數學結構序列法在國中公因數與公倍數概念上之應用

全文

(1)

國立台中教育大學數學教育學系碩士班碩士論文

指導教授:胡豐榮 博士

許天維 博士

數學結構系列化法在

國中公因數與公倍數概念上之應用

研究生:王禹 撰

中華民國一百零四年六月

(2)
(3)

謝誌

自從進入研究所後,才發現寫論文不是一件容易的事情。平時要在學校代課, 又要應付研究所的課業面對這些壓力。使得一向自負的我,也搞得千頭萬緒,不 知如何下筆還。好在上了指導教授胡老師的課之後,發現概念構圖的概念跟自己 所學相近,於是才開始文思泉湧將論文完成 本論文是結合概念構圖與題庫。由於研究題庫要跟概念購圖結合,並不是一 件容易的事。還好有指導教授胡老師提點過,因此才能夠將本論文完成。除此之 外,尚要感謝系上教師及許天維院長的指導。由於平常還要上班,因此幾乎沒有 時間校槁。所以要感謝曾為自己家教學生,台中教育大學特殊教育學系已畢業的 學生何宜達同學的細心校對,對在此提出感謝。 王禹 謹誌 中華民國一○四年七月二十一日 I

(4)
(5)

中文摘要

本研究旨在探討數學結構系列化法在國中公因數與公倍數概念上之應用的 研究,以國一數學公因數與公倍數為研究單元。 本研究對象是公立學校的學生再加上自己任教補習班的學生。藉由概念構圖 的分析,將自編題庫的題目作最有效的分配以達到最佳的教學成果。本研究要脫離 理論的限制強調實用的功能。茲將本研究論文結果分述如下 (一) 使用數學結構系列化法在段考單科排序上,多數達到班上前幾名 (二) 數學結構系列化法在國中公因數與公倍數概念上之應用達成教學成效。 (三) 數學結構系列化法在國中公因數與公倍數概念教學上可以在短期內達到教學 效果。 (四) 數學結構系列化法在國中公因數與公倍數概念教學上之補強教學達成效果。 (五) 研究顯示數學結構系列化在改善教學上有極大效果。數學結構系列化是以概 念構圖為基礎,研究顯示出利用概念構圖分析後在公立學校,補習班段考成 績上,獲得顯著教學效。

關鍵詞:概念構圖、公因數與公倍數、

單科排序、補強教學 III

(6)

Abstract

This study was to explore Math Instructional Structure Methods applying to common divisor and common multiple in junior high school. State a mathematical common divisor and common multiple of research unit.

The research objects are the public school’s students together with my own cram students.By analyzing the concept mapping, the subject of distribution for the most effective to achieve the best educational outcomes.

1. Math Instructional Structure Methods apply to the rank of the monthly exam on the sort, the majority reached the top few in the class.

2. Math Instructional Structure Methods in Common Factor and the concept of common multiple achieve the effectiveness of teaching.

3. Math Instructional Structure Methods in Common Factor and the concept of common multiple can improve the effectiveness of teaching in a short time. 4. Math Instructional Structure Methods in Common Factor and the concept of

common multiple achieve the effect of teaching by using reinforcing teaching. 5. Studies have shown that the structure of the series in improving mathematics

teaching has great effect. Mathematical structure of the series is based on the concept mapping. Research shows that after the use of concept mapping analysis on public schools, cram monthly exam results, access to significant teaching effect.

Keywords:concept mapping、common divisor and common multiple、 the rank of the exam on the sort、reinforcing teaching

(7)

目次

第一章 緒論……… 1 第一節 研究背景與動機 ……… 1 第二節 研究目的與待答問題 ……… 1 第三節 名詞解釋 ……… 2 第四節 研究範圍與限制 ……… 6 第二章 文獻探討……… 9 第三章 研究方法 ……… 17 第一節 研究設計 ……… 17 第二節 研究人員 ……… 17 第三節 研究工具 ……… 20 第四節 資料的蒐集與分析及研究流程 ……… 21 第四章 研究結果與討論……… 27 第五章 結論與建議……… 59 第一節 結論 ……… 59 第二節 建議 ……… 61 參考文獻……… 63 附錄……… 67 V

(8)

表次

表 1-3-1 103 年國中教育會考各科能力等級加標示與答對題數對照表………… 5 表 3-2-1 學校挑選出來的 10 名學生………18 表 3-2-2 A 補習班(一般公立國中)挑選出來的 8 名學生 ………18 表 3-2-3 B 補習班(資優班及私中班)挑選出來的 8 名學生……… 19 表 3-4-1 因數與倍數(公立學校及 A 補習班使用)前後測試題雙向細目表…… 24 表 3-4-2 因數與倍數(B 補習班使用)前後測試題雙向細目表………25 表 3-4-3 題目在概念圖的歸屬 ………25 表 4-1-1 公立學校校用卷及研究所用的前測成績……… 28 表 4-1-2 公立學校前測答錯題目表……… 29 表 4-1-3 公立學校前測答錯題目分析表……… 30 表 4-1-4 公立學校前測歸屬代號……… 30 表 4-1-5 公立學校補習班補強教學歸屬代號表……… 34 表 4-1-6 公立學校後測答錯題目分析……… 35 表 4-1-7 公立學校後測答錯題目分析表……… 36 表 4-1-8 公立學校後測答錯題目歸屬……… 36 表 4-1-9 公立學校實施結果分析(刮號內的數字為單科排序) ……… 38 表 4-1-10 前後測成對檢定……… 38 VI

(9)

表 4-2-1 A 補習班校用卷及研究所用的前測成績………39 表 4-2-2 A 補習班前測答錯題目表………40 表 4-2-3 A 補習班前測答錯題目分析………41 表 4-2-4 A 補習班後測答錯題目分析………42 表 4-2-5 A 補習班後測答錯題目分析………43 表 4-2-6 A 補習班前後測及月考分數表……… 44 表 4-3-1 研究者 B 補習班前測及校用卷成績………45 表 4-3-2 B 補習班前測答錯題目表……… 46 表 4-3-3 B 補習班前測答錯題目分析……… 47 表 4-3-4 B 補習班前測題目歸屬代號表……… 47 表 4-3-5 B 補習班後測答錯題目表……… 51 表 4-3-6 B 補習班後測答錯題目分析……… 52 表 4-3-7 B 補習班後測題目歸屬代號表……… 52 表 4-3-8 B 補習班前後測成績統計……… 54 表 4-3-9 歸屬代號………56 表 4-3-10 超前進度教學歸屬代號……… 56 表 4-3-11 超前進度練習答錯題目表……… 57 VII

(10)

圖次

圖 1-3-1 概念構圖圖形……… 4 圖 1-3-2 概念構圖圖形……… 5 圖 2-1-1 訊息處理過程………13 圖 3-4-1 研究流程圖………22 圖 3-4-2 試題歸屬概念構圖………24 圖 3-4-3 前測概念構圖………26 圖 4-1-1 公立學校前測概念構圖………31 圖 4-1-2 補強教學概念構圖………34 圖 4-1-3 公立學校前測概念構圖 1………37 圖 4-1-4 公立學校後測概念構圖 2………37 圖 4-2-1 公立學校前測概念構圖 1………41 圖 4-2-2 公立學校後測概念構圖 2………42 圖 4-3-1 B 補習班前測概念構圖 1………48 圖 4-3-2 B 補習班後測概念構圖 2………49 圖 4-3-3 B 補習班前測概念構圖 1 ……… 53 圖 4-3-4 B 補習班後測概念構圖 2 ……… 53 圖 4-3-5 公立學校後測概念構圖……… 55 圖 4-3-6 超前進度教學概念構圖……… 56 VIII

(11)

第一章 緒論

本章中共分成四節來加以論述,首先是研究者的研究背景與動機,其次是本研 究之研究目的與待答問題,接著是本研究中所使用的重要名詞之釋義說明,最後是 本研究之研究範圍與限制。

第一節 研究背景與動機

研究者上學期接下一所國中一年級的代課,共有三班,本研究之研究目的是研 究數學結構系列化法在國中公因數與公倍數概念上之應用,因此採用抽樣分析。 因為本研究是藉由題庫出題,希望達到改進教學及預測出題的目的, 題庫光碟出 題是現今各學校月考及教師小考的出題題目來源,使用概念構圖分析其中關聯可以 簡化教學,測試的內容以國一生較為熟悉的因數與倍數單元為專題。 研究者亦同時在補習班任教,研究者認為補習班與學校教學各有優劣,故一方 面將補習班教學融入學校課堂教學,一方面將學校老師較為擅長的教室管理融入自 己的教學分法。本研究強調研究的實用性,必須要在短期內改善學習效果,因此結 合概念構圖,研究強調短期內就要能夠改善教學效果,因此強調教學的時效性。

第二節 研究目的與待答問題

基於上述的研究背景與動機,先抽取十名學生作測試,並以代號分別代表國一 學生。一般國一生最熟悉的單元是因數與倍數,因為在小學 5、6 年級時就學過因 數與倍數,現今國一上學期第一單元為正負數但本研究先不才採用正負數(學生較 不熟悉)。本研究是藉由題庫出題後再經由概念構圖分析其中學習成效,茲將本研 1

(12)

究的目的與待答問題分述如下。 一、研究目的 綜合上述的研究背景與動機,本研究主要目的有兩個: (一)探討結合數學結構系列化法在國中公因數與公倍數概念上之應用命題教學 之實施歷程。 (二)探討結合數學結構系列化法在國中公因數與公倍數概念上之應用教學之實 施成效。 二、待答問題 基於上述的研究目的,本研究的待答問題分述如下 (一)數學結構系列化法在國中公因數與公倍數概念上之應用之實施歷程為何? (二)數學結構系列化法在國中公因數與公倍數概念上之應用「實施中」所用教 學策略對學生學習情形之影響如何? (三)數學結構系列化法在國中公因數與公倍數概念上之應用教學實施中教師所 遭遇到的困境及其解決之道為何? (四)結合數學結構系列化法在國中公因數與公倍數概念上之應用「實施後」 , 學生在因數與倍數的學習成效為何?

第三節 名詞釋意

壹、概念構圖(concept mapping)

概念構圖是由 Cornnell 大學的 Novak 教授及其同僚所創立的,用命題式的

概念構圖來表徵所欲學習的概念與概念之間有意義的關係(Novak & Gowin,

1984)。概念構圖是在一個主題中,確認出重要概念,並將這些概念排列圍繞在一

(13)

個 5 主要概念之下,用連結線與連結語標示出某些概念的相互關係,每個概念構圖 代表著個人表達概念的意義。 而本研究針對國一數學學童,省略概念構圖中的複雜語,將較為複雜的概念構 圖簡化成一簡單有系統的概念構圖,內含有主題─基本概念,及短除法、最大公因 數、最小公倍數。

貳、題庫命題

題庫光碟在命題時通常會有一選題程式,其中可以分為電腦選題及自己選題, 通常最長使用的是電腦選題。電腦選題時,通常會根據題目的難易度分為難中易, 然後再根據學生的程度挑選適當的比例,例如在欲選題目中某一單元選擇十題可以 難分配三題、中分配四題、易分配三題,難中易的分類題目題庫光碟已分類好,亦 可自行加入。 本研究所用的題庫參考題庫光碟並加入基測會考題目及各校月考題 目加以改編而成。

參、因數與倍數概念

因數與倍數概念包含因數個數、 最大公因數與最小公倍數、質因數分解、及 利用最大公因數與最小公倍數來解決應用問題本研究所定義的因數與倍數概念是 由題庫光碟就其中一主題(如最小公倍數)出題後,以概念構圖分析後作為改進教學 及命題的參考。

肆、國一學生

本研究中所定義的國一學生,是指 一般公立學校的學生,再加上自己任教補 習班的學生,由於學校與補習班學習環境不同,許多研究人員常常只挑選在校生而 忽略補習班的學生,所以本研究算是比較完整的研究。 3

(14)

伍、補強教學

本研究的補強教學,是指學生已學過的課程內容,針對其學習盲點所改善的教 學活動。跟一般補 救教學不同,本研究的補強教學通常是在進行一次測試之後即 進行,其目的是要提高下一次施測成績所提出的教學活動。補強教學有一缺點,即 題目屬於難度較為高的題目,所以本研究的補強教學只針對一定程度的學生。

陸、概念構圖分析

本研究是以「概念構圖概念構圖分析」,蒐集學生對概念構圖教學的成積。在 分析完成後可以改便教學的順序、補救教學的參考、題目難易度的選取本研究用以 瞭解與探討學生再概念構圖分析後學習態度的改變情形。本研究以極簡化的概念構 圖的圖形來表示。

研究者先將因數與倍數的單元作成雙向細目表,並將分為四層次以便與概念構 圖相結合。其中 a、b、c 為第一層次為,d、e 第二層次,f、g 為第三層次,h 為第 四層次。 4

(15)

本研究與現今會考的出題相符合。蓋會考分為待加強、基礎、精熟、三級與本 研究的概念構圖完全相符見圖 1-3-2:

根據表 1-3-1 本研究出題形式盡量與會考形式相符。

表 1-3-1 103 年國中教育會考各科能力等級加標示與答對題數對照表 國文 英語 數學 社會 自然 A+ + 41~ 48 45~48 33~ 40 38~40 22~ 27 25~27 53~ 63 60~63 46~ 54 52~54 A+ 43~44 36~37 24 57~59 50~51 A 41~42 33~35 22~23 53~56 46~49 基 B+ + 19~ 40 35~40 13~ 32 27~32 10~ 21 18~21 23~ 52 43~52 19~ 45 36~45 B+ 30~34 22~26 15~17 35~42 28~35 B 19~29 13~21 10~14 23~34 19~27 待 加 C 0~18 0~12 0~9 0~22 0~18 5

(16)

第四節 研究範圍與限制

壹、 研究範圍

本研究主要是提高數學短期成效的研究,具有高度的時效性。雖然強調短期就 要展現效果,但關於因數倍數概念的研究範圍極為廣泛,舉凡短除法、質因數分解、 因數倍數、應用問題,皆在研究範圍概念構圖,亦可以表示跨單元之間的關係概念 構圖可以有效分析題庫之間的關係。

貳、 研究限制

本研究因時間與人力之因素,在研究對象、研究時間與研究教材內容方面有以 下之限制: (一)研究對象的限制 本研究之研究對象的選取,為了研究方便乃選取研究者代課的一所國中,三班 七年級學童為前測施測對象。為了針對數教學研究,乃選取前測成績前 50%的,10 名學童及前測成績後 50%的,5 名學童作為本研究之研究對象。若欲推論,到其他 公立學校,則須考慮學校性質的差異,所以本研究挑選代表性的學生教學參考之 用,不適合過度推論。 但是本人任教之補習班來自不同學校,所以研究的內外效 度較高。本研究是在探討題庫與概念構圖,所以要有較為彈性的施測時間學校有較 為多的樣本可以挑選,但是現在的補習班學生大多強調小班教學,不可能像學校一 樣動輒三四十人大多十到二十人,甚至只有個位數。 (二)研究時間的限制 因本研究的研究對象是國中三個班,因為國中學生都要參加第八節輔導課,通 常研究者都是利用第八節輔導課來進行小考,因此利用輔導課進行施測,但因為擔 6

(17)

心學生不認真寫,於是將施測卷當作一次小考成績,成績優良者予以適當獎勵,但 是輔導課一星期只有一次,並且學校使用的校用卷也有不少單元要考,因此某些單 元交給小老師負責以爭取施測使時間。補習班的學生則因為時間較為容易掌握,可 以在一年內為完整的分析,大部份學生都會到補習班上課,通常補習班上課時間通 常是九十分鐘,一星期有兩次,研究者會在第二次作單元小考,所以就利用小考時 間來施測。通常補習班班主任不會干涉教學內容,因此施行起來極為方便,但是因 數與倍數通常是在第二次月考才會考,而且一次月考的時間只有一個多月,所以在 資料取得上時間極為緊迫。 (三)研究教材內容的限制 本研究之教材內容以國中一年級翰林版七年級學生所學之 「因數與倍數」單 元教材為主(南一康軒版為輔),討論的範圍以短除法、質數與合數的判斷,最大公 因數與最小公倍數混合題目,及最大公因數與最小公倍數的應用問題。但是國一學 生在此單元程度上有極大的差異,主要的原因是因為許多私中班學生在進入國中時 皆已經補過國一課程,公立學校學生只有在小六學過。因此就公立學校學生而言出 題及教學方面極為容易,只要根據題庫光碟正常的出題步驟即可。但是在私中班限 制較為大,因為私中班在入學考試時就已經超進度學習,不但已學到國一程度而且 題目變化多端,甚至沒有教過私中補習班的老師對許多題目也會有無力感。因此為 編輯私中班學生的題目可謂工程浩大,包括私中班考古題及坊間私中班的教材教師 自編教材(學生口訴後研究者自己整理)最後再融入題庫裡,然後融入高中試題。 7

(18)
(19)

第二章 文獻探討

本章旨在由探討相關研究之理論、文獻,做為本研究之理論基礎,根據研究 主題共分成四節,第一節藉由概念構圖的相關研究,來了解概念構圖的應用與方 法,並進一步統整出概念構圖的步驟。 第二為鷹架理論,第二為認知負荷理論 第四為相關論文研究

壹、概念構圖的功能

近年來,概念構圖除了瑝作學生的學習工具,說明學生形成的知識,來瞭解 其數學領域概念的理解;也有作為命題工具,建構主題或問題的概念分析;甚至 作為教學工具,運用對於課程大綱概念分析的結果,來有系統地組織教學和學習 的(Schmittau&Vagliardo,2009)。Novak 和 Gowin 將概念圖分成四個結構部分(余 民寧,1997): 1.關係(relationships):運用線和連結語連結兩個概念成為一 道命題的連結關係,且表 達出這兩個概念間的連結關係須為有意義且是有效的。 2.階層(hierarchies):係指概念圖中所呈現出的階層個數,其中,每一個附屬 概念應比 其上階層概念更具特殊性、更不一般化,亦即,概念圖中概念的排列 應呈現階層性。 3.交叉連結(cross-links):係指概念圖中某概念階層的一部 份和另一階層的部分概念間 呈現有意義的連結關係,且此關係必須是重要且有 效的。 4.舉例(examples):係指學習者能根據自己的理解,舉出特殊且具代表 性的例子,且所 舉的例子須為學習者將知識進行統整後,所找出特定的事件或 物件。 概念構圖的功能主要有三個方向:可以評量學生認知發展,瞭解學生對於數 學概念的理解;教師將概念構圖做為教學工具,可以幫助學生了解學習內容與自 身的學習情形,使概念構圖成為學生的學習工具;教師本身也可以運用概念構圖 9

(20)

做為分析課程內容的工具,釐清與協助自己對於課程的瞭解、安排與運用。

貳、鷹架理論

在維果茨基(Vygotsky)的認知發展理論中,最受重視的是他所提倡的可能

發展區(或最近發展區)( zone of proximal development)的理念(陳嘉陽,2004;

張春興, 2004)。 此乃介於實際發展層次( real level of development),即兒童自

己實力所能達到的水平(如學業成就),與潛在的發展層次

(potential level of development),即經由別人給予的協助後所可能達到的水平, 此兩層次水平間的差距,即為兒童的可能發展區或稱最近發展區。而他人所給予 兒童的協助,即稱為鷹架作用(scaffolding)(其意指「協助」對「發展」具有促 進的作用)。 本研究透過概念構圖,以分析題目的方式來改善教學,而不是單純套公式或 記億算式,亦是為學生搭起一簡易 解題的鷹架;最後融入課程為學生搭起能強 化所學卻也能輕鬆學習的鷹架。

參、認知負荷理論

認知負荷理論(Cognitive Load Theory)是當前研究中的熱門領域這一領域的

研究大都集中在如何減少認知負荷上認知負荷包含內在及外在認知負荷兩種來 源。認知負荷基模的獲得與自動化能減少認知負荷及工作記憶負荷認知負荷理論 採用訊息處理理論(information processing theory)的觀點,主張人類的認知資源 是有限的認知負荷理論是當前心理與教育研究領域的重要研究議題。分述如下:

(一) 基本概念

Paas(1992)提出「認知負荷」是一個多向度的概念,包含了心智負荷( mental

(21)

load)及心智努力(mental effort)。如果個體對學習內容所知感的困難度越大, 或 是個體在心智上越需要努力,則認知負荷就會愈大。是故,工作太過困難或 是工 作需要投入極大心力,都會造成認知負荷的過重。 Sweller 等人(1998) 認為「認知負荷」(cognitive load)乃指在學習者的認知 負荷與問題解決的研 究中,指出傳統的問題解決法太過強調解題技巧,學習者需 用大量的認知記憶 能力,而導致沒有多餘的認知能力來從事學習與基模的獲得, 因而造成認知負 荷。此外,認知負荷與短期記憶中的記憶單位數有關,如果個體 將一大堆記憶 項目貯存在期記憶內,則容易造成「過度」的知負荷。陳密桃(2003)指出「認 知負荷」係指個體在執行某種工作、作業或任務過 程中,個體所感受到心智負 荷與心智努力的負載狀態。就訊息處理理論而言,「認知負荷」係指運作記憶的 負荷(working memory load)。 黃巧琪(2004)則指出短期記憶的項目越多, 認知負荷越大;任務要求與自 身認知能力間差距越大,則認知負荷越大;在學 習過程中,越需要付出較多的心 智努力學習時,認知負荷就越大。此外,在心 智負荷與心智努力的負荷總量上, 如果超出個體所能接收的範圍,而導致認知 系統過度負載,將會造成心理或生理 上的負面效應,進而影響學習的表現。 (二) 認知負荷的來源 Sweller 等人就教學設計的觀點,將認知負荷的來源分為三類(郭秀緞,2005; 陳密桃,2003;Gerjets & Scheiter,2003;Pass, Renkl, &Sweller, 2003Pass, Tuovinen, Tabbers, & Van Gerven, 2003 ; Sweller et al., 1998):

1.內在認知負荷(intrinsic cognitive load)

內在認知負荷屬於單獨學習內容的內在本質,含教材特質、學習者的程度、 及二者之交互作用:

(1)教材特質:內在認知負荷主要受到教材本身要素間相互關聯程度的影響,

(22)

是教材本身的內在特性(難易程度),不會因教材呈現方式的不同而改變,也就是 不受教學設計者的影響。當學習者面對要素間相互關聯性低的教材時,其內在認 知負荷較低;反之,關聯性高的教材,其內在認知負荷較高。 (2)學習者的程度:學習者的專門知識、先備經驗的不同程度也造成不同程度 的內在認知負荷。學習者若將訊息與自動化的基模加以整合,將可降低工作記憶 的負荷。

2.外在認知負荷(extrinsic cognitive load)

外在認知負荷主要受教材呈現方式(教學方法)、教材設計、或活動本身的影 響,此種負荷是外加的,不同於內在認知負荷是無法改變,是認知負荷的核心, 可由教學設計者控制。其可藉由訊息呈現、訊息組織等設計而降低。

3.增生認知負荷(germane cognitive load)

增生認知負荷與外在認知負荷有關,也與基模建構有關。其藉由教學設計來 吸引學注意力以建構基模。所以,適當的教材呈現方式,不但可降低外部認知負 荷,也可幫助學習者專心學習與建構基模。 本研究對於認知負荷的理論上主要在於教學方法上,例如在於使用不同的解題方 法來降低認知負荷,例如在補強教學中為了降低認知負荷,同時適應個別差異使用兩 種不同的解題方法,並且教材使用方面,盡量使用相同的版本,以降低內在認知負荷。 本研究使用補強題目及考前猜題的方式,降低外在認知負荷,一般學校使用的校 用卷題目普遍偏難,而且無法收到因材施教的效果容易增加內在認知負荷。

4.訊息處理學習論(information-processing theory of learning)

資訊處理模式係以科學方式,分析個人從事各種心智活動(如知覺、記憶和問 題解決)時所發生的認知歷程和認知結構,藉以瞭解並預測個人的行為,目前已成

(23)

為心理和教育主流(張新仁,民 81)。一九七○年代開始,認知心理學的研究方向 轉向「訊息處理學習理論」。該理論主要受到電腦發明的影響,試圖以人腦模擬 電腦的作業流程,探討人類內在認知結構和認知歷程的運作,蓋聶(Robert M. Gagné)於一九八五年提出的學習與記憶模式更為詳盡。茲以蓋聶的資訊處理模式 為例說明一般認為影響訊息處理的發展者,有以下三個原因: 1、實際運用需求的影響 2、通訊研究的影響 3、電腦科學發展的影響 訊息處理的內在歷程,一般認為其中包括三個心理特徵: (1)訊息處理是階段性的; (2)各階段的功能不一,居於前者屬暫時性,居於後者屬永久性; (3)訊息處理不是單向直進式,而是前後交互作用的。 如下圖,圖 2-1-1: 圖 2-1-1 訊息處理過程 13

(24)

記憶又可以分為: a. 感官記憶 資料都是經由感觀系統獲取,但是在實際處理這些資料之前,都全先在感觀 記憶區(Sensory Memory)停留一、兩秒。這是因為刺激引發感觀中神經纖維的作 用,所造成極短暫的記憶。若不能引起消費者的興趣作出進一步處理,消費者感 官記憶區中的影像一、二秒後就會消失。 b. 短期記憶

短期記憶區(Short-Term Memory),又稱為工作記憶區(Working Memory),屬 於真正記憶的區域,此區域中,資訊只被處理或留存很短的時間。短期記憶區的 資訊可經由複誦(Rehearsal)的過程轉移至長期記憶區,即默默地在心 裡反覆存取 的過程。由短短記憶到長期記憶的過程大約要花二到十秒鐘,若資訊未經複誦並 加以移轉,往往會在三十秒內流失。根據米勒法則(Miller’s Law),短期記憶區的 容量大約在七個「記憶組集」左右。記憶組集(Chunks)是指對於一個人具有單一 意義的一項資訊。同時亦有學者認為,能夠儲存在短期記憶區內的資訊超過四到 五個項目,將會資訊過荷(Information Overload)。當新資訊不段進入,由於短期 記憶區的容量有限,舊的資訊若不再加以進一步處理,便會被新的資訊所替代。 c. 長期記憶。 長期記憶區(Long-Term Memory)內的資訊往往能夠存一段相當長的時間。對 一些過去發生的重大事件往往「記憶猶新」,也是因為該事件本身已經被儲存在 長期記憶區。由於長期記憶區的記憶容量基本上是無限的,所以從小至大的學習 成果都可以累積在在期記憶區內。 覆誦的目的是使短期記憶能夠留存足夠長的時間,以便使我們進一步進行編 14

(25)

碼(Encoding),即針對某一知覺事物,給予一字句或視覺形象作為代表類別,並 族入長期記憶區的過程。

肆、相關論文研究

吳育楨(2008)國小六年級學童因數與倍數概念階層之模糊詮釋結構模式分 析研究發現學童對於因數與倍數概念存在學習困難與迷思概念,而本研究旨在應 用模糊詮釋結構模式分析法,進行國小六年級學童因數與倍數概念階層結構之探 討,究之結果與發現,可幫助教學者瞭解學童的因數與倍數的概念結構,以及概 念結構與其能力值高低的不同而產生之差異,依據此差異可提供教師作為分組教 學課程規劃之架構,或是進行補救教學課程設計之參考,以提升學生的因數與倍 數概念學習成效。 陳建仲(2009)國小數學科自編教材運用於因數與倍數補救教學之學習成效 及學習態度之研究 以 ADDIE 教學設計模式設計國小五年級因數與倍數補救 教材,並針對六十名學生採取準實驗設計中的「不相等前-後測控制組設計」 (nonequivalent pretest-posttest control group design)。對於學生在因數與倍數單元的 學習成就與學習態度有何不同?教學實驗實施時間為期三週,並將實驗所得之資 料分類進行量化分析研究結果發現,接受以自編補救教材教學的實驗組,其學習 成就整體而言優於接受以傳統因數與倍數補救教材教學的控制組而且達顯著水 準,然而兩組在學習態度上並沒有太大的的差異。 陳昭伶(2014) 探討國小五年級學生在接受透過互逆的觀點,學習因數與倍數 單元的教學活動後,其學習成效、學習概念保留效果及學生的解題歷程為何。透 過互逆的觀點,學生學習「倍數與因數」的單元時,都能夠加深印象,並且都能 自己一步步的推論出答案來,由此可見透過互逆的觀點,學生學習「倍數與因數」 單元之重要性。 15

(26)

五、論文期刊

本研究參考已發表的論文期刊之概念構圖的形式結合最近的基測會考,而且 具有高度實用性。根據教材地位圖之上下位先後次序關係,日本學者提出四種型 態之教學策略,即脈絡型、基礎型、應用型與非脈絡型。此四種教學策略,乃分 別透過日本學者竹谷誠教授所提出之「策略性教學課題系列化法」(Strategic Task Sequencing method,簡稱 STS 法)來制定。 16

(27)

第三章 研究方法

本章共分成四節,第一節是研究設計,第二節是研究對象,第三節是研究工 具,第四節資料的蒐集與分析 。茲將各節分述如下:

第一節 研究設計

本研究以量化研究為主,輔以些許質化研究。本研究首先對學生的施測過程 作概念構圖分析確定學生已符合概念構圖的需求並作完量化分析後再編制後測 試題本研究採實證方式進行。以量化研究為主,質化研究為輔,研究中研究者針 對國中一年級補習班及學校的學生就數學因數與倍數,質數,最大公因數最小公 倍數混合題型及最大公因數最小公倍數應用問題概念的學習。有迷思概念或產生 學習困難的部分,以概念構圖融入課程進行補強教學,然後再進行完本研究。

第二節 研究對象

本研究為提高研究的信效度,在研究人員挑選上分為補習班以及學校。學校 方面,挑選十人補習班分為一般與資優班(以公立學校資優班及私中班為主)。補 習班方面,以本研究者所任教的三間補習班的學生為主。補習班,都是小班制人 數介於八到十五人之間,因為人數不多故容易掌握對象。一般補習班通常每週上 兩堂課(通常是星期一四二五三六),每週上課一點五到兩小時,所以研究的時間 極好掌握。在公立學校方面,本研究者雖然只是短代老師,但是現在的代課老師 雖然任期時間不長,但是在教學內容及成績方面有極高的自主權。故在學校進行 施測極為方便,而且段考成績及平常成績必需由代課老師負責登錄,故對段考及 17

(28)

平時考的成績掌握級為清楚。學校通常會使用俗稱校用卷,一般說來校用卷較為 通俗比例,無法因材施教,茲將參與研究人員列表如下(經由前測常態挑選): 表 3-2-1 學校挑選出來的 10 名學生 個案學生 上學期成績(數學) 全班排名 001 93 2 002 90 3 003 88 5 004 85 7 005 80 10 006 70 15 007 66 19 008 60 20 009 56 22 010 45 25 表 3-2-2 A 補習班(一般公立國中)挑選出來的 8 名學生 個案學生 上學期成績(數學) 全班排名 個案 1 90 3 個案 2 92 2 個案 3 85 6 個案 4 76 9 18

(29)

個案 5 56 21 個案 6 78 15 個案 7 93 2 個案 8 88 5 表 3-2-3 B 補習班(資優班及私中班)挑選出來的 8 名學生 個案學生 上學期成績 全班排名 編號 1 92 3 編號 2 90 5 編號 3 98 3 編號 4 90 10 編號 5 95 7 編號 6 88 12 編號 7 85 16 編號 8 80 13 B 補習班的學生程度較好,其中不乏月考常考滿分者。B 補習班的學生通常 是超進度學習,所以在進行前測之前已經在上第三單元一元一次方程式(因數與倍 數是第二單元),所以在前測之前並未作任何複習,只有告知要進行測試而已。 19

(30)

第三節 研究工具

本研究之補救教學的教材內容是有關公因數公倍數的概念,研究工具有: 1 編制題庫、2.題庫光碟、3.統計分析軟體 本研究是將概念構圖分析後,有預測及改進教學的作用。通常概念構圖分析 後,可以跟正式的考試做相關研究,並且可以在短期內改進學生成績,尤其在考 前,經由概念構圖分析後,將題庫光碟的難易度做適當比例分析。圖庫光碟的好 處就是在於可以將不同難易度的題目,依照需要的百分分來命題,許多老師在考 前的時候,大都會公布題型方向,題公布會收習作占多少。因此概念構圖分析後 可以找出教師的命題方向,而後再出一份考前題目,可藉此提高月考成績。本研 究不以升學導向為主,例如模擬考、基本學力測驗,而是以短期的小考、段考為 主。除了國中的題庫光碟外研究者,亦挑選給片高中題庫光碟(包括南一、龍騰、 康熹等版本)作為編制題庫之用。 本實驗在研究題庫 碟結合概念構圖,故研究工具有康軒、翰林、南一、部 編制,三大出版社題庫 工具有前測篩選,各版前後測試題及相關前後測試題相 關,其前後測量試題是將某難易度相當的題目(本研究將題目難、中、易三類型) 代換後再測試,然後再作概念構圖分析,除了概念構圖外,本研究亦將測試分 數與段考分數作相關研究,藉以進行補救教學。題目方面通常依照難、中、易出 20 題選擇題(比率方面:難佔 30%、中佔 30%、易佔 40%。但是私中及資優班學 生比率方面:難佔 70%,中佔 30%,易佔 0%,私中班加入高中的題目)作為篩 選標準。以常態將學生篩選出來此題目,並作為前測的題目將此題目作概念構圖 分析後,將難易度相同的題目置換,並作相關研究來驗證概念構圖是否需要修 正。因為本研究目的是要藉由概念構圖分析以改進教學,所以修正後的題目將有 極高的信度。 20

(31)

本研究強調實用性,一般研究者常會使用 spss、excel 等統計軟體,但是由於 台灣升學壓力舉世聞名,許多家長只在乎數學考幾分而不在乎學了什麼。教育測 驗要盡量簡化,不宜使用太複雜及太專業的術語,教育測驗要負責解釋的任務, 除了要向專業人員解釋外,還要跟非專業人員作解釋,例如以國中會考而言,會 考是難易適中,所以在題庫難中易題型中將難題比例降低,所以在解釋上較其他 軟體方便許多。因為題庫建立題庫時,即具有專家效度題庫,研究者皆具有二十 年以上的教學經驗,因此不需要再進行試題分析,因為曠日彌久,學生即刻需要 進步,所以 99%的老師會選擇使用題庫命題,但是因為題庫命題有人批評只有出 題功能,所以仍要經過統計分析,才有辦法經起學術考驗。其實不然,因為就學 生月考而言,單科排序就能證明教學效果,而統計分析反而容易產生解釋上的困 難,所以本研究若能達到單科排序後為班上前五名,即可證明有顯著的教學效果。

第四節 資料的蒐集與分析及研究流程

本研究資料的蒐集是以題庫出題。雖然出題極為方便,但是在題目選取上並 不一定是照單全收。因為如果是在學校教學版本只有一種,但是如果是在補習班 就有可能有兩種以上的版本,因此同一份考題需要符合概念構圖分析又要適應個 別差異其實也不是容易。 本研究資料的蒐集流程較為長,因為題庫光碟雖然早已出現(90 年即有),然 而大多只是輔助工具,因為學校只有在段考出題才會使用到。補習班老師使用率 較高,通常補習班老師編制自編講義會使用題庫出題,段考前也會使用題庫光碟 作為考前複習之用。所以不管是補習班老師或是學校老師都只是出題使用,並未 對題庫做深入研究,因此較一般研究者難度較為高,茲將本研究流程如下圖 3-4-1: 21

(32)

圖 3-4-1 研究流程圖 步驟一 擬定研究方向→確定研究主題→訂定研究問題→文獻探討→執行研究 計畫 本論文研究方向在碩一即訂定,因為參與論文期刊發表就以概念構圖為主 題。當時還為此寫過結合概念構圖如何結合題庫光碟,因此決定研究主題為概念 構圖結合題庫光碟為論文主題。研究問題方面以國中一年級上學期第二章因數倍 22

(33)

數為研究方向。因數倍數因為小學即學過,因此極容易喚起先備知識、引起學習 動機。文獻探討部份,除了概念構圖外,還研究相關理論如認知負荷理論、鷹架 理論、100 年九年一貫數學領域課程綱要。 步驟二 將自編題目融入題庫 →概念構圖資料收集→搜集不同題庫 本研究者任教補習班多年,收集不少考古題及自編題庫,很少人知道題庫光 碟其實也有編輯功能,可以自由加減題目,並將自編題目融入題庫中,可以增加 題目的廣度及適用度。因為如果是資優班或私中班的學生會發現題目深度及廣 度,甚至難度亦不足,因此為提高試題的信效度,適當融入其他相關試題是有其 必要。 步驟三 測試者挑選→進行後測 本研究對象挑選,先在公立學校挑選十位作為施測的對象,挑選的方式是先 根據因數與倍數製作一份雙向細目表以進行前測,然後再進行後測。補習班方 面,則是以一般國中及私中班為研究對象,但是私中班前測試題較為困難,因為 這些學生已在升學補習班學完大部份的國一課程因數與倍數。在這單元上,國中 教材已無鑑別度,因此適度加入高中試題。其實私中班(如台中市的衛道中學、明 道中學、立人高中國中部)月考題目難度較為高,尤其是衛道中學、明道中學通常 不考選擇題,只有填充及計算題,因此前後測皆以填充題為主。 私中班不進行補強教學,其主要原因是因為私中班學校老師已經編了自編講 義,而且學校考試也較一般學校密集。 步驟四 資料處理與分析 本研究在前測後即進行分析,先將題目歸屬在概念圖序號裏(如表 3-4-2),然 後藉由概念構圖分析圖示找出學生答錯是否符合概念圖的分析,若是符合即進行 23

(34)

補救教學,若不符合概念構圖分析即修改題目,以達到符合概念構圖,然後再將 後測進行相關研究,以證實概念構圖的教學效果,但是因為題目皆為選擇題,為 了避免學生是用猜測的,所以本研究又加入了質化分析以問答的方式。 表 3-4-1 因數與倍數(公立學校及 A 補習班使用)前後測試題雙向細目表 前測題號 後測題號 因 數 與 倍 數 認識質數合數質因數的意義並作質因數 分解 1,3 1,2,3,4,6 17 理解兩數互質的意義,會使用短除法 5,6,12,16 20 知道因數與倍數的意義及處理應用問題 2,4,7,9,10 5 最 大 公 因 數 與 最 小 公 倍 數 理解最大公因數與最小公倍數的意義並 使用短除法 11,17,18,19 7,8 使用最大公因數與最小公倍數處理應用 問題 13,14 19 最大公因數與最小公倍數的混合運算 20 建立完雙向細目表後,即開始建立概念構圖歸屬代號。 24

(35)

表 3-4-2 因數與倍數(B 補習班使用)前後測試題雙向細目表 歸屬代號 因 數 與 倍 數 認識質數合數質因數的意義並作質因數分解。 a 理解兩數互質的意義,會使用短除法。 b 知道因數與倍數的意義及處理應用問題。 d 最 大 公 因 數 與 最 小 公 倍 數 理解最大公因數與最小公倍數的意義並使用短除 法。 c 使用最大公因數與最小公倍數處理應用問題。 e 最大公因數與最小公倍數的混合運算。 g、h 由於歸屬代號代表題目的層級,其層級是由左而右、由上而下,漸次抬因此 低層次概念的題目通常列為優先教學的目標,比較特別的是,理解最大公因數與 最小公倍數的意義,並使用短除法列為歸屬代號 c,而且知道因數與倍數的意義 及處理應用問題列為歸屬代號 d,那是因為因數與倍數的意義及處理應用問題屬 於此單元。 表 3-4-3 題目在概念圖的歸屬 前測題號 歸屬代號 後測題號 歸屬代號 1,3 c 4,6,11,17 c 5,6,12,16 a 12,18,20 a 2,4,7,9,10 b b 11,17,18,19 d 2,3,7,9 d 25

(36)

下圖 3-4-3 中,( )代表出題的數目:

13,14 ef 9,13,19 ef

15,20 gh 10,14 gh

(37)

第四章 研究結果與討論

本研究先調查學生使用的版本,來選擇需要編制的題庫 。本研究者國中代 課的班級使用的是國一數學翰林版,補習班方面公立學校有康軒及翰林版,私中 方面並沒採用任何版本,而是教師自編教材為克服教材以立出題。於是參考學生 的教師自編教材,再由不同的題庫中挑選題目,尤於一次月考的時間只有一個多 月,因此在前測後一星期內即進行後測,補習班的學生進度較快,因此開學後即 刻進行前測,一週內就進行後測。

壹、 概念構圖融入題庫光碟概念教學之實施歷程

公立學校前測由於進度的關係,在第二次段考前一週才把進度上完,所以利 用段考前一週的輔導課進行前測。在做完前測後,立即挑選出十人進行後測,在 進行後測之前,先在教師辦公進行訪談後,即進行概念構圖分析以建立後測的題 目,並交代數學小老師將後測試卷早自修時完成進行前後測的結果,如表 4-1。 在進行前測之前已將學校校用卷考完,故並將校用卷成績一起登入以比較教 學效果。通常數學成績跟一般文科(如社會科)、不同於社會科,可以利用考前利 用背誦得分故短時間可以增加不少分數。數學則不然,雖然研究者是補習班老師 對段考分數有一定的掌握度,但是除了少數資質較佳的學生外,其實成績增加有 限。但是使用概念構圖分析後,更有辦法更掌握段考題型,因為在後測題目加入 了其他國中的考古題所以有助於考前掌握。

本節包含三部份來說明: 第一部分 公立學校概念教學之實施歷程 第二部分 A 補習班概念教學之實施歷程 27

(38)

第三部分 B 補習班概念教學之實施歷程 每一部份概念教學之實施歷程包含下列概念: 1. 研究對象的前測成績答錯成績表及說明概念構圖歸屬說明 2. 後測成績答錯成績表及說明概念構圖歸屬說明 3. 概念構圖歸屬說明

貳、概念教學之實施歷程

(第一部份)公立學校概念教學之實施歷程 1. 公立學校研究所用的前測成績分析 公立學校概念教學之實施歷程都是在第二次月考前完成,平時教學盡量符合 概念構圖順序循序漸進,先將前後測成績列於表 4-1-1: 表 4-1-1 公立學校校用卷及研究所用的前測成績 個案學生 小考(校用卷)成績 前測成績 001 88 85 002 86 90 003 80 80 004 76 70 005 78 70 006 66 60 007 56 55 28

(39)

008 60 65 009 34 25 010 30 30 由上表得之校用卷的成績普遍不佳,其中有七位學生已經沒有在補習班補 習。研究者挑選沒有在補習班補習,但是配合研究意願較為高的學生,其主要原 因在於證實概念構圖的教學效果。進行前測之後果然發現前測的成績普遍不佳, 因此即刻進行概念構圖分析,分析之前先進行答錯題目分析。 表 4-1-2 公立學校前測答錯題目表 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1(c) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ Χ 2(b) Χ ○ ○ ○ ○ Χ Χ Χ Χ Χ 3(c) ○ ○ Χ Χ ○ ○ ○ Χ Χ Χ 4(b) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ Χ Χ 5(a) Χ ○ ○ Χ Χ Χ Χ ○ ○ Χ 6(a) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ Χ Χ Χ 7(b) ○ ○ ○ ○ ○ Χ Χ ○ ○ Χ 8(d) ○ ○ ○ ○ ○ ○ Χ Χ ○ Χ 9(b) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ Χ 10(d) ○ ○ ○ ○ Χ Χ Χ Χ ○ ○ 11(e) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 29

(40)

12(a) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ Χ Χ 13(f) ○ ○ ○ ○ ○ ○ Χ Χ ○ ○ 14(f) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ Χ ○ 15(h) ○ Χ Χ Χ ○ Χ Χ ○ Χ ○ 16(a) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ Χ Χ 17(e) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ Χ ○ 18(e) ○ ○ ○ Χ Χ ○ Χ Χ Χ Χ 19(e) ○ ○ ○ ○ Χ Χ ○ ○ Χ Χ 20(h) Χ Χ Χ Χ ○ Χ Χ Χ ○ Χ 表 4-1-3 公立學校前測答錯題目分析表 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答錯數 1 6 5 2 6 3 3 3 1 4 題號 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答錯數 0 2 2 1 6 2 1 6 4 8 表 4-1-4 公立學校前測歸屬代號 前測題號 歸屬代號 1,3 c 5,6,12,16 a 2,4,7,9,10 b 30

(41)

d 11,17,18,19,13,14 e,f 15,20 g,h 由上表 4-1-2 可以知道歸屬符號 h 答錯(題目 15,20)及歸屬符號答錯 F 最多, 因為這是因數與倍數較上位的概念。故針對 h 的題目,在從題庫光碟中挑選出類 似題目加以練習。但考慮編號 9 編號 10 歸屬代號尚未熟練,故而不進行歸屬符 號 h 的題目練習。但也考慮到 f、g 還有許多學生不會計算,故而再出十題作為補 強教學之用。但是編號 9、編號 10 進行歸屬符號 a、b、c、d、e 的練習,以建立 因數倍數的基本概念。另外題目 10 答對的學生不多,其主要的原因在於一般學 生對的倍數判斷較為陌生,而且本題又加上要判斷 11 的倍數,所以難度過高, 又增加不少題號 15,20 統歸屬符號 h,尤其是題目 15 題型更為變化多端,因此 對於程度較為佳的學生要加強練習,因為這是他們的學習瓶頸題目。 31

(42)

茲將補強教學題目列出: 一、填充題 1. 甲、乙、丙三人同時同地同方向出發,繞周長 400 公尺的操場慢跑。若甲、 乙、丙三人跑完操場一圈所需的時間分別為 5 分鐘、6 分鐘、10 分鐘,則當 甲、乙、丙三人一共跑了 14 圈時,他們會在原出發點首度會合。 2. 甲,乙都是合數,且 ( 甲,乙 ) = 23 若 甲 × 乙 =3174,則 � -� = 23 3. 諺諺、任任與小胖 3 人同時同地同方向沿著 400 公尺的操場慢跑,若諺諺每 分鐘跑 100 公尺,任任每分鐘跑 80 公尺,小胖每分鐘跑 50 公尺,則下一次 3 人相遇在出發點時,諺諺已經跑了幾圈? 1. [4,5,8]=40 (2 分) 2. 10 圈 (3 分) 4. 若 12 143 和 30 154 分別同乘以一個正分數 a 後,都會成為正整數,則 a 的最小值為  11 60 。 5. 有一個正方體,將其分割成長、寬、高分別為12cm、8cm、10cm的小長方體 ,若剛好可分割完,則這個正方體最少可分割為 1800  塊。 6. 設 N 為正整數,則滿足 3 32 + N 亦為正整數的有 N 那些?答: 7. 這有兩自然數的最小公倍數等於 975 且每一個分別除以它們的最大公因 數所得的商之和等於 18,這兩數為 8. 小華利用自己的生日設計一個四位數的密碼,方法是:分別將月份與日期寫 成兩個質數的和,再將此四個質數相乘,所得數字即為密碼(例如,生日若 為 8 月 24 日,將 8 寫成 3 與 5 的和,24 寫成 11 與 13 的和,再將 3、5、11、 32

(43)

13 相乘得密碼為 2145)。已知小華的密碼為 2030,求小華出生在幾月份? ____ _______ 9. 小江、小恩、小華三人同時、同地、同方向出發,繞周長為600公尺的操場慢 跑,已知小江每分鐘跑30公尺,小恩每分鐘跑50公尺,小華每分鐘跑60公尺 ,請問他們第三次在出發點碰面是幾分鐘後?(第一次出發的那一次不算 )_____ ________ 10. 有 100 個電燈一開始是暗的, 依序編號為 1~100 號,讓 100 個學生去按開關. 規則如下: 第 1 位同學:把 1 的倍數的電燈泡開關按一下(這時候所有的電燈是亮的) 第 2 位同學:把 2 的倍數的電燈泡開關按一下(這時候所有 2 的倍數的電燈是 暗的) 第 3 位同學:3 的倍數的電燈泡開關按一下 …… 第 100 同學:100 的倍數電燈泡開關按一下。以此類推,這 100 位同學按照 這個規則按完開關後,請問最後有幾個燈是亮的? _____ ________ 補強教學都是列入比較困難的題目,即至少是歸屬符號 d 以上的題目,也就 是至少是第二層次以上。補強教學是利用上課時間進行,但是 B 補習班並不進行 補強教學,因為 B 補習班都是菁英中的菁英,所以在前測之後,即於兩天後進行 後測。補強教學的目的是要提高後測成績,但考慮月考即將到來,故後測題目加 入其他國中月考題目,但題目的難易度儘量跟前測一致,補強教學後兩天即進行 後測。 33

(44)

表 4-1-5 公立學校補習班補強教學歸屬代號表 補強教學題目要以歸屬符號 D、E、F、G 為主,原因是要提高後測成績,尤 其是歸屬符號 D、E 的比重要增加,但是不增加歸屬符號 g、h,因為公立學校月 考通常較為簡單,反而要降低歸屬符號 g、h 的題目。 前測題號 歸屬代號 1,2,3,4,5 d 7,8,10 e,f 6,9 g,h f 34

(45)

2. 公立學校研究所用的後測成績分析 表 4-1-6 公立學校後測答錯題目分析 1 (90) 2 (95) 3 (95) 4 (90) 5 (85) 6 (75) 7 (70) 8 (70) 9 (35) 10 (45) 1(c) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ Χ Χ 2(d) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ Χ Χ Χ 3(d) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ Χ 4(a) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ Χ ○ 5(d) ○ ○ ○ Χ Χ Χ Χ ○ ○ Χ 6(c) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ Χ Χ Χ 7(c) ○ ○ ○ ○ ○ Χ Χ ○ ○ ○ 8(c) ○ ○ ○ ○ ○ ○ Χ Χ Χ Χ 9(e) Χ ○ Χ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 10(g) ○ ○ ○ ○ Χ Χ Χ Χ ○ Χ 11(a) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 12(b) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ Χ Χ 13(f) ○ ○ ○ ○ ○ ○ Χ Χ Χ ○ 14(g) Χ ○ ○ Χ Χ ○ ○ Χ Χ ○ 15(c) ○ Χ ○ ○ ○ Χ Χ ○ Χ ○ 16(a) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ Χ Χ 17(a) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ Χ Χ 35

(46)

18(b) ○ ○ ○ ○ ○ ○ Χ ○ Χ Χ 19(e) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ Χ Χ 20(b) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ Χ 表 4-1-7 公立學校後測答錯題目分析表 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答錯數 2 3 1 1 4 3 2 4 2 5 題號 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答錯數 0 2 3 5 4 2 2 3 2 1 由後測題目分析公立學校在題目 14 答錯最多,這一題目是屬於歸屬題目 g 基本上有一定的難度。另外,題目 10 也有 5 人答錯,這一題是屬於歸屬題目 g, 難度較高題目也有 5 人答錯,這一題也是屬於歸屬題目 g。 表 4-1-8 公立學校後測答錯題目歸屬 後測題號 歸屬代號 3,4,6,11,17 a 12,18,20 b 2,5,7,9 d 7,8,15 c 9,13,19 e,f 10,14 g,h 36

(47)

公立學校學生普遍基礎不好,因此在歸屬符號以 A、B、C 為主,盡量減少 G、H 的題數,如圖 4-1-3。

(48)

3. 公立學校實施結果分析 發完考前猜題之後,隔天即要月考,經過統計分析結果如下表 4-1-9 表 4-1-9 公立學校實施結果分析(刮號內的數字為單科排序) 個案學生 月考成績 前測成績 後測成績 1.小沈 92 85 90(2) 2.小郎 90 90 95 (1) 3.小俊 92 80 95(2) 4.小蔡 88 70 90(3) 5.小葳 86 70 85(3) 6.小惠 78 60 75 7.小欽 65 55 70 8.小茹 72 65 70 9.小技 46 25 35 10.小溫 50 30 45 由於月考成績與後測成績相去不遠,可見概念構圖分析正確,單科排序也達 到基本水準,以 SPSS 進行成對樣本 t 檢定,如表 4-1-10,以前後測做 t 考驗分析, p 值<0.5,達到顯著性,顯示後測平均數優於前測平均數。 表4-1-10 前後測成對檢定 成對變數差異 t 自由 度 顯著性 (雙 尾) 平均數 標準差 平均數的標 準誤 前後測成對 檢定 -12.00000 5.37484 1.69967 -7.060 9 .000 38

(49)

(第二部份)A 補習班概念教學之實施歷程 1. A 補習班校用卷及研究所用的前測成績 除了要知道質因數的概念外,又要將指數概念融入,但是因為指數概念屬於 七年級上學期 1-4 的範圍,一般學生對此概念還算熟悉,因此稍為提點即可根據 概念構圖分析後,針對歸屬符號 h 在出 5 題歸屬符號 fg,共出 5 題做為補強教學 之用,共出 10 題補強教學之用。但是因為時間關係,所以將此補強教學題目於 上課前當作考前複習之用,然後再針對接受研究的學生進行特別輔導之後,即進 行後測題目編制,但是後測題目編制之前先作完 A 補習班的答錯試題分析,如下 表 4-2-1: 表 4-2-1 A 補習班校用卷及研究所用的前測成績 個案學生 小考(校用卷)成績 前測成績 1.小沈 88 90 2.小郎 86 90 3.小俊 80 80 4.小蔡 75 75 5.小葳 70 75 6.小惠 65 60 7.小欽 95 90 8.小茹 80 85 39

(50)

表 4-2-2 A 補習班前測答錯題目表 1(90) 2(90) 3(80) 4(75) 5(75) 6(60) 7(90) 8(85) 1(c) ○ ○ ○ Χ ○ ○ ○ ○ 2(b) ○ ○ ○ ○ ○ Χ ○ ○ 3(c) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 4(b) ○ ○ ○ Χ ○ ○ ○ ○ 5(a) ○ ○ ○ ○ Χ Χ ○ ○ 6(a) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ Χ 7(b) ○ ○ ○ ○ ○ Χ ○ ○ 8(b) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 9(b) ○ ○ Χ ○ ○ ○ ○ ○ 10(b) ○ ○ ○ ○ Χ Χ ○ Χ 11(e) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 12(a) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 13(f) ○ Χ Χ Χ ○ ○ Χ Χ 14(f) Χ ○ ○ Χ ○ ○ ○ ○ 15(g) ○ ○ Χ ○ ○ Χ ○ ○ 16(a) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 17(e) ○ ○ ○ ○ ○ Χ ○ ○ 18(e) ○ ○ ○ ○ Χ ○ ○ Χ 19(e) ○ ○ ○ Χ Χ Χ ○ ○ 40

(51)

20(h) Χ Χ Χ Χ ○ Χ Χ Χ 表 4-2-3 A 補習班前測答錯題目分析 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答錯數 1 1 0 1 2 1 1 0 1 3 題號 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答錯數 0 0 5 2 2 0 1 2 3 7 2. A 補習班後測成績分析 A 補習班在後測之前,由於考慮到版本問題,故出了一份補強試題,題目如 下,部份題目附上解題方式,以利於概念構圖分析 此份題目使用概念構圖分析如圖 4-2-1: 41

(52)

因為 A 補習班大多為一般公立學校的學生月考通常不會太難,故減少歸屬符 號 GH 的題數如圖 4-2-2。 3. A 補習班後測實施結果分析 補強教學教學結束後即進行後測結果如表 4-2-4 表 4-2-4 A 補習班後測答錯題目分析 score nu 1 (100) 2 (100) 3 (95) 4 (90) 5 (85) 6 (75) 7 (100) 8 (90) 1(c) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 2(b) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ Χ 3(c) ○ ○ Χ ○ ○ ○ ○ Χ 4(b) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 42

(53)

5(a) ○ ○ ○ ○ Χ Χ ○ ○ 6(a) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ Χ 7(b) ○ ○ ○ ○ ○ Χ ○ ○ 8(a) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ Χ 9(b) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 10(b) ○ ○ ○ ○ Χ Χ ○ Χ 11(e) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 12(a) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 13(f) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ Χ 14(f) ○ ○ ○ Χ ○ ○ ○ ○ 15(c) ○ ○ Χ ○ ○ Χ ○ ○ 16(a) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 17(e) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 18(e) ○ ○ ○ Χ ○ ○ ○ Χ 19(e) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 20(h) ○ ○ Χ Χ ○ ○ ○ Χ 表 4-2-5 A 補習班後測答錯題目分析 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答錯數 0 1 0 1 2 1 1 0 1 3 題號 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 43

(54)

答錯數 0 0 5 2 2 0 1 2 3 7 由表 4-2-5 可以知道編號 1、2、7 的學生在後測上都考了滿分,較前測成績 方面有較大幅度的進步,編號 3、4、8 也突破分,通常補習班學生的家長比較會 要求成績。家長除要求進步之外也會希望學生可以考 90 分以上,由上表 4-2-3-2 A 補習班後測答錯題目分析可以知道大部份學生在歸屬符號 f、g、h 已經不會畏懼, 但是為了保險起見仍然進行質化分析,以方便考前進行加強複習。本研究除了希 望前後測高相關外,亦希望能跟月考有高度相關,在進行後測之後離月考只剩下 兩三天。其實概念構圖分析還有另外一層意義就是學習的階層性,所以研究者會 出一份考前猜題,其實依照心理學的角度來看越接近考前記憶越深刻,考前猜題 通常是先分析學校考古題的難易度思考,由於 A 補習班的學生來自三個不同學 校,但是現在國中數學教材有個優點就是版本雖然不同但是內容卻相同,研究者 通常會使用編制講義教學,所以在教學時已經作了版本統合的工作,因此考前猜 題只要出一份即可。 4. A 補習班實施結果分析 發完考前猜題之後隔天即要月考了,經過一番統計結果如下表: 表 4-2-6 A 補習班前後測及月考分數表 個案學生 月考成績 前測成績 後測成績 1.小沈 98(1) 90 100 2.小郎 96(1) 90 100 3.小俊 90(3) 80 95 44

(55)

4.小蔡 92(3) 75 90 5.小葳 88(5) 75 85 6.小惠 75 60 75 7.小欽 98(1) 90 100 8.小茹 92(3) 85 90 月考考完後,發現成績普遍表現不錯,其中有六人都在九十分以上,但遺憾 未出現一百分,其實 A 補習班的資質只是中上,研究者往年的學生中,在這個單 元很容易考一百分,但是這些學生未來也大多可以考上第一志願,或許由此數據 亦或可以推出未來學業成績的發展,但不是絕對。 (第三部份)B 補習班概念教學之實施歷程 1. B 補習班校用卷及研究所用的前測成績 B 補習班通常是利用假日上課,不同的是 A 補習班每次上課 1.5 小時,而 B 補習班每次上課兩小時,通常超進度學習,茲將研究者 B 補習班前後測及校用卷 成績列表表 4-3-1。 表 4-3-1 研究者 B 補習班前測及校用卷成績 個案學生 小考(校用卷)成績 前測成績 個案 1 90 95 個案 2 86 95 個案 3 80 90 45

(56)

個案 4 76 80 個案 5 78 95 個案 6 66 85 個案 7 56 90 個案 7 60 95 2. B 補習班校用卷及研究所用的前測教學歷程 B 補習班進行前測之前已在上下一單元,因此大部份的學生都是在毫無準備 之下就進行測試,所以成績不盡理想。 表 4-3-2 B 補習班前測答錯題目表 1(95) 2(95) 3(90) 4(80) 5(95) 6(85) 7(90) 8(95) 1(c) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 2(b) ○ ○ ○ ○ ○ Χ Χ ○ 3(c) ○ ○ ○ Χ ○ ○ ○ Χ 4(b) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 5(a) ○ ○ Χ Χ Χ Χ Χ ○ 6(a) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ Χ 7(b) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 8(a) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ Χ 9(b) ○ ○ ○ ○ Χ ○ ○ ○ 10(b) ○ ○ ○ ○ Χ Χ Χ ○ 46

(57)

11(e) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 12(a) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 13(f) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ Χ 14(f) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 15(g) Χ ○ Χ Χ Χ Χ Χ ○ 16(a) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 17(e) ○ ○ ○ ○ ○ Χ ○ ○ 18(e) ○ ○ ○ ○ Χ ○ ○ ○ 19(e) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 20(h) ○ Χ Χ Χ Χ Χ ○ ○ 表 4-3-3 B 補習班前測答錯題目分析 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答錯數 0 2 2 0 5 1 0 1 1 3 題號 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答錯數 0 0 1 0 6 0 1 1 0 5 表 4-3-4 B 補習班前測題目歸屬代號表 前測題號 歸屬代號 1,3,4,5,12 a 5,6,12,16 b 47

(58)

2,4,7,9,10 d 11,17,18, c 11,14,16,17,18,20 e,f 19 g,h 由上表 4-3-2 可以知道歸屬符號 g、h 前測出題不多,但因為都是填充題難度 較高,但是考慮到學生程度較好,所以後測將增加歸屬符號 g、h 的題數,如下 圖 4-3-1 B 補習班後測概念構圖。 48

(59)

3. B 補習班的後測教學歷程 在進行 B 補習班的後測教學歷程之前,由於並不進行補強教學,但是因為加 入高中試題,所以出了幾題讓同學練習題目,如下其中有幾題附上解題方法(部份 題目出自小港高中數學科的莊豐收老師)。 1. 若七位數 26ab607 為 99 之倍數,求 a、b 之值。 n 是 99 之倍數 ⇔ n 是 9 之倍數,亦是 11 之倍數。n 是 9 之倍數 ⇔ n 的各位數 字和是 9 之倍數。n 是 11 之倍數 ⇔ n 的(奇數位數字和)(偶數位數字和) 為 11 之倍數。 解:∵99  9 × 11 ∴9 | 26ab607 且 11 | 26ab607 ⇒ 9 | (2  6  a  b  6  0  7)且 11 | (7  6  a  2) – (0  b  6) 49

(60)

⇒ 9 | (a  b  21),11 | (a – b  9) ⇒ 9 | (a  b  3),11 | (a – b  9) ∵a、b ∈ Z 且 0 ≤ a ≤ 9,0 ≤ b ≤ 9 ∴0 ≤ a  b ≤ 18,9 ≤ a – b ≤ 9 ⇒ a  b  6或 15;a – b  2 ∴    = − = + 2 6 b a b a 或    = − = + 2 15 b a b a ⇒    = = 2 4 b a 或      = = ) ( 2 132 17 不合 b a ∴a =4,b= 2 為所求。 2.設 a, b 都是三位正整數,若(a, b)  36,[a, b]  540,求 a, b 之值。

3.設 a 為整數,若(a  2) | (5 – 2a),且(2a – 1) | (5a  1),求 a 之值。 答:1 或 3 4.設 a ∈ N,且 5 2 25 3 − + a a ∈ N,求 a 之值。 答:3, 5, 9 或 35 5.設 x 為正整數,且 3 2 12 5 − + x x 為正整數,求 x 之值。

要點:設 a, b ∈ Z,若 a ÷ b 是整數,則 b | a。 設 a ∈ Z,a ≠ 0,則 a | a。

解:∵ 3 2 12 5 − + x x ∈ N ∴(2x – 3) | (5x  12) 又(2x – 3) | (2x – 3) ∴(2x – 3) | 2(5x  12) – 5(2x – 3) ⇒ (2x – 3) | 39 ∵39 的因數為±1, ±3, ±13, ±39 ∴2x – 3  ±1, ±3, ±13 或±39 又∵ 3 2 12 5 − + x x ∈ N 且 5x  12 ∈ N ∴2x – 3 為正整數 ⇒ 2x – 3  1, 3, 13或 39 ∴x =2, 3, 8 或 21。

6.設 a,b 為自然數,且 a,b 為三位數,若(a,b)=36,[a,b]=540,求 a,b 的值。

Ans:a=108,b=180。

(61)

此份題目對於國一學生而言難度較為高,練習完後隔幾天即進行後測,後測 的實施結果(見表 4-3-5)。 表 4-3-5 B 補習班後測答錯題目表 1(100) 2(100) 3(100) 4(90) 5(100) 6(90) 7(100) 8(100) 1(c) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 2(b) ○ ○ ○ ○ ○ Χ ○ ○ 3(c) ○ ○ ○ Χ ○ ○ ○ ○ 4(b) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 5(a) ○ ○ Χ Χ Χ Χ ○ ○ 6(a) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 7(b) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 8(d) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 9(b) ○ ○ ○ ○ Χ ○ ○ ○ 10(b) ○ ○ ○ ○ Χ Χ ○ ○ 11(e) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 12(a) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 13(f) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 14(f) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 15(d) ○ ○ ○ Χ Χ Χ ○ ○ 16(a) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 17(e) ○ ○ ○ ○ ○ Χ ○ ○ 51

(62)

18(e) ○ ○ ○ ○ Χ ○ ○ ○ 19(e) ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 20(h) ○ ○ ○ Χ Χ Χ ○ ○ 表 4-3-6 B 補習班後測答錯題目分析 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答錯數 0 1 1 0 4 0 0 0 1 2 題號 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答錯數 0 0 0 0 6 0 1 1 0 5 表 4-3-7 B 補習班後測題目歸屬代號表 前測題號 歸屬代號 1,2,3 a 5,6,12,16 b 13 c 4,5,6,8,12,15 d 7,9,10,11,14,17 e,f 16,18,19,20 g,h 52

(63)

(64)

比較 B 補習班前後測概念構圖,雖然大幅度增加歸屬符號 g、h 後測成積依 然亮眼,但是要特別注意 B 補習班程度較為好,如果是一般公立學校則不可以任 意增加歸屬符號 g、h 的題數,因為如果後測成績過低將嚴重打擊學生成績,更 會對月考成績有不良影響。 4. B 補習班的前後測教學統計表 表 4-3-8 B 補習班前後測成績統計 個案學生 小考(校用卷)成績 前測成績 後測成績 個案 1 90 95 100 個案 2 86 95 100 個案 3 80 90 100 個案 4 76 80 90 個案 5 78 95 100 個案 6 66 85 90 個案 7 56 90 100 個案 8 60 95 100 5. B 補習班的超前進度教學 本小節討論 B 補習班的超前進度教學,因為 B 補習班的學生大多數學生已不 需要再學習國中課程,因此本小節嘗試將題目延伸到高一數學,並且將原來概念 構圖符號修改如下圖: 54

(65)

由圖 4-3-6 可以知道原本歸屬符號改由 X1、X2、X3,代替並將原歸屬代號 表修改。

數據

圖 3-4-1  研究流程圖  步驟一    擬定研究方向→確定研究主題→訂定研究問題→文獻探討 →執行研究 計畫      本論文研究方向在碩一即訂定,因為參與論文期刊發表就以概念構圖為主 題。當時還為此寫過結合概念構圖如何結合題庫光碟,因此決定研究主題為概念 構圖結合題庫光碟為論文主題。研究問題方面以國中一年級上學期第二章因數倍 22

圖 3-4-1

研究流程圖 步驟一 擬定研究方向→確定研究主題→訂定研究問題→文獻探討 →執行研究 計畫 本論文研究方向在碩一即訂定,因為參與論文期刊發表就以概念構圖為主 題。當時還為此寫過結合概念構圖如何結合題庫光碟,因此決定研究主題為概念 構圖結合題庫光碟為論文主題。研究問題方面以國中一年級上學期第二章因數倍 22 p.32
表 3-4-2  因數與倍數(B 補習班使用)前後測試題雙向細目表  歸屬代號  因 數 與 倍 數  認識質數合數質因數的意義並作質因數分解。  a 理解兩數互質的意義,會使用短除法。  b  知道因數與倍數的意義及處理應用問題。  d  最 大 公 因 數 與 最 小 公 倍 數  理解最大公因數與最小公倍數的意義並使用短除法。  c 使用最大公因數與最小公倍數處理應用問題。 e 最大公因數與最小公倍數的混合運算。  g、h            由於歸屬代號代表題目的層級,其層級是由左而右、由上而下,

表 3-4-2

因數與倍數(B 補習班使用)前後測試題雙向細目表 歸屬代號 因 數 與 倍 數 認識質數合數質因數的意義並作質因數分解。 a 理解兩數互質的意義,會使用短除法。 b 知道因數與倍數的意義及處理應用問題。 d 最 大 公 因 數 與 最 小 公 倍 數 理解最大公因數與最小公倍數的意義並使用短除法。 c 使用最大公因數與最小公倍數處理應用問題。 e 最大公因數與最小公倍數的混合運算。 g、h 由於歸屬代號代表題目的層級,其層級是由左而右、由上而下, p.35
表 4-3-9  歸屬代號  歸屬代號  因數 與倍 數  認識質數合數質因數的意義並作質因數分解  a 理解兩數互質的意義,會使用短除法  b  知道因數與倍數的意義及處理應用問題  d  最大 公因 數與 最小 公倍 數  理解最大公因數與最小公倍數的意義並使用短除法  c 使用最大公因數與最小公倍數處理應用問題  e 最大公因數與最小公倍數的混合運算  g,h  表 4-3-10  超前進度教學歸屬代號  歸屬代號  因數 與倍 數  認識質數檢驗定理及 a|b,a|ca|mb±nc  X1 標準分

表 4-3-9

歸屬代號 歸屬代號 因數 與倍 數 認識質數合數質因數的意義並作質因數分解 a 理解兩數互質的意義,會使用短除法 b 知道因數與倍數的意義及處理應用問題 d 最大 公因 數與 最小 公倍 數 理解最大公因數與最小公倍數的意義並使用短除法 c 使用最大公因數與最小公倍數處理應用問題 e 最大公因數與最小公倍數的混合運算 g,h 表 4-3-10 超前進度教學歸屬代號 歸屬代號 因數 與倍 數 認識質數檢驗定理及 a|b,a|ca|mb±nc X1 標準分 p.66

參考文獻

Updating...