北區高中學生數學與科學跨領域研究人才培育計畫 102學年度第一學期招生筆試 2013年9月29日 考試時間: 13:30 – 16:30,計三小時。15:30之後可以提前交卷 除了作圖可以使用鉛筆或有色筆,其餘答案限用黑色或藍色筆書寫 答案不得以修正液(帶)修正 不得使用電子計算器 計算證明題(每題七分,只有答案不計分) 1. 試證:對任意的整數n皆能找到合適的整數a, b與c使得 n = a2+ b2− c2. 2. 已知ABCD是正方形, P 是邊BC 上的一點,直線DP 交AB的延長線於點Q. 若 DP2− BP2 = BP · BQ. 試求∠CDP 的度數。 3. 試求所有的正整數對(a, b)其中a ≤ b使得 ab = 300 + 7 lcm(a, b) + 5 gcd(a, b), 此處gcd(a, b)與lcm(a, b)分別表示a與b的最大公因數與最小公倍數。 4. 令n為自然數,將數字1, 2, . . . , n排列為a1, a2, . . . , an, 使得任意as與at(s < t)的平均值 不會等於au對所有s < u < t. 請證明: 對於任意n這樣的排列一定存在。
參考解答 2013年9月29日 問題一 試證:對任意的整數n皆能找到合適的整數a, b與c使得 n = a2+ b2− c2. 解:當n = 0顯然成立。 n 6= 0, b2− c2 = (b − c)(b + c). 若取b − c = 1則n = a2+ 2c + 1. (i)取a = 0, n = 2c + 1. (ii)取a = 1, n = 2(c + 1). 另一種觀點:只要觀察非負整數的平方0, 1, 4, 9, 16, 25, . . .,可以發現相鄰的數字差是2k + 1;所以 很自然的選擇(a, b, c) = (0, k + 1, k),也就得到n可以是任意奇整數2k + 1.再修改一下(a, b, c) = (1, k + 1, k),就得到n可以是任意偶整數2k + 2. 1
問題二 已知ABCD是正方形, P 是邊BC 上的一點,直線DP 交AB的延長線於點Q. 若 DP2 − BP2 = BP · BQ. 試求∠CDP 的度數。 解: ∠CDP = 22.5◦ . 如圖所示,記∠CDP = ∠P QB = θ,在邊AB上取一點T ,使得BT = BP ,連結DT, DB。 由對 稱性得 DT = DP, ∠BDT = ∠BDP, ∠ADT = ∠CDP = θ. 再由題設得 DT2 = DP2 = BP2 + BP · BQ = BT2+ BT · BQ = BT (BT + BQ) = BT · T Q, 即 DT BT = T Q DT, 又因∠DT B = ∠QT D,所以∆DT B ∼ ∆QT D. 故 ∠BDP = ∠BDT = ∠DQT = θ. 於是4θ = ∠ADC = 90◦,即 ∠CDP = 22.5◦.
問題三 試求所有的正整數對(a, b)其中a ≤ b使得 ab = 300 + 7 lcm(a, b) + 5 gcd(a, b), 此處gcd(a, b)與lcm(a, b)分別表示a與b的最大公因數與最小公倍數。 解: 令d = gcd(a, b)且a = αd和b = βd.所以gcd(α, β) = 1. 題目的等式變成 αβd2 = 300 + 7αβd + 5d. 則d | 300 (d可以整除300). 再考慮 (d − 7)αβ = 300 d + 5. 很明顯d > 7,但d又要是22· 3 · 52 的因數,所以d ≥ 10. 不過以d = 10代入得3αβ = 35,顯然 不合。 目前的結論是d ≥ 12. 接著證明d ≥ 15不合。 如果d ≥ 15,則上一式可得8αβ ≤ 25或αβ ≤ 3. 因為gcd(α, β) = 1 必然是{α, β} = {1, 1}, {1, 2}或{1, 3}.代入後分別需要解 d2− 12d − 300 = 0, 2d2− 19d − 300 = 0, 3d2− 26d − 300 = 0. 然而由判別式推得:對於以上三式,沒有d的整數解。 因此d ≥ 15不合。 所以若有解必須是d = 12,以此代入馬上得到αβ = 6,也就是{α, β} = {1, 6}或{2, 3}. 答案 是{a, b} = {12, 72}或{24, 36}. 3
問題四 令n 為自然數,將數字1, 2, . . . , n 排列為a1, a2, . . . , an, 使得任意as 與at(s < t)的 平均值不會等於au對所有s < u < t. 請證明: 對於任意n這樣的排列一定存在。 解: 先證明 n = 2k 的存在性。 當 k = 0 時 n = 1, 這顯然存在。 對於 n = 2k 且 k > 0 時, 令m = n/2,依數學歸納法存在數字1, 2, . . . , m 的排列a1, a2, . . . am 滿足條件。讓我們考慮數字 1, 2, . . . , n的排列 (b1, b2, . . . bm, bm+1, bm+2, . . . , bn) = (2a1, 2a2, . . . 2am, 2a1− 1, 2a2− 1, . . . 2am− 1). 對於所取之bs與bt,若s < t ≤ m或m + 1 ≤ s < t,依據a1, a2, . . . am 的性質得知bs與bt滿足 條件;若s ≤ m < t則bs與bt的平均值非整數,自然也滿足條件。 對於其他非2冪次的n,先找到k 使得2k−1 < n < 2k. 利用滿足條件的a1, a2, . . . a2k,然後刪 除其中的數字n + 1, n + 2, . . . , 2k,這樣就完成了!
問題五 令ABC 為一三角形且令其三內角∠A, ∠B, ∠C 之角平分線分別與∆ABC之外接圓 相交於點A1, B1 與C1. 令AA1 與CC1 相交於 I 點, AA1 與 BC 相交於 N 點, BB1 與A1C1
相交於P 點。 令O 表∆IP C1 之外接圓圓心且令 OP 與BC 相交於 M 點。 若 BM = M N 且
∠BAC = 2∠ABC,試問三角形∆ABC之三內角為何? 解:令∠CAB = α, ∠ABC = β, ∠BCA = γ.因
∠IP C1 = 1 2(弧BA1+弧C1B1) = 1 2(弧BA1+弧AC1+弧AB1) = 1 2(α + β + γ) = 90 ◦ 因此O為線段IC1之中點。 得 ∠IOP = 2∠IC1P =弧CA1 = α. 又∠CC1B = α則OP k C1B.因C1O = OI 且BM = M N ,得IN k C1B,即∠CIA1 = α. 另 一方面 ∠CIA1 = 1 2(弧CA1+弧AC1) = 1 2(α + γ) = 90 ◦− β 2. 上述推得 α = 90◦−β 2 = α + γ 2 , 即α = γ. 因α = 2β,得α = γ = 72◦, β = 36◦. 5
問題六 令a, b, c為正實數且滿足abc = 1.試證 a b + b c+ c a ≥ a + b + c. 解:由算幾不等式得 1 3( a b + a b + b c) ≥ 3 r a2b b2c = 3 r a2 bc = a (因abc = 1). (1) 同理可得 1 3( b c+ b c+ c a) ≥ b (2) 1 3( c a + c a + a b) ≥ c. (3) (1)+(2)+(3)得 a b + b c+ c a ≥ a + b + c.
