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決定語詞教學對國小一年級學童加減法文字題的解題表現之影響

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Academic year: 2021

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(1)國立臺中教育大學數學教育學系碩士班碩士論文. 指導教授:. 易正明 博士 鄭博文 博士. 決定語詞教學對國小一年級學童 加減法文字題的解題表現之影響. 研究生:林幸洵 撰. 中華民國一0二年一月. I.

(2) 謝 誌 時間飛逝,轉眼間兩年的研究所生涯,在論文完成之際,順利畫下休止符! 將暫時告別校園,讓身心靈沉澱休養,以能再度踏上未知的學習旅程。 回首這段求學歷程,心中充滿感謝!首先要感謝恩師易正明老師和鄭博文 老師的指導,易正明老師在研究過程中,不僅指引我研究的方向,更讓我感受 到身為老師對學生關愛的重要,當我面臨思緒枯竭、身心俱疲的雙重壓力時, 易正明老師總是給我支持性的包容與鼓勵,使我能振奮精神堅持下去。而在論 文修改過程中,要感謝鄭博文老師的細心指正,逐字釜正、嚴謹審閱,使我對 嚴謹仔細的工作態度有更深一層的領悟。以及要感謝林炎全老師、甯平獻老師、 胡豐榮老師與楊晉民老師於課堂上的教誨,拓展我對數學領域的見聞以及明瞭 做學問應有的態度與應注意的學術倫理。 其次,要感謝在論文審查時擔任口試委員的呂玉琴教授、蔣憲國教授以及 林原宏教授,承蒙老師們在百忙之中撥冗詳閱,針對論文說明不詳處提供精闢 的建議,引導我能以不同角度去思考、檢視,使本論文能趨近於完善。同時也 要感謝一路走來互相扶持、學習的同學佳倫、麗貞、美惠、仁宏、哲毓、彩暖、 嘉伶與松祐,因為有你們的陪伴讓學習過程充滿溫暖與關懷。 再者要感謝一同任教的華真、文馨、環鈴老師,謝謝你們平日的加油打氣, 也要謝謝佳芸、素足與惠鈴(小葵)老師協助我校閱論文,最後,謹以此論文獻給 我最摯愛的家人,感謝你們對我的體恤與支持,使我能專心於研究所的課業, 不需為洗衣煮飯等瑣事煩心,當然也要感謝默默賜給我好運的老天爺,讓我在 畢業前夕能有許多貴人相助,一切順利!. 林幸洵. 謹誌. 臺中教育大學數學教育學系 中華民國一百零二年一月 I.

(3) 摘要 本研究旨在探討決定語詞教學對國小一年級學童在加減法文字題解題表現 上的影響,採準實驗設計,以臺中市某國小一年級學童兩個班級,實驗組 26 人 與控制組 27 人共 53 人為研究對象,進行十節 400 分鐘的實驗教學,配合自編 「加減法文字題筆試測驗」為研究工具,以 SPSS 軟體對「加減法文字題筆試測 驗」後測結果進行統計資料分析,透過單因子共變數分析考驗實驗教學的成效, 以 S-P 表分析理論進行學習類型診斷,瞭解兩組學童在各類型的分布情形,以概 念詮釋結構模式繪製個人概念階層結構圖,探討不同學習類型學童的合、分、 比多、比少四種加減法概念發展,並比較答題數相同、學習類型相同但反應組 型不同的兩組學童結構圖之差異,最後輔以個別晤談,進一步瞭解 A、A’、B、 B’四種學習類型學童在解題時產生錯誤的原因。 經由資料分析,本研究有以下幾點的發現: 一、兩組學童在「加減法文字題筆試測驗」的後測成績達顯著差異,且實驗組 學童的成績高於控制組。 二、兩組學童在試題構面「比多概念」 、 「比少概念」達顯著差異,且實驗組學 童的成績高於控制組。 三、學習類型分布以控制組學童較分散,學習表現以實驗組學童較穩定。 四、不同類型學童的概念階層結構圖各有其特徵,各概念連結指向亦有不同。 五、答題數、學習類型相同但反應組型不同的實驗組與控制組學童,其概念階 層的組成與精熟度也會不同。 六、不同學習類型學童解題之錯誤原因有:自行變更解題目標、誤解關係句的 意義、特定語詞的錯誤連結、自我監控能力薄弱、計算錯誤。. 關鍵字:決定語詞、加減法文字題、概念詮釋結構模式、S-P 表. I.

(4) The effects of the decision words teaching on performance of the word problems of addition and subtraction toward the first grade students in elementary school. Abstract This study investigates the effects of the decision words teaching on performance of the word problems of addition and subtraction toward the first grade students in elementary school. Quasi-Experiment Research Design of pre-test and post-test is used for experimental and control groups. The 53 participants are the first grade primary school students of some school in Taichung City. They were asked to join 10 sections (400 minutes) of the decision words teaching. The research instrument is “the test of addition and subtraction word problems”. The test were used as the pretest and posttest. The experimental group of 26 participants receives a decision words teaching while the control group of 27 participants receives a normal mathematics curriculum. The experiment data are tested with ANCOVA analysis, S-P chart (the student problem chart), and CAISM (the method of concept advanced interpretive structure modeling). This research integrates the quantitative analyses to checks the performance of the word problems of addition and subtraction, and analyze the study types toward the control group and experimental group. These participants were classified into 6 clusters by S-P chart and illustrated the individualized concept hierarchy structure by CAISM. The researcher compared the CAISM graphs’ characteristics and differences among these clusters, and also compared the individualized concept hierarchy structure of the control group and experimental group who got the same scores and in the same clusters with different response patterns. Finally, the researcher selects four participants from A, A’, B, and B’ type as a sample to explore individualized interview for getting their misconceptions. The main discoveries of this research are as follow: 1.After the teaching experiment, the two group made significant difference on scores of “the test of addition and subtraction word problems” in posttest, and the experimental group got obvious progress. II.

(5) 2. After the teaching experiment, the two group made significant difference on “the comparison more type“ and “the comparison less type”, and the experimental group got obvious progress. 3.The control group are more dispersed in six study types. The experimental group appear better performance in learning condition. 4. There existed characteristics in cognitive structure for each cluster. It also showed hierarchies and linkage among concepts different from each cluster. 5. There are differences on the number of the conceptual ranks and concept mastery between the concept hierarchy structure graphs of the control and experimental group who got the same scores and in the same clusters with different response patterns. 6. Errors of problem solving occurred mostly from: (1) changing problem goal; (2) misconstruing relation sentence; (3) misinterpreting specific words ;(4) poor self-monitoring; (5) miscalculating.. Keywords: decision words, addition and subtraction word problems, CAISM, S-P chart. III.

(6) 目. 次. 摘 要 ............................................. Ⅰ Abstract ............................................. Ⅱ 目. 次 ........................................... Ⅳ. 表 目. 次 ......................................... Ⅶ. 圖 目. 次 ......................................... Ⅹ. 第壹章. 緒 論 .................................................................................. 1. 第一節 研究動機..................................................................................... 1 第二節 研究目的..................................................................................... 5 第三節 待答問題..................................................................................... 5 第四節 名詞釋義..................................................................................... 6. 第貳章. 文獻探討............................................................................ 9. 第一節 關鍵字策略相關研究 ................................................................ 9 第二節 現行數學教材分析 .................................................................. 12 第三節 數學解題歷程模式 .................................................................. 15 第四節 加減法文字題題型之分類 ...................................................... 19 第五節 加減法文字題相關研究 .......................................................... 24 第六節 S-P 表分析理論與概念詮釋結構模式.................................... 30 IV.

(7) 第參章. 研究方法.......................................................................... 37. 第一節 研究架構與設計 ...................................................................... 37 第二節 研究對象................................................................................... 40 第三節 研究流程................................................................................... 41 第四節 教學說明與教材 ...................................................................... 42 第五節 研究工具與試題分析 .............................................................. 48 第六節 資料處理與分析 ...................................................................... 55. 第肆章. 結果與討論...................................................................... 57. 第一節 加減法文字題的解題表現 ...................................................... 57 第二節 S-P 表分析結果 ........................................................................ 65 第三節 概念階層結構分析 .................................................................. 69 第四節 個別質性晤談之分析 .............................................................. 80. 第伍章. 結論與建議...................................................................... 93. 第一節 結 論....................................................................................... 93 第二節 研究限制................................................................................... 97 第三節 建 議....................................................................................... 98. V.

(8) 參 考 文 獻 一、中文部分..................................................................................... 101 二、英文部分....................................................................................... 105. 附. 錄 附錄一 「加減法文字題筆試測驗」施測說明及指導語 ................ 107 附錄二 「加減法文字題筆試測驗」前測試題 ................................ 108 附錄三 「加減法文字題筆試測驗」後測試題 ................................ 110 附錄四 控制組學童的精熟度矩陣 .................................................. 112 附錄五 實驗組學童的精熟度矩陣 .................................................. 113 附錄六 「加一加」教學活動之教案設計 ........................................ 114 附錄七 「減一減」教學活動之教案設計 ........................................ 120. VI.

(9) 表. 目. 次. 表 2-2-1 南一版教材關鍵字策略的分布情形 ........................................... 12 表 2-2-2 南一版教材六類型關鍵字的分布情形 ....................................... 14 表 2-4-1 Nesher et al.之十四種加減法文字題的類型與例題 ................... 19 表 2-4-2 Fuson 之加減文字題的類型與例題 ............................................ 22 表 2-4-3 甯平獻之加減文字題的類型與例題 ........................................... 23 表 2-5-1 Riley 十四種加減法文字題類型之正確率.................................. 24 表 2-5-2 Pauwels 十四種加減法文字題類型之正確率統計表 ................. 25 表 2-5-3 呂玉琴十四種加減法文字題類型之正確率統計表 ................... 26 表 2-5-4 謝慧齡十種減法題型之正確率統計表 ....................................... 27 表 2-5-5 黃湘婷二十種加減文字題之正確率統計表 ............................... 28 表 2-6-1 作答反應組型範例表 ................................................................... 30 表 3-1-1 融入決定語詞教學實驗研究架構表 ........................................... 37 表 3-1-2 兩組學童的教學方式分析表 ....................................................... 39 表 3-4-1 數學教材中加減法題目類型的分布情形 ................................... 46 表 3-4-2 本研究加減法文字題之題目類型 ............................................... 47 表 3-5-1 試題與教材加減法類型分析表 ................................................... 48 表 3-5-2 加減法文字題類型及內容一覽表 ............................................... 49. VII.

(10) 表 3-5-3 預試試題與概念屬性對照表 ....................................................... 50 表 3-5-4 預試試題之項目分析表 ............................................................... 52 表 3-5-5 預試試題之信度分析表 ............................................................... 54 表 3-5-6 半結構性之晤談大綱 ................................................................... 55 表 4-1-1 兩組學童筆試測驗組內迴歸係數同質性檢定表 ....................... 58 表 4-1-2 兩組學童筆試測驗單因子共變數分析檢定摘要表(1) .............. 58 表 4-1-3 兩組學童筆試測驗單因子共變數分析檢定摘要表(2) .............. 59 表 4-1-4 兩組學童筆試測驗構面一組內迴歸係數同質性檢定表 ........... 60 表 4-1-5 兩組學童筆試測驗構面一單因子共變數分析檢定摘要表 ....... 60 表 4-1-6 兩組學童筆試測驗構面二組內迴歸係數同質性檢定表 ........... 61 表 4-1-7 兩組學童筆試測驗構面三組內迴歸係數同質性檢定表 ........... 61 表 4-1-8 兩組學童筆試測驗構面三單因子共變數分析檢定摘要表(1)............. 62 表 4-1-9 兩組學童筆試測驗構面三單因子共變數分析檢定摘要表(2)............. 62 表 4-1-10 兩組學童筆試測驗構面四組內迴歸係數同質性檢定表 ........... 63 表 4-1-11 兩組學童筆試測驗構面四單因子共變數分析檢定摘要表(1)................ 63 表 4-1-12 兩組學童筆試測驗構面四單因子共變數分析檢定摘要表(2)................ 63 表 4-2-1 全體學童之學習類型表 ............................................................... 67 表 4-2-2 兩組學童之學習類型人數表 ....................................................... 67 表 4-2-3 兩組學童學習需注意與尚穩定之卡方檢定表 ........................... 68 VIII.

(11) 表 4-2-4 兩組學童學習需注意與尚穩定之交叉表 ................................... 68 表 4-3-1 不同類型學童之作答反應組型 ................................................... 69 表 4-3-2 不同學習類型學童之前置概念 ................................................... 74 表 4-3-3 不同類型學童之作答反應組型 ................................................... 75 表 4-4-1. S5 之概念階層結構圖與錯誤試題 ............................................ 80. 表 4-4-2. S36 之概念階層結構圖與錯誤試題 .......................................... 82. 表 4-4-3. S16 之概念階層結構圖與錯誤試題 .......................................... 84. 表 4-4-4. S39 之概念階層結構圖與錯誤試題 .......................................... 87. IX.

(12) 圖. 目. 次. 圖 2-6-1 學生學習類型診斷圖 ................................................................... 32 圖 2-6-2 試題品質類型診斷圖 ................................................................... 33 圖 3-1-1 研究架構圖 ................................................................................... 38 圖 3-3-1 研究流程圖 ................................................................................... 41 圖 3-4-1 加減法決定語詞教學過程 ........................................................... 43 圖 4-3-1. S52 與 S35 的概念階層結構圖 ................................................... 70. 圖 4-3-2. S1 的概念階層結構圖 ................................................................. 71. 圖 4-3-3. S46 的概念階層結構圖 ............................................................... 72. 圖 4-3-4. S6 的概念階層結構圖 ................................................................. 73. 圖 4-3-5. S5 與 S32 的概念階層結構圖 ..................................................... 75. 圖 4-3-6. S1 與 S30 的概念階層結構圖 ..................................................... 77. 圖 4-3-7. S16 與 S46 的概念階層結構圖 ................................................... 78. 圖 4-3-8. S3 與 S29 的概念階層結構圖 ..................................................... 79. X.

(13) 第壹章 緒論 本研究旨在探討國小一年級學童在接受融入決定語詞的教學後,對於加減 法文字題的解題表現上是否有影響。本章共分四節,第一節闡述本研究的研究 動機,第二節說明研究目的,第三節提出待答問題,第四節進行名詞解釋。. 第一節 研究動機 美國「全國數學教師協會」(Nation Council of Teachers of Mathematics[NCTM]) 於 1980 年公布的文件「對 1980 年代美國數學教育的建議書」(Recommendations for School Mathematics of the 1980’) 第一條建議:數學解題(problem solving)是美 國數學教育界在 1980 年代中,必須全力以赴的課題 (黃敏晃,1985)。於 1989 年出版的「中小學數學課程及評量標準」中,更視數學為解題,並將問題解決、 溝通、推理與連結制定為課程的第一標準,強調學習解題歷程的重要性。於 2000 年 NCTM 的課程標準中,仍舊將解題列入十項課程標準之一,希望學童能透過 解題歷程建立數學知識、能解決數學以及其他情境中產生的問題、能運用且接 受合理又多元的解題策略,並對解題歷程加以反省與監控 (鄭惠萍,2007)。而 我國實施的九年一貫課程綱要將「培養獨立思考與解決問題的能力」列為十大 課程目標,在數學學習領域的基本理念中也指出學生的能力發展,除了要有基 礎的運算、推演及對數學概念的理解外,更要懂得利用推論去解決數學問題, 且在不熟悉解答方式時,也懂得自尋解決問題的途徑 (教育部,2010)。從國內 外的課程標準可知,學習解決問題在數學課程內占有重要的地位,運用所學得 之數學知識來處理面對的問題,並由解決問題的歷程中強化本身的數學能力, 因此「解題」對學童而言是一項重要的學習項目。 在學習數學的過程中,學童會遇到以不同形式出現的數學問題,如:選擇. 1.

(14) 題、填充題、計算題、文字題……,其中文字題在數學課程中占有重要的地位, 由於文字題及其解題的教學是利用生活化的情境來引導學童進行問題觀察、問 題分析、提出解題的策略或方向,因此對於學童抽象能力的培養非常有益處。 然而數學文字題是一種特殊的文體,是以日常生活發生的事件做為材料,並用 語文型態來描述的數學問題情境。學生在解題時,需要先整理題意,瞭解問題 的陳述後,把「語文理解」轉換成「形式數學」 ,即按題意列出算式,然後再進 行運算過程,其解題常需要結合計算能力與理解能力(古明峰,1998),正因涉及 的認知歷程比一般計算題更為複雜,常令許多學童在學習中感到困難(De Corte & Verschaffel, 1991),其中以如何將語文轉譯成算式的過程為最大難處。 黃敏晃(1987)指出有些研究顯示,美國的中小學生數學解題之所以會失敗, 60%以上是沒弄懂題目,其次是數學運算技巧不夠熟練。古明峰(1999)也提到學 童在解文字題上由於無法將問題語意的陳述意義及概念表徵,轉譯成有效的計 算或是建構到能被運算解題歷程基模,以致解題失敗。鄭惠萍(2007)從自身教學 經驗中發現,學生會因為對文字題感到困難,而拒絕去理解或是分析題目的意 思,只是習慣性地將題目上的數字作任意的加減乘除運算。由於文字題的題目 涉及語文理解知識、數學概念知識、數學計算能力等,以致其解題歷程相當複 雜,即便學童很早擁有加減的計算能力,但面對簡單的文字題時仍將之視為一 項難題。 研究者在一年級的教學現場中發現:一年級學童由於識字數量不多,閱讀 速度慢,為了能成功完成數學問題的作答以爭取高分,安親班老師或學童家長 會以「共」用加法,「剩下」用減法的規則配對方式,做為指導學童進行文字題 的解題策略,也就是大家熟知的「關鍵字策略」 ,然 Hegarty, Mayer & Monk(1995) 研究指出在二步驟比較型文字題的解題失敗者多使用直接轉譯策略,也就是直 接提取字面意義,以關鍵字進行解題。戴妏純(2007) 發現學童會使用關鍵字與 題目的問句進行解題,並賦予算式錯誤的解釋意義,甚至部分解題成功的學童. 2.

(15) 是依問題中的某些關鍵字進行運算並沒有充分理解題意。此外,謝慧齡(2004) 更指出關鍵字教學易導致學童錯誤解題,建議教師不宜以關鍵字進行教學。由 上述文獻可知,在未進行題意瞭解與統整,就直接提取題目中的數字,以特定 規則進行運算的配對,對於學童數學能力的提升並無助益,且養成這種以關鍵 字進行解題的習慣,不但會對學習造成反效果,還會影響解題能力。 國小一年級是學童進入正式教育的第一年,也開始依有系統且循序漸進方 式進行數學的學習,在此重要時期,若沒有建立良好的數學概念,很容易造成 日後數學學習的困難,研究者認為在數學解題教學中,培養學童認清問題本質 與題意,並與適當基模知識連結,是非常重要的課程內容,為讓學童在加減法 文字題的解題過程中能更瞭解題目的陳述,本研究擬以對話討論方式,增進學 童對於題目中的已知、未知訊息加以思考與整理,以更清楚文字與數學運算間 的關係,透過對題意的掌握形成決定語詞,然後計畫解題方向,並檢視數學算 式與決定語詞是否具一致性。而決定語詞的教學與關鍵字策略最大差別在於前 者強調對題目訊息的整理與瞭解,將問題陳述與經驗連結成有意義的表徵後, 才形成影響解題方向的決定語詞,後者關鍵字的產生則是直接提取題目中的語 詞、數字,並以字面的表層意義作直觀式的判斷,未全盤瞭解題意就進行數學 運算,為避免與一般熟悉的「關鍵字策略」混淆,故用「決定語詞教學」來做 區別,以「決定語詞」表示題目中具有判斷數學關係的語詞,也就是在學童瞭 解統整題意後,用來檢視選擇運算方式是否合理性的決定性語詞。 關 於 國 小 學 童 加 減 法 文 字 題 解 題 表 現 的 國 內 外 研 究 文 獻 有 很 多 (Stern, 1993;Riley, Greeno & Heller, 1983;De Corte et al., 1991;呂玉琴,1997;謝慧 玲,2004;戴妏純,2007;鄭惠萍,2007;黃湘婷,2007),但多以題型答對的 正確率、學童犯錯的類型與迷思為主,在關注教學對學習影響方面,有孫扶志 (1996)探討認知解題策略對國小四年級數學低成就學童文字題解題能力之實驗 教學研究,潘慧萍(2007)研究資訊融入對國小一年級加減法文字題的教學成. 3.

(16) 效。雖然一年級學童加減法文字題的解題表現之相關研究日趨增長,但針對教 學策略─有關指導學童解文字題的研究卻不多見,因此,以決定語詞教學進行 一年級加減法文字題解題表現之研究,實有必要與可行之處。 在教育現場中,紙筆測驗是常被教師用來瞭解學生學習表現的方式,並以 總分高低來判斷其學習成效,但總分相同的學童,可能因不同的作答反應組型, 顯示出不同的學習意義,由佐藤隆博提出的學生問題表分析(student-problem chart, S-P)使用指標化數據對試題良莠與學童學習進行診斷,其將學生學習類型 分成 A、A’、B、B’、C、C’六類型,老師可藉由分群後的學生學習類型,瞭解 學童的學習狀況並對反應組型出現異常之學童提供適切的協助。此外,為獲得 更多學童學習表現上的訊息,近年來在認知診斷評量領域,發展出許多圖形式 的概念結構分析法,如:次序理論(ordering theory, OT)、詮釋結構模式(interpretive structural modeling, ISM) 、 概 念 詮 釋 結 構 模 式 (concept advanced interpretive structure modeling, CAISM) 以 及 徑 路 搜 尋 (pathfinder) 。 其 中 Lin, Hung & Huang(2006)提出的概念詮釋結構模式,是一種結合 ISM 與察覺的模糊邏輯模 式,進行模糊取向的詮釋結構模式分析法,以圖示與數值清楚描述各概念間的 從屬關係,有助於教師瞭解每位學童的個別學習發展。 綜合上述研究動機,本研究欲以國小一年級學童為主要研究對象,以融入 決定語詞教學指導學童進行加減法文字題的學習,透過紙筆測驗來瞭解學童在 加減法文字題的解題表現,以 S-P 表與概念詮釋結構模式進行分群與分析,比較 學童加減法概念的發展與差異,並透過晤談來瞭解學童可能產生的錯誤概念, 以探討此策略對學童進行加減法文字題學習的影響,期望透過決定語詞教學的 融入能增進學童解決數學加減法文字題的能力,並可作為其他教育工作者在進 行加減法文字題教學上的參考。. 4.

(17) 第二節 研究目的 根據上述研究動機,本研究主要以 Polya 著作「怎樣解題」中問句與提示的 啟發方式,並依 Mayer 解題模式來進行決定語詞教學,採取準實驗設計研究模 式,探究在實施融入決定語詞教學與傳統一般教學模式,對實驗組與控制組學 童在學習數學「加一加」、「減一減」單元的成效有何不同,並探究學習後,不 同學習類型學童的概念階層結構圖之特色,最後進行個別晤談以瞭解學童可能 產生之錯誤概念。本實驗研究的主要目的如下: 一、瞭解國小一年級學童是否因融入決定語詞教學,而有助於其在加減法文字 題的解題表現。 二、探討國小一年級學童的加減法文字題之解題表現在 S-P 表分析中的學習類型 分布。 三、探究國小一年級學童在進行解加減法文字題的學習後,不同學習類型學童 之加減法概念階層的特徵與關聯。 四、瞭解國小一年級學童在加減法文字題解題表現上可能產生之錯誤概念。. 第三節 待答問題 基於以上的研究目的,研究者將欲探討的待答問題擬定如下: 一、融入決定語詞教學後,實驗組與控制組學童在加減法文字題的解題表現上 否是有差異? 二、融入決定語詞教學後,實驗組與控制組學童在加減法文字題上的學習類型 分布是否有不同? 三、不同學習類型學童之加減法概念階層的特徵為何?兩組學童的概念階層結 構圖是否有異同? 四、不同學習類型學童在加減法文字題的解題表現上可能產生哪些錯誤概念? 5.

(18) 第四節 名詞釋義 為使本研究所涉及的相關名詞意義更加清楚明確,本節將對決定語詞、決 定語詞教學、國小一年級學童、加減法文字題、解題表現等名詞提出釋義及界 定範圍,敘述如下:. 一、決定語詞 即在加減法文字題中,具有判斷數學關係的語詞,從語詞中可以獲得數量 增加、減少變化的訊息,或是可得知物件之間大小多少的相對關係。. 二、決定語詞教學 本研究的「決定語詞教學」是指研究者引導學童在進行題目文字閱讀後, 以口頭方式進行題意的討論與澄清,首先找出題目中待解決的問題,確認與題 意相關的物件、數量以及彼此間的行動與關係,然後推測待解問題的數量變化, 以決定使用的運算方法,列出算式後再確認運算方法與題目中決定語詞的表達 是否一致,進而找出正確解答的一種教學方法。. 三、國小一年級學童 本研究中的國小一年級學童係指民國一百學年度就讀國小一年級的學童, 自入學起,即依九年一貫數學領域課程綱要之能力指標進行學習。. 四、加減法文字題 本研究的加減法文字題,是指以文字描敘情境的單步驟加法問題和單步驟 減法問題,包括合(全體量未知、結果量未知)、分(結果量未知、改變量未知)、 比多(差異量未知、比較量未知)以及比少(差異量未知、比較量未知、參照量未 知)等類型,所呈現的數值以被加(減)數、加(減)數為 0~10,和(差)在 10 以內的 數字為範圍。. 6.

(19) 五、學生問題表分析理論 學生問題表分析理論(student-problem chart, S-P)是佐藤隆博(Takahiro Sato) 於 1970 年代所提出,可透過對試題、受試者作答反應組型的分析,獲得試題品 質、學生學習的診斷資料,以提供教學者作為改進教學、命題或實施有效輔導 的參考。. 六、概念詮釋結構模式理論 概念詮釋結構模式理論(concept advanced interpretive structural modeling, CAISM)是由 Lin et al.(2006)從 Warfield 的詮釋結構模式(interpretive structural modeling, ISM)中延伸發展出來的理論,主要依據作答反應和試題屬性資料進行 分析,計算出每位受試者其兩兩概念間的精熟度後,以數值與圖示呈現個別化 的概念階層結構圖,可做為教學者施以補救教學或教材設計之參考,以提升學 童學習效益。. 7.

(20) 8.

(21) 第貳章 文獻探討 本研究主要在探討融入決定語詞教學對國小一年級學童加減法文字題的解 題表現之影響,分析學童在「加減法文字題筆試測驗」中的答題正確性,及其 產生的錯誤類型。本章將依據研究目的進行相關文獻與重要理論的探討,共分 為六節:第一節整理關鍵字策略相關研究;第二節分析現行數學教材;第三節 探討數學解題歷程模式;第四節進行加減法文字題題型之分類;第五節回顧國 內外對加減法文字題的相關研究結果;第六節探討 S-P 表分析理論與概念詮釋結 構模式。. 第一節 關鍵字策略相關研究 許多教師非常清楚學童就算未理解題目的意義,依然可以列出算式得到正 確解答,特別是簡單的加減法文字題只須考慮加法或減法的運算時,以猜測方 式作答也有 50%的成功機率,而關鍵字策略就是一種不需理解題意的解題策 略,其使用方式為尋求題目中暗示數學算則的動作語詞來決定解題方向,最後 再進行數字的計算以獲得答案,例如:題目中出現「比多」的語詞,就暗示要 用加法計算,若出現「比少」的語詞就暗示要使用減法計算(Stern, 1993)。而學 童經由家長或教師的指導,學習到文字題中存在著暗示解題方法的關鍵字,於 是未進行題意的瞭解就盲目使用關鍵字解題,常導致錯誤的答案(Hegarty, Mayer & Greeno, 1992),此種問題也發生在學習障礙學生身上,即便他們已具有 計算與閱讀能力,在進行數學文字題解題時,仍時常出現盲目運算或憑直覺以 題目中的關鍵字來解題(Lester, 1985),這更印證 Schoenfeld 所言:關略字策略被 廣泛的使用。 Stern(1993)以 29 名一年級學童為研究對象,進行關鍵字策略對解比較型加 減法文字題表現的影響,結果顯示在比較型加減法文字題中,學童對比較量未 9.

(22) 知問題的重述表現比參照量未知問題好,而關鍵字策略並非造成學童在比較型 比較量未知加減法文字題有較好表現的原因。Hegarty et al.(1995)對 38 位大學生 進行兩步驟比較型文字題的解題研究,以分析解題成功者與失敗者在解題策略 上的差異,結果發現在對題目語句與對文字意義的理解上,解題成功者比失敗 者更清楚問題的實質意義,且能理解關係句中兩變項的關係,但解題失敗者只 注意題目中「比多」、「比少」的語詞,著重以字面意義解讀題目,換句話說, 解題失敗者多使用直接轉譯策略(direct translation approach),即為直接提取字面 意義的關鍵字策略。由於許多數學教科書中出現的文字題都能以直接轉譯策略 解題成功,造成學生沒有培養適當的問題解決策略,直至成人也依舊只會使用 直接轉譯策略。故建議教師應讓學生知道直接轉譯策略不是解決數學問題的萬 靈丹,其次教師應提供強調理解問題描述的策略,例如問題模式法(problem model approach),以能洞察全題,進行解題計畫。 楊美伶、蔣治邦(1992)研究指出關鍵字策略是指解題者在未充分了解題意 下,即從題目中尋找「關鍵」的詞彙(亦稱為關鍵字),然後依據關鍵字與運算規 則的配對,選擇運算方法,最後配合題目中的數字,執行選擇的運算。而國民 小學數學課本中以關鍵字策略能解題成功的適用率為 73%,習作更是高達 83%, 顯示習作比課本提供學童更多成功地使用關鍵字策略的機會,以「共」關鍵字 策略為例,學童在課本、習作中的成功機會竟高達 92%,由於違反此種策略的 題目比例偏低,所以學童多能以此種解題策略獲得不錯的結果,一旦當學童不 知道該採取何種運算方式時,就會使用關鍵字策略來決定,且透過與學童訪談, 發現教學中使用關鍵字的人通常是老師或是家長。在呂玉琴(1996)列舉的國小學 生的學習情況中顯示,學生對適用關鍵字策略的題型答對率有 93%,對違反關 鍵字策略的題型答對率只有 49%,顯示學童仍依賴關鍵字策略來解題,而教導 學童使用此策略的人有家長、兄姐、老師。 學童在教師、家長的教導下,運用關鍵字策略通過課本、習作題目的測驗, 10.

(23) 已對關鍵字產生強烈的信賴感,但是林佩如(2002)研究中發現國小五年級學童在 解因數應用問題時,會透過關鍵字的意義作聯想來解題,而形成錯誤的解題策 略。謝慧齡(2004)指出,一年級學童在解減法文字題的問題整合階段會因誤用關 鍵字而選擇錯誤策略。鄭惠萍(2007) 研究發現國小三年級學童在比較型加減文 字題的解題計畫及監控部分,誤用關鍵字是學童常犯的錯誤類型之一。黃湘婷 (2007)研究指出國小一年級學童進行加減文字題的解題時,在問題整合階段易因 誤用關鍵字而選擇錯誤的基模知識。 從上述的相關研究可發現,在解題過程中學童會運用關鍵字策略進行解 題,而習得關鍵字策略的途徑有經由家長、老師或兄姐教導,以及透過課本習 作獲得成功的解題經驗而內化為解題模式,然而在未充分瞭解題意下就直接使 用關鍵字策略將引導學童選擇錯誤策略,以致解題失敗。因此教師在教學中宜 多花時間與學童討論題目描述的情境,澄清語句表示的數學意義,形成對題目 有連貫性的表徵,再依決定的解題策略進行程序性的解題步驟,而這正是決定 語詞教學著重的內容。. 11.

(24) 第二節 現行數學教材分析 現行國小一年級的數學教材有南一、康軒、翰林三種版本,各版本教材除 了課本、習作外,亦有配合課程進行練習的補充教材,本節將就南一出版社於 民國一百年八月發行之數學第一冊,包含課本、習作、數學作業簿、數學實力 養成和數學前後測評量本等五種教材,對教材中有關適用關鍵字策略和常見加 減法關鍵字分布情形進行調查與分析。. 一、適用關鍵字策略的分布情形 分析五種數學教材,有出現關鍵字的加減法文字題共有 93 題,其中可以關鍵 字與算式配對進行解題成功的適用關鍵字策略題目有 79 題,約佔 85%,無法以 關鍵字配合算式進行解題的違反關鍵字策略題目有 14 題,約佔 15%,如表 2-2-1 所示。 表 2-2-1 南一版教材關鍵字策略的分布情形 版本 策略 適用關鍵字 策略 違反關鍵字 策略 合計. 課本. 習作. 數學 作業簿. 數學 實力養成. 數學前後測 評量本. 合計. 19. 20. 22. 13. 5. 79. (20.43). (21.51). (23.66). (13.98). (5.38). (84.95). 6. 2. 3. 1. 2. 14. (6.45). (2.15). (3.22). (1.07). (2.15). (15.05). 25. 22. 25. 14. 7. 93. (26.88). (23.66). (26.88). (15.05). (7.53). (100.00). 註:( )內的數字表示百分比 表 2-2-1 顯示適用關鍵字策略與違反關鍵字策略的加減法文字題數量在不同 教材的分布情形。在課本、習作適用關鍵字策略的題目比例相當接近,分為別 20.43%和 21.51%,數學作業簿中出現的比例為 23.66%,是五種數學教材中最高 12.

(25) 者,數學前後測評量本的比例則最低,只有 5.38%,由於數學前後測評量本的題 目只有 4 頁 (A4 大小),題數較少且文字題的比例較低,只有 6 題,因此在適用 關鍵字策略文字題的比例上最低。而以教科書(課本、習作)與補充教材(數學作業 簿、數學實力養成和數學前後測評量本)作比較,教科書中的題目適用關鍵字策略 的比例為 41.94%比補充教材 43.01%略低,顯示學童在習寫補充教材時有較多以 關鍵字策略解題獲得成功的機會。 從表 2-2-1 可知在課本中出現違反關鍵字策略的題目最多為 6.45%,數學實 力養成則是最低為 1.08%,而數學前後測評量本和習作在違反關鍵字策略題目上 的百分比雖然相同,都是 2.15%,然相對於數學前後測評量本中適用關鍵字策略 的 5 題,顯然違反關鍵字策略題目在數學前後測評量本中出現頻率尚高。 整體而言,教材內出現適用關鍵字策略的文字題為 84.95%比起違反使用關 鍵字策略的題目 15.05%要高許多,此結果與楊美伶、蔣治邦(1992) 相同,而以 教科書和補充教材做比較,適用關鍵字策略的題目出現在教科書中的比例為 41.94%小於補充教材的 43.01%,違反關鍵字策略的題目出現在教科書中的比例 為 8.60%大於補充教材的 6.45%,顯示補充教材比教科書提供更多使用關鍵字策 略的機會。. 二、常見加減法關鍵字的分布情形 以加減法文字題中常出現的六種關鍵字:「共」 、 「比…多(大)」、 「比…少」 、 「還有」 、 「剩下」、「比…貴」,對南一版的五種數學教材進行調查,發現這六種 關鍵字出現於適用關鍵字策略和違反關鍵字策略題目的比例,在例題、練習題 和補充題上均有相同方向的遞增關係,呈現例題小於練習題,練習題小於補充 題,見表 2-2-2。. 13.

(26) 表 2-2-2 南一版教材中六類型關鍵字的分布情形 適用關鍵字策略 關鍵 字 例題 練習題 補充題 合計. 例題. 練習題 補充題. 8 10 20 (8.60) (10.75) (21.51) 2 3 6 (2.15) (3.23) (6.45) 0 1 2 (0.00) (1.08) (2.15) 2 5 5 (2.15) (5.38) (5.38) 3 3 3 (3.23) (3.23) (3.23) 0 2 4 (0.00) (2.15) (4.30) 15 24 40 (16.13) (25.81) (43.01). 0 (0.00) 3 (3.23) 0 (0.00) 0 (0.00) 0 (0.00) 0 (0.00) 3 (3.23). 0 (0.00) 5 (5.38) 0 (0.00) 0 (0.00) 0 (0.00) 0 (0.00) 5 (5.38). 共 比…多 比…大 比…貴 還 有 剩 下 比…少 合 計. 38 (40.86) 11 (11.83) 3 (3.23) 12 (12.90) 9 (9.68) 6 (6.45) 79 (84.95). 違反關鍵字策略 合計. 0 0 (0.00) (0.00) 6 14 (6.45) (15.05) 0 0 (0.00) (0.00) 0 0 (0.00) (0.00) 0 0 (0.00) (0.00) 0 0 (0.00) (0.00) 6 14 (6.45) (15.05). 註:( )內的數字表示百分比 進一步分析常見加減法關鍵字的分布,在適用關鍵字策略中,六種常見的 加減法關鍵字以「共」出現的比例最高為 40.86%,而「比…多(大)」和「還有」 的關鍵字則相當接近,分別為 11.83%和 12.90%。在例題與練習題之間,關鍵字 出現的比例以練習題高於例題,顯示教科書中(課本、習作)的練習題提供較多用 關鍵字策略的機會,只有「剩下」的關鍵字出現比例是一樣為 3.23%。以教科書 的例題、練習題與補充教材的補充題進行比較,關鍵字出現的比例以補充題高 於例題、練習題,也就是補充教材提供關鍵字策略使用的機會高於教科書,但 是「剩下」的關鍵字出現比例在教科書是 6.45%高於補充教材的 3.23%,顯示在 補充教材中加減法文字題出現「剩下」關鍵字的題目較少,也減少學童使用「剩 下」的關鍵字策略。 在違反關鍵字策略的題目中,只有出現「比…多(大)」的違反關鍵字策略題 目,顯示出只有在解決「比…多(大)」的文字題目時,學童才有可能產生誤用關 14.

(27) 鍵字策略的機會,換句話說,學童在例題、練習題和補充題的解題過程中,使 用關鍵字策略成功的比例相當高。 更進一步分析,「比…多(大)」的違反關鍵字策略題目可以分成兩個類型。 一是「比…多」出現於題目的關係句,即在問題的陳述情境中,能對兩數量之 間的關係下定義,例如:「安安買了 7 枝鉛筆,珍珍比他多買 3 枝,珍珍買了幾 枝鉛筆?」 ;二是「比…多」出現於題目的疑問句,也就是問題情境中要求回答 的數量,例如: 「章魚哥今年 7 歲,派大星今年 3 歲,章魚哥比派大星大幾歲?」 。 在 14 題違反關鍵字策略題目中,只有兩題是以「比…多」為題目關係句,其餘 的「比…多」都是題目的疑問句,顯示「比…多」較常多出現在問題的最後一 句陳述中。同樣是「比…多」型的題目,在使用關鍵字策略的情形可能不一致, 當「比…多」出現在題目的最後一句陳述時,由於是問兩個數量間的比較(相差), 此時學童可能會改用看到「比」就用減法的關鍵字策略,而當「比…多」是出 現在題目中間的關係句時,可能有較多學童會誤用「比…多」的關鍵字策略。. 第三節 數學解題歷程模式 自從 Dewey 提出解題的六階段論後,不少學者開始重視數學解題的研究(陳 淑琳,2001)。而對數學解題歷程做有系統介紹的學者首推 Polya,他將解題的過 程分為四個階段,之後不斷有學者根據自己的研究心得繼續修正,提出許多的 解題歷程模式,以下將探討 Polya、Schoenfeld 和 Mayer 三位研究者的解題歷程 模式 (林清山譯,1990;涂金堂,1996,1999;謝慧齡,2004;鄭惠萍,2007)。. 一、Polya 的數學解題模式 波蘭數學家 Polya 在數學解題方面有好幾本著作,最早的一本是 1945 年所 著的「怎樣解題」(How to solve it),在書中他將解題過程區分為四個階段(張憶 壽譯,1986):. 15.

(28) 1.瞭解問題(understand):瞭解問題在問什麼?從題目中找出已知的訊息和未知 的部分,並導入適當的計畫。 2.擬定計畫(plan):找出未知數和已知數的關係,然後擬定出解題的策略、執 行步驟。 3.執行計畫(carry out):將所擬定的解題策略付諸實行,並仔細檢核每一步驟, 以獲得答案。 4.回顧解答(look back):要回過頭去檢驗答案、過程是否合理,使用不同方法 得到答案,並將這個方法應用到其他問題上。 這四個階段是啟發解題的方法,並非要解題者固定地依序前進,可在此四 階段中反覆來回。Polya 並在每個階段中提出一連串的問題或提示,例如:未知 數是什麼?已知數是什麼?你知道什麼相關問題?你能清楚的看出哪個步驟是 正確的?你能把這個結果或方法應用到別的問題嗎?透過對話方式,以協助解 題者進行解題。. 二、Schoenfeld 的數學解題歷程模式 Schoenfeld(1985)在著作「數學解題」(Mathematical problem solving)一書中, 強調數學解題的研究方向須要考慮四個變項: 1.資源(resources):是指解題者擁有與數學解題相關的數學知識,包含數學事 實、數學定義、運算程序及技巧等訊息。 2.捷思(heuristics):是指在解題歷程中所使用的解題技巧和策略,如:簡化問 題、畫圖、尋找模組、猜測等。 3.控制(control):則是關注在解題時,解題者如何計畫、如何選擇目標和次目 標、如何監控與評估解題結果等方面。 4.信仰系統(belief system):則是指解題者本身的數學觀點,因為不同的數學觀 點,將會影響其解題行為。. 16.

(29) Schoenfeld 在 Polya 的解題步驟中加入了「後設認知」和「信念系統」的概 念,並以「放聲思考」(thinking aloud)的方法,獲得轉移資料(鄭惠萍,2007)。 他認為上述四個變項是彼此重疊且有相互作用的,而控制因素較其他三者更具 關鍵性地位,因為如何有效運用資源、如何選擇適當的捷思策略等方面,常是 由控制因素所主導。因此 Schoenfeld(1985)從控制因素的觀點,將解題歷程區分 為六個階段:閱讀(reading)、分析(analysis)、探索(exploration)、計畫─執行 (planning-implementation)、驗證(verification)和轉移(transition),每個階段都列出 解題時需要注意的相關問題,以協助解題者進行解題。. 三、Mayer 的數學解題歷程模式 Mayer(1992,2003)從認知心理學的觀點,將數學解題歷程及其需要的知識 做結構性的分析,提出兩個階段、四個步驟的解題歷程模式,並將解題需要的 知識類型分為五種:語言知識、事實知識、基模知識、策略性知識和程序性知 識,茲就解題歷程分述如下: (一)問題表徵(problem representation) 將文字或圖案轉換成心理表徵,含二個步驟: 1.問題轉譯(problem translation):能對問題中的每個陳述句加以解釋,並理解 每個句子或主要詞句之間的關係,知道問題的已知條件及解題目標,然後將 問題的敘述轉變為內在的心理表徵。在轉譯的過程中,需要有瞭解句子意義 的「語言知識」和有關這世界的「事實知識」 。 2.問題整合(problem integration):要將問題中的所有陳述句統整成連貫一致的 問題表徵,可藉由用圖示或畫圖來表示問題的整合、對問題加以分類等技巧 來認識問題的類型,也可從有關及無關訊息的區分來決定解答問題所需要的 資料。在瞭解及整合的過程,需要具備某些有關問題類型的「基模知識」 。. 17.

(30) (二)問題解決(problem solution) 從問題的心理表徵進行到最後獲得解答的過程,包含二個步驟: 1.解題計畫與監控(solution planning and monitoring):必須想出並監控解題計 畫,這解題計畫可能包括 Polya 建議的「使用次目標」 、 「逆向工作」或「發 現有關的問題」。在解題過程中,解題者必須監控自己,知道自己在計畫中 的哪個步驟,能描述自己的解題過程,能根據解題計畫中已完成的部分來下 結論,這需要有如何解決問題的「策略知識」 。 2.解題執行(solution execution):能運用算術的法則完成計算工作。計算程序牽 涉到單純計算、連續計算等技巧,需具備能自動化地正確執行算術及代數程 序的「程序性知識」。 綜合上述文獻,可知 Polya 和 Schoenfeld 對於數學解題方面較重視解題的過 程,提出了瞭解問題、探索、計畫、執行及驗證回顧等階段,並且詳細解析各 階段所應採取的捷思方法,也就是解題的技巧與策略,強調學生應注意相關的 問題線索才能找出正確答案;但 Schoenfeld 在 Polya 的理論基礎上加入數學信念 系統及後設認知的概念,顯示其更重視解題者活用以及自我學習的能力,不以 背誦式的解題技巧為滿足。而 Mayer 則從心理學觀點將解題歷程區分為問題表 徵與問題解決兩個步驟,強調解題者的表徵,也就是將數學題目中的每個句子 轉譯成心理表徵,最後把資料整合成連貫一致的結構。由於三位學者對於解題 的觀察角度不同,以至於所描述的解題步驟也繁簡不一,但在解題歷程中,對 於語文及數學知識的重視,並將理解、計畫、執行、驗證等程序納入步驟中的 看法則十分相近。. 18.

(31) 第四節 加減法文字題題型之分類 加減法文字題的分類方法,每位學者依其看法有不同的分類,常見的分類 方式有下列四種:解題步驟、運算符號、問題情境、語意結構。Nesher, Greeno & Riley(1982)依照語意結構(semantic category)將加減文字題分為改變(Change)、合 併(Combine)與比較(Compare)三大類,其中合併類依部分與全體的不同分成二種 題型;而依據未知數的性質不同,改變類可分為最終量未知、改變量未知與最 初量未知三大類,再依照增加或減少的兩種方向,分成六種題型;比較類依未 知數的不同可分為差異量未知、比較量未知與參照量未知三大類,再依照較多 或較少的方向,可分成六種題型。將加減法文字題細分為十四種類型,如下表 2-4-1 所示。 表 2-4-1 Nesher et al.之十四種加減法文字題的類型與例題 類 型. 說. 明. 例. 題. (1)小天第一次套中 2 個圈圈,第二次套中 4 個,兩次共套中幾個? (2)手上有 6 顆糖果,右手有一些糖果,左 手有 4 顆,請問右手幾顆糖果? (1)草地上有 2 隻貓,又來了 4 隻,共有幾 隻? (2)樹上有 6 隻瓢蟲,飛走 4 隻,還有幾隻 瓢蟲? (3)籃子裡有 2 顆蘋果,再放進幾個,才會 有 6 顆蘋果?. 合併 1. 有關全體量未知的問題. 合併 2. 有關部分量未知的問題. 改變 1. 有關最終量的加法問題. 改變 2. 有關最終量的減法問題. 改變 3. 有關改變量的加法問題. 改變 4. 有關改變量的減法問題 (4) 6 個花片,拿走幾個後,會剩下 4 個?. 改變 5. 有關最初量的加法問題. 改變 6. (5)有一些皮球,再放入 2 顆,就有 6 顆 皮球,請問皮球原本有幾顆? (6)有一些冰棒,弟弟吃掉 2 支後,還有 有關最初量的減法問題 6 支,請問冰棒原本有幾支? (續下頁). 19.

(32) 類 型. 說 明. 例. 題. (1)花園裡有 6 隻蝴蝶和 2 隻蜻蜓,蝴蝶比 蜻蜓多幾隻? (2)院子裡有 2 朵黃花和 6 朵紅花,黃花比 比較 2 有關比少的差異量問題 紅花少幾朵? (3)菜園裡有 4 根紅蘿蔔,白蘿蔔比紅蘿蔔 比較 3 有關比多的比較量問題 多 2 根,菜園裡有幾根白蘿蔔? (4)小美採了 6 顆草莓,小玉比小美少採 2 顆, 比較 4 有關比少的比較量問題 小玉採了幾顆草莓? (5)雙雙今年 6 歲,她比萱萱大 2 歲,萱萱 比較 5 有關比多的參考量問題 今年是幾歲? (6)小明有 4 顆彈珠,他比小英少 2 顆,問 比較 6 有關比少的參考量問題 小英有多少顆彈珠? 資料來源:修改自 The development of semantic categories for addition and subtraction (p.377), by Nesher,P., Greeno,J.G., & Riley, M.S.,1982, Educational Studies in Mathematics, 13.. 比較 1. 有關比多的差異量問題. Carpenter 和 Moser 將加減法文字題中的改變類,再細分為添加(join)和分 離(separate),並加入等化類,一共分成添加、分離、合併、比較和等化五個類型。 (黃美盼,2005) 。 近 年 來 較 常 以 語 意 結 構 來 做 分 類 , 研 究 者 多 採 用 Fuson 的 分 類 法 , Fuson(1992)將加減法文字題分成改變、合併、比較、等化四類,再依數量運作 方向(例如:增加、減少、比多、比少)與未知數量在問題中的角色,即起始 量未知、改變量未知、結果量未知,進一步地區分各種類型的文字題,如表 2-4-2 所示,茲詳述如下(呂玉琴譯,1988;林原宏、黃美盼、易正明,2007;黃秀 玉,2008) :. 一、改變類 此類問題包括兩個基本的型態:添加型(add to)和拿走型(take away)問題,它 們全是含有行為的動態問題情境。假使給定起始量和一個直接或間接的行為, 引起起始量的增加,稱為添加型問題,以算式 a+b=c 表示,假若是從一個給定 的集合中取走一部份,則稱為拿走型問題,以算式 a-b=c 表示,且這二類問題依 其未知數的位置不同,又可把添加型和拿走型的問題各自再分成起始量未知、 改變量未知、結果量未知三種,因此改變類共可分成六種題型。 20.

(33) 二、合併類 是一種不含直接或間接行為的靜態問題情境。主要在探討一個集合(全體 量)和二個與它互為補集的子集合(部分量)之間的關係。它包含了二種問題 類型,皆以算式 a+b=c 表示,而此類問題的未知數位置可能發生在全體量或部 分量。. 三、比較類 與合併類相同,是一個靜態問題情境,也都不含直接或間接的行為。比較 類問題是在探討二個互斥集合之間的關係。可細分為較多型(more)和較少型 (less),比較類之較多型與比較類之較少型的基本算式均為 a-b=c,也就是和改變 類之拿走型相同,且這二類問題依其未知數的位置不同,又可把較多型和較少 型的問題各自再分成差異量未知、比較量未知、參照量未知三種,因此比較類 共可分成六種題型。. 四、等化類 它是比較類和改變類的混合類型。像改變類一樣是含有行為的動態問題情 境,但本質上卻是進行二個互斥集合的大小比較。如同比較類問題,先要有二 個互斥集合被比較,然後提出下列問題「要如何做才可以使這兩個集合的元素 個數相等?」假如給定集合的元素個數較少,且也完成了行為,這種問題稱為 添加等化型(equalize add to)問題,其算式為 a+b=c;反之,假如問題給定的元素 個數較多,而行為也完成了,就是拿走等化型(equalize take away)問題,其算式 為 a-b=c。和比較類問題一樣,隨著未知數位置的不同,又可以把上述二類型問 題各自再分成差異量未知、比較量未知、參照量未知三種不同型態,所以等化 類共可分成六種題型。. 21.

(34) 表 2-4-2 Fuson 之加減文字題的類型與例題 類 型. 例. 子. 改變 (1)小明有一些糖,小華給他 5 顆糖後,現在小明有 8 顆糖,問 小明原來有幾顆糖? (2)小明有一些糖,然後他給小華 5 顆,現在小明有 3 顆糖,問 小明原來有幾顆糖? (3)小明有 3 顆糖,小華又給小明一些糖後,現在小明有 8 顆糖, 改變量未知 問小華給小明幾顆糖? (4)小明有 8 顆糖,然後他給小華一些糖後,現在小明有 3 顆糖, 問小明給小華幾顆糖? 起始量未知. 結果量未知 (5)小明有 3 顆糖,小華又給小明 5 顆,問小明現在有幾顆糖? (6)小明有 8 顆糖,然後小明給小華 3 顆,問小明現在有幾顆糖? 合併 全體量未知 (1)小明有 3 顆糖,小華有 5 顆糖,問小明和小華共有幾顆糖? 部分量未知 (2)小明和小華共有 8 顆糖,小明有 3 顆糖,問小華有幾顆糖? 比較 參考量未知 (1)小明有 8 顆糖,小明比小華多 5 顆糖,問小華有幾顆糖? (2)小明有 3 顆糖,小明比小華少 5 顆糖,問小華有幾顆糖? 比較量未知 (3)小明有 3 顆糖,小華比小明多 5 顆糖,問小華有幾顆糖? (4)小明有 8 顆糖,小華比小明少 5 顆糖,問小華有幾顆糖? 差異量未知 (5)小明有 8 顆糖,小華有 3 顆糖,問小明比小華多幾顆糖? (6)小明有 8 顆糖,小華有 3 顆糖,問小華比小明少幾顆糖? 等化 (1)小明有 3 顆糖,他再買 5 顆糖後,就會和小華有一樣多的糖, 問小華有幾顆糖? (2)小明有 8 顆糖,他吃掉 5 顆糖後,就會和小華有一樣多的糖, 問小華有幾顆糖? (3)小明有 8 顆糖,小華再買 5 顆糖後,就會和小明有一樣多的 比較量未知 糖,小華原來有幾顆糖? (4)小明有 3 顆糖,小華把自己的糖吃掉 5 顆後,就會和小明有 一樣多的糖,小華原來有幾顆糖? (5)小明有 8 顆糖,小華有 3 顆糖,問小華要再買幾顆糖後,才 差異量未知 能和小明一樣多? (6)小明有 8 顆糖,小華有 3 顆糖,問小明要吃掉幾顆糖後,才 能和小華一樣多? 參考量未知. 資料來源:修改自蔣治邦(2001)。中年級學童「部分-全體」運思的發展:文字題圖 選與解題作業表現的差異,中華心理學刊,43,240。 22.

(35) 由上述分類可知,加減法文字題之分類並非以寫出的算式為「加」或「減」 來做為標準,而是以語意的相似性為依據,學生學習應以理解語意中各量之關 係為主,並非只是做「加」、「減」二選一活動而已。 此外,甯平獻(上課講義,民國 101 年 2 月 20 日)根據我國國民小學加減法 課程提出不同看法,認為國小低年級數與計算上的學習,包含「加法性合」、 「分」、「比」和「位移」四種類別。「加法性合」可分為「併加型」與「添 加型」,前者是指同一時間但空間不同,後者是指同一空間但不同時間,「比」 是指比較,可分為「比先後」與「比多少」,說明和例題如表 2-4-3 所示。 表 2-4-3 甯平獻之加減文字題的類型與例題 類型 說 明 細 分. 例 題 (1)早上小香吃了 1 個麵包,下午又吃 同一空間不同時間 添加 加法 了 3 個,請問小香吃了幾個麵包? (2)我的左手有 3 顆糖果,右手有 4 顆 性合 同一時間不同空間 併加 糖果,請問我有幾顆糖果? (1)架子上有 9 條抹布,我拿走 1 條, 分 拿走 架上還有幾條抹布? (1)小朋友排隊搭摩天輪,小天排在第 2 有順序性 比先後 個,小珍排在第 5 個,誰先坐上? 比 (2)養樂多賣 8 元,布丁賣 10 元,哪一 量比多少,數比大小 比多少 種比較貴?貴幾元? (1)從 2 樓搭電梯到 7 樓,請問往上移 由一位置 A 移動到 求位移量 動了幾層樓? 另一位置 B,包含兩 (2)從 2 樓搭電梯往上移動 7 層樓, 位移 個位置和一個位移 求終點 請問會到達幾樓? 量,有方向性,應避 (3)電梯往上移動 2 層樓到達 7 樓, 免地下室的問題 求起點 請問電梯原本在幾樓? 由表 2-4-3 可得知「加法性合」 、 「分」 、 「比」與國外學者提出的「合併類」、 「改變類」 、 「比較類」的題型相似,在國內各版本教科書上,以 Fuson 的四種類 型例題不見得會等量出現,其中以等化類型較為缺乏,以甯平獻的四類分法, 則以位移類型較少見,而本研究目的是依國小一年級教材內出現的題型做為探 討決定語詞教學對學童在解加減法文字題表現上的影響。 23.

(36) 第五節 加減法文字題相關研究 經蒐集國內外對於加減法文字題的相關研究,發現加減法文字題研究在題 型方面有加法、減法或加減法並列等探討,並依不同觀點進行題型分類,研究 不同題型的難度,研究者將其相關題型解題正確率及錯誤類型整理如下。. 一、Riley 的研究 Riley, Greeno & Heller(1983) 提及 Riley 於 1981 以幼稚園與一、二、三年級 學童為研究樣本,進行十四種加減法題型的解題研究,其結果顯示:合併、改 變與比較三種類型中,以比較型最為困難;在合併類型中,部分量未知較全體 量未知困難;在改變類型中,起始量未知較結果量未知困難;在比較類型中, 參照量未知比差異量未知困難;顯示未知數的所在位置愈前面,題目的困難度 愈高,各類型加減法文字題的答對率如表 2-5-1 所示。 表 2-5-1 Riley 十四種加減法文字題類型之正確率統計表 答對率(%) 問題 類型 幼稚園 一年級 二年級 三年級 合併 1 100 100 100 100 合併 2 22 39 70 100 改變 1 87 100 100 100 改變 2 100 100 100 100 改變 3 61 56 100 100 改變 4 91 78 100 100 改變 5 9 28 80 95 改變 6 22 39 70 80 比較 1 17 28 85 100 比較 2 4 22 75 100 比較 3 13 17 80 100 比較 4 17 28 90 95 比較 5 17 11 65 75 比較 6 0 6 35 75. 與本研究對應題型 合—全體量未知 合—結果量未知 分—結果量未知 分—改變量未知. 比多—差異量未知 比少—差異量未知 比多—比較量未知 比少—比較量未知. 比少—參照量未知 資料來源:修改自 The development of mathematical thinking (p.163), by Riley, M. S., Greeno, J. G., & Heller, J. I., 1983, New York, NY: Academic Press. 24.

(37) 二、Pauwels 的研究 De Corte & Verschaffel (1991)提及 Pauwels 於 1987 以二年級學童為對象,針 對十四種加減法題型進行研究,發現當問題的語意結構情境與所求未知數的解 題策略衝突時,學童的答對率會下降,其結果如表 2-5-2。 表 2-5-2 Pauwels 十四種加減法文字題類型之正確率統計表 問題類型. 答對率(%). 與本研究對應題型 合—全體量未知. 合併 1. 98. 合併 2. 62. 改變 1. 97. 合—結果量未知. 改變 2. 88. 分—結果量未知. 改變 3. 73. 改變 4. 78. 改變 5. 67. 改變 6. 83. 比較 1. 79. 比多—差異量未知. 比較 2. 78. 比少—差異量未知. 比較 3. 47. 比多—比較量未知. 比較 4. 44. 比少—比較量未知. 比較 5. 46. 比較 6. 38. 分—改變量未知. 比少—參照量未知. 資料來源:修改自 Language in Mathematical Education (p. 121), by De Corte, E., & Verschaffel, L., 1991, London: Open University.. 三、呂玉琴的研究 呂玉琴(1997) 以國小低年級學童共 299 人為對象,進行十四種加減法文字 題的研究,探討學童解簡單加減法文字題的表現,研究結果發現一、二年級學 童在十四種加減法的各題答對率分別有 58%、72%以上,以比較型「求參考集合」 最難,而在比較型的「求比較集合」與「參考集合」類型,可察覺「比多問題」 和「比少問題」的答對率相差 2%至 7%。各題型的解題表現如表 2-5-3。. 25.

(38) 從面談資料中,可知學童在解簡單的加減法文字題時,會採取「瞭解題意」 、 「比對記憶中的相似題及其解法」、「找關鍵字」等策略,而造成解題錯誤的原 因有:錯用關鍵字、計算錯誤、看錯題目等。 表 2-5-3 呂玉琴十四種加減法文字題類型之正確率統計表 答對率 問題類型 一年級 二年級 併加類 82 93 總量未知問題 95 97 子集合未知問題 改變類. 68 81. 與本研究對應題型. 合—全體量未知. 88 91. 求最終量的合併問題. 93. 96. 求改變量的合併問題. 81. 87. 求最初量的合併問題. 73. 88. 求最終量的分開問題. 78. 92. 分—結果量未知. 求改變量的分開問題. 78. 91. 分—改變量未知. 求最初量的分開問題. 83. 89. 比較類. 68. 合—結果量未知. 84. 求差的比多問題. 72. 90. 比多—差異量未知. 求差的比少問題. 82. 93. 比少—差異量未知. 求比較集合的比多問題. 73. 85. 比多—比較量未知. 求比較集合的比少問題. 66. 87. 比少—比較量未知. 求參考集合的比多問題. 58. 79. 求參考集合的比少問題. 58. 72. 比少—參照量未知. 資料來源:修改自呂玉琴(1997)。國小低年級學生對加減法文字題的了解。 中華民國第十三屆科學教育學術研討會,357。. 四、謝慧齡的研究 謝慧齡(2004) 採自編試卷對 653 名國小一年級學童進行不同類型減法文字 題的紙筆測驗,以探討不同減法題型的難度差異,由結果可知在十種題型的相 對容易度上,由簡單到困難依序為:減數未知型與拿走型、追加型、比較型與 合併型、被減數未知型、比多型、比少型,其中以比少─大數未知型最為困難。 26.

(39) 答對情形見表 2-5-4。 透過筆試與晤談資料的分析,可歸納出學童解題錯誤的迷思有 七種: (一)題意理解困難。(二)誤用關鍵字。(三)筆誤。(四)計算錯誤。(五)無意義列式。 (六)未理解題目的邏輯順序。(七)後設認知能力不佳。 表 2-5-4 謝慧齡十種減法題型之正確率統計表 試題 答對百分比 問題類型 題號 (%) Q1 83.15 拿走型(81) Q11 80.70 減數未知型(82) 比較型(76) 追加型(78) 合併型(71) 被減數未知型(65) 比. 大數未知型 (50). 多. 小數未知型 (50). 比. 小數未知型 (69). 少. 大數未知型 (24). Q4. 88.67. Q14. 76.72. Q2. 73.51. Q12. 80.86. Q3. 84.38. Q14. 73.35. Q5. 70.75. Q15. 71.52. Q6. 69.98. Q16. 61.10. Q7. 54.52. Q17. 47.47. Q8. 48.39. Q18. 53.60. Q9. 72.59. Q19. 66.31. Q10. 27.87. Q20. 20.83. 與本研究對應題型 分—結果量未知 分—改變量未知 比多—差異量未知. 比多—比較量未知. 比少—比較量未知 比少—參照量未知. 資料來源:修改自謝慧齡(2004)。一年級學童解減法文字題表現之研究(未出版之 碩士論文)(頁 50)。台中師範學院,台中市。. 27.

(40) 五、黃湘婷的研究 黃湘婷(2007) 以自編的「20 種加減法文字題試卷」為研究工具,對國小一 年級學童共 578 人進行紙筆測驗,探討學童解題的正確率與錯誤類型,研究顯 示:在四種類型中,合併類型為相對難度最低之題型,且以全體量未知題型為 難度最低;比較類型為相對難度最高之題型,又以參考量未知比少題型為難度 最高;等化類型以比較量未知題型的相對難度最高;而改變類型則以起始量未 知題型的相對難度最高,答題表現如表 2-5-5。 綜觀筆試與晤談資料,可歸納出學童解題的錯誤類型有八種:(一)語文或語 意知識不正確。(二)誤用關鍵字。(三)套用固定的基模知識解題。(四)策略性知 識不連貫。(五)計算錯誤。(六)習慣性的認為答案在等號右邊。(七)無意義列式。 (八)筆誤。 表 2-5-5 黃湘婷二十種加減文字題之正確率統計表 問題類型 合併. 答對百分比(%). 與本研究對應題型. 87.89. 全體量未知. 96.02. 部分量未知. 79.76. 改變. 合—全體量未知. 80.54. 起始量未知. 74.40. 添加型. 73.70. 拿走型. 75.09. 改變量未知. 76.64. 添加型. 72.66. 拿走型. 80.62. 結果量未知. 分—改變量未知. 90.57. 添加型. 94.46. 拿走型. 86.68. 分—結果量未知 (續下頁). 28.

(41) 問題類型 比較. 答對百分比(%). 與本研究對應題型. 71.37. 參考量未知. 54.93. 比多型. 63.49. 比少型. 46.37. 比少—參照量未知. 比多型. 76.99. 比多—比較量未知. 比少型. 86.51. 比少—比較量未知. 比多型. 75.26. 比多—差異量未知. 比少型. 79.58. 比少—差異量未知. 比較量未知. 81.75. 差異量未知. 等化. 77.42. 78.02. 參考量未知. 87.29. 添加型. 88.41. 拿走型. 86.16. 比較量未知. 67.91. 添加型. 70.07. 拿走型. 65.74. 差異量未知. 78.90. 添加型. 77.34. 拿走型. 80.45. 資料來源:修改自黃湘婷(2007)。國小一年級學童解加減文字題表現之研 究(未出版之碩士論文)(頁 44)。國立台中教育大學,台中市。. 綜觀上述研究,各研究者在加減法文字題類型的探討上略有差異,其研究 結果也不盡相同,但整體而言,學童解題的正確率由高至低分別為:合併類、 改變類、比較類,其中以合併型全體量未知、改變添加型結果量未知的解題正 確率最高,以比較比少型參照量未知的解題正確率最低,但謝慧齡(2004)研究結 果則以改變拿走型改變量未知的的解題正確率最高。. 29.

(42) 第六節 S-P 表分析理論與概念詮釋結構模式 關於人類習得知識後的概念結構分析,一直是心理計量學等相關領域有興 趣的主題,而如何適切的描述個人概念結構之特性,亦為方法論探討的主題(林 原宏,2005)。在分析方法上除了古典測驗理論與試題反應理論外,徑路搜尋、 試題關聯結構、學生問題表和概念詮釋結構模式也都常為研究者所應用,以下 主要探討學生問題表分析理論、概念詮釋結構模式理論的概要和相關研究。. 一、學生問題表分析理論 學生問題表分析理論包含 S-P 表的編製、基本性質與涵義、基本圖型,以及 差異係數、注意係數的計算等內容,以下茲就理論概要和診斷分析進行分述(Sato & Kurata, 1997;余寧民,2002;莊宗霖,2008;許芳郡,2009;林昌宏,2010): (一) 理論概要 學生問題表分析理論(student-problem chart, S-P)為佐藤隆博(Takahiro Sato) 於 1970 年代所創,是一種依據學生在試題的作答反應組型予以「圖形化」分析 的方法,其目的為獲得每位學生的學習診斷資料,以協助教師瞭解學生的個別 學習差異,做為實施有效學習輔導之參考。 S-P 表關注的課題是學生在試題的作答反應組型,因為學生的作答反應組型 不僅能呈現出學生的作答結果,同時也能反應出其思考模式,所以即使學生作 答總分相同,但反應組型不同,所表示的意義也就有所不同,如表 2-6-1。 表 2-6-1 作答反應組型範例表 Q1 Q2 S1 0 0 S2 1 1 S3 0 1 S4 1 0. Q3 0 1 0 1. Q4 0 1 1 0. Q5 1 0 0 1. 30. Q6 1 0 1 0. Q7 1 0 0 1. Q8 1 0 1 0. 總分 4 4 4 4.

(43) 由上表 2-6-1 可知,雖然四位學生(S1、S2、S3、S4)的總分相同,但答對(以 1 表示)、答錯(以 0 表示)的問題卻不相同,若問題設計前四題為加法,後四題為 減法,奇數為簡單題,偶數為困難題,就可發現 S1 只會減法,S2 只會加法,S3 只會困難加減法,S4 則只會簡單加減法,其中可察覺 S3 的反應組型有點違背常 理,一般而言,困難的試題能答對,簡單的試題更應能做對。因此,除了知道 學生得分高低外,教師應進一步瞭解學生作答反應組型背後的意義,以找出學 生在學習過程中的缺失,做為改進教學及輔導策略之參考。 S-P 表分析採用無母數統計方法(nonparametric method)─不對母群體特性設 定任何假設值,並使用下列指標化數據:差異係數(disparity index)、同質性係數 (homogeneity index)、試題注意係數(caution index for items)與學生注意係數 (caution index for students),來對學生在測驗試題的作答反應情形進行判斷是否 為不尋常(unusual)或異常(aberrant)的一種測驗分析方法,特別適用於以班級為單 位的小樣本之分析與診斷。 (二)診斷分析 S-P 表分析對於試題測驗中的異常作答反應情形,會以兩種注意係數指標, 即學生注意係數(簡稱 CS)與試題注意係數(簡稱 CP)來表示,當指標數值愈大, 代表學生或試題反應組型的異質成分愈高,也就是學生或試題出現不尋常的情 形愈嚴重。從實際教育現場的案例,佐藤提出下列的判斷標準: 1.當 0≦CPj (或 CSi)<.50 時,表示該試題或學生的反應組型發生異常的現象並 不嚴重,尚在可容忍的誤差範圍內,因此不作任何標記,以示正常程度。 2.當.50≦CPj (或 CSi)<.75 時,表示該試題或學生的反應組型發生異常的現象已 是很嚴重,應予以注意,因此使用一個星號()來標記。 3.當 CPj (或 CSi)≧.75 以上時,表示該試題或學生的反應組型發生異常的現象已 是非常嚴重,需特別注意,因此使用二個星號()來標記。. 31.

(44) 藉由上述的學生注意係數結合答對題數百分比,可用來診斷每位學生所屬 的學習類型,而診斷結果共分為六大類型:A、B、C、A’、B’、C’,各類型說 明如下圖 2-6-1 所示。. 100%. 學 生 得 分 百 分 比. 75%. A [學習穩定型] 學習良好 穩定性高. A’ [粗心大意型] 粗心大意, 不細心造成錯誤. B [努力不足型] 學習尚稱穩定, 需要再用功一點. B’ [欠缺充分型] 偶而粗心, 準備不充分,需要再努力. C [學力不足型] 學力不足, 學習不夠充分, 需要更加努力用功. C’ [學習異常型] 學習極不穩定, 具有隨性的讀書習慣, 對考試內容未充分準備. 50%. 0. 0.5 學生注意係數. 1.0. 圖 2-6-1 學生學習類型診斷圖 資料來源:修改自余民寧(2002)。教育測驗與評量-成就測驗與教學評量(頁 358)。 台北市:心理。. 同理,依據試題注意係數結合答對人數百分比,可用來判斷每個試題所屬 的品質類型,其診斷結果可分為四種類型:A、B、A’、B’,各類型說明如下圖 2-6-2 所示。. 32.

(45) 答 對 試 題 的 學 生 人 數 百 分 比. 100%. 50%. A [優良型] 試題相當適當, 可以用作區別低成就者 與其他學生的不同. A’ [異質型] 試題恐含有異質成分, 需要局部修正,或試題中 含有拙劣的選項. B [困難型] 試題困難度高, 適合用作區別高成就者 的好試題. B’ [拙劣型] 試題極為拙劣,含有相當 異質成分在內,可能資料 登錄錯誤或題意含糊不清 ,必須加以修改. 0. 0.5 試題注意係數. 1.0. 圖 2-6-2 試題品質類型診斷圖 資料來源:修改自余民寧(2002)。教育測驗與評量-成就測驗與教學評量(頁 355)。 台北市:心理。. 二、概念詮釋結構模式 概 念 詮 釋 結 構 模 式 (concept advanced interpretive structural modeling, CAISM),是由 Lin et al.從 Warfield 提出的詮釋結構模式(interpretive structural modeling, ISM)中延伸發展出來的理論,以下從理論概要和演算流程兩部分說明 (林原宏,2005,2009;葉律吟,2009;林昌宏,2010;黃佳萍 2012)。 (一) 理論概要 Warfield 根據離散數學和圖形理論,提出一種可系統化呈現整體元素之間的 階層圖型結構關係,但受限於二元資料的限制,對於心理計量所測得的概念或 解題能力單位之關係,無法完整的描述。林原宏(2005)提出模糊取向的詮釋結構 模式之概念結構分析法,結合試題反應理論與察覺的模糊邏輯模式,進行模糊 取向的詮釋結構模式分析,突破了 ISM 的元素間二元關係的限制。 Lin et al.(2006)提出概念詮釋結構模式 CAISM,其是根據測驗編製者給定的 33.

參考文獻

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• Formation of massive primordial stars as origin of objects in the early universe. • Supernova explosions might be visible to the most