國立台中教育大學數學教育系在職專班教學碩士論文
指 導 教 授：楊志堅
博士
空間能力與數學幾何成就
相關之探究
研 究 生：馮雅慧
撰
中 華 民 國 九 十 五 年 六 月
謝
誌
本論文得以順利完成，首先要感謝指導教授楊志堅老師的悉心指導， 每次專題研究會議的收穫，都不單只有在學術研究上，更包括了楊老師學 者和煦的風範及生活的態度，讓我以樂觀積極的態度完成了生命中其中一 件美好的事。 撰寫論文期間，感謝共同參與專題研究會議的夥伴們，給予寶貴的意 見與協助，洪志盈老師提供在國小學童空間能力量表建構之研究經驗，使 本研究的過程更順利及完善。感謝夜數碩的同學們在求學的三年期間的陪 伴，及好友們懿芳、仔堂、綉 玉 、杰炘、心慧、乙平等協助測驗卷的發放， 服務學校的同仁們在求學期間不斷地關懷與鼓勵，愛護之情銘記於心。 感謝口試委員王子華老師、陳信如老師及邱美秀老師撥冗詳審，細心 斧正，使本論文內容更完善。 最後要感謝我親愛的家人，由於離鄉在外地工作又要兼顧學業，每次 週末回到溫暖的家，才能真正的放鬆，恣意的享受親情的關愛與包容。 師恩、親情、友誼，感謝命運讓我與這群友善的人相遇，與你們分享 完成學業的喜悅，並誌頁首，表達我最誠懇的謝忱。 馮雅慧 謹誌 中華民國九十五年六月中文摘要
本研究旨在發展國小空間能力量表，進而探討學童空間能力與數學幾 何成就的相關性及不同變項學生在空間能力或數學幾何成就之差異性。 為達研究目的，以文獻分析、量表及測驗調查、專家座談與審查等方 法進行研究。研究工具為研究者自編之「空間能力量表」及「數學幾何成 就測驗」，以中部國小六年級學生為母群立意取樣，正式施測有效樣本共 296 份。 所得資料以信、效度分析法進行試題考驗，並以 t 考驗、單因子變異 數分析、scheffe 事後比較、皮爾森積差相關等統計方式進行資料處理。 分析歸納後提出下列結論： 一、本研究的空間能力量表與數學幾何成就測驗具良好試題特徵。 二、本研究所測得的空間能力與數學幾何成就具相關性。 三、本研究中不同學校學生於空間能力量表的表現無差異性，但於數學幾 何成就測驗具差異性。 四、本研究中不同性別學生於空間能力量表與數學幾何成就測驗的表現無 顯著差異。 五、數學幾何成就低、中、高組學生於空間能力表現具有差異性。 六、空間能力低、中、高組學生於數學幾何成就表現具有差異性。 最後並根據研究結論，對教學應用與後續研究提出建議以供參考。 關鍵詞：空間能力、數學幾何成就Abstract
The purposes of this reserch are as follows: First, to explore spatial ability scales for primary school students. Second, to analyze the correlation of spatial ability scales and mathematics geometry achievements tests for primary school students. Third, to analyze the difference of test results include spatial scales and achievement tests of mathematics geometry.
In order to achieve the above goals, this study took literature review, examined the scales and tests and workshops as its research tools. The tools of this reserch were spatial ability scales and achievement tests of mathematics geometry. The sample in the reserch is sixth graders of primary school in the central section. The effective samples were 296.
The validity and reliability of the spatial ability scales for primary school students were constructed. Data amassed was processed by statistical strategies of t-test, one-way ANOVA, Scheffe’s Test and Pearson’s product-moment correlation.
The main conclusions are as follows :
1. The spatial ability scales and achievement tests of mathematics geometry can have good test characteristics.
2. There is a significant carrelation between the spatial ability scales and achievement tests of mathematics geometry.
3. There is no apparent difference between different school students in their spatial ability. but there is apparent difference between different school students in their achievement tests of mathematics geometry.
4. There is no apparent difference between male students and female students in spatial ability scales and achievement tests.
5. Among students of low, middle and high mathematics geometry achievement, there is an apparent different in spatial ability scales.
6. Among students of low, middle and high spatial ability, there is an apparent different in mathematics geometry achievement tests.
According to the above conclusion, this study summed up some suggestions for reference for school teachers and further studies.
目
錄
謝 誌 ………Ⅰ 中文摘要 ………Ⅱ 英文摘要 ………Ⅲ 目 錄 ………Ⅳ 附 錄 ………Ⅵ 圖 次 ………Ⅶ 表 次 ………Ⅷ 第一章 緒論………1 第一節 研究動機 ………1 第二節 研究目的 ………3 第三節 研究問題.………3 第四節 研究步驟與流程 ………3 第五節 研究範圍與限制 ………6 第六節 名詞釋義 ………7 第二章 文獻探討………8 第一節 空間能力的探究 ………8 第二節 國小數學幾何的內涵 ………13第三節 空間能力與幾何數學之相關性………18 第三章 研究設計與實施 ………20 第一節 研究架構………20 第二節 研究方法………21 第三節 研究對象………21 第四節 研究工具………22 第五節 資料分析與處理………33 第四章 研究結果與討論 ………34 第一節 試題分析………34 第二節 學童空間能力與數學幾何成就之相關分析………40 第三節 不同變項學生在空間能力與數學幾何成就之差異分析……45 第四節 空間能力量表中部地區學生之 Z 分數、T 分數及 百分等級常模………53 第五章 結論與建議 ………54 第一節 結論………54 第二節 建議………56 參考文獻 中文部分 ………58 英文部分 ………60
附
錄
附錄一 給施測老師的一封信 ………62 附錄二 數學幾何成就測驗檢核表 ………63 附錄三 不同學校之學生在空間能力量表、數學幾何幾就測驗 之變異數分析 ………64 附錄四 數學幾何成就高、中、低分組在空間能力量表之變異數分析 與人數分佈表 ………66 附錄五 空間能力高、中、低分組在數學幾何成就測驗之變異數分析 與人數分佈表 ………68 附錄六 空間能力總量表及立體物旋轉、方位景象分量表之 Z 分數、T 分數及百分等級常模 ………70 附錄七 空間能力總量表及立體物旋轉、方位景象分量表答對題數與數 學幾何成就測驗平均分數之對照長方圖 ………73 附錄八 正式數學幾何成就測驗 ………75 附錄九 正式空間能力量表 ………79圖
次
圖 1-4-1 研究流程圖 ………5 圖 2-2-1 四邊形教材的編排次序 ………17 圖 3-1-1 研究架構概念圖 ………20 圖 4-3-1 數學幾何成就不同分組學生於空間能力量表平均得分 ………48 圖 4-3-2 數學幾何成就不同分組學生於立體物旋轉分量表平均得分 …48 圖 4-3-3 數學幾何成就不同分組學生於方位景象分量表平均得分 ……49 圖 4-3-4 空間能力不同分組學生於數學幾何成就測驗平均得分 ………50 圖 4-3-5 空間能力不同分組學生於面積分測驗平均得分 ………50 圖 4-3-6 空間能力不同分組學生於圖形分測驗平均得分 ………51 圖 4-4-1 空間能力總量表答對題數與數學幾何成就測驗平均分數 之對照長方圖 ………73 圖 4-4-2 空間能力總量表答對題數與面積分測驗平均分數 之對照長方圖 ………73 圖 4-4-1 空間能力總量表答對題數與圖形分測驗平均分數 之對照長方圖 ………74表
次
表 3-3-1 正式樣本人數及分佈表………22 表 3-4-1 「立體圖旋轉」分項量表之項目分析表………25 表 3-4-2 「方位景象」分項量表之項目分析表………26 表 3-4-3 立體物旋轉分量表正式施測與預式題號對照表………27 表 3-4-4 方位景象分量表正式施測與預式題號對照表………27 表 3-4-5 九年一貫數學領域第二階段幾何主題能力指標………28 表 3-4-6 幾何量分測驗細目表………29 表 3-4-7 「幾何量」分測驗之項目分析表………31 表 3-4-8 「圖形」分測驗之項目分析表 ………32 表 4-1-1 「立體物旋轉」分量表之項目分析表………34 表 4-1-2 「方位景象」分量表之項目分析表………35 表 4-1-3 「幾何量」分測驗之項目分析表………36 表 4-1-4 「圖形」分測驗之項目分析表………36 表 4-1-5 空間能力量表之因素分析表………38 表 4-1-6 空間能力分量表與數學幾何成就分測驗之 MTMM 矩陣 ………39 表 4-2-1 學生空間能力量表與數學幾何成就測驗之相關矩陣…………41 表 4-2-2 男學生空間能力量表與數學幾何成就測驗之相關矩陣………42 表 4-2-3 女學生空間能力量表與數學幾何成就測驗之相關矩陣………43 表 4-3-1 不同學校之學生在空間能力量表之變異數分析………64表 4-3-2 不同學校之學生在數學幾何成就測驗之變異數分析…………65 表 4-3-3 不同性別學生在空間能力量表之 t 檢定………46 表 4-3-4 不同性別學生在數學幾何成就測驗之 t 檢定………47 表 4-3-5 數學幾何成就高、中、低分組在空間能力量表之 變異數分析………66 表 4-3-6 數學幾何成就高分組於空間能力表現人數分佈表………67 表 4-3-7 數學幾何成就中分組於空間能力表現人數分佈表………67 表 4-3-8 數學幾何成就低分組於空間能力表現人數分佈表………67 表 4-3-9 空間能力量表高、中、低分組在數學幾何成就測驗之 變異數分析………68 表 4-3-10 空間能力高分組於數學幾何成就表現人數分佈表 …………69 表 4-3-11 空間能力中分組於數學幾何成就表現人數分佈表 …………69 表 4-3-12 空間能力低分組於數學幾何成就表現人數分佈表 …………69 表 4-4-1 空間能力總量表中部地區國小六年級學生之 Z 分數、T 分數及百分等級常模 ………70 表 4-4-2 立體物旋轉分量表中部地區國小六年級學生之 Z 分數、T 分數及百分等級常模 ………71 表 4-4-3 方位景象分量表中部地區國小六年級學生之 Z 分數、T 分數及百分等級常模 ………72
第一章 緒論
本研究旨在發展國小空間能力量表並探討學童空間能力與數 學幾何成就的相關性。本章將說明研究動機、研究目的與問題並對 本研究所使用的特定名詞加以釋義。第一節 研究動機
心理學指出空間能力為智力的一種(Gardner,1993)，解析智力 的成分中，某些人特別專精於視覺空間圖像之判斷，許多研究者將 此種智力因素命名為空間因素，例如：蔣家唐(1995a)，文獻上並 認為空間能力在人類智力的組成中為獨特(specific)的因素，有別 於一般(general)的智力或問題解決能力，因而值得對空間能力單 獨深入研究。 文獻中空間測驗的種類大約可分為：空間關係及定位能力測驗 和視覺化(Visualization)能力測驗兩類，例如：蔣家唐(1995a)、 左台益、梁勇能(2001)等，研究者依此原則將本研究之空間能力量 表分為立體圖旋轉與方位景象兩分量表。許多空間能力量表將立體 圖旋轉視為一重要之分量表，其圖示的方式皆是以電腦繪圖來呈 現，研究者欲發展之空間能力量表其試題將皆為利用數位相機拍攝 實物之圖象，以期排除掉一般智力測驗試體中立體圖旋轉不太立 體，失真的問題，又於不同方位景象分量表中運用真實人物的呈 現，增加視題的活潑性。本研究的主要目的為編製具良好試題特徵 之空間能力量表，研究者參考國內外研究，編製空間能力測驗，內 容包括立體圖旋轉及方位景象兩個分量表，以供學界未來在研究空 間能力使用。 九年一貫課程數學領域將「幾何」列為五大主題之一，幾何課 程分為四階段，在第二階段(四、五年級)，由於數與量的發展逐漸成熟，學生開始結合「數」與「形」兩大主題，學習運用幾何形體 的構成要素(如角、邊、面)及數量性質(如角度、邊長、面積)(教 育部，2003)。兒童發展中對感知覺空間概念的定義包含圖形與空 間，亦即與形狀，位置等相關的概念，兒童藉著了解事物的形狀、 大小、距離及位置等，增進對環境的適應(阮淑宜，1991)。可知兒 童從小在環境中，便不斷的運用其空間能力以認識、瞭解及解決生 活中的問題。 許多的研究都發現空間能力與數學成就的關係在各年級兩者 呈正相關的現象。Guay & McDaniel(1977)對國小數學成就和空間 能力相關的研究顯示數學成就和空間能力有正相關，Quaiser-Pohl & Lehmann(2002)的研究中則顯示空間視覺化與數學成就間存在著 顯著相關性，吳文如(2003)於國中生空間能力與數學成就相關因素 之研究中亦發現國中生的空間能力與數學成就具相關性。關於性別 在空間能力方面的差異頗受爭議，許多研究指出男生的空間能力較 女生佳(康鳳梅、鍾瑞國、劉俊祥、李金泉，2002；Newcombe,2002)， 但卻也有研究指出男、女空間能力並沒有差異(廖焜熙，1999)，或 指出男、女生空間能力並無太大差異(蔣家唐，1995b)。 Floyd 等人(2003)指出視覺空間思考(visual-spatial
thinking)與數學計算能力(Math Calculation Skills)及數學推理 能力(Math Reasoning)在 6~19 歲皆未具相關(Floyd, R.G., Evans, J.J., & McGrew, K.S., 2003)，其研究特別強調不將圖形推理試 題納入空間能力測驗中，並建議往後可增加支持視覺空間思考與特 殊數學能力的相關重要性的研究。學習幾何的兩個主要認知因素 為：推理思考、空間能力，又性別差異更是許多研究空間能力及數 學成就探討的議題，因此本研究希望能了解兒童在空間能力測驗的 表現與其經由數學教育幾何課程所習得的幾何成就之間是否具有 相關性，並探討性別在空間能力及數學成就表現是否具差異性。
第二節 研究目的
依據研究動機，本研究希望藉由研究者編製的空間能力量表與 數學幾何成就測驗，探討國內六年級學童於空間能力的表現及其與 數學何成就的相關性。以下則為進行本研究的目的： 一、發展國小六年級學生空間能力量表並建立中部地區常模。 二、探討國小六年級學童空間能力與數學幾何成就的相關性。 三、探討不同變項(學校、性別、空間能力、數學幾何成就)之 國小六年級學童在空間能力量表或數學幾何成就測驗表 現的差異性。第三節 研究問題
根據研究目的，以下為本研究所探究的問題： 一、本研究之國小六年級空間能力量表中部地區常模為何？ 二、國小六年級學童的空間能力與數學幾何成就是否具相關 性？ 三、不同變項(學校、性別、空間能力、數學幾何成就)之國小 六年級學童於空間能力或數學幾何成就的表現是否具差 異性？第四節 研究步驟與流程
本研究的研究步驟分述如下： 一、擬定研究計畫 確定研究方向及決定研究目的，並蒐集相關資料以擬定研 究方法、步驟及研究進度表。 二、文獻蒐集及分析 蒐集及閱讀相關之文獻，探討國內外關於智力、空間能力、幾何數學成就等相關資料，建立本研究之理論基礎。 三、量表及測驗的編製 1、空間能力量表 以空間能力相關文獻為基礎，做為製作空間能力 量表之依據，發展國小學童空間能力量表。 2、數學幾何成就測驗 研究者根據九年一貫課程數學領域暫行綱要(教 育部，2000)中「圖形與空間」主題之第二階段八項能 力指標，編製數學幾何成就測驗。 四、專家審查 將「空間能力量表」及「數學幾何成就測驗」草稿，請專 家學者針對量表及測驗內容進行書面審查，將不適宜之題目予 以修正或刪除，以建立內容效度。 五、量表及測驗預試與修正 「空間能力量表」及「數學幾何成就測驗」修正完成後， 即進行預試，將回收之量表及測驗進行項目分析，對不具難度 及鑑別度的題目，予以刪除，以修訂完成正式量表及測驗。 六、信效度考驗 本研究之「空間能力量表」及「數學幾何成就測驗」信度 採信度分析 Alpha 值，效度採建構效度及專家效度來實施考驗。 七、量表及測驗正式施測 採立意取樣選取樣本，進行「空間能力量表」及「數學幾 何成就測驗」之正式施測。 八、施測結果統計分析 將「空間能力量表」及「數學幾何成就測驗」回收經編碼 歸納整理後以統計軟體 SPSS10.0 進行統計分析。
九、整理研究結論並提出建議 將資料結果分析歸納，提出研究結論並提出建議事項。本 研究之流程圖如圖 1-4-1 所示。 擬定研究計畫 文獻蒐集及分析 量表及測驗的編製 專家審查 量表及測驗的預試及修正 量表及測驗的正式施測 施測結果統計分析 整理研究結論並提出建議 研究論文修正 研究論文付梓 圖 1-4-1 研究流程圖
第五節 研究範圍與限制
由於空間能力及數學幾何成就所涉及的範圍極為廣泛又因本 研究受時間、經費、人力等因素，無法施測大樣本，因此，本研究 之範圍與限制如下： (一)研究內容範圍與限制 雖然空間能力及數學幾何成就所涉及的內容極多，為顧及 研究之單純性及可行性，本研究以「國小六年級學生空間能力 和數學幾何成就之相關」為研究主題，空間能力量表之內容為 綜合學者兩個空間因素發展的兩項分量表，數學幾何成就之內 容為依據數學暫綱幾何主題之第二階段共八項能力指標所發展 的兩分測驗。研究者雖盡力搜集相關資料，但受限於研究時間、 人力、經費不足等因素，未做教學過程等相關因素的探討。 (二)研究對象範圍與限制 本研究之對象僅以我國中部地區國小六年級學生為研究的 主要對象。因數學幾何成就涉及學生在國小正式教育所學之內 容，每一年級的學生之數學幾何成就測驗應為不同的測驗內 容，受限於本研究所發展的數學幾何成就測驗只能做為評估國 小六年級學生數學幾何成就之依據，本研究所發展的空間能力 測驗亦僅對國小六年級學生做施測，其它年級學生不列為本研 究之研究對象。第六節 名詞釋義
以下為本研究特定名詞的界定： 一、國小六年級學童 本研究所指的國小六年級學童係指本研究樣本中，已修畢 國小五年級課程剛升上六年級，學習六年級課程約二~三個月 之六年級學童。 二、空間能力 本研究參考國內外關於空間能力研究編製空間能力量 表，測驗內容包括立體圖旋轉和方位景象兩項分量表，兩項分 測驗的空間因素：(一)、立體圖旋轉：空間視覺化，能在心理 操作旋轉或扭轉以視覺呈現的刺激物的能力；(二)方位景象： 空間方位，能察覺及回想特定的空間方位或能定位己身於空間 中的方位的能力。本研究所指的空間能力，係指學童於研究者 所編製之空間能力量表的表現。 三、數學幾何成就 本研究根據九年一貫課程數學領域暫行綱要(教育部， 2000)中「圖形與空間」主題之第二階段八項能力指標，編製 數學幾何成就測驗。本研究所指的數學幾何成就，係指學童於 研究者所編製之數學幾何成就測驗表現。第二章 文獻探討
為發展本研究之工具國小空間能力量表與數學幾何成就測 驗，本章探討國內、外有關空間能力以建立國小空間能力量表，蒐 集分析國內數學幾何課程相關資料以建立數學幾何成就測驗，並歸 納有關空間能力與數學成就相關的文獻以建立本研究之理論基 礎。本章共分為三節，第一節為空間能力的探究；第二節為數學幾 何成就的內涵；第三節為空間能力與數學成就之相關性。第一節 空間能力的探究
一、空間能力在智力理論的存在
「智力」(intelligence)跟隨著時代的變換及心理與測驗學家 的觀點，而不斷有新的、不同的定義。心理與測驗學者對智力的定 義依其所編製的智力測驗內容有其差異，以操作性定義界定智力， 即將智力定義為「智力測驗所測量的能力」。 從最早的心理計量學派的智力二因論、群因論、階層論、多因 論到認知學派的智力多元論，都將智力視為多項能力的組合，而空 間能力在人類智力組成中所佔的份量，則為一個不同於其它能力的 獨特智力(Linn & Petersen,1985)。不同的智力測驗，將智力分割 成不同的因素，以下將針對空間能力在不同的智力因素結構理論中 的存在地位加以分析討論。(一)、Spearman 的二因論：
Spearman(1927)首先依據測驗分數統計之分析，提出智力二 因論(two-factor theory of intelligence)，主張智力是由普 通因素(general factor，簡稱 g 因素)及許多特殊因素(specific factor，簡稱 s 因素)所構成；普通因素為一般能力，乃一切心 智活動的主體，也問題時共同能力，特殊因素為特殊能力，只在
某些特殊情形才會表現出來(蔡崇建 1991；李琛玫，1996)。 由於 Spearman 提出的二因論，使得其它的研究者注意特殊 能力的存在，展開了以因素分析方法研究智力的成份。 (二)、Thurstone 的群因論： Thurstone(1938)以大學生在 56 個測驗的結果，運用因素分 析法，提出群因論(group-factor theory)，將人類的基本心理能 力分析為七項，並經由因素的特質來命名，此七項心理能力分別 為：1、語文理解(verbal comprehension)；2、數字運算(nember)； 3、機械性記憶(rote memory)；4、知覺速度(perceptual speed)； 5、空間關係(space)；6、語文流暢(word fluency)7、一般推理 (general reasoning)。 Thurstone 的群因論將「空間關係能力」視為人類基本心理 能力的一個重要因素，並將其與「一般推理能力」視為不同的能 力。 (三)、Vernon 的階層理論 Vernon(1960)認為智力所包含的因素之間有層次之分，屬於智 力階層理論(hierarchical structure)。其替階層的因素定出名 稱，第一層為普通能力，第二層為群因素，包括「語文—教育」及 「空間—機械」兩個因素。 (四)、Guillford 的多因論： Guillford (1967)提出智力結構模式(structure of intellect model)，認為智力理論是以思考為中心，思考的文物 乃是在不同的內容下，運作不同的思考方式所到的結果，即將思 考分為內容(content)、運作(operation)和結果(product)三向 度，內容向度包括四項：1、圖形的 2、符號的 3、語意的 4、行 為的；運作向度包括五項：1 認知 2、記憶 3、聚斂思考 4、擴 散思考 5、評鑑；結果向度包括六項：1、單位 2、類別 3、關係
4、系統 5、轉換 6、應用。並提出智力結構模式，是一個在三度 空間中的長方體，將人的智力分為 120 種因子(4×5×6=120)， Guilford 雖然沒有明訂空間能力為智力的一項因素，但是這 120 個智力要素中的圖形(內容)х 認知(運作)х 轉換(結果)即為圖形 轉換的認知能力，無疑就是空間能力的定義(蔣家唐，1995a)。 (五)、Gardner 的多元論 Gardner(1983,1993)以多元的觀點詮釋智力，提出智力多元論 (multiple intelligence theory)。他提出人類的智力至少可表現 於八種領域，且某些人可能擁有一種或數種優越的智力，他將智力 定義為個人解決問題或形成產物的一項或一組能力，這八項智力彼 此相關又獨立。此八種智力分別展示了一組心理操作歷程的特徵， 其分別為：1、語文智力(linguistic intelligence)；2、邏輯數 學智力(logical-mathematical intelligence)；3、空間智力 (spatial intelligence)；4、身體動覺智力(bodily-kinaesthetic intelligence)；5、音樂智力(musical intelligence)；6、人際 關係智力(interpersonal intelligence)；7、自我認知智力 (self-cognition intelligence)；8、自然觀察者智力 (naturalistic intelligence)。 Gardner 將空間能力視為一項智力領域。智力不是單一能力或 所有能力的總合，任何人都有可能在一個特殊的領域上有傑出的表 現，而語文智力強者，可成為作家、演說家等，身體動覺強者，可 成為舞者、演員等，而空間能力強者，則可成為建築工程師、藝術 家等，如達文西擁有傑出的空間能力，其於數學幾何、繪圖、建築… 等領域上即擁有相當的成就與表現。Gardner 並強調每一種領域的 智力都可以單獨存在，彼此是相關卻又獨立的，每個人智力組成不 同，也不一定同時要兼具這八種智力，智力沒有主要與次要之分(蔣 家唐，1995a)。
由以上的智力理論分析可以發現，雖然學者對於智力的認知不 盡相同，但我們可以發現智力已由一種普通能力轉變為多種特殊能 力的組合，Thurstone 的群因論、Vernon 的階層理論及 Gardner 的多元論皆將空間能力視為與其它能力有相關卻又可單獨存在的 一項能力。我國兒童於國小教育階段，普遍會接受魏式智力量表測 驗，以讓任教老師了解班級兒童之智力發展，然而卻無將空間能力 獨立測量的工具，能讓空間能力較為傑出的兒童發展其獨特的長 才，本研究建立國小兒童空間能力量表，以期藉由此量表能單獨測 量出國小兒童的空間能力。
二、空間能力
人類發現「空間能力」是心理學者在研究智力時的一個特殊發 現，空間能力的定義有許多的說法。蔣家唐(1995a)將空間能力視 為一種「轉換」的能力，學生將二度空間中的平面圖形或者三度空 間中的立體圖象在腦海中想像性的轉換，轉換的原則可能是視點的 變化，可能是圖形定位的移動，也可能是二度與三度空間的互換， 較簡易的記憶、複製、觀察、配對等認知能力，是複雜困難轉換能 力之基礎。李琛玫(1996)認為空間能力為能夠正確的辨識、觀察、 透視圖形，且將圖形記憶在心後，然後在心裡「想像」性的操弄、 變化圖形的能力。此種「想像」性的心理操作能力，是一種動態的 「轉換」(transfer)能力，必須讓圖形在心中動起來，去移動、旋 轉、摺合或拆解圖形。戴文雄(1998)指出空間能力為個體因人而異 之揣想或思考三度空間以及依據圖解或圖案在心理上想像或作物 體旋轉或移動及改變方向和位置的抽象能力。鍾瑞國(2001)則將空 間能力定義為能夠正確辨識觀察透視圖形並將物體記憶在腦海儲 存區中，然後透過想像的操弄圖形在心中作位移或旋轉的能力。研 究者採取一般研究者支持的「將立體圖象在腦海裡想像性地操弄」作為本研究空間能力之定義。 空間能力測驗屬於非語文智力測驗的一種，非語文智力測驗之 編製原則大致是以受試者去界定各抽象圖形間之關係，從四至六個 選項中找出最適當者，其圖形之特徵不同：形狀、方向、轉軸、連 續、映象、大小、長度、移動和圖案組形(洪志盈，2004)。學者收 集許多空間測驗進行因素分析，將空間能力加以分類，並將空間因 素命名，發現空間測驗的種類大約可分為：空間關係及定位能力測 驗和視覺化(Visualization)能力測驗兩類(李琛玫，1996)，如： 蔣家唐(1995a)、左台益、梁勇能(2001)。蔣家唐(1995a)將空間能 力因素分為圖形辨識(空間關係與定位)、圖象操控(視覺化)能力兩 種因素，將圖形辨識能力視為較簡單、靜態的辨別能力，在二度空 間運作即可，圖象操控能力則較複雜，為動能在心中操控三度空間 視覺圖象的能力。左台益、梁勇能(2001)將空間因素分為空間方位 (空間關係與定位)、空間視覺化(視覺化)兩因素，空間方位含平面 的旋轉，積木旋轉(3D 旋轉)，而空間視覺化則包含展開圖以及類 似三視圖的題目。 本研究欲了解學生空間視覺化及空間方位之空間能力，即學生 能將立體圖象在腦海裡想像性操作之能力，空間能力量表題目內容 編製包括立體圖旋轉和方位景象兩項分量表，兩項分測驗的空間因 素為：(一)、立體圖旋轉：空間視覺化，能在心理操作旋轉或扭轉 以視覺呈現的刺激物的能力，(二)方位景象：空間方位，能察覺及 回想特定的空間方位或能定位己身於空間中的方位的能力。本研究 所指的空間能力，係指學童於研究者所編製之空間能力量表的表 現。
第二節 數學幾何成就的內涵
本研究所探討的主題為國小六年級學童空間能力與數學幾何 成就之相關性，因此在本節將對目前數學幾何課程的理論加以探 討。數學幾何課程編排乃以兒童的幾何發展為基礎，故本節先探討 對於兒童幾何發展的相關理論，而九年一貫課程數學領域綱要中圖 形與空間主題階段二第七項及第八項能力指標，主要是針對兒童的 周長、面積、體積概念為教學目標，因此再對課程中幾何量概念做 探討，最後則針對九年一貫課程數學領域綱要中圖形與空間主題階 段二第一項到第六項能力指標所強調的幾何圖形概念做探討。一、兒童幾何發展
Piaget & Inhelder 於 1967 年的研究中指出，兒童的幾何概 念思考發展是依照一明確的順序，是較接近於理論的順序，而不是 幾何發展史的順序，它是隨著兒童本身的年齡的增長而對於空間知 覺能力的發展，所表現出來的幾何性質。其從心理認知發展的觀點 來研究學童的幾何發展階段，將兒童的幾何發展階段分為三個時 期：(一)、拓樸空間(topographical space )：同認知發展階段之 前操作期，藉著觸覺來分辨接近、分離、次序和包含等空間關係， 此階段兒童僅能了解以自我為中心的方向。(二)、投影空間 (projective space )：同認知發展階段之具體運思期，能領會物 體位置與物體間的關係，能在不同的位置以透視的觀點了解物體的 出現，但仍無法擺脫視覺的影響，此階段兒童已具有固定的空間參 照系統能力。(三)歐氏空間(euclidean space )：兒童空間理解能 力已成熟，能從視覺迷惑中超脫，此階段兒童能將所有物體及物體 間的空間關係統整為整體概念。 另一學者 Van Hiele 則將幾何思考的發展模式分為五個水準，
分別是視覺化(Visualization)、分析(Analysis)、非形式歸納 (Informal Deduction)、形式歸納(Formal Deduction)以及嚴密性 (Rigor)，其中國內學者(劉湘川、劉好、許天維，1993)以國小學 童為對象所做的研究，發現國小學生的 Van Hiele 水準最高是水準 2。以下則就國小學生能達到的水準 0 到水準 2 之要點，加以敘述(引 自譚寧君，1993)： (一)水準 0：視覺化(Visualization) 此水準層次的學生，對於幾何圖形的認識一定來自圖形本身整 體的呈現，而無法根據圖形的部分或屬性來判斷，亦即透過對圖形 整體輪廓的觀察，學習辨認形狀、認識詞彙、複製給定的圖形，但 不能利用圖形的性質或組成要素來分析。 (二)水準 1：分析(Analysis) 此水準層次的學生，能分析圖形的性質與組成要素，但不能解 釋性質間的特徵，這些外顯的特徵可用來形成形狀分類的概念化過 程，即可從部份辨認整體，如長方形有四個邊，四個角，而且四個 角均是直角，或五個邊圍成的多邊形是五邊形。 (三)水準 2：非形式演繹(Informal Deduction) 此水準層次的學生，能建立圖形屬性的內在關係，例如：一個 四邊形如果相對的邊均平行必為平行四邊形，且能了解正方形是長 方形的一種(因為正方形滿足長方形的特性)，因此，他們能根據圖 形的屬性，辨認圖形的分類，因而圖形的幾何定義更會顯示出其有 意義性，非形式的演繹才能被了解，例如：能說出正方是對邊平行、 角為直角的四邊形。 Van Hiele 認為學生在各層次間的成長過程主要是依靠著指 導，而非其年齡的成熟度，因此教學的組織與方法，教材的選擇與 使用很重要(Crowley,1987)，教學活動扮演著非常重要的角色，它 能讓進階到下一個層次的過程更為容易。
二、幾何量概念
量與實測是國小數學的核心課程之一，教學中的量包含長度、 重量、容量、時間、角度、面積、體積等生活中常用的七種量。其 中長度、容量、角度、面積、體積屬於幾何（視覺）量，處理上可 以依賴學生的幾何經驗經歷下列四個階段：初步概念與直接比較； 間接比較與個別單位；常用單位的約定；常用單位的換算。 長度、面積、體積是屬於五大主題中第一主題「數與量」之子 題--「量與實測」及第二主題「幾何」相結合的教材，其學習受空 間概念的影響。九年一貫課程將幾何課程分為四個階段，其中階段 二（四年級到五年級）課程說明由於數與量的發展逐漸成熟，學生 開始結合「數」與「形」兩大主題，學習運用幾何形體的構成要素 （如角、邊、面）及其數量性質（如角度、邊長、面積）。 長度、面積及體積概念皆為由單位量的堆疊活動引入。圖形的 周長即為圖形各邊長度的合成，兒童必須具備長度的概念並能分辨 出圖形的邊長，才能使用長度的合成求出圖形的周長。許多兒童會 在圖形的長度、面積及體積概念上具直觀迷思，如：周長相同則面 積相同、周長較長則面積較大(陳光勳，2002) 九年一貫課程主張兒童對面積此種存在於實體的感官量，其概 念的認知發展形成需經歷五個階段(教育部，2000)，最後一階段「面 積公式化概念」為用公式來描述一個特定的幾何形體的面積量，其 包含：(一)、利用乘法簡化點算的過程；(二)、將平行四邊形、三 角形、梯形切割重組成長方形而求算其面積；(三)、將(一)和(二) 中求算面積的過程中，以公式描述並將這些公式整合成一個概念， 概念中梯形是一般形，三角形可視為上底為 0 的梯形，而長方形、 平行四邊形則可視為上下底等長的梯形，即可說上述各形的公式是 可互通的。體積的意涵為物體佔有空間的大小，在國小課程中藉由 單位立方體的堆疊活動引入，建立正立方體及長方體體積公式。三、幾何圖形概念
圖形與空間的了解可分為知覺性的了解、操弄性的了解、構圖 性的了解、論述性的了解，圖形與空間的學習，應從學生生活經驗 中熟悉的形體入手，透過觀察、辨識、操作、實驗，發現形體的組 成要素以及其與形體之間的關係，進而能確定其與空間的基本概 念，掌握空間的基本性質。在九年一貫暫時綱要課學幾何課程的階 段二（四年級到五年級）學生開始學習運用幾何形體的構成要素（如 角、邊、面）(教育部，2000)。 學生在圖形的辨別，最直接的方式為直觀圖形的呈現方式， 如：大小、方向…等，隨著能力的提升而進為學習圖形內在的屬性， 瞭解圖形的性質，構成的條件、圖形之間的包含關係或對立關係， 將直觀的圖形辨識內化為對圖形內在性質的瞭解(盧銘法，1996)。 小學數學科幾何教材中，對於「四邊形」的編排次序(如圖 2-2-1)，其中 A 部分重在圖形的辨識、分類及描述性敘述，B 部分 重在圖形的包含關係。就 A 部分而言，箭頭甲表示一般化，由正方 形、長方形等圖形的認識，到了解這些圖形均為四邊形的一般化形 成過程；箭頭乙和箭頭丙則表示特殊化，當一般四邊形概念形成 後，對於四邊形要更進一步探討研究時，而產生梯形或平行四邊形 的分類，便是這些圖形的特殊化形成過程。就 B 部分而言，箭頭丁 和箭頭戊則是特殊化的形成，以了解各種四邊形的性質、條件及包 含關係(引自盧銘法，1996)。乙 甲 平 行 四 邊 形 梯 形 丙 四 邊 形 正 方 形 長 方 形 A 戊 正 方 形 長 方 形 菱 形 丁 平 行 四 邊 形 梯 形 B 圖 2-2-1 四邊形教材的編排次序 角為構成幾何要素中的重要概念，在圖形概念中學習角的順序 為圖形角、張開角到旋轉角。圖形角以角為多邊形頂點的局部觀點 引入，由多邊形中描出角的形狀，使兒童認識角是構成多邊形的要 素，進行角的初步認識，張開角則是以扇子之開合現象，讓兒童察 覺角的形成過程，並引出角及其構成要素邊與頂點的概念，最後， 旋轉角則是以繞一點轉動的現象和鐘面指針的走動情況，引出簡單 直線形物件繞其一端轉動的意義。從日學生活上的應用與數學上的 觀點而言，角的定義可分為下列三種情況：1、角是一種圖像的表 徵，從某一方向轉向另一方向；2、角是自同一端射出的兩射線間 的差量；3、角是一射線繞其端點旋轉一個程度的量(國立編譯館， 1999)。 本研究的研究對象為最後一屆接受 82 年版數學課程教材之六 年級學童，由鐘靜(2001)將面積教材架構與能力指標做對照，發現 兩者對面積教材的架構具有一致的想法，又考慮學童幾何圖形發展 層次至高到 Van Hiele 水準 2 非形式演繹階段，能建立圖形屬性的 內在關係，根據圖形的屬性，辨認圖形的分類。研究以九年一貫課
程暫綱第二階段之能力指標做為學童數學幾何成就測驗之命題依 據，並將測驗分為幾何量及圖形兩分測驗，藉以探討國小六年級學 童之數學幾何成就。
第三節 空間能力與數學成就之相關
Krutetskii(1976)將學生的數學思考風格有分析型 (analytic)、幾何型(geometric)和調和型(harmonic)，其中調和 型又可分成抽象調和(abstract harmonic)亞型和圖像調和 (pictorial haromnic)亞型，各類型的數學思考風格如下： 1、分析型(analytic)：善於語文—邏輯的成分，而拙於視覺—圖 像的成分。空間概念弱，在解題時無法使用視覺協助其解題， 而且也不覺得需要如此做。 2、幾何型(geometric)：善於視覺—圖像的成分，而拙於語文—邏 輯的成分。空間概念很強，在解題時能使用視覺協助其解題， 而且也覺得需要如此做。 3、調和型(harmonic)：語文—邏輯成分和視覺—圖像成分都很擅 長，空間概念強。抽象調和亞型能使用視覺協助解題，但不常 用。圖像調和亞型，能使用視覺協助解題，且常用。Guay & McDaniel(1977)在一份國小數學成就和空間能力相關 的報告中發現數學成就與空間能力具正相關，Nilges &
Usnick(2000)指出強調發展空間能力的數學教育家相信孩子擁有 較強的空間能力能為學習幾何(geometric)、測量(measurement) 和數概念(number concepts)作較好的準備、Quaiser-Pohl & Lehmann(2002)指出空間能力對專業技術以及某些學科是重要的， 研究中顯示空間視覺化與數學成就間具有顯著相關性。
廖焜熙(1999)研究中指出空間能力測驗成績的高低與數學學 習成就有直接的關係，具有良好的空間能力學習成效較良好。左台
益、梁勇能(2001)研究中檢驗國二學生空間能力與 van Hiene 幾何 思考層次的交互影響性，以及國二生解決空間問題之策略，發現學 生空間能力與 van Hiene 幾何思考層次以及解決空間幾何問題均呈 現正相關。吳文如(2003)於國中生空間能力與數學成就相關因素之 研究中亦發現國中生的空間能力與數學成就有中度相關存在。 雖然大多數研究顯示空間能力與數學學習成就具相關性，卻也 有少數研究顯示空間能力與數學成就無關，如 Floyd 等人(2003) 在研究結果中指出視覺空間思考(visual-spatial thinking)與數 學計算能力(Math Calculation Skills)及數學推理能力(Math Reasoning)在 6~19 歲皆未具相關。
本研究利用空間能力量表測得之小六年級學生空間能力並以 數學幾何成就測驗測得國小六年級學生於九年一貫課程第二階段 之數學幾何成就，進而探討國小六年學生空間能力與數學幾何成就 相關性。
第三章 研究設計與實施
本研究依據空間能力與數學幾何成就的文獻探討，自編空間能 力量表與數學幾何成就測驗兩項工具，並以施測後所獲得的資料， 對空間能力與數學幾何相關的問題加以探究。本章將分別就研究架 構、研究方法、研究對象、研究工具及資料處理，共五節進行研究 方法的說明。第一節 研究架構
根據本研究的目的，經由文獻探討，決定適合本研究之空間能 力以發展出包括立體物旋轉及方位景象兩分量表之空間能力量表 並以九年一貫數學領域第二階段幾何主題能力指標為依據發展出 適合本研究之數學幾何成就測驗題目，本研究之研究架構概念，如 圖 3-1-1 所示。 圖 3-1-1 研究架構概念圖 量表 數學幾何 。 1、 空間能力 成就測驗 1、立體物旋轉分量表 2、方位景象分量表。 幾何量分測驗。 2、圖形分測驗。 文獻探討及分析 1、空間能力文獻探討。 2、數學幾何成就文獻探討。 3、空間能力與數學成就之相關文獻探討。第二節 研究方法
本研究旨在「發展國小空間能力量表並探討學童空間能力與數 學幾何成就的相關性」，根據研究動機、研究目的與研究問題，發 展「空間能力量表」及「數學幾何成就測驗」並探討其二者之相關 性。 一、文獻分析 本研究蒐集國內外的空間能力相關文獻，採檢索關鍵字為「空 間能力」(spatial ability)、「心像旋轉」(mental rotation)、「視 覺化」(visualization)之國內外期刊及雜誌、國內外出版書冊、 國內外研究報告及博碩士論文等參考資料。有關國內數學幾何課程 相關文獻，本研究以九年一貫課程數學課程暫行綱要中圖形與空間 主題第二階段之能力指標為主軸，蒐集有關之國內外文獻。 二、專家座談與審查 研究者與具測驗統計專長之指導教授及具教學國小經驗 5~10 之八位國小教師，分別針對所編製之空間能力量表與數學幾何成就 測驗內容進行審查，並提供修正意見，以確立量表及測驗之內容效 度。 三、量表與測驗卷 空間能力量表的設計為藉由文獻分析確立本研究空間能力量 表之內涵，再進而設計量表之內容。數學幾何成就測驗為參考現行 坊間之教材書藉及文獻中合適的成就測驗題型加以修正彙編，形成 本研究之數學幾何成就測驗。第三節 研究對象
由於本研究的目的在探討學生空間能力與數學幾何學習成就 之相關性，研究中根據九年一貫課程數學領域暫行綱要(教育部，2000)中「圖形與空間」主題之第二階段八項能力指標，編製數學 幾何成就測驗。本研究所指的空間能力與數學幾何成就，係指學童 於研究者所編製之空間能力量表與數學幾何成就測驗的表現。 本研究以立意取樣的方式選擇了中部學校地區五所學校各兩 班，共 10 班六年級學童為施測對象。表 3-3-1 為正式樣本之詳細 分佈情形。 表 3-3-1 正式樣本人數及分佈表 縣市 學校代號 施測班級數 男 女 有效樣本 台中市 一 2 38 30 68 台中市 二 2 27 33 60 台中縣 三 2 36 26 62 彰化縣 四 2 30 29 59 雲林縣 五 2 23 24 47 合計 10 154 142 296
第四節 研究工具
本研究欲探討國小六年級學童在空間能力與數學幾何成就測 驗表現情形及其相關性，所採用的研究工具一為「空間能力量表」 目的為測得學童之空間能力，另一為「數學幾何成就測驗」目的為 測得學童的數學幾何成就。以下將對本研究之量表及測驗的編製過 程加以說明：一、空間能力
(一)量表試題編製 依據國內外研究學者對空間的定義及施測對象為國小六年級 學童，本研究空間能力的量表，主要為測得受試者在空間能力中之立體物旋轉與方位景象的兩分項能力，並以此目的加以編製能測得 空間能力的試題。分量表名稱及所測得能力如下：1、立體物旋轉， 能在心理操作旋轉或扭轉以視覺呈現的刺激物之能力；2、方位景 象，察覺及回想特定的空間方位或能定位己身於空間中的方位。 在立體物旋轉分量表中，測驗圖形為利用數位相機拍攝的實 物，故可排除掉一般智力測驗試題中立體圖形不太立體，失真的問 題。圖形中積木組合的原則，為利用六塊大小、顏色相同的正立方 體做組合，拍攝圖形時，以每一塊積木都可呈現且學童易判斷積木 的組合方式為原則。 在方位景象分量表中，受測者需將自己擬為測驗中的人物，判 斷在其空間方位中所視得之圖像，測驗試題中，將不同方位的人物 加上代稱，以避免受測者，對於人物的特徵辨識不佳，而無法測得 方位景象分量表預測得的分項能力。 本量表施測的目的是測驗學生的空間能力而非成就，因此，量 表的設計原則為即使未能得到任何正式數學課程學習的學生，亦能 看得懂題目掌握作答的方式。排除掉學習障礙的學生，對於未接觸 過此類量表的學生來說，當場學習如何依題意做答，並非艱難的工 作，故學生作答的結果，將取決於其空間能力的強弱，而非其學習 成就的優劣。 (二)依標準審查與修改量表試題 本量表的試題為利用數位相機拍攝的實物，量表題本以灰階呈 現，為避免圖形有不清晰或不適宜，請國小教師數名及國小六年級 學童數位(不與預試樣本重覆)，進行審查題目圖形是否清晰易辨， 並藉以修正量表的圖形。 (三)進行預試 1、施測對象的選取因考慮研究者修改題目方便與施測對象做討論 為原則，以研究者任教之彰化縣某國小初升上六年級學生 68
人，進行預試。 2、量表題目共分二種類型：(1)、立體物旋轉，20 小題；(2)、方 位景象，8 個題組，24 小題。合計空間能力量表共 44 小題。 3、測驗時間為 40 分鐘，統一於同時間收卷。 (四)依預試結果修改測驗試題 「空間能力量表」經預試後收回統計，將兩分量表分別計分， 對一題得一分，錯一題得零分，立體物旋轉共 20 小題，總計 20 分，方位景象共 24 小題，總計 24 分，並將原始分數進行資料統計 分析。分析預試結果的難易度、鑑別度及信度，將不適合的試題刪 除或進行修正，並進行正式施測試題編製。鑑別度在接近 0.25 以 上為宜 (郭生玉，1998)，信度則採內部一致性分析，以 Alhpa 係 數檢測。 1、立體物旋轉分量表分析 本分項量表預試題目有二十題，進行項目分析時，將立體物旋 轉分量表總成績最高的前百分之二十七取為高分組，後百分之二十 七為低分組，可取得每一試題的鑑別度、難易度指數(見表 3-4-1)，並以獨立樣本 T 檢定，檢驗每一試題之鑑別度是否達到顯 著水準，將第十二題、第十三題、第十四題、第十五題未達顯著水 準之小題予以刪除，刪除此 4 小題後，得信度 Alpha 值為 0.8416， 經信度分析法，再將第一題、第十題、第五題刪除後剩餘 13 小題， 得最高信度為 0.8524，但正式施測之立體物旋轉欲選取 10 小題， 故需要刪除 3 小題，因第四題、第十六題、第十七題、第十八題、 第十九題及第二十題此 6 小題之難度值接近但略高於標準值 0.8， 經信度分析法在此 6 小題中，刪除影響信度最低之第十六題、第十 八題、第十九題，以降低立體物旋轉分量表之難易度值，並得刪題 後最後保留之正式施測採用之第二題、第三題、第四題、第六題、 第七題、第八題、第九題、第十一題、第十七題、第二十題，共計
10 小題之內部一致性 Alpha 值為 0.8103。 表 3-4-1 「立體圖旋轉」分量表之項目分析表 題號 難易度 鑑別度 選題結果 題號 難易度 鑑別度 選題結果 1 .72 .46 X 11 .46 .58 ○ 2 .79 .50 ○ 12 .75 .29 X 3 .68 .51 ○ 13 .69 .35 X 4 .81 .42 ○ 14 .75 .29 X 5 .75 .37 X 15 .79 .29 X 6 .76 .64 ○ 16 .85 .41 X 7 .69 .60 ○ 17 .82 .46 ○ 8 .59 .50 ○ 18 .85 .41 X 9 .68 .60 ○ 19 .87 .36 X 10 .71 .38 X 20 .85 .45 ○ ○表保留之試題；X 表刪除之試題 2、方位景象分量表分析 本分量表預試題目有八大題，每大題分 3 小題，共計 24 小題，， 進行項目分析時，將方位景象分量表總成績最高的前百分之二十七 取為高分組，後百分之二十七為低分組，可取得每一試題的鑑別 度、難易度指數(見表 3-4-2)，並以獨立樣本 T 檢定，檢驗每一試 題之鑑別度是否達到顯著水準，將第一~1 題、第一~2 題、第一~3 題、第三~1 題、第三~2 題、第六~1 題、第六~3 題及第七~1 題(題 號表示說明，例如：第一大題之第 3 小題題號標示為一~3)，未達 顯著水準之小題予以刪除，刪除此 8 小題後，得信度 Alpha 值為 0.8393，經信度分析法，再將第六~2 題、第二~1 題、第二~3 題刪
除後剩餘 13 小題，得最高信度為 0.8466，但正式施測之方位景象 欲選取 10 小題，故再刪除影響信度最低的第四~1 題、第二~2 題、 第八~3 題，得刪題後最後保留之正式施測採用之第三~3 題、第四 ~2 題、第四~3 題、第五~1 題、第五~2 題、第五~3 題、第七~2 題、 第七~3 題、第八~1 題、第八~2 題，共計 10 小題之內部一致性 Alpha 值為 0.8364。 表 3-4-2 「方位景象」分量表之項目分析表 題號 難易度 鑑別度 選題結果 題號 難易度 鑑別度 選題結果 一~1 .97 .10 X 五~1 .74 .60 ○ 一~2 .96 .15 X 五~2 .87 .45 ○ 一~3 .71 .18 X 五~3 .82 .40 ○ 二~1 .71 .42 X 六~1 .84 .31 X 二~2 .87 .30 X 六~2 .74 .50 X 二~3 .74 .41 X 六~3 .91 .20 X 三~1 .78 .25 X 七~1 .43 .30 X 三~2 .94 .20 X 七~2 .65 .66 ○ 三~3 .84 .50 ○ 七~3 .66 .66 ○ 四~1 .60 .71 X 八~1 .88 .40 ○ 四~2 .81 .41 ○ 八~2 .81 .46 ○ 四~3 .88 .35 ○ 八~3 .78 .41 X ○表保留之試題；X 表刪除之試題 (五)正式施測量表試題編製 設定正式施測的空間能力量表試題，兩種類型各 10 題，即共 有 20 題。研究者附了「給施測老師的一封信」(附錄一)，讓協助
施測的老師能給予學童適當的解說，以增加測驗的效度。 立體物旋轉正式施測題目排列方式為依預測時難易度由高至低 排列，學生由難易度較高(答對率較高)的試題開始作答，以增加其 作答之信心。方位景象為題組型試題，每一小題的難易度不盡相 同，依題組內各小題之平均難易度由高至低排列，以下表 3-4-3、 表 3-4-4 是兩分量表正式施測題號與預測題號之對照表。 表 3-4-3 立體物旋轉分量表正式施測與預式題號對照表 正式施測題號 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 難易度 .85 .82 .81 .79 .76 .69 .68 .68 .59 .46 鑑別度 .45 .46 .42 .50 .64 .60 .51 .60 .50 .58 預式題號 20 17 4 2 6 7 3 9 8 11 表 3-4-4 方位景象分量表正式施測與預式題號對照表 正式施測 題號 一 -1 二 -2 二 -3 三 -4 三 -5 四 -6 四 -7 四 -8 五 -9 五 -10 難易度 .84 .81 .88 .88 .81 .74 .87 .82 .65 .66 鑑別度 .50 .41 .35 .40 .66 .60 .45 .40 .66 .66 預式題號 3-3 4-2 4-3 8-1 8-2 5-1 5-2 5-3 7-2 7-3
二、數學幾何成就
(一)試題編製 依據九年一貫數學領域之第二階段幾何主題能力指標，並參考 國內現行教材中幾何之相關試題及國內針對幾何學習研究的試題 (盧銘法，10996；王選發，2002；朱玉如，2003；薛建成，2004； 許嵐婷，2004)加以編製成數學幾何成就測驗。編製原則為測驗六 年級兒童於第二階段圖形與空間主題的八項能力指標的學習成 就。表 3-4-5 為第二階段幾何主題的八項能力指標。編製時應兼顧指標內容及試題難度。 表 3-4-5 九年一貫數學課程暫綱第二階段圖形與空間主題能力指標 代碼 指標內容 S-2-01 能運用簡單幾何形體的組成要素，作不同形體的分類。 S-2-02 能理解垂直與平行的意義。 S-2-03 能透過操作，認識簡單平面圖形的性質。 S-2-04 能認識平面圖形全等的意義。 S-2-05 能理解旋轉角的意義。 S-2-06 能理解平面圖形的線對稱關係。 S-2-07 能理解長方形面積、周長與長方體體積的公式。（N-2-17） S-2-08 能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的面積 公式。（N-2-19） (二)依標準審查與修改測驗試題 為避免題目不能符合九年一貫數學領域第二階段圖形與空 間主題能力指標、不夠清晰，或不適宜，於題目草稿編製完成 後，再請具測驗統計專長之指導教授及教學經驗 5~10 年之國小 高年級教師三名，請其依據能力指標與試題檢核表(見附錄 二)，審查測驗試題是否能符合指標內容、題意是否清楚、內容 是否合乎學童能力，並藉以修改測驗試題。預試的內容包括以 下七個大題，第一大題為測驗「幾何量」學習成就(根據能力指 標 S-2-7、S-2-8 命題)，第二大題到第七大題為測驗「圖形」 學習成就(根據能力指標 S-2-1 到 S-2-6 命題)： 1、第一大題中有十題單選題，根據能力指標 S-2-7、S-2-8 命 題。本大題為幾何量分測驗，每一小題測驗內容如下表 3-4-6：
表 3-4-6 幾何量分測驗細目表 長方形 面積 長方形 周長 長方體 體積 三角形 面積 平行四邊形 面積 梯形 面積 第一題 ● ● 第二題 ○ ○ 第三題 ○ ○ 第四題 ○ 第五題 ● 第六題 ○ 第七題 ○ 第八題 ○ 第九題 ● ● 第十題 ○ ○ 註：正方形屬於長方形的一種；●為正方形的面積、周長、體積。 2、第二大題中有七題複選題，根據能力指標 S-2-1 命題。 3、第三大題中有一題複選題，根據能力指標 S-2-5 命題。 4、第四大題中有八題作記號題，根據能力指標 S-2-2 命題。 5、第五大題中有二題複選及一題是非與問答題，根據能力指 標 S-2-3 命題。 6、第六大題中有二題畫全等圖題，根據能力指標 S-2-4 命題。 7、第七大題中有三題畫對稱線題及二題畫對稱題，根據能力 指標 S-2-6 命題。 (三)進行預試 1、施測對象與空間能力測驗對象為相同樣本，以利於做相關分析。 2、測驗題目共七大題。
3、測驗時間為 40 分鐘，統一於同時間收卷。 (四)依預試結果修改測驗試題 「數學幾何成就測驗」經預試後收回統計，共七大題，並將預 試結果進行資料統計分析。本研究將數學幾何成就測驗分為兩分測 驗第一大題為依據根據能力指標 S-2-7、S-2-8 命題，測驗學童之 幾何量學習成就，第二大題至第七大題為依據能力指標 S-2-1 至 S-2-6 命題，測驗學童之圖形學習成就。記分方式為第一大題幾何 量分測驗佔數學幾何成就測驗總分之 50%，第二~七大題共六大題 圖形分測驗佔數學幾何成就測驗總分之 50%，圖形分測驗的每一大 題 50%之 1/ 6，又每一大題之每一小題依小題數 N，佔每一大題之 1/ N，依所得分數，分析預試結果的信度、難易度、鑑別度，將不 適合的試題進行修正，並進行正式施測試題編製。本研究所指的數 學幾何成就即為學童於「數學幾何成就測驗」(包括「幾何量」及 「圖形」兩分測驗)的總表現。 幾何量分測驗共有 10 小題，內部一致性 Alpha 值為 0.7852。 進行項目分析時，將面積分測驗總成績最高的前百分之二十七取為 高分組，後百分之二十七為低分組，可取得每一試題的鑑別度、難 易度指數(見表 3-4-7)，並以獨立樣本 t 檢定，檢驗每一試題之鑑 別度是否達到顯著水準，結果發現此分測驗之每一試題鑑別度皆達 顯著水準，難易度指數接近標近標準值，唯有第 10 小題的難易度 指數偏低，故將此小題予以修改。
表 3-4-7 「幾何量」分測驗之項目分析表 題號 難易度 鑑別度 選題結果 題號 難易度 鑑別度 選題結果 一~1 .72 .70 ○ 一~6 .60 .50 ○ 一~2 .41 .41 ○ 一~7 .50 .91 ○ 一~3 .82 .43 ○ 一~8 .38 .86 ○ 一~4 .40 .69 ○ 一~9 .53 .69 ○ 一~5 .84 .43 ○ 一~10 .22 .39 ∆ ○表保留之試題；X 表刪除之試題；∆ 表修改之試題 圖形分測驗共有六大題，每一大題皆依一項能力指標命題，內 部一致性 Alpha 值為 0.7373。進行項目分析時，將圖形分測驗總 成績最高的前百分之二十七取為高分組，後百分之二十七為低分 組，可取得每一試題的鑑別度、難易度指數(見表 3-4-8)，並以獨 立樣本 T 檢定，檢驗每一試題之鑑別度是否達到顯著水準，結果發 現此分測驗之每一大題鑑別度皆達顯著水準，難易度指數接近標準 值。第二大題共有 7 小題，每小題皆以複選題方式選出 32 個圖形 中正確的答案，圖形太多作答時較易漏選，導至難易度值偏低，故 在正式施測試題中，將本大題呈現方式修正為是非題，每一小題包 含 5 個圖形，以是非題方式作答，5 個圖形全對才給分。第三大題 以複選題方式選出 10 個圖形中正確的答案，難易度值偏低，故在 正式施測試題中，將本大題呈現方式修正為是非題，共計 5 小題， 每一小題分別給分。第四大題分成 2 小題，每小題各有 4 個圖形待 答，四-1-1、四-1-2、四-1-3、四-2-2、四-2-4 的難易度值相當 高，故在正式施測試題中予以刪除，四-1-4 予以修改，並再加入 另一圖形施測，故在正式施測試題中，本大題分成 2 小題，每小題 各有 2 個圖形待答。第五大題第 3 小題作答方式為敘述性作答，施 測結果得到難易度值相當低，故在正式施測中，將此小題刪除，並
再加入 2 小題，故在正式施測試題中，本大題共計有 4 小題複選題。 表 3-4-8 「圖形」分測驗之項目分析表 題號 難易度 鑑別度 選題結果 題號 難易度 鑑別度 選題結果 二 .33 .30 ∆ 五 .17 .35 ∆ 三 .22 .46 ∆ 六 .66 .62 ○ 四 .79 .21 ∆ 七 .85 .27 ○ ○表保留之試題；X 表刪除之試題；∆ 表修改之試題 (五)正式施測試題編製 數學幾何成就測驗正式施測內容包括兩分測驗共有七個大 題，第一大題為依據能力指標 S-2-7、S-2-8 命題，測驗學童之面 積學習成就，第二大題至第七大題為依據能力指標 S-2-1 至 S-2-6 命題，測驗學童之圖形學習成就，兩項分測驗各佔總分之 50%。各 大題內容如下： 1、第一大題中有十題單選題，根據能力指標 S-2-7、S-2-8 命 題。每一小題的測驗細目表見表 3-4-7(P28)。每一小題佔 幾何量分測驗總成績之 1/10。 2、第二大題中有七小題，根據能力指標 S-2-1 命題。每一小 題包含 5 個圖形，以是非題方式作答，5 個圖形全對才給 分。每一小題佔圖形分測驗總成績之 1/ 6 х 1/ 7。 3、第三大題中有五題是非題，根據能力指標 S-2-5 命題。每 一小題佔圖形分測驗總成績之 1/ 6 х1/ 5。 4、第四大題中有四題作記號題，根據能力指標 S-2-2 命題。 每一小題佔圖形分測驗總成績之 1/ 6 х 1/ 4。 5、第五大題中有四題複選題，根據能力指標 S-2-3 命題。每 一小題佔圖形分測驗總成績之 1/ 6 х 1/ 4。
6、第六大題中有二題畫全等圖題，根據能力指標 S-2-4 命題。 每一小題佔圖形分測驗總成績之 1/ 6 х 1/ 2。 7、第七大題中三有題畫對稱線題及二題畫對稱題，根據能力 指標 S-2-6 命題。每一小題佔圖形分測驗總成績之 1/ 6 х 1/ 5。
第五節 資料處理
本研究將空間能力量表及數學幾何成就測驗回收後，先剔除 「空間能力量表」及「數學幾何成就測驗」未能皆受測的學童資料 及填答不全的問卷，再將有效量表及測驗之答案編碼建檔，以統計 軟體 SPSS for Window 10.0 進行統計分析處理。統計資料方式如 下： 一、以古典測驗理論探討空間能力量表及數學幾何成就測驗的試題 難易度、鑑別度，並以內部一致性 Alpha 值考驗信度。 二、以因素分析、相關分析的方法來空間能力正式量表及數學幾何 成就測驗之建構效度。 三、以皮爾森積差相關來探討空間能力與數學幾何成就之相關性。 四、以單因子變異數(ANOVA)分析和 Scheffe 事後比較來考驗各類 別研究對象在「空間能力量表」與「數學幾何成就測驗」兩者 之間的關係。 五、以 t 考驗方式來考驗在「空間能力量表」及「數學幾何成就測 驗」不同性別之學生是否有差異。 六、以 Z 分數、T 分數與百分等級呈現空間能力量表之常模。第四章 研究結果與討論
本章旨在將空間能力量表與數學幾何成就測驗施測資料加以 統計、分析與討論。本章內容共分為四節。第一節為試題分析；第 二節為空間能力與數學幾何成就相關分析；第三節為不同變項之研 究對象在空間能力與數學幾何成就上表現之差異；第四節為國小六 年級生空間能力常模。第一節 試題分析
本研究正式施測與預測之樣本不重複，共計有效樣本數學 296 人。本節就正式施測的結果做試題分析，分別就本研究的「空間能 力量表」及「數學幾何成就」做難易度分析、鑑別度分析、信度分 析、效度分析，茲分述如下：一、難易度、鑑別度、信度分析
(一)、空間能力量表 1、分量表一：立體物旋轉 國小六年級學生於立體物旋轉的表現，各題的答對率(難 易度)為 49%~94%，鑑別度為 0.16~0.49，平均答對率(難易度) 為 80%，鑑別度為 0.38，各題作答情形(見表 4-1-1)，立體物 旋轉之難易度、鑑別指數。此分量表的信度為 0.7111。 表 4-1-1 「立體物旋轉」分量表之項目分析表 題號 難易度 鑑別度 題號 難易度 鑑別度 立 1 .94 .16 立 6 .80 .48 立 2 .91 .23 立 7 .77 .49 立 3 .85 .31 立 8 .75 .49 立 4 .89 .33 立 9 .77 .45 立 5 .85 .32 立 10 .49 .392、分量表二：方位景象 國小六年級學生於方位景象的表現，各題的答對率(難易 度)為 61%~88%，鑑別度為 0.42~0.74，平均答對率(難易度)為 78%，鑑別度為 0.53。各題作答情形(見表 4-1-2)，方位景象 之難易度、鑑別指數。此分量表的信度為 0.8367。 表 4-1-2「方位景象」分項量表之項目分析表 題號 難易度 鑑別度 題號 難易度 鑑別度 方 一-1 .75 .50 方 四-6 .79 .52 方 二-2 .81 .51 方 四-7 .82 .50 方 二-3 .83 .47 方 四-8 .83 .44 方 三-4 .88 .42 方 五-9 .61 .74 方 三-5 .80 .59 方 五-10 .69 .59 3、空間能力總量表 國小六年級學生於空間能力的表現，平均答對率(難易度) 為 79%，鑑別度為 0.45，信度為 0.8504。 研究者在預測後進行正式施測量表試題編製時，考慮量表 題型非一般學習成就測驗模式，故正式量表題目分佈為依預測 時所測之難易度由高至低排列，以期學生對作答產生信心。正 式施測結果，各題的答對率皆較預測時高，分量表一平均答對 率為 0.79。由於難易度較預測時高，導致度鑑別度亦較預測時 低，分量表一之鑑別度為 0.45，符合鑑別度高於 0.4 之優良鑑 別度標準(郭生玉，民 85)。 本研究空間能力量表兩分量表的內部一致性皆高於 0.7 達 良好信度，且總量表的內部一致性 Alpha 值 0.8504 具有很好 的內部一致性信度。
(二)、數學幾何成就測驗 1、分測驗一：幾何量 國小六年級學生於幾何量分測驗的表現，各題的答對率 (難易度)為 50%~89%，鑑別度為 0.30~0.77，平均答對率(難易 度)為 74%，鑑別度為 0.57。各題作答情形(見表 4-1-3)，面積 分測驗之難易度、鑑別指數。此分量表的信度為 0.7598。 表 4-1-3 「幾何量」分測驗之項目分析表 題號 難易度 鑑別度 題號 難易度 鑑別度 一-1 .89 .32 一-6 .72 .66 一-2 .70 .56 一-7 .78 .57 一-3 .87 .30 一-8 .50 .74 一-4 .64 .76 一-9 .66 .74 一-5 .79 .53 一-10 .83 .46 2、分測驗二：圖形 國小六年級學生於圖形分測驗的表現，各題的答對率 (難易度)為 30%~87%，鑑別度為 0.31~0.53，平均答對率(難易 度)為 66%，鑑別度為 0.38。各題作答情形(見表 4-1-4)，圖形 分測驗之難易度、鑑別度。此分測驗的信度為 0.7909。 表 4-1-4 「圖形」分測驗之項目分析表 題號 難易度 鑑別度 題號 難易度 鑑別度 二 .56 .32 五 .30 .40 三 .76 .31 六 .73 .53 四 .84 .26 七 .80 .44
3、數學幾何成就總測驗 國小六年級學生於數學幾何成就總測驗的表現，平均答對 率(難易度)為 70%，鑑別度為 0.48，信度為 0.8581。 本研究數學幾何成就測驗兩分測驗及總測驗之難易度皆在 0.4 到 0.8 的標準內，鑑別度皆高於 0.4 之優良鑑別度標準， 而兩分測驗之內部一致性皆高於 0.7 達良好信度，且總量表的 內部一致性 Alpha 值 0.8581 具有很好的內部一致性信度。
二、效度分析
(一)內容效度 內容效度是指測驗範疇與內容結構之合理性。本研究之空間能 力量表分為立體物旋轉分量表與方位景象分量表，兩分量表題本於 測驗開始皆有作答例題，讓學生能清楚了解答題方式，故學生只要 具備基本的閱讀能力便能作答，能符合內容效度之適切地測量其所 預測之內容或行為(Aiken,1982)。 本研究之數學幾何成就測驗依據九年一貫數學領域之第二階 段圖形與空間主題能力指標，參考國內現行教材中幾何之相關試題 及國內針對幾何學習研究的試題加以編製成數學幾何成就測驗，並 請具豐富教學經驗的現職教師對試題內容進行審查，再請具測驗評 量專長之指導教授予以修正測驗內容及計分方式，以求測驗內容結 構與組成的合理性，達良好之內容效度。 (二)構念效度分析 1、因素效度 本研究就評量的結果以構念效度加以分析，因素分析為構念效 度適當的分析方式。茲將空間能力量表的因素分析樣式矩陣列於表 4-1-5，為以主成分分析法萃取因素，並用最大變異轉軸法轉軸。表 4-1-5 空間能力量表之因素分析表 試題 成分 1 成分 2 成分 3 成分 4 成分 5 方 5 .727 方 4 .693 方 7 .684 方 6 .660 方 3 .646 方 2 .605 方 1 .561 立 6 .714 立 5 .589 .402 立 7 .353 .588 立 8 .567 .409 立 2 .752 立 4 .627 立 1 .508 立 3 .409 .441 方 9 .728 方 10 .724 方 8 .512 立 10 .871 立 9 .504 因素負荷量小於.35 未顯示 由因素分析的結果，萃取出五個因素，並用變異轉軸法轉軸， 分析出的五個成份結構中，方位景象分量表之第 1~7 小題歸類於成
份 1，方位景象分量表之第 8~10 小題則歸類於成份 4，立體物旋轉 第 5~8 小題歸類於成份 2，立體物旋轉第 1~4 小題歸類於成份 3， 立體物旋轉第 9、10 小題被歸類於成份 5，因此，在因素分析上雖 與原設計之兩分量表略有出入，然五個成份之結構皆各包含獨一分 量表之小題，表示空間能力量表試題的結構具相當的因素效度。 2、構念效度 本研究將空間能力量表分為立體物旋轉分量表與方位景象分 量表，將數學幾何成就測驗分為幾何量分測驗與圖形辨別分測驗。 空間能力分量表的內涵不同，但其空間能力的特質是共通的，又數 學幾何成就分測驗的內涵不同，但其數學解題能力應是共通的，因 此就兩分量表與兩分測驗的 MTMM 矩陣加以分析，如表 4-1-6 所示： 表 4-1-6 空間能力分量表與數學幾何成就分測驗之 MTMM 矩陣 立體物旋轉 方位景象 幾何量 圖形 立體物旋轉 .711 方位景象 .522** .837 幾何量 .463** .427* * .760 圖形 .473** .516* * .702** .791 **P<.001 由表 4-1-6 可以知立體物旋轉分量表與其同屬為空間能力之 方位景象分量表，其相關值為 r=.522，而與屬於數學幾何成就之 幾何量分測驗及圖形分測驗相關值分別為 r=.463 及 r=.473，又方 位景象分量表與屬於數學幾何成就之幾何量分測驗及圖形分測驗
相關值分別為 r=.427 及 r=.516，符合構念效度中類似特質具有較 高度關聯性而不同特質應具有較低關聯性之構念效度。可知本研究 之空間能力量表具有良好之構念效度。 由表 4-1-6 亦可看出幾何量分測驗與其同屬為數學幾何成就 之圖形分測驗，其相關值為 r=.702，而與屬於空間能力之立體物 旋轉分量表及方位景象分量表相關值分別為 r=.463 及 r=.427，又 圖形分測驗與屬於空間能力之立體物旋轉分量表及方位景象分量 表相關值分別為 r=.473 及 r=.516，符合構念效度中類似特質具有 較高度關聯性而不同特質應具有較低關聯性之構念效度。可知本研 究之數學幾何成就測驗具有良好之構念效度。
