題論文 收稿日期:
2012/8/8
修訂日期:2012/9
/1
0
接受日期:2012/9/17
中學數學實習教師之數學教學
概念心像探究一
以學生數學思考面向為例l
謝佳叡博士 。國立臺灣師範大學數學系摘要
在觀察教師課堂工作時，不難發現教師們必須在短時間內做出大量的決策以便解決課堂 上所發生的各項狀況，不禁令人好奇，教師進行教學決策之依據為何?本研究則試圖從數學教學概念心像(
Concept Image for Mathematics
Teaching) 的角度切入，探討臺灣中學教學實習教師在面對教學教學情境問題時，所展現出的教學決策其背後之依據;更具體地說，本研 究試圖通過實習教師對於教學情境問題的反應，推測其數學教學概念心像的內涵與結構。 在各個不同的教學面向中，本文特別從學生數學思考面向著眼，檢視中學教學實習教師 在面對教學問題時所喚起之數學教學概念心像，以及其與教學決策之間的關聯。研究發現太 多數中學教學實習教師肯定學生思考在數學課堂上所扮演的角色，然而，當他們面對教學問 題時，這些實習教師並不常喚起「讓學生思考」的概念心像以作為教學決策的依據，比現象 反映在教學情境問題的回應上則表現出他們很少給予學生思考的機會與時間。研究也發現多 數展現學生思考心像的實習教師同時也經常伴隨著學生數學認知發展心像的產生。 關鍵詞:數學思考、教學教學概念心像、數學實習教師 l 本文你謝佐叡援國立臺灣師範大學教學系之博士為文的部分內容，在加入新的分析結采後改寫完成。
中學數學費習教師之數學教學概念心像探究-以學生數學思考面向為例
Mathematics Intern Teachers' Mentallmages
forMathematics Teaching:
5tuden怡， Mathemati旦旦 I
Thinking in Classroom
=Manuscript received: Aug 8
,
2012Modified: Sep
10,2012Accepted: Sep
17,2012Mathematics Intern Teachers' Mental
Images for Mathematics Teaching:
Students' Mathematical Thinking in Classroom
Chia-Jui Hsieh Doctor
。 Departmen↑ of
Mathematics
,National Taiwan Normal University
Abstract
When observing teachers working
,
we will find that they must make the large number of
decisions to deal with the
situations 出attake place in a few moments. Based on the idea
“
concept
image for mathematics teaching (CIMT)"
,
the study was to investigate the bases on which
secondary school mathematics intern teachers in Taiwan choose strategies when facing teaching
tasks.
This paper focuses on the concept of studen
t'
s mathematics thinking in the mathematics
classroom
,
as well as examines what kind of CIMT is evoked when mathematics intern teachers
face the tasks related to students'
mathematical thinking. We found that even mathematics intern
teachers do know how important
“
student thinking"
is for mathematics-learning
,
they do not
usually evoke the image of
“
make students think"
as their bases of teaching strategy when facing
teaching situation.
In
other words
,
they barely give students opportunities and time to think in the
classroom. The study also found that most mathematics intern teachers who evoke the image of
student thinking usually evoke the image of students' cognitive development at the same time.
Keywords: Concept Image for Mathematics
Teaching，恥1athematicsThinking
,
Mathematics Intern
Teacher
專題論文「 ---寸， 一注L-=主
宣、目。首
一、研究動機與背景
學校教育的核心在於教師與學生之 「教」與「學」所構成的認知活動，而教師 在這個複雜的歷程中，扮演著主持這個認知 活動的靈魂人物。老師們透過各種教學方 法、技巧，將其所學的各種教學理論與經驗 加以實踐，以促使學生達到預定的學習成 效，過程中，老師需要不斷地因應各種教學 情況做出適當的決策。 Vergnaud( 1998
)就 曾對教師的工作下過如下的註解: 「教師的工作就好像是工程師，因為教 師必須處理真有很多狀況、限制和變數的複 雜程序。我們也可以把教師當成是一位調解 者，在觀察教師工作時，你一定會對於教師 必須在短時間內做出大量的決策和調解行動 而感到吃驚。 J(p.238)
如|司 Atkinson( 1965
)對於動機理論的 論述，認為個體對於人、事、物都真有追求 成功的傾向，我們也相信在教師的決策過程 中，每位教師都期望在他們的教學工作上有 所成效，換言之，教師們不會隨機地、任意 地選擇決策來處理所發生的各種教學問題， 而是採取一些他們認為有效、能成功的決策 來面對這些狀況。以學生上課不專心為例， 在實際課堂觀察中，我們發現有的教師會立 刻停止教學來提醒學生、有的則會拋間來吸 引學生注意、有的則以轉換教學方式讓學生 進行討論活動、有的則改用笑話或故事來吸 引學生...等，這些都是教師在遇到情境後 做出的教學決策。若教師不是隨機地選擇教 學決策，則我們不禁要問:教師們決策背後 是否有特定的心理機制?教學決策產生的依 據叉是什麼?此依據是否真有特定的形式? 而這個形式和實際的決策之間的運作叉有何 關連? 自從 Shulman於 1985 年提出學科教學知識 (Pedagogical
Content
Kn
owledge ' PCK)
這個概念後，許多學者紛紛提出關於教師知識的理論，並試圖透過這些理論與模型來
解釋教師知識對教師實際教學的影響(例 如:邱美虹，
1997 ; Carpenter
,
Fennema
,
&
Franke
,
1997; Cochran
,
DeRuiter
,
&
King
,
1993;
Griffin
,
1996; Grossman
,
1989
,
1991; Niess
,
2005; Shulman
,
1987)
，然而，這些理論並 沒有對於同一位教師對於相同的教學問題為 何會有截然不同的決策提出解釋，也因此有 些學者對於老師是否是以教師知識來面對教 學問題持有不同的意見，舉例來說，Ernest
( 1989
)就直接指出 r 教師的知識固然重 要，單用知識卻不足以解釋教師之間的差 異 J '而這樣的說法間接宣告教師的行動準 則其背後並非單純由教師知識所掌控，換言 之，教師教學決策產生的依據男仰賴於知識 以外的其他認知形式。 對於教學行動準則，許多研究者則試 圖從教師的教學信念 (teaching beliefs) 來 解釋教師的教學決策差異(例如 Levin&
He
,
2008; 缸， 2012) ，許多實徵性的研究 (女日 Raymond，1997; Thompson
,
1984) 也顯中學數學實習教師之數學教學概念、心像探究-以學生數學思考面向為仔IJ
Mathematics Intern Teachers' Mentallmages for Mathema
•ics Teaching:
Studen的，
Mathematical Thinking in Classroom
示數學教師信念實質影響了實際教學，並 認為信念對於教師能否在數學課堂上成功 教學扮演著重要角色。儘管如此，仍有不 少學者對教師教學行動與教師信念之間的 關聯提出質疑 (Cooney，
1985; Hoyles
,
1992;
Raymond
,
1997)
，而一些實徵研究也揭器 出教師的自我認定與實際教學行動的展現兩 者之間有極大的差異。例如，Davis 門|自Cooney
,
200
I
)發現許多教師認為自身的教 學與NCTM標準採用的立場並無太大差異， 但當觀察他們的教學後卻發現他們極度依賴 「告知」和「講述」。叉如Cooney(2001 )
也提到他從未碰過一位教師會認為自身的教 學是死記硬背的教學，多半自認為自身的教 學著重於如何使他們的學生學會解題和發展 推理技巧，然而證據卻顯示大部分的教師在 課堂上使用的工真仍是講述。這些說法也都 指出，單以教學信念來詮釋教師教學決定與 行為背後的依據仍顯不足。 論及教師教學決策，很容易讓人聯想到 教師教學思維。林進材( 199 7)認為教學決 定與判斷都屬於教學思維的範疇，他假定教 師是理性的專業人員，教師的思考、判斷、 決定能引導其教學行為。林福來(1997
)則 是在「教學即解題」的前提下，將數學教且 思維描述為解決教學問題的認知過程，這個 想法也直接將數學教學思維與教學行動做一 個連結，亦即教學問題是引發教學思維反應 的刺激。若將上述等元素加以連結，則不難 推知，教師受教學問題所引發進而用來做為 教學思維運作的元素，可能即是教師教學決 策主要之依據對象。如此，我們所欲探討的 問題便可轉換成:當教師遇到教學問題時， 最先進入思考工作區的是什麼? 關於這個問題， Tall與 Vinner( 1981 )
提出的「概念心像 (conceptimage)
J 這個 想法則提供了一個思考的方向，他們主張: 「多數的學生在一開始接觸問題時，最先進 入思考工作區的是相關的概念心像，而不常 使用概念定義。」隨後Vinner( 1983
)補充 說明 I 從思維上看，首先被喚起的幾乎總 是概念心像J 0Vinner
(1991) 並進一步闡 述 I 當我們看到或聽到某個概念的名稱 時，它會對我們的記憶區產生刺激，並且在 我們的記憶中引出某些東西，儘管這個引出 的東西有它的定義，但通常不會引出定義， 而是概念心像。」從這些觀點看，當學生解 決數學問題時，概念心像扮演著重要的參考 角色。 若將「數學教學」視為一門專業領域， 則同樣的在這個領域中存在著許多「數學教 學概念 J '它們不見得形成概念定義，但對 於教師來說一定存在著概念心像。據於此， 本研究則試圖從數學教學解題的觀點，將 「概念心像」想法從學生(學習者)的「數 學解題 (problemsolving in mathematics)
J類比到實習教師的「數學教學解題(
problem
solving in mathematics
teaching) 上，一旦他們遇到數學教學問題時概念心像會被喚起， 並進入思考工作區做為教學情境問題解決的
參考依據。本研究就直接稱這個概念心像
專題論文
Mathematics Teaching' CIMT)
J '並試圖對中學數學實習教師的數學教學概念心像進 行考察。
二、目的與問題
本研究的主要目的是透過中學數學質 習教師在面對數學教學問題時，所產生的教 學反應與處理想法，探討這群實習教師的數 學教學概念心像。由於數學教學概念心像的 探索在數學教育研究議題上仍屬於待開發階 段，因此本研究採開放的觀點，針對研究 的列出兩個較大方向的待答問題: l 中學數學實習教師在面對教學問題時， 會產生什麼數學教學概念心像? 2. 中學數學實習教師的數學教學概念心像 與教學決策之間有何關聯? 在研究進展過程中，本研究將會對上述 的研究問題保持調整彈性的空間，對符合研 究目的而新浮現的現象，也以開放的態度面 對。受限於篇幅之故，本文則特別從「學生 數學思考面向」的角度報導相關研究發現， 相關細節將於下一節中描述。貳、理論架構
本研究假定，對於數學教學每位教師都 擁有許多自己的「數學教學概念 J '這些對 於數學教學事物的概括性認識，可能來自師 資培育機構的教育，也可能來自個人的學習 經驗。當數學老師在課堂上遭遇某個教學問 題時，這個情境會對教師的思維產生刺激， 繼而從教師們的記憶中喚起「某些東西」作 為處理此教學問題的依據。在學生的數學解 題上， Tall與Vinner( 1981
)稱此構念為「概 念心像 J '並針對這個構念提出進一步解 釋: 「我們使用概念心像這個詞來描述那些 跟概念相關聯的所有認知結構，包含所有的 心靈圖像 (mental picture) 以及相關的性質 與過程。它是經年累月透過各式各樣的經驗 建構起來的，並隨著個體遇到新刺激或成熟 而產生變化。 J(p.
152)
Vinner
(1983) 特別針對「心靈圖像」 一詞做出說明: 「若C表示某個概念，而P代表某個人， 則 P對 C 的心靈圖像係指在P 的腦中所有與C 相關聯的所有圖像的集合。在此使用的圖像 (picture) 是十分廣義的，它包含這個概念 的任何視覺表徵(甚至符號) 0···除了心 靈圖像，也包含在P 的腦中與這個概念相關 的性質。...這些性質連同心靈圖像的集合 就稱做概念心像。 J(p. 239)
Tall與Vinner( 1981
)認為，定義本身多 以文字形式展現，且有嚴密的邏輯要求，但 是人腦並非是純然邏輯的實體，它的運作方 式常與數學的邏輯相左，讓我們產生洞察力 的也經常不是文字型的嚴密定義，而是與概 念相關的各種認知結構(包含心靈圖像) 因而產生概念心像的想法;同樣的，本研究 認為教師在面對數學教學問題時，被喚起並 作為決策依據的也是數學教學概念心像。這 個類比的合理性，來自於概念心像這個想法 提出之際，其主要的描述對象是學生在解題 時產生的「與概念相關聯的認知結構 J '同中學數學實習教師之數學教學概念心像探究-以學生數學思考面向為咧
Mathematics Intern Teachers' Mentallmages for Mathematics Teaching:
=Studen怡，
Mathematical Thinking in
Classroom- 士三三三三三 三三三樣的，我們假定教師在思考數學教學問題 時，用的亦是「與數學教學概念相關聯的認 知結構 J '而不可否認的，數學教學概念同 樣也是隸屬於概念的一種。 儘管如此，我們仍必須考量數學教學 概念與數學概念特性上的差異。相較於數學 概念，數學教學概念的界定更為模糊，表徵 形式也更脫離圖像的形式，甚至其表現上僅 是一種與數學教學相關的理論或實務知識， 不像數學概念有明確表徵形式。有鑑於數學 教學概念這個集合的元素屬性與範疇仍沒有 定論，因此本研究並不是探討教師在特定的 數學教學概念上展現出什麼概念心像，而是 透過幾個特定的「數學教學概念心像面向」 作為觀察的角度，藉以考察教師對於數學教 學問題之反應所展現的概念心像。本研究綜 合文獻考察，並透過與數學教育專長學者 反覆思辯後 2 ，規劃八個面向來做為探討數 學教學概念心像的角度，分別為學生知能 (seo) 、學生情意 (SA t)、學生思考 (STh) 、 學生參與 (SEn) 、教學方法 (Tme) 、教學表徵 選擇 (Tre) 、教學期望 (TGo) 和數學傳遞 (TTr) 等八個面向。 另一方面，由於數學教學概念心像無 法直接被觀察到，因此本研究設計透過教 師對於數學教學問題的反應加以推測，根 據 Tall 與 Vinner (1981) 的說法，在特定 的時間內，只有部分的概念心像會被活化
(activated)
，換言之，當個體被要求對某 個問題加以說明時，隨著問題情境的不同 會喚出個體心智中最為活化的認知結構來 描述此問題，Vinner ( 1983
)稱那些由個別 情境喚起的概念心像為「應時性概念心像(
tempora可 conceptimage
'本文簡稱「應時 心像 J ) J ， 3並相信個別情境只會啟動部份適當的概念心像元件 (cell )。另一個相對於 應時心像的構念則被稱為「常駐性概念心像
(permanent concept image
'本文簡稱「常駐 心像 J ) J '顧名思義，常駐心像是指常駐 於教師腦中的概念心像，就好比是教師概念 心像資料庫一樣，是教師所有能夠喚起或浮 現的概念心像的最大可能集合，而個別情境 啟動的應時心像即是常駐心像的部分元件。 由於數學教學概念心像的探究仍屬於待開發 階段，學界對於教師們的數學教學概念心像 類型仍所知有限，加上單一研究很難提供所 有的問題情境以探測到教師的概念心像，不 容易對個別教師們的常駐心像加以掌握，因 此在作法上本研究將整體的樣本教師視為一 個單元(unit)
，亦即對整體樣本所展現出 的概念心像類型加以報導，某種意義上是試 圖以整體教師所展現之概念心像象徵個別教 師的常駐心像(最大可能集合) ，而個別教 師在情境問題的展現則為其應時心像。 綜合上述，本研究關於實習教師數學教 學概念心像之架構表示如圖1 '假定當教學 情境刺激進到教師大腦後，它會活化存在腦 中的數學教學概念心像，再依攘不同的情境 所擷取之數學教學概念心像送到思考工作區 中做為教師決策的參考。根據此架構，本研 2 可參考謝佳叡 (2011) 3 本研究譯作「應時性」乃取其「因應情境而生之暫時性」概念心像之意，而非僅以時間長短稱之。專題論文 究則透過給予實習教師情境任務，再觀察這 些教師展現什麼面向的概念心像來。 本文的報導焦點鎖定在實習教師關於 學生數學思考面向的概念心像上。學生數學 思考對於數學學習的重要性十分受到當前數 學教育研究的重視，相關的研究與著述如汗 牛充棟，各國數學課程也將數學思考列入重 要學習項目 (Stacey， 2005) 。就以數學解題 來說，
K.
Duneker 將學生在課堂中的解題思 維過程分為三個層次:一般的範圓、功能性 解決，以及特殊性解決，並認為當學生的思 考在某一個步驟受阻時，必須回到上一個層 次重新調整直到解決 (Mayer'1983)
，換 言之，各層次之數學解題過程都需要學生思 考;而Po1ya(
1957) 所提出的數學解題思 維過程包含四個階段:清楚題意、擬定解題 計畫、實現計畫、回顧，同樣也可看出任何 攝取 教學情境刺激 一個解題階段都伴隨著數學思考。這些觀點 都指出，若希望在課堂中讓學生獲得數學知 識、解決數學問題，經常提供學生思考機會 是必要的。魏姿玟 (2010) 就會對教師講解 例題前先預留時間讓學生思考進行研究，發 現七年級學生在代數單元的學習上，即便教 師在講解例題前只預留 30秒的時間讓學生先 行思考，其成效幾可達到學生「趨近成功解 題層次 J '可見提供學生思考機會之效能。 而在學生思考面向的分析上，本研究透過考 察文獻後，主要針對實習教師關於學生在課 堂中進行思考的時間、機會、連作方式、過 程和品質等項目進行探查，例如，實習教師 讓學生在數學課堂上的思考情形、教學是否 給予機會讓學生進行思考、是否重視培養學 生的思考能力、主動思考習慣、...等。 教學決策擬定 圖 l 本研究架構圖位 CIMT 數學教學概念心像;SCo 學生知能面向; S Af學生情意面向;STh 學生思考面向; SEn: 學生參與 面向; TIne: 教學方法面向:Tre:教學表徵選擇面向: TGo 教學期望面向;竹r :數學傳遞面向。
中學數學實習教師之數學教學概念心像探究-以學生數學思考面向為例 Mathematics InternTeache悶， Mentallmages for Mathematics Teaching Studen怡， Mathematical Thinking in Classroom =士
參、研究設計與方法
一、研究過程與對象
本研究大致分成六個階段進行，包含 確定研究議題、文獻探討並提出研究初步架 構、發展研究工具、進行預檢並修正研究工 具、正式收集資料，以及資料分析與報導等 階段。研究設計主要依據質性的研究方法進 行，並在研究的各個階段中都有數學教育專 長學者共同參與討論，並隨時調整、修正研 究之方法與方向。在考察文獻並提出研究初 步架構後，本研究即著手發展研究工真。資 料收集主要是透過一份問卷題本，部分資料 則透過電話訪談確認。 本研究對象設定為中學數學實習教師， 樣本選取採方便取樣方式，目標樣本是對國 立台灣師範大學2009年 l 月參加中學數學教 育實習的74位實習教師進行普測，並於樣本 教師最後一次返校座談活動進行調查，接耳 調查時這些實習教師己真有將近六個月的教 官實習經驗。填寫問卷過程中，參與者被要 求彼此之間不得交換意見，最後共計回收有 效問卷62份，達目標樣本的84% 。二、研究工具介紹與資料分
析
原始問卷題本共由 16 個題目組成，包 含9個不同的教學情境的題組題與7個不合教 學情境的開放式問答題，問卷設計是以本研 究之理論架構為基礎而設計，問卷之內容效 度係透過數學教育專家與博士級研究人員所 組成的焦點團體加以檢視是否能適當地測量 欲測的內容，且為了確保問卷題目的語言 敘述、形式不致產生疑義，我們先對23位即 將成為實習教師的大四職前教師進行預檢 ( pretest) ，並針對預檢結果進行問卷的修 正與調整。在情境題的設計上分成教學準 備、單元教學與教學回饋三大類共六個情 境，所搭配之數學教學內容原則上鎖定在國 中階段的代數單元內容。 在資料處理上，本研究主要透過規劃 的數學教學概念心像面向對所得資料進行 探索、歸納，資料分析採取方式的是依據 Patton (1995
)建議之「內容分析」、「歸 納分析」等質性分析方法，依實習教師的描 述資料主要組型進行確認、編碼和分類。舉 例來說:我們問實習教師 r 假如你發現上 課時，很多同學不專心，請問你會做什麼處 理? J 其中兩位實習教師的實際回覆如下: 實習教師 A: 我會拋出幾題問題讓同學想， 然後請幾位專心&不專心的學 生上台解題! 實習教師 B: 我會想辦法吸引他們的注意， ex講小故事或笑話etc 。 從這兩位實習教師的回答來看，我們 可以發現面對同一個教學刺激，他們展現十 分不同的教學決策。從數學教學概念心像面 向來看，我們可以發現第一位實習教師展現 出「學生參與(上台解題) J 、「學生思考 (讓同學想) J 、「教學方法(拋問) J 等面向;而第二位實習教師在同樣的情境卻沒 有展現出學生思考或教學方法等面向，而是 表現出「學生情意」或「學生參與」等面 向。 4 本文主要報導關於學生數學思考面向的 數學教學概念心像調查結果，資料分析主要 來自問卷中的三個項目之調查，包含-l 對於數學教學你有什麼看法? 2.你認為(
1
)學生思考在數學課中扮演的 角色為何? (2) 什麼時候應該讓學生思 考?什麼時候不應該讓學生思考? 3. 有一種教學方式是:老師先不講解，而 是先拋問讓學生思考。請問在「等差級 數」 5的教學中，有沒有哪些活動6你覺得 用此方法教學是恰當的。並具體的描述 你選擇的依據是什麼? 其中，項目 l 是從最開放的角度探索實 習教師對於數學教學整體的看法中，檢視是 否會自發性呈現學生思考的面向?若有，文 是呈現哪些類型?項目 2 則是從數學課堂的 角度下，檢視實習教師對於學生數學思考之 概念心像面向。項目 3 則是切入實際教學情 境下，檢視質習教師對於數學思考與教學策 略之選擇依據之間的關聯。肆、結果與討論
本小節中，我們依序報導各個項目所得 的結果，並依據本研究架構之理念將整體教 師視為一個報導單元，亦即檢視這群樣本教 師在不同教學問題中所展現出的學生思考概 念心像的類型(category)
，而非進行個別教 師的報導。儘管如此，本研究所得類型皆來 自於對於個別教師的分析後歸納而得，因此 結果報導同時也將陳列部分個別教師之反應 以為佐證。一、學生思考是否自發性的
展現?
對於項目 1 '本研究發現實習教師在對 於數學教學整體的看法中，62位樣本教師在 八個數學教學概念心像面向中，平均展現出 2.87個面向，個別教師最多展現出6個面向， 最少也有 l 個面向展現。其中，自發性地(
spontaneously) 展現出學生思考面向心像 4 在資料分析上，本研究則由研究者先針對各面向面內之組型進行編稿與分類，再由與焦點園質量討為中被視編為與 分類的適當性，透過這樣的過程也能得到更細膩的分類，如上述兩位實習教師雖然都表現出學生參與面向，但實 習教師 A 的學生參與員I) )屬於行為參與或w，1<0 參與，而實習教師 B 貝IJ 偏向情意參與(可參考謝住叡，2011) • 5 儘管本研究在數學單元的挑選鎮定在代室主主題，而絞盡主內容在課網中歸在教與量的主題，但在等差絞盡主實際教學 上，如一般項符號表示、求和公式的理解、生活中相關問題解決等議題也是教學重點，這些議題也具有代教主題 之符號化、形式化、結構化的特性，因此在本研究主題還取時仍將之納入﹒6
問卷中有陳列一般教師在等差絞盡I 教學常會使用的八個活動，包含:高斯故事引入、生活 i是給活動、紙板操作演 示活動、簡易數值實 {joj 教學、公差».;正教之數值實例教學、含有一般項之實伽l 教學活動、公差為負的數值實例教 學，以及形式符號教學，另留有兩個空欄 4其實習教師自行填寫﹒中學數學實習教師之數學教學概念心像探究-以學生數學思考面向為例
Mathematics In•ern Teachers' Mentallmages for Mathematics Teaching: Studen帖， Ma•hematical Thinking in Classroom =三三三
的人數僅約占全體樣本的四分之一，展現比 這個結果顯示，臺灣的中學數學實習教師對 例低於多數其他概念心像面向(見表I )。 於數學教學整體看法所展現的概念心像中， 表 1 實習教師關於「數學教學」展現各概念心像面向的人數與百分比 數學教學概念 學生情意 教學期望 數學傳遞 學生知能 學生思考 學生參與 教學方法 表徵選擇 心像面向 自發展現人數 35 32 31 24 15 14 14 13 占全體樣本百 56.5 51.6 50.0 38.7 24.2 226 22.6 21.0 分比(%) 學生思考並不是經常被喚起的心像面向，值 得我們的實習教師或師培機構留意。 儘管展現學生思考面向的比例不高，這 15位展現出學生思考面向的實習教師仍顯示 出兩個子類型: (一)數學教學應重視培養學生的思考 能力 的位展現的實習教師中，有 9 位認為數 學教學應重視對於邏輯思考能力的培育，以
MIT-21
7為例，他對數學教學的看法是「訓 練邏輯思考、演繹或歸納的能力。J
又如
MIT-IS 與 MIT-18 '他們對於數學教學的看 法分別為「訓練思考、理解能力」與「數學 教學要教學生邏輯思考，訓練頭腦的靈活度 與鎮密度。 J ; MIT-2 更清楚的說﹒「學數 學其實不是為了算數學，是為了它背後的 邏輯思考能力。 J 其他教師諸如 MI下 8 、 MIT-II 、 MI下44及MI下的也都展現以培養學 生思考為數學教學重心。由此揭露，在學生 思考面向的概念心像中，思考能力的培養或 訓練仍是重要的類型。 從上述的回應中，也能發現這類的實習 教師腦中所謂的思考能力，主要是學生的邏 輯思考能力。特別的是，我們留意到這些實 習教師並未在此問題上喚起培養學生的計算 能力的想法，換言之，在這些實習教師的心 像中， ，-教學生邏輯思考能力」比「教學生 計算能力」更容易被喚起，或是在此情境的 參考競爭中勝出，其中兩位實習教師的描述 更直接說出這一點﹒MIT-28
:數學教學是要教學生『想』數學， 而不是 r 算』數學，答案固然會影 響成績，但過程跟想法更重要;MIT-23
:數學是教學生「思考』的科目，出 題數據不應太過複雜，主要在讓學 生做思考，而不是讓學生錯在複雜 的數字運算。 若將計算能力視為數學學習中的技能層面，題論文 而邏輯思考能力視為理解層面，則也可以看 出這群教師關於數學教學展現出「理解重於 技能」的心像。
(二)數學教學應提供學生自己思考的
機會 在其餘喚起學生思考面向的 6位實習教 師中，有 5 位則展現出數學教學應提供學生 思考機會的心像，包含留時間給學生思考， 或是實際讓學生發表來刺激思考等。例如， MI下20認為 r 我覺得在教學上要給學生思 考的機會，尤其是在課堂上要立刻給學生思 考的機會，而不是像傳統教學教師一直講， 學生只能一直聽，也不知道有沒有吸收。」 換言之，若教師僅不斷地講述而未提供學生 思考的機會，學生未必能吸收上課所教知 識;而 MIT-35 則提出 r 在作練習時不要 急著教同學什麼，給同學充分的時間思考， 再從中引導輔正。」此想法除了表達提供思 考機會有助於學生將知識應用於解題上，同 時也提出一個「思考機會提供先講解」的想 法，當學生預先就機會思考過，就能先熟悉 解題方向，就更能對於接下來老師要講解的 內容加以掌握，此也符合魏姿玟 (20I
0) 針 對教師講解例題前先預留時間讓學生思考的 研究結果。 整體而言，對於此類的教師來說，數學 教學最直接的方式就是實際讓學生有思考的 機會，這不僅得以讓學生吸收上課所教的知 識，也能將所學的知識應用到解題的兩種功 能。因此提供思考機會不僅僅是「行動上」 的時間供應，更符合「認知上」的自然學習 概念，換言之，要培養一個人的數學思考能 力，最好的方式就是讓他處於有機會思考的 環境中。二、學生思考在數學課堂上
扮演的角色
在項目 2-1 關於學生思考在數學課中扮 演的角色中，超過七成的實習教師直接表達 對學生思考在課堂扮演角色的肯定。其中， 四成以上 (26/62 )的實習教師表達出學生 思考是數學課堂中最重要、最主要、最關鍵 或不可缺少的角色等，甚至如MIT-45所述: 「學生思考就是上數學課的全部意義」或如 MIT-13 所述 r 學而不思則罔」等極重視 學生思考的現象。相較於前一節實習教師自 發|生展現學生思考心像比例不高的情況， 多數的教師在此處卻表現出對於學生思考角 色的重視，差異頗大。 lit現象恰符合Tall 與Vinner ( 1981
)對於概念心像特性的描述: 「在特定的時間內，只有部分的概念 心像會被活化 (activated) ...不同的時 間，被喚起的概念心像可能使此之間是相互 衝突的。只有當這些相互衝突的概念心像被 同時喚起，才會感覺到它們之閉的衝突。」 此亦說明了數學教學概念心像同樣也 真有概念心像的特點。學生思考在課堂上的 重要性受大多數實習教師的肯定是無庸置疑 的，但在描述對數學教學的看法時，這個心 像卻不一定被教師喚起;相同的，在其他時中學數學實習教師之數學教學概念心像探究-以學生數學思考面向為例
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刻(例如:解題教學、教學設計、作業指派 等)不同的教師也可能有不同的展現，因此 造成教師教學決策的差異，此也說明數學思 考面向的心像在許多情況並不會被啟動成為 應時心像。 在學生思考所扮演角色上，實習教師除 了肯定學生思考在數學課堂上的重要性，也 展現更具體的心像類型。首先，許多質習教 師認為學生思考除了擔任協助學生達到教學 目標的手段，本身也應是教師教學的目標之 一，包含訓練學生邏輯思考、演繹或歸納的 能力等，這些都是將學生思考本身視為教學 目標，而非僅是協助工具。其次，實習教師 除了認為學生思考是學生數學學習的目標與 協助工真，學生思考也是教師教學成效的檢 驗機制的心像，例如， MI下 14認為學生願意 思考代表學生願意接觸數學; MIT-51 則認為 學生能否思考也能檢視學生是否吸收所學; MIT-59與MlT-49也提到類似的想法，認為學 生應成為主動學習者，其檢視方式就是看學 生是否專心聆聽與思考，這些都是將數學思 考當成教學成效檢驗或回饋。 從資料分析中，本研究進一步檢視實習 教師學生思考的角色在其他概念心像面向的 展現情況。研究發現，學生思考角色與其他 面向的關連大多集中在學生知能面向上，占 樣本的37.1% '其餘面向的人數比例則都不 到 20% 。進一步分析展現出學生知能面向的 實習教師所做的描述，發現這些實習教師主 要從三個學生知能的角度來認定學生思考扮 演角色:
(一)學生思考是學生數學概念形成的
重要因素 在這些展現學生知能面向的實習教師 中，約有三分之一認為學生思考是數學概念 形成的重要因素，在學生能否將外部知識結 構轉化為學生自己知識的過程中，扮演關鍵 的角色。如MIT﹒ 11 認為學生思考是 r 學生 將知識(概念)內化的過程。 J ; MI下33也 說:r
(學生思考)扮演重要的角色，因為 思考就可以變成自己的東西。」換言之，此 類教師認為學生必須經歷過思考的過程才能 將上課的內容加以吸收，學生思考不只是概 念形成的輔助工真，更是一個必要的過程。 也有實習教師提到思考是一個「超然 於先備知識且適用於各種概念學習」的重要 工具， MIT-9 的描述是其中的代表，他說: 「對於一個新的概念，任何學生在一個完全 未知的狀態，僅有的就是思考 7 0 J 認為學 生在沒有任何新概念的背景知識時，仍有思 考這個工具可以使用，此想法雖稍過強調 思維的角色，卻也表現出學生思考「可開 脫於內容(content free) J 的心像。另外， MI下的也認為 r 學生思考能幫助學生概念 的澄清，減少迷失概念的產生J '這些都顯 示出學生思考是學生數學概念形成的重要因 素。(二)學生思考是協助學生保存數學知
識的有效方法
除了是學生進入知識的重要過程，許多實習教師也認為學生思考是協助數學知識保 存的有效方法。例如: MIT-曰:學生思考可以讓學生自己建構數學 概念，可以有較深刻的記憶，學起 來也較有成覺。
MIT-54
:我認為『學生思考』在課堂中占最 重的角色，因為任何型式的知識， 若不經思考才吸收，都無法長久深 才直於心中。MIT-03
:讓學生主動思考較能讓學生留下深 刻印象MIT-61
:學生思考才是教學奏效的時候，否 則老師講過後很快便忘記了。 從這些實習教師的心像中可知，思考 除了讓學生可以形成概念，學生透過主動思 考也較能加深知識的保存，讓知識常駐於腦 中。從學習理論的觀點，這樣的經驗可以讓 學生容易同化新的刺激，一旦達到平衡就更 能穩固新的認知結構。(三)學生思考有助於學生數學知諧的
輸出與運用 此外，實習教師產生的另一個心像是 數學思考對知識的輸出、連用的益助。如 MIT﹒ l 提到 r 學生思考讓學生面對到新問 題有多種不同角度想法 J '換言之，展現學 生思考對於解題策略能產生更多元的心像; MIT-27也表示 r 學生思考讓學生藉由舊有 經驗而延伸(水平、垂直)至更深一層的概 念，也培養學生自行探索，假設，驗證的科 學精神。」亦即思考容易讓學生使用既有知 識來探索新知;而 MIT-14則認為學生思考 「可以把學生所學再複習一次，也可激發學 生新想法。」上述這些說法都顯示出學生思 考能幫助學生將腦中的知識做有效的輸出與 運用。 整體而言，我們可以得知實習教師認為 學生思考伴隨整個概念的學習、保存與運用 過程。儘管個別教師僅展現數學思考在概念 學習中某個階段的功能，但綜合這些教師的 心像卻可以窺探出他們對於學生思考在學生 概念學習上的角色，顯示實習教師不僅僅是 「信念上」認為學生思考在數學課堂上的重 要性，更在「概念上」認知數學思考對於且 生知識內化的功能。三、關於適合學生思考的時
機的心像
根據實習教師在項目 2-1 的展現，若有 七成以上的實習教師肯定學生思考對學習的 功能，理應儘可能在課堂中多讓學生思考 才是，然而，研究發現並非如此。 62位樣本 中，僅有 10位實習教師表現出「隨時隨地」 或「大多數時間」都應讓學生思考;相對 的，在不應該讓學生思考的地方，也僅 14位 認為「沒有 J '兩類樣本取共同者也僅 17位 實習教師展現應無時無刻讓學生思考的心 像，比例僅約占 27 .4% '其餘的實習教師則 認為課堂上讓學生思考的時機應侷限在某些 時間點、功能點，或是特別的條件上。 本小節將從適合學生思考、不適合學生中學數學費習教師之數學教學概念心像探究.以學生數學思考面向為例 Mathematics Intern Teachers' Mentallmages for Mathematics Teaching: Studen怡，Mathematical Thinking in Classroom
思考的時機，以及實際教學活動設計三個部 分進行報導: (一)適合學生思考的時機是以學生認
知為主要考量
表 2 呈現實習教師關於適合學生思考時 機在各個面向展現的人數比例，由表中口 知，實習教師在決定何時合適學生思考時， 主要的考量面向仍在學生知能面向，古全體 樣本的45.2% 。 在這些展現學生知能面向心像的實習教 表 2 實習教師關於適合學生思考時機在各個面向展現的人數比例 數學教學概念 學生知能 學生情意 學生參與 教學方法 表徵選擇 教學期望 數學傳遞 心像面向 考量教師人數28
3
O
2
5
17
占全體樣本45.2
4.8
0.0
3.2
1.
6
8.1
27
.4
百分比(%) 師中，認為應讓學生思考的時機可分成三個 主要類別: I.學生思考應在學生能力所及時實施 第一種類型的實習教師認為讓學生思 考不在考驗學生能力，而在解決問題上，因 此適合學生思考時機應考量學生能力是否可 及。部分教師之陳述如下:MIT-05
:可讓學生能找出規則或解法時;MIT-07
:覺得他們想得出來的，用其前面學 過的概念即可推演的;MIT-27
:學生有能力自己摸索;MIT-54
:一些學生能力所及，但卻較少有機 會接觸的題目，就應諾言表學生思 考。 展現此類的教師約占學生知能面向教 師的三分之一，其中心思想在於學生能憑藉 自己能力加以解決時應讓學生思考，若超過 學生能力或無法由學生自行解決時則避免實 施。 2. 學生思考在用以解決概念迷失時實施 另一類實習教師展現關於認知面向的 適合思考時機，是在當學生遇到或可能遇到 困難點或認知衝突之時。例如， MIT-I 認為 學生思考應於 I 學生面露質疑或面臨新 問題時;在老師覺得學生容易出差錯的地 方。 J ; MI下 16提到 I 在容易搞混的觀念 時，應停下來讓學生思考。 J 其他如「學 生茫然時 (MI下24) J 、「遇到窒礙的困難 點，讓學生思考突破方法 (MIT-32) J 或 「當和舊有知識發生衝突時 (MI下28) J 等 都是此類的心像。展現此類教師約占展現且 生知能面向者的一半，其中心思想在於讓學專題論文 生能藉由思考突破認知衝突，因此在容易出 錯、混淆的觀念上能藉由思考得以澄清，實 施的時機也顯然不同於前一類型的教師。 3. 學生思考適合時機考量以概念學習過程 為主 第三個在認知面像上認為適合思考時 機的類型則聚焦在學生概念學習過程上，這 類教師關心的不是學生能力，也非在學習 困難點上，而是著重在概念學習歷程的不同 階段上，包含:概念或例題講解前讓學生暖 身、概念或例題教完後讓學生思考吸收等。 如 MIT-15 認為 I 概念學習前拋問讓學生暖 身思考、講解完主要概念及定義後的思考練 習 J ; FT54則提到 I 新概念教完時應留時 間給學生思考吸收」。文如， FT46認為應讓 學生思考時機在於 I 解題之前，讓學生思 考過，再與同學討論新觀念的引入及舊觀念 的連結。 J ; FTI2則認為應讓學生思考時機 在於 I 概念講完、舉例之後，課本概念與 例子之間 J ; FT2 3認為「在做概念的聯結與 應用時 J '都是此類的心像。此類教師其中 心思想在於讓學生在概念學習時能藉由思考 順利將概念吸收。 (二)不適合學生思考的時機仍以學生 認知為主要考量 表 3 實習教師關於不適合讓學生思考時機在各個面向展現的人數與百分比 數學教學概念 學生知能 學生情意 學生參與 教學方法 表徵選擇 教學期望 數學傳遞 心像面向 考量教師人數
18
6
2
10
O
6
14
占全體樣本29.0
9.7
3.2
16.1
0.0
9.7
22.6
百分比(%) 表 3 呈現實習教師對於不適合學生思考 時機在各個面向展現的人數與百分比。由該 表可知實習教師在決定何時不合適學生思考 時，主要的考量面向最高比例仍在於學生知 能，其次亦為數學傳遞面向，但相較於表2 所示結果，可以發現在兩個面向展現的比例 都減少了，而在教學方法與學生情意面向兩 個面向則明顯增加了。 在展現學生知能面向的實習教師中，對 於不適合學生思考的時機，研究發現大多數 實習教師都只集中在「過於艱難的概念或題 目」一種類型上，占 18位教師的 13位。許多 有經驗的數學教師經常會利用難題來刺激學 生思考，但這個想法卻並非實習教師的心像 所在，相反的，他們認為超過學生能力的概 念、題目，學生不太可能獨立想出來，不應 該給學生思考，這個想法與前一小節提到的 「學生能力所及的心像」呼應。中學數學實習教師之數學教學概念J[;-像探究，以學生數學思考面向為例 Mathematics InternTeache時， Mentallmages for Mathematics Teaching: Studen帖，Mathematical Thinking in Classroom
有部分實習教師則從數學內容之類型作 為不適合學生思考時機的判斷依據，例如﹒ 定義式的數學內容、程序性的數學內容、抽 象性的數學內容，以及涉及單元核心概念結 論等，都不適合學生思考。其中，前兩類反 映出實習教師認為定義或程序性的內容使得 數學思考發揮空間不大，抽象性的數學內容 則可能超過學生負荷，而核心概念在做結論 時則同樣不應該給學生思考。不難看出，此 四種類型都牽涉到思維的彈性。 此外，有 10位實習教師將不適合學生思 考的時機與教學方法產生關聯，有趣的是， 這些有關教學的方法皆與講述式教學有關。 例如， MI下的說道 r 老師說話時學生應注 意聽 J '言下之意，此時學生思考將干擾教 師的教學; MIT-20也說道 r 講解重要觀念 時，應由教師教或引導，而不是給學生自己 思考。 J 而MIT-23提到 r 在講解定義內 容時要同學記憶 J ...等，認為都不是給學生 思考的時機，此亦反映出在這些實習教師有 一種「講述與思考會相互干擾」的心像。從 認知學習的觀點，教師講述與學生思考兩者 並不相互排斥，但實習教師的心像中，兩者 卻無法共存。 (三)從實際教學情境設計中探討適合 學生思考的時機 項目 3 中，我們提供等差級數教學一般 教師常會使用的八個活動8 ，並請實習教師 回答在這些活動中，哪些是他們覺得適用於 「老師先不講解，而是先拋問讓學生思考」 的活動。實習教師勾選結果統計如表4 所 河立。 表 4 r 等差級數」教學單元適合於演示前先讓學生思考之活動統計表 研究項目 活動簡述* 勾選活動統計 (n=62
)
選擇數 選擇比例 南斯故事34
0.55
生活實例37
0.60
紙板操作44
0.71
簡易數值40
0.65
教學活動適合先 公差為正27
0
.4
4
讓學生思考 含有一般項17
0.27
公差為負22
0.35
符號公式7
0.11
自選活動一3
自選活動二O
活動數總計231
3.73
往，活動排序依照 1革開卷呈現JI/員序。 B 參見吉主腳6 。專題論文 若以 30 與 .60 分別作為「低度-中度」 與「中度-高度」適合學生思考活動的分界 點，則可以發現對實習教師而言， ，-日常生 活實例」、「紙板操作活動」與「簡易數值 實例」三者屬於高適合思考活動，而「含有 一般項」與「符號公式」則為低適合思考活 動，由此觀之，中學實習教師傾向簡單、真 體、學生可操作的活動讓學生思考，反之較 為困難、抽象、形式的活動則傾向認為不合 適。 進一步檢視實習教師選擇適合學生思 考的依據理由，分析整體樣本所展現的原因 類型，再檢視各類型的教師所勾選的活動項 目。研究發現最多實習教師展現的選擇理 由是簡單、學生可以想出來，共有22位實習 教師，此歸屬於學生知能面向。再對照這 22 位教師的實際勾選活動，發現此類教師選擇 紙板操作與簡易數值實例(皆為 17人)為最 多，高斯故事( 15人)次之，生活實例(
14
人〉再次之。若比較前面所述結果，此現象 吻合適合學生思考的第一類型「學生思考應 在學生能力所及時實施 J '反倒是第二類型 「用以解決概念迷失時實施」等相關理由都 沒有展現。 第二多實習教師展現的選擇理由是真 體、可實際動手操作，共有 13位實習教師， 這個因子牽涉到的面向已不全然為學生知 能，而偏向教學表徵選擇與教學方法，而此 13 位都選擇了紙板教學活動。再次多人提出 的理由是與生活連結( 12 人) ，所牽涉到的 概念心像也傾向教學表徵選擇與學生情意， 其中 11 人選擇用生活實例。這些面向在分析 適合思考時機時都沒有明顯展現，換言之， 當實習教師實際進入等差級數的活動設計 時，教師的概念心像有所不同，由此也可以 發現，展現的心像面向確實與決定採用哪些 教學活動彼此之間有所關聯。恆、結論與建議
從項目 2-1 中可以發現，儘管實習教師 對於學生思考在數學課堂扮演的角色極為推 崇，超過七成的比例肯定思考的重要性，認 為思考是概念形成的重要因素、是協助學生 保存知識的有效方法，也有助於知識的輸出 運用，對於應留給學生思考時間也肯於慷慨 付出。但若從項目 1 中發現他們自發性展現 比例並不高，提供學生思考機會、重視學生 思考等相關回應也很少，表示在一般的情境 下並不會喚起學生思考的心像，此結果值得 不論職前、在職教師，甚至是師資培育單位 深思。而這個結果同樣顯示數學教學概念心 像確實會由於不同的情境問題而有不同的引 發，若搭配實際教學活動選擇，也能看出這 個概念心像與教學決策確實有關連。 此外，進一步分析那些喚起學生思考面 向的實習教師，也不難發現他們著重面向都 在學生知能面向上，對於適合學生思考時機 也都集中在學生知能，其他諸如學生情意、 且生參與、教學方法、教學表徵選擇等面向中學數學費習教師之數學教學概念IGf~探究-以學生數學思考面向為例
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Studen帖，
Mathematical Thinkingjn Classroom
則沒有明顯展現。此亦提醒我們，除了加強 學生思考的在教師心像中的展現之外，更需 要讓學生思考面向展現在各個數學教學面向 中。 對於學生數學思考，無論是數學教師或 數學教育研究者，相信都不會懷疑其對數學 學習重要性，但如果數學教師(無論是職前 或在職)對學生數學思考僅在於肯定其重要 性，卻不實際運用在教學上、不給學生思考 機會，相信是無法達到效益，而本研究則認 為要讓此面向能真切的展現在數學課堂上， 加強教師在此面向的概念心像發展是有幫助 的。 本研究調查對象為中學數學實習教師， 其結果不一定能推廣到其他階段、其他學科 的實習教師或在職教師上，但所得結果應可 提供這些教師或教育工作者參考。最後，數 學教學概念心像的議題在數學教育中仍屬待 開發領域，本研究也僅能針對中學數學實習 教師報導初步研究結果，也期待有更多努力 投入相關研究。
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