將後測試題與施測獲得資料轉換成試題屬性矩陣與作答反應矩陣後，上傳 至認知診斷之測驗分析即時服務系統(http://210.240.187.35:8080/s-p/login-index.jsp)，
在閾值界定上，經參閱鄭佩郡(2008)、呂秀茹(2008)、林青慧(2009)與王佳如(2012) 發現其研究採用的閾值範圍介於.52 與.55 之間，加上研究者實際操作發現以 α
＝.52 為閾值繪製出的概念階層結構圖比使用其他閾值更能清楚表示每位學童在 合、分、比多、比少四個概念間的指向關係，故本研究採用 α＝.52 為閾值繪製 出每位學童的概念階層結構圖，從圖中可知每位學童對合、分、比多、比少四 個概念的精熟度，並依據 S-P 表分析之學習類型為分群，進行學童概念階層結構 圖的比較與歸納，本節分成兩部分說明，第一部分是探討不同類型學童之概念 階層結構圖，第二部分則是比較實驗組與控制組學童之概念階層結構圖。
一、不同類型之概念階層結構圖
依據 S-P 表分析受試學童共分為六種類型，但其中 C 和 C’ 類型因人數極 少，故僅從 A 類型挑選二位，A’、B 及 B’類型各挑選一位受試學童，即 S52、
S35、S1、S46 和 S6 進行加減法概念階層結構圖的分析與比較。表 4-3-1 為各組 抽取之受試學童作答反應組型。
表 4-3-1
不同類型學童之作答反應組型 S-P
類型
學童 代號
成績
分數 作答反應組型
A S52 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A S35 9 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 A’ S1 10 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 B S46 8 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 B’ S6 6 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1
(一)A 類型學童概念階層結構圖比較
A 類型學童 S52 和 S35 概念階層結構圖分別如圖 4-3-1 所示，圖中每個圓圈 內有兩個號碼，上為概念代號(1 的表示合概念，2 表示分概念，3 表示比多概念，
4 表示比少概念)，下為受試者對此概念的精熟度，精熟度介於 0 和 1 之間且數 值越大表示學童對此概念越精熟。
受試者 S52 α＝.52
受試者 S35 α＝.52
圖 4-3-1 S52 與 S35 的概念階層結構圖
如圖 4-3-1 所示， 學童 S52 和 S35 概念階層結構圖之特徵如下：
1.學童 S52 之概念階層為一層，而學童 S35 的概念階層有三層。學童 S52 因四個 概念全部精熟，故其概念皆位於同一層且概念間互有指向關係；而學童 S35 的 每層概念間都有連結，概念 1(合)位於最下層，概念 2(分)位於第二層，概念 3 (比 多) 和概念 4(比少)互有指向且位於最上層。
2.學童 S52 之概念精熟度為 1，顯示其對每個概念都很精熟，而學童 S35 位於最 下層概念的精熟度為 0.64，位於第二層概念的精熟度為 0.59，位於最上層概念
的精熟度 0.55 。A 類型的兩位學童概念精熟度都在 0.55 以上，表示對於四個概 念有一定的瞭解。
綜合上述，A 類型兩位學童的每個概念間都有連結與指向關係，精熟度都 在 0.55 以上，且從圖中可發現概念 1 指向概念 2 再指向概念 3 和概念 4，顯示 加減法概念的學習是循序漸進，且以概念 1(合)為前置概念。
(二)A’類型學童概念階層結構圖分析
A’類型學童 S1 概念階層結構圖如圖 4-3-2 所示，其特徵如下：
1.概念階層為三層，概念 1(合)和概念 3 (比多)互有指向為等價關係，且位於最下 層，概念 2(分)位於第二層，概念 4(比少)位於最上層，顯示比少概念為學童較 不熟悉。
2.學童 S1 位於最下層概念的精熟度為 0.64，位於第二層概念的精熟度為 0.59，
位於最上層概念的精熟度為 0.45 ，第三層與第二層的精熟度落差大。
綜合上述，各概念間仍有密切連結，但概念間的指向關係不同於 A 類型，
其中對一般學童困難度較高的概念 3 與概念 1 同為概念 2 的前置概念，與一般 的加減法概念學習不同，判斷該生可能有學習不穩定或不專心現象。
受試者 S1 α＝.52
圖 4-3-2 S1 的概念階層結構圖
(三)B 類型學童概念階層結構圖分析
B 類型學童 S46 概念階層結構圖如圖 4-3-3 所示，其特徵如下：
1.概念階層為二層，概念 2(分)位於下層，概念 1(合)、概念 3 (比多)與概念 4(比 少)位於上層，且互有指向為等價關係，顯示分概念為比多與比少概念的前置 概念。
2.學童 S46 位於下層概念的精熟度為 0.59，位於上層概念的精熟度為 0.55，兩層 間的精熟度差異不大。
綜合上述，各概念間有密切性連結，概念 2 為概念 3 與概念 4 的前置概念，
顯示對分概念的精熟有助於比多、比少概念的形成，但合概念成為分概念的上 位概念，判斷該生在合概念學習上需再花點時間複習。
受試者 S46 α＝.52
圖 4-3-3 S46 的概念階層結構圖 (四)B’類型學童概念階層結構圖分析
B’類型學童 S6 概念階層結構圖如圖 4-3-4 所示，其特徵如下：
1.概念階層為三層，概念 2(分)位於最下層，概念 1(合)與 4(比少) 位於第二層，
彼此有等價關係，概念 3 (比多)位於最上層。
2.學童 S6 位於最下層概念的精熟度為 0.59，位於第二層概念的精熟度為 0.55，
位於最上層概念的精熟度為 0.36，第三層與第二層間的精熟度落差極大。
綜合上述，各概念間雖有連結，但概念 3 的精熟度明顯偏低，需進行比多 概念的課後輔導，而合概念成為分概念的上位概念，顯示該生在合概念上需再 多加練習，且若能加強概念 2 的精熟度將有助於提升概念 4。
受試者 S6 α＝.52
圖 4-3-4 S6 的概念階層結構圖
綜觀不同學習類型學童之概念階層結構圖，可發現有 30.2%的學童其四個概 念並列且精熟度皆為 1.0，有 20.8%的學童其前置概念為概念 1，有 32.0%的學童 其前置概念為概念 1 與其他概念，顯示約有 83%的學童對概念 1 最精熟，是發 展其他三個概念的先備條件，如表 4-3-2 所示。此結果與 Pauwels、Riley et al.
(1983)、呂玉琴(1997)與黃湘婷(2007)的研究結果相符合，在加減法文字題的解 題表現上，學童在合併類的答對率最高，表示學童對此概念最為精熟。而不同 學習類型學童之概念階層結構圖也會出現階層數相同、概念指向相同的圖形，
但因答題出現異常或概念精熟度的不同，故在 S-P 表分析中即被區分成不同學習 類型。
表 4-3-2
不同學習類型學童之前置概念
前置概念 類型 受試學童 百分比
四個概念
並列 A S2、S 12、S 23、S 25、S28、S31、S33、S34、
S38、S41、S42、S45、S47、S50、S52、S53 30.2%
概念 1
A S26、S32、S35
20.8%
A’ S15
B S 16、S 19、S40、S51 B’ S 10、S 17
C S9
概念 1 與 其他概念
A S5、S21、S37、S43、S44、S48、S49
32.0%
A’ S 1、S7、S 14、S22、S30、S36 B’ S 3、S 20、S 24
C’ S18
概念 2
B S46
13.2%
B’ S6、S 27、S 29、S 39 C S 8、S 11、
概念 4 B S4
1.9%
C S4 概念 4 與
其他概念 A’ S13 1.9%
二、兩組學童之概念階層結構圖之比較
從實驗組與控制組中，挑選答題數相同、學習類型相同但反應組型不同的 同性別學童進行比較，由於實驗組學童沒有 C 和 C’類型，因此只就 A、A’、B、
B’類型比較異同，挑出的受試學童如表 4-3-3。
表 4-3-3
不同類型學童之作答反應組型 S-P
類型
成績 分數
性 別
組 別
學童
代號 作答反應組型
A 9 男 控制組 S5 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 實驗組 S32 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 A’ 10 男 控制組 S1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 實驗組 S30 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 B 8 女 控制組 S16 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 實驗組 S46 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 B’ 6 男 控制組 S6 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 實驗組 S39 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0
(一) A 類型學童概念階層結構圖之比較
兩組學童 S5 和 S32 之概念階層結構圖如圖 4-3-5 所示，其概念階層結構圖 之異同如下：
受試者 S5 α＝.52 受試者 S32 α＝.52
圖 4-3-5 S5 與 S32 的概念階層結構圖 1.相同處
概念階層數皆為三層，概念 1(合)位於最下層，概念 2(分)位於第二層，概念 4(比少)位於最上層，而最下層概念的精熟度為 0.64，第二層概念的精熟度為 0.59，此外，兩者的概念 1 都指向概念 2 再指向概念 4，代表其概念發展有依加 減法單元課程的學習順序。
2.相異處
概念 3 (比多)在學童 S5 概念階層結構圖中位於最下層，在學童 S32 概念階 層結構圖中位於最上層，顯示教材中出現較多關於合與比多概念之練習題目有 助於學童 S5 對合概念與比多概念的精熟；而對概念 4 的精熟度上，學童 S5 為 0.45 比學童 S32 的 0.55 低，顯示在比少概念的學習上學童 S32 比學童 S5 精熟。
(二)A’類型學童概念階層結構圖之比較
兩組學童 S1 和 S30 之概念階層結構圖如圖 4-3-6 所示，其概念階層結構圖 之異同如下：
1.相同處
概念階層數皆為三層，概念 1(合)位於最下層為概念 2 的前置概念，精熟度 為 0.64；此外，兩者的概念 3 (比多)指向概念 2(分)，表示概念 3 是概念 2 的前 置概念，顯示出二位學童在概念 2 的學習上有不穩定或不專心的現象。
2.相異處
概念 3(分)在學童 S1 與 S30 的概念階層結構圖中則分別位於最下層與第二 層，表示教材中出現較多有比多概念之題目有助於學童 S1 對比多概念的精熟；
概念 4 (比少)在學童 S1 與 S30 的概念階層結構圖中分別位於最上層與最下層，
且學童 S30 對概念 4 的精熟度為 0.64 比學童 S14 的 0.55 高，顯示學童 S30 對比 少概念較 S1 精熟，但其加減概念的發展與課程安排不同。
受試者 S1 α＝.52 受試者 S30 α＝.52
圖 4-3-6 S1 與 S30 的概念階層結構圖 (三)B 類型學童概念階層結構圖之比較
兩組學童 S16 和 S46 之概念階層結構圖如圖 4-3-7 所示，其概念階層結構圖 之異同如下：
1.相同處
概念 3 (比多)和概念 4(比少)位於同一層，互為指向呈現等價關係，且兩者 在此二概念的精熟度為 0.55。
2.相異處
概念 1 (合)在學童 S16 與 S46 概念階層結構圖中分別位於最下層與最上層，
概念 2(分)在學童 S16 與 S46 的概念階層結構圖中則分別位於最上層與最下層，
顯示兩者對於合、分概念的學習順序恰為顛倒；此外，學童 S16 的概念階層數 為三層，概念 1 (合)指向概念 3 (比多)與概念 4，再指向概念 2(分)，學童 S46 的 概念階層數為二層，概念 2(分)指向概念 1 (合)、概念 3 (比多)與概念 4(比少)，
其中學童 S16 的概念 3 與概念 4 為概念 2 的前置概念，與一般加減法概念學習 的指向不同，而學童 S46 在概念 1 的學習上需再多複習。
受試者 S16 α＝.52 受試者 S46 α＝.52
圖 4-3-7 S16 與 S46 的概念階層結構圖 (四)B’類型兩組學童概念階層結構圖之比較
兩組學童學童 S6 和 S39 概念階層結構圖如圖 4-3-8 所示，其概念階層結構 圖之異同如下：
1.相同處
概念階層數為三層，概念 2(分)位於最下層，概念 4 (比少)位於第二層，顯 示概念 2(分)為其他概念的前置概念，與課程安排的學習順序不同；此外，第一 與二層概念的精熟度也相同，分別為 0.59、0.55，而第二層與第三層概念間的精 熟度則有 0.19、0.1 的明顯落差。
2.相異處
概念 1 (合)在學童 S6 與 S39 的概念階層結構圖中分別位於第二層與最上 層，概念 3 (比多)在兩者的概念階層結構圖中則分別位於最上層與第二層，顯示 兩者對於合、比少概念的學習順序恰為顛倒，對概念 1 的精熟度學童 S6 高於學 童 S39，概念 3 的精熟度則是學童 S39 高於學童 S6。
受試者 S6 α＝.52 受試者 S39 α＝.52
圖 4-3-8 S6 與 S39 的概念階層結構圖
由上述可知，答題數相同、學習類型相同但反應組型不同的實驗組與控制 組學童，其概念階層的組成與精熟度也會不同。在概念階層數方面，兩組學童 多為三層，唯實驗組學童 S46 的概念階層數為二層，在各概念的精熟度上都有 0.50 以上，其中概念 1 和概念 3 之精熟度最高為 0.55 至 0.64，但控制組學童 S6 與實驗組學童 S39 各在概念 3 和概念 1 的精熟度出現 0.36 與 0.45 的偏低現象，
由上述可知，答題數相同、學習類型相同但反應組型不同的實驗組與控制 組學童，其概念階層的組成與精熟度也會不同。在概念階層數方面，兩組學童 多為三層，唯實驗組學童 S46 的概念階層數為二層，在各概念的精熟度上都有 0.50 以上，其中概念 1 和概念 3 之精熟度最高為 0.55 至 0.64，但控制組學童 S6 與實驗組學童 S39 各在概念 3 和概念 1 的精熟度出現 0.36 與 0.45 的偏低現象，