國中數學1 1 4指數律

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國中數學學習講義(配合康軒數學 1) 1-4 指數律(第1頁) 格致數學科.黃俊誠老師製作 2015.07.

1−4 指數律

本節課程學習重點: ◎能理解底數為整數且指數為非負整數的運算。 ◎能理解底數為整數且指數為負整數的運算。 ◎能理解同底數相乘或相除的指數律。 一、指數: ◎乘方的意義:(當相同的數連乘多次時,稱為乘方。) 若 a 是不為 0 的整數,且 n 為正整數,則 (1) an=a×a×…×a。例如:53=5×5×5;(-2)4=(-2)×(-2)×(-2)×(-2);-34=-(3×3×3×3)。 (2) 規定 a0=1。例如:50=1;(-7)0=1;123560=1。 (3) 規定 an= 1 an。例如:5 -31 53;8 -41 84。 (4) 0n=0。例如:05=0;012=0。 (5) 1 的任意次方都是 1。例如:13=1;10=1;1-5=1。 【觀念釐清】5×5

52,讀作五的二次方(或五的平方);5×5×5

53,讀作五的三次方(或五的立方)。 ◎指數

若 a 為整數,有 n 個 a 相乘時,可簡記成 an (讀作 a 的 n 次方), 其中 a 稱為底數,n 稱為指數。 【觀念釐清】當指數等於1時,指數1通常省略不寫。 練習 1:以指數的形式簡記下列各式。 (1) 8×8×8×8×8×8= 。 (2) (-3)×(-3)×(-3)×(-3)= 。 (3) (-2)×2×2= 。 【觀念釐清】-32表示-(3×3)=-9,而(-3)2=(-3)×(-3)=9,因此-32與(-3)2是不相等的。 練習 2:計算下列各式的值。(1) 92 (2) (-2)4 (3) -24 練習 3:計算下列各式的值。(1) 32 (2) (-4)2 (3)-42 練習 4:計算下列各式的值。(1) 73 (2) (-5)3 (3)-53

a

n ← 指數

底數(底)

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練習 5:計算下列各式的值。(1) 25 (2) (-2)5 (3)-25 【觀念釐清】(1)若n為偶數,則(-1)n=1。 (2)若n為奇數,則(-1)n=-1。 ◎負數的乘方:負數的偶數次方,其結果是正數;負數的奇數次方,其結果是負數。 【觀念釐清】在做含有乘方的四則運算時,乘方的部分要先計算。 練習 6:計算下列各式的值。(1)[-(-3)2+3]÷6 (2)10-23×[5-(-4)2] 練習 7:計算下列各式的值。(1) (-52 )÷5-32 (2) (-3)-(-75)÷(-5)2 二、指數律:(乘方的運算規律) ◎底數相同的乘方相乘:若a為整數,則am ×an=amn,其中m、n為正整數。 練習 8:在下列各式的□中填入適當的數,使等號成立。 (1) 52×54=5□ (2) (-2)2×(-2)3=(-2)□ 練習 9:在下列各式的□中填入適當的數,使等號成立。 (1) (-6)3×(-6)4=(-6)□ (2)若 a 為整數,則 a3×a4=a□ 。 ◎底數相同的乘方相除:若 a 是不為 0 的整數,則 am ÷an=am-n,其中 m、n 為正整數,且 m>n。

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國中數學學習講義(配合康軒數學 1) 1-4 指數律(第3頁) 格致數學科.黃俊誠老師製作 2015.07. 練習 10:在下列各式的□中填入適當的數,使等號成立。 (1) 35÷33=3□ (2) (-2)5÷(-2)2=(-2)□ 練習 11:在下列各式的□中填入適當的數,使等號成立。 (1) (-9)8÷(-9)3=(-9)□ (2)若 a 是不為 0 的整數,則 a10÷a6=a□。 ◎乘方的乘方:若 a 為整數,則(am )n=am×n,其中 m、n 為正整數。 練習 12:在下列各式的□中填入適當的數,使等號成立。 (1) (24)2=2□ (2) [(-7)2]3=(-7)□ 練習 13:在下列各式的□中填入適當的數,使等號成立。 (1) [(-10)5]2=(-10)□ (2)若 a 為整數,則(a2)4=a□ 。

◎兩整數相乘的乘方:若 a、b 為整數,則(a×b)m=am

×bm,其中 m 為正整數。 練習 14:在下列各式的□中填入適當的數,使等號成立。 (1) (7×12)3=7□ ×12□ (2) [(-2)×9]4=(-2)□ ×9□ 練習 15:在下列各式的□中填入適當的數,使等號成立。 (1) [5×(-11)]5=5□

×(-11)□ (2)若 a、b 為整數,則(a×b)3=a

×b□。

練習 16:求出下列各式的值。(1) 2-3

(2) (-2006)0 (3) 10-2

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◎指數律:若 a、b 都是不為 0 的整數,且 m、n 為整數,則 (1) am×an=amn (2) am÷ana m an=a mn (3) (am)n=am×n (4) (a×b)m=am×bm。 練習 17:在下列各式的□中填入適當的數,使等號成立。 (1) 105×10-2=10□ (2) 10-8÷10-3=10□ 練習 18:在下列各式的□中填入適當的數,使等號成立。 (1) 9-3×9-4=9□ (2) 5-2÷5-6=5□ (3) (7×11)-3=7□ ×11□ (4) (64)-2=6□ 自我評量 1. 下列哪一個等式是正確的? (A) (-3)+(-3)+(-3)+(-3)+(-3)=(-3)5 (B) -32=(-3)×(-3) (C) (-3)×(-3)×(-3)=-33 (D) -(3×3×3×3)=(-3)4 2. 已知 210=1024,回答下列問題。 (1) (25)2= 。(2) 211= 。(3) (-2)9= 。(4) 29= 。(5) (-2)10= 。 3. 計算下列各式的值。(1)-32+(-23 )-(-1)4 (2) 5-52÷[4+(-1)2]2

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國中數學學習講義(配合康軒數學 1) 1-4 指數律(第5頁) 格致數學科.黃俊誠老師製作 2015.07. 4. 在下列各式的□中填入適當的數,使等號成立。 (1) (-2)3×(-2)5=(-2)□ (2) 64÷6-3=6□ (3) (5×3)-6=5□ ×3□ (4) ( 1 7) 4=7□ 5. 比較-6、(-6)2、(-6)3、(-6)4的大小。 習作 1. 以乘方記法表示下列各算式。 (1) 3 的平方記為 。 (2) 2×2×……×2×2 記為 。 20 個 (3) -(9×9×9×9)記為 。 (4) (-5)×(-5)×(-5)記為 。 2. 計算下列各式的值。 (1) 34= 。 (2) -15= 。 (3) -(-1)2= 。 (4) (-1)531= 。 (5) (-11)2= 。 (6) -112= 。 (7) 560= 。 (8) 7-2= 。 3. 下列哪些數其值為正數? (A) (-2)19 (B)-219 (C)-(-2)19 (D) (-2)20 (E)-220 (F)-(-2)20

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4. 計算下列各式的值。 (1) (-1)2+(-1)3+(-1)4+(-1)5 (2) 3×(-2)5-(-8)×5 (3) (-1)2×(-3)×(-5) (4) 72-[(-3)2 ×23-52 ] 5. 在下列各式的□中填入適當的數字,使等號成立。 (1) 28×23=2□ (2) (-7)5÷(-7)3=(-7) □ (3) [(-5)4]2=(-5) □ (4) [(-3)×5]4=(-3) □ ×5□ (5) 96=3□ (6) 59=125□ 6. 計算下列各式的值,並將結果用「乘方」表示。 (1) 105×10-3 (2) 2-4×2-6 (3) (3-2)4 (4) 5-3÷53 7. 有一棋盤遊戲步驟如下: 步驟 1.先抽 1 個號碼。 步驟 2.每向右前進 1 格,手上的號碼就會變成原來的平方。 步驟 3.每向下 1 格,就乘上(-1)。 步驟 4.只能沿著格線向右或向下移動,不能回頭。 例如:手上號碼為 5,路徑如圖(一),則最後號碼變為-54。 請問君德抽到 2 號,他沿著圖(二)上的路線從 A 點走到 B 點,當他到達 B 點時,手上的號碼 變為多少呢? B 5 2 4 4 5 範例: 圖(一) 圖(二) 5 5 A

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國中數學學習講義(配合康軒數學 1) 1-4 指數律(第7頁) 格致數學科.黃俊誠老師製作 2015.07. 8. 求 910是(-3)16的多少倍? 9. 比較下列各數的大小。(1)-212、-83 (2) (-2)10、(-2)11、(-2)12 類題補充 1. 計算下列各式的值。(1)-2×(-3)3-6×(-5)2 (2) 53-[(-2)4+33-72 ] 2. 若 25×44×83=2n,則 n=? 3. 若 N 為正整數,且 10N=102005+999×102005,則 N= 。 4. 秦博士在實驗室裡進行 A、B 兩種細菌的培養,A 細菌 10 天會分裂一次,B 細菌則是 15 天會分裂一 次(分裂是指細菌由一隻變成兩隻)。若實驗室從今天開始培養細菌,且 101 天內細菌均不滅亡,如果 第一天實驗室中 A、B 兩種細菌各有兩萬隻,則 101 天後 A 細菌的數量是 B 細菌的幾倍?

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5. 設 A=3120、B=490、C=560,則 A、B、C 的大小關係為 。 6. 計算 1998 5 9995- 634 214+ 6153 1233= 。 7. (1) 若 725=2m×3n,則 m×n= 。 (2) 若( 27 16) 5=2 a×3b,則 a+b= 。 8. 已知 21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,…,則 2829的個位數字為何? 9. 試問:26×83×253×125 的乘積末尾有多少個連續的 0?

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國中數學學習講義(配合康軒數學 1) 1-4 指數律(第9頁) 格致數學科.黃俊誠老師製作 2015.07. 加強練習 1. 下列運算結果何者正確? (A) 2-5=-25 (B) 2-5=215 (C) 2-6=-26 (D) 2-6= -1 26 。 2. 下列式子何者錯誤? (A) (-2)3>(-2)5>(-2)7 (B) 23<24<25 (C) (-2)6>(-2)4>(-2)2 (D) ( 1 2) 12>( 1 2) 11>( 1 2) 10 3. 已知 123=1728,則 1203= 。 4. 已知 224=16△ ,則△= 。 5. 設 m、n 都是正整數,若(25×27)m=3n×58,則 m+n= 。 6. 計算下列各式之值。 (1) 750×3×(-4)×6×0×25= 。 (2) (2×3)5×2÷(34×3)= 。 (3) (-3)2×(-2)-[(-2)3-13]÷(-3)= 。 (4) 54÷[(-2)-16]2×(-3)+(-42 )= 。 (5)∣(-2)3-3∣-[(-3)2×(-22)-4×(-3)]×(-2)= 。 7. 小熊牌隨身包溼紙巾,每一箱中有 6 盒,每一盒中有 6 袋,每一袋中有 6 包,歸仁國中家長會買了 二箱又一盒的溼紙巾,打算提供給九年級 513 位師生舉辦野炊活動使用,則這些溼紙巾是否足夠分 給九年級師生每人一包?多或不足幾包? 8. 若已知 3x=15,則下列各式何者錯誤? (A) 3x+1=45 (B) 3x-1=5 (C) 3x ×9=3x+2 (D) 3x×2=30。 9. 已知 a=215+215,b=92×54,c=58,則 a、b、c 三數的大小關係為何? 10. 計算(-35)×22÷(-6)5之值為何? (A)-32 (B) 3-2 (C) -23 (D) 2-3。 11. 計算(-64)0+4×10-2+(-1)100=? 12. 計算(-1)1+(-1)2+(-1)3+…+(-1)25=? 13. 將一張正方形紙張分成四張小正方形紙張,再將每一張小正方形紙張分成四個小正方形紙片,… 依此方法做下去,如下圖所示,則第 5 個步驟完成後,共有 張小正方形紙片。 步驟一 步驟二 步驟三 …… 14. 已知某種細菌每經 2 分鐘後,就會增加為原來的 3 倍,且假設細菌不會死,今有該種細菌 8 個,則 (1) 10 分鐘後的細菌數是多少個? (2) 42 分鐘後的細菌數是 34 分鐘後細菌數的幾倍? 15. 若 a=211×35×75,b=25×39×75,c=25×35×77,則 a、b、c 的大小關係為何? 16. 計算下列各式的值: (1) (-3)3×4-(-2)4×5+(-290 ) (2) (-7)0-(-1)11×(-2)2+(-7)5÷73 (3) [-(-6)2+4]÷8-(-4)3÷(-8)×2

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Ans:1.(B);2.(D);3. 1728000;4. 6;5. 16;6.(1) 0,(2) 64,(3)-25,(4)-34,(5)-37; 7.否,不足 45 包;8.(D);9. c>a>b;10.(D);11. 2.04;12.-1;13. 1024;

14.(1) 1944 個,(2) 81 倍;15. b>a>c;16.(1)-189,(2)-44,(3)-20。 心得筆記

數據

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參考文獻

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