科學教育月刊第 387 期中攀民國 105 年 4 月

L'.

v

₁ex;

F

f.tex;

DE .DE

=

DE

2

L'.v

₂

使

_{FIt缸，仗 IT·IK}

=IN

2

_=DE

2

(6)

可得知兩速度增量彼此相等L'.v

₁

=

L'.v₂ ' 其中 Ftt表示力 IN 在沿速度方向(或沿位移 IK 方向)上之分量，即 IT ，式中並引用了在直角三角形 6INK 內，頂點 N 至斜邊垂

足 T 之所形成之比例關條 IT.IK =IN

2

_。因

此，在其它任意相同高度處(如 E

與

K)

,

它們的速度也都會相等，而得證。式 (6) 中 F//表示沿位移 IK 方向上之力分量，速度增量 6v 則正比於「沿位移方向之力分量」與時間或位移的乘積，這是物理學史上首次出現「沿位移方向之力分量 J '及討論它與位移乘積的最初來源。來分析路徑 - VDE 與路徑二 VIK 的運動。由於在直線上做速率增加之加速運動物體，其速度方向與力 F 方向相同，將此性質推廣至平面運動:力僅有在沿著速度方向(或路徑的切線方向)上的值抖，才可造成速度增量，與它重直方向上的值缸，則只會改變速度方向。由於 D 與 I 至力心 C 之距離皆相同，表示在該點上物體所受之向心力 F 大小亦相同(因向心力僅為距離的函數) ，可用等長之短線段 DE=IN 來表示這些向心力。若在 D 與 I 處初速相同，於極短距離下，自 D 與 I 分別至 E 與 K 之位移 DE 與此，可分別代表所費之時

間 !1t 與 L1t' 。則自 D 到 E 之速度改變量

L'.

v

₁ ' 與自/到 K 之速度改變量 L'.v

₂

' 按照上述第二定律形式的式 (5)分別為

(5)

L'.

v

ex;

F

f.t

E

D

A

v

若一物體受到某一向心力(力心為 C) 作用，而在任一路徑上(如 VIK) 運動時，另一物體則沿著直線下降(如

VDE)

; 若已知在某一相同高度時(如 D 與1)它們的速度相等，則在其它任意相同高度時(如 E 與 K) ，它們的速度也都會相等。 (Newton ，

1687

/1

846 ,

p.

165 )

C

圖 2 向心力 IN 與其沿位移方向分量 IT 之關條圖。引自 Newton's

Principia'

Newton

,

1687

/1

846 ,

p.

165 。在論證中全皇且利用了第二定律的另一形式:在直線上運動之物體，其速度的增加量 6v 正比於力 F 與時間間隔 6t 的乘積，即肆、普遍性功概念的提出一命題的上述所討論的式 (2) 與 (3) ，及對應所隱含的功與動能概念，皆僅在力與位移方向相同時方成立。若作用力與位移方向不同時，該如何處理?生直接著在下一個命題的(如圖 2) 提出了他的想法:

28

(5)

-牛頓最先所提出功與動能概念的意涵

a(x)

此處 G 與 v 分別表示物體的加速度與速度， !">x 與 Ll v 分別表示物體的位移增量與速度增量。而式 (7) 基本上是由加速度定義。=Ll ν/ 山及其與位移 !">x 之乘積，重組後所得，即。似 =

(Ll

v

1Ll

t)

!">x

=

v

Ll

v

0 速率 (ν)

v

(a) 若視質量為一單位，加速度 G 與位移增量 tu 乘積所形成之積分量，即為外力所作的功。 (b) 速度 v 與速度增量 Llv 乘積所形成之積分量，即為物體的末動能，且 a!">x=v

Ll

v 0 圖 3 f(ν) =v 若將加速度-{立置關條圖與對應之速率關條圓繪出。如圖 3(a) 與 (b) 中，式 (7) 代表任一小段位置 !">x 與小段速度 Llv 分別所對應之陰影面積會相等，該式也可稱為任意時刻加速度 G 與速度增量卸的微分關條式。進一步地，生且發現將此式 (7) 左邊的量，累積起來，即為加速度→立置關條線下的面積，便會與同式右邊累積起來之值L: vLlv 相等。若物體初速為零，此累

積值即是末速度平方之一半 ν2

/2

' 此值乘

上質量後，便是日後所吉之物體「動能 J ' 這也說明了一般中學生常困惑為何動能需要條數 1/2 的原因。

式 (7) 之累積式為 L: a!">x

=

L:

v

Ll

v=

i

12 '

兩邊同乘上質量，再利用生盟第二運動定

律，可得 L: F!">x =miI2 ' 而左邊代表力一

位置關條線下的面積，也就是日後所說的「功」。結合左右兩邊，遂可得到物體自靜止開始運動的「功能定理」﹒

(7)

位置 (x) 面擅自功

x

atu=v~v

O

伍、討論一、功與動能概念發生的關鍵與先後關你功與動能概念的產生、意義及其關條最早是在 1687 年由主盟於{原理〉命題 39 中所提出，雖然當初他並未明確使用「功」與「動能」此二名詞。當時生盟心中「功」的意義為外力相對於物體位置的關條函數曲線下，自起點到終點所含蓋的面積值;當物體作直線運動，且所受外力為一定值時，他所說的曲線下之面積，即是今日一般所稱:功是物體所受的力與其位移之乘積。生盟所以提出「功」的概念，是為了要發現受向心力作用，沿直線下落的物體，任意位置一速度間的對應關像。為達成此目標必須要計算運動物體的速度增量，其中所使用最重要的關鍵式即為:

(6)

科學教育月刊第 387 期中華民國 105 年 4 月

功=末動能或 fFi的十v

2

₍₈₎

此式或功能定理可稱為式(7)的積分關條式。利用此積分關條式，全盤便可達成其目標:求得物體在各個位置時的速度。也可說是先有式 (8) 左邊的力一位置關條線下的面積，然後利用式(7) .方可得到等式右邊不同位置時的動能，即功概念的發生是先於動能概念，而非在其後。對於電磁學家馬克士威稱功是從一系統到另一系統的能量轉移作用，是從己奠定後的能量概念返回定義功，他如此做可能是為了方便探討碰撞或熱學現象而提出，但卻也模糊了此兩概念發展過程的實惰。回溯史實，物理學家主盟最初提出「功」的概念，並定義它是物體所受外力與其位移之乘積之累積值，完全是為了想預知物體在外力作用下，它在任一位置處的速度。而非如日後的工程師，所想、7 解抵抗重力的拉力可使物體抬升多少高度，或完成了多少工程上的工作量;他也未曾提及或主張動能是一種作功的能力。功概念的原始關係為 atix = ν仰，這是一種短距離的微分關條式，將其累積後則形成積分關條式，而等式右邊主ν卸的積分值等於 ν2/

2

.與質量之乘積即為動能的定義。因此，功與動能概念的形成是無法避開數學語言，而其中所含數學他及數學分析性的方法過程，正顯示出與能量有關的科學方法的真實改變歷程(

Matthews

,

1994

,

p.

50) 。

-

30-二、功普遍化的意涵一內積的來源、在{原理〉命題 40 中，當力與位移方向不同時，生盟不再論及力一位置關條線下的面積，而首次考慮「沿位移方向之力分量」。對於在平面上運動的物體，由F (6)的第二定律，力 F 若要對物體產生速度增量，則僅有在沿著速度方向、或路徑的切線(或位移)方向上之分量值門，才可產生貢獻效果;而此分量與位移的乘積就可代表速度增量卸的大小。即 (速度增量) <1;;(力治速度方向之分量)

x

(作用時間) <1;;(力沿位移方向之分量 )x( 位移) 在此利用 7: 於極短時間下，位移與作用時間互成正比。為求得位移與受力方向不同時的速度增量，全盟所吉 :r 沿位移方向之力分量」與位移之乘積，即為現今所稱.功為物體所受外力與其位移的「內積」。在他之前或同時代的專家，皆未曾知道或使用過此種描述與論證。進一步而言，不論力與位移方向是否相同，只要將功視為力與位移之內積，而非乘積，則功能定理式 (8)依然成立，藉此亦可求得物體在各個位置時的速度。陸、在教學上的意義與結論能量知識在物理學上的成形，正是由主且最初提出功與動能之概念所開敵的，他在{原理〉一書中，使用第二定律的微小增量關條式 (2)

:

Ftix 民 vL'1v • 與將其累

(7)

積起來的求和關條式 (3)

:

I. F!li 仗 I. v~v '以求得物體在任意位置處的速度，而此式左邊就是現今所吉的「功」之定義，右邊之累積值即為斜直線下的三角形面積

v

2

/2

'也對應今天所說的物體「動能」。這是此二概念最早的發源處，它們不是出自於日後工程上的需求而有的想法。生豆豆從第二運動定律所強調的微小增量關條開始，透過將其累積起來的求和關係式，最後得到功與動能的概念以及功能定理，其中蘊藏了豐富的思考內涵及深刻的推理方法，也開歐與引導了日後物理學家的分析視野，影響深遠。若是直接使用一些工程上或日常生活經驗的類比，學生可能依然不易體會，或引起一些述思，或遺漏重要觀念，甚或因含混不清而排斥對科學的學習。教師不妨嘗試，依照真實的歷史發展過程，將當初生直為求得在外力作用下，物體在不同位置的速度或速度增量的問題引導出來。讓高中以上的學生體會微小增量的微分量，及其累積的積分量所代表的意義，接著可指出功即為與微小位移增豈有關的積分量，而動能則為與速度增量有關的積分量。直接切人主軸，如當初生盟一般，逐步地扼要推展。事戶上，這正反應出生盟創建微積分學的用意，同時也是極佳的應用展示，此方法在隨後的物理數學分析中亦會不斷出現。這些可作為教師教學策略設計上很好的範例，它能呈現出科學為何要這般思考的意涵 (Shapere，

1984

,

p.

190) 。或許這麼做需使用多一些時間，但在費這些時間牛頓最先所提出功與動能概念的意涵所建立與展開的方法，不僅可增強學生對物理形式關條的詮釋能力，同時也是學生日後在物理領域中會反覆使用的思考內容及分析方法。教師也有必要鼓勵學生，建立這些數學分析與真實世界之間明確的連結關條(

Lawson

&

McDermott

,

1987) 。藉著這些過程的學習，學生除了可獲得能一的基礎觀念是如何形成、及科學知識是如何發展的良好實例，未來也必會得到可觀的學習成就與回韻。縱使教師認為以上分析內容對部份高中學生或許難度較高，然而生豆豆的思考方式，與功和動能提出的歷史過程，仍然值得物理教師們參考。由於教師是教學成敗的關鍵，教師所具備的知識應比他所要敦的多一些，在教學之前，物理教師也須先認識與經歷該如何進行精確與深刻的科學思考。而透過上述對功與動能思想、發展過程的 7 解，或根據該史料簡明地重新走一遍，將使教師具有更充份的教學知識，來引導學生進行有效合理的物理思考，及建立良好的學習方式。這是一種實事求是的教學方法，並與物理學的真實內容相當契合，也可呈現物理知識的正確內涵。

參考文獻

國立台灣師範大學科學教育中心( 1995) 。高級中學物理第二冊(吳大敵主編)。台北市:國立編譯館。

Westfall

,

R. S. (

1977) 。近代科學的建構一機械論與力學(彭萬華，譯)。上海市:復旦大學。(原著出版於 1977