國中數學1 1 4指數律

國中數學學習講義(配合康軒數學 1) 1-4 指數律(第1頁) 格致數學科．黃俊誠老師製作 2015.07.

1−4 指數律

本節課程學習重點： ◎能理解底數為整數且指數為非負整數的運算。 ◎能理解底數為整數且指數為負整數的運算。 ◎能理解同底數相乘或相除的指數律。 一、指數： ◎乘方的意義：(當相同的數連乘多次時，稱為乘方。) 若 a 是不為 0 的整數，且 n 為正整數，則 (1) an＝a×a×…×a。例如：53＝5×5×5；(－2)4＝(－2)×(－2)×(－2)×(－2)；－34＝－(3×3×3×3)。 (2) 規定 a0＝1。例如：50_{＝1；(－7)}0_＝1；123560_＝1。 (3) 規定 a－n＝ 1 an。例如：5 －3_＝ 1 53；8 －4_＝ 1 84。 (4) 0n＝0。例如：05_＝0；012_＝0。 (5) 1 的任意次方都是 1。例如：13＝1；10＝1；1－5＝1。 【觀念釐清】5×5

＝

52，讀作五的二次方(或五的平方)；5×5×5

＝

53，讀作五的三次方(或五的立方)。 ◎指數

：

若 a 為整數，有 n 個 a 相乘時，可簡記成 an (讀作 a 的 n 次方)， 其中 a 稱為底數，n 稱為指數。 【觀念釐清】當指數等於1時，指數1通常省略不寫。 練習 1：以指數的形式簡記下列各式。 (1) 8×8×8×8×8×8＝ 。 (2) (－3)×(－3)×(－3)×(－3)＝ 。 (3) (－2)×2×2＝ 。 【觀念釐清】－32_{表示－(3×3)＝－9，而(－3)}2_{＝(－3)×(－3)＝9，因此－3}2_與(－3)2_{是不相等的。} 練習 2：計算下列各式的值。(1) 92 _{(2) (－2)}4 _{(3) －2}4 練習 3：計算下列各式的值。(1) 32 _{(2) (－4)}2 _(3)－42 練習 4：計算下列各式的值。(1) 73 _{(2) (－5)}3 _(3)－53

a

n ← 指數

↑

底數(底)

練習 5：計算下列各式的值。(1) 25 _{(2) (－2)}5 _(3)－25 【觀念釐清】(1)若n為偶數，則(－1)n＝1。 (2)若n為奇數，則(－1)n＝－1。 ◎負數的乘方：負數的偶數次方，其結果是正數；負數的奇數次方，其結果是負數。 【觀念釐清】在做含有乘方的四則運算時，乘方的部分要先計算。 練習 6：計算下列各式的值。(1)[－(－3)2＋3]÷6 (2)10－23×[5－(－4)2] 練習 7：計算下列各式的值。(1) (－52 )÷5－32 (2) (－3)－(－75)÷(－5)2 二、指數律：(乘方的運算規律) ◎底數相同的乘方相乘：若a為整數，則am ×an＝am＋n_{，其中m、n為正整數。} 練習 8：在下列各式的□中填入適當的數，使等號成立。 (1) 52×54＝5□ (2) (－2)2×(－2)3＝(－2)□ 練習 9：在下列各式的□中填入適當的數，使等號成立。 (1) (－6)3×(－6)4＝(－6)□ (2)若 a 為整數，則 a3×a4＝a□ 。 ◎底數相同的乘方相除：若 a 是不為 0 的整數，則 am ÷an＝am－n，其中 m、n 為正整數，且 m＞n。

國中數學學習講義(配合康軒數學 1) 1-4 指數律(第3頁) 格致數學科．黃俊誠老師製作 2015.07. 練習 10：在下列各式的□中填入適當的數，使等號成立。 (1) 35÷33＝3□ (2) (－2)5÷(－2)2＝(－2)□ 練習 11：在下列各式的□中填入適當的數，使等號成立。 (1) (－9)8÷(－9)3＝(－9)□ (2)若 a 是不為 0 的整數，則 a10÷a6＝a□。 ◎乘方的乘方：若 a 為整數，則(am )n＝am×n_{，其中 m、n 為正整數。} 練習 12：在下列各式的□中填入適當的數，使等號成立。 (1) (24)2＝2□ (2) [(－7)2]3＝(－7)□ 練習 13：在下列各式的□中填入適當的數，使等號成立。 (1) [(－10)5]2＝(－10)□ (2)若 a 為整數，則(a2)4＝a□ 。

◎兩整數相乘的乘方：若 a、b 為整數，則(a×b)m_＝am

×bm，其中 m 為正整數。 練習 14：在下列各式的□中填入適當的數，使等號成立。 (1) (7×12)3＝7□ ×12□ (2) [(－2)×9]4＝(－2)□ ×9□ 練習 15：在下列各式的□中填入適當的數，使等號成立。 (1) [5×(－11)]5＝5□

×(－11)□ (2)若 a、b 為整數，則(a×b)3＝a□

×b□。

練習 16：求出下列各式的值。(1) 2－3

(2) (－2006)0 (3) 10－2

◎指數律：若 a、b 都是不為 0 的整數，且 m、n 為整數，則 (1) am×an＝am＋n_。 (2) am÷an＝ a m an＝a m－n_。 (3) (am)n＝am×n_。 (4) (a×b)m＝am×bm。 練習 17：在下列各式的□中填入適當的數，使等號成立。 (1) 105×10－2＝10□ (2) 10－8÷10－3＝10□ 練習 18：在下列各式的□中填入適當的數，使等號成立。 (1) 9－3×9－4＝9□ (2) 5－2÷5－6＝5□ (3) (7×11)－3＝7□ ×11□ (4) (64)－2＝6□ 自我評量 1. 下列哪一個等式是正確的？ (A) (－3)＋(－3)＋(－3)＋(－3)＋(－3)＝(－3)5 (B) －32＝(－3)×(－3) (C) (－3)×(－3)×(－3)＝－33 (D) －(3×3×3×3)＝(－3)4 2. 已知 210＝1024，回答下列問題。 (1) (25)2＝ 。(2) 211_{＝ 。(3) (－2)}9_{＝ 。(4) 2}9_{＝ 。(5) (－2)}10_{＝ 。} 3. 計算下列各式的值。(1)－32＋(－23 )－(－1)4 (2) 5－52÷[4＋(－1)2]2

國中數學學習講義(配合康軒數學 1) 1-4 指數律(第5頁) 格致數學科．黃俊誠老師製作 2015.07. 4. 在下列各式的□中填入適當的數，使等號成立。 (1) (－2)3×(－2)5＝(－2)□ (2) 64÷6－3＝6□ (3) (5×3)－6＝5□ ×3□ (4) ( 1 7) 4_＝7□ 5. 比較－6、(－6)2、(－6)3_、(－6)4_的大小。 習作 1. 以乘方記法表示下列各算式。 (1) 3 的平方記為 。 (2) 2×2×……×2×2 記為 。 20 個 (3) －(9×9×9×9)記為 。 (4) (－5)×(－5)×(－5)記為 。 2. 計算下列各式的值。 (1) 34＝ 。 (2) －15＝ 。 (3) －(－1)2＝ 。 (4) (－1)531＝ 。 (5) (－11)2＝ 。 (6) －112＝ 。 (7) 560＝ 。 (8) 7－2＝ 。 3. 下列哪些數其值為正數？ (A) (－2)19 (B)－219 (C)－(－2)19 (D) (－2)20 (E)－220 (F)－(－2)20

4. 計算下列各式的值。 (1) (－1)2＋(－1)3_＋(－1)4_＋(－1)5 (2) 3×(－2)5－(－8)×5 (3) (－1)2×(－3)×(－5) (4) 72－[(－3)2 ×23－52 ] 5. 在下列各式的□中填入適當的數字，使等號成立。 (1) 28×23＝2□ (2) (－7)5÷(－7)3＝(－7) □ (3) [(－5)4]2＝(－5) □ (4) [(－3)×5]4＝(－3) □ ×5□ (5) 96＝3□ (6) 59＝125□ 6. 計算下列各式的值，並將結果用「乘方」表示。 (1) 105×10－3 (2) 2－4×2－6 (3) (3－2)4 (4) 5－3÷53 7. 有一棋盤遊戲步驟如下： 步驟 1.先抽 1 個號碼。 步驟 2.每向右前進 1 格，手上的號碼就會變成原來的平方。 步驟 3.每向下 1 格，就乘上(－1)。 步驟 4.只能沿著格線向右或向下移動，不能回頭。 例如：手上號碼為 5，路徑如圖(一)，則最後號碼變為－54。 請問君德抽到 2 號，他沿著圖(二)上的路線從 A 點走到 B 點，當他到達 B 點時，手上的號碼 變為多少呢？ B 5 2 4 4 5 範例： 圖(一) 圖(二) 5 5 A

國中數學學習講義(配合康軒數學 1) 1-4 指數律(第7頁) 格致數學科．黃俊誠老師製作 2015.07. 8. 求 910是(－3)16的多少倍？ 9. 比較下列各數的大小。(1)－212、－83 (2) (－2)10、(－2)11_、(－2)12 類題補充 1. 計算下列各式的值。(1)－2×(－3)3－6×(－5)2 (2) 53－[(－2)4_＋33_－72 ] 2. 若 25×44_×83_＝2n_{，則 n＝？} 3. 若 N 為正整數，且 10N＝102005_＋999×102005_{，則 N＝ 。} 4. 秦博士在實驗室裡進行 A、B 兩種細菌的培養，A 細菌 10 天會分裂一次，B 細菌則是 15 天會分裂一 次(分裂是指細菌由一隻變成兩隻)。若實驗室從今天開始培養細菌，且 101 天內細菌均不滅亡，如果 第一天實驗室中 A、B 兩種細菌各有兩萬隻，則 101 天後 A 細菌的數量是 B 細菌的幾倍？

5. 設 A＝3120、B＝490、C＝560，則 A、B、C 的大小關係為 。 6. 計算 1998 5 9995－ 634 214＋ 6153 1233＝ 。 7. (1) 若 725＝2m_×3n_{，則 m×n＝ 。} (2) 若( 27 16) 5_＝2 a_×3b_{，則 a＋b＝ 。} 8. 已知 21＝2，22_＝4，23_＝8，24_＝16，25_＝32，26_{＝64，…，則 2}829_{的個位數字為何？} 9. 試問：26×83_×253_{×125 的乘積末尾有多少個連續的 0？}

國中數學學習講義(配合康軒數學 1) 1-4 指數律(第9頁) 格致數學科．黃俊誠老師製作 2015.07. 加強練習 1. 下列運算結果何者正確？ (A) 2－5＝－25 (B) 2－5＝₂15 (C) 2－6＝－26 (D) 2－6＝ －1 26 。 2. 下列式子何者錯誤？ (A) (－2)3＞(－2)5_＞(－2)7 (B) 23＜24_＜25 (C) (－2)6＞(－2)4_＞(－2)2 (D) ( 1 2) 12_＞( 1 2) 11_＞( 1 2) 10 3. 已知 123＝1728，則 1203_{＝ 。} 4. 已知 224＝16△ ，則△＝ 。 5. 設 m、n 都是正整數，若(25×27)m＝3n_×58_{，則 m＋n＝ 。} 6. 計算下列各式之值。 (1) 750×3×(－4)×6×0×25＝ 。 (2) (2×3)5×2÷(34_{×3)＝ 。} (3) (－3)2×(－2)－[(－2)3_{－13]÷(－3)＝ 。} (4) 54÷[(－2)－16]2×(－3)＋(－42 )＝ 。 (5)∣(－2)3－3∣－[(－3)2×(－22)－4×(－3)]×(－2)＝ 。 7. 小熊牌隨身包溼紙巾，每一箱中有 6 盒，每一盒中有 6 袋，每一袋中有 6 包，歸仁國中家長會買了 二箱又一盒的溼紙巾，打算提供給九年級 513 位師生舉辦野炊活動使用，則這些溼紙巾是否足夠分 給九年級師生每人一包？多或不足幾包？ 8. 若已知 3x＝15，則下列各式何者錯誤？ (A) 3x＋1_{＝45 (B) 3}x－1_{＝5 (C) 3}x ×9＝3x＋2 (D) 3x×2＝30。 9. 已知 a＝215＋215，b＝92×54，c＝58，則 a、b、c 三數的大小關係為何？ 10. 計算(－35)×22÷(－6)5之值為何？ (A)－32 (B) 3－2 (C) －23 (D) 2－3。 11. 計算(－64)0＋4×10－2_＋(－1)100_＝？ 12. 計算(－1)1＋(－1)2_＋(－1)3_{＋…＋(－1)}25_＝？ 13. 將一張正方形紙張分成四張小正方形紙張，再將每一張小正方形紙張分成四個小正方形紙片，… 依此方法做下去，如下圖所示，則第 5 個步驟完成後，共有 張小正方形紙片。 步驟一 步驟二 步驟三 …… 14. 已知某種細菌每經 2 分鐘後，就會增加為原來的 3 倍，且假設細菌不會死，今有該種細菌 8 個，則 (1) 10 分鐘後的細菌數是多少個？ (2) 42 分鐘後的細菌數是 34 分鐘後細菌數的幾倍？ 15. 若 a＝211×35_×75_，b＝25_×39_×75_，c＝25_×35_×77_{，則 a、b、c 的大小關係為何？} 16. 計算下列各式的值： (1) (－3)3×4－(－2)4_×5＋(－290 ) (2) (－7)0－(－1)11_×(－2)2_＋(－7)5_÷73 (3) [－(－6)2＋4]÷8－(－4)3÷(－8)×2

Ans：1.(B)；2.(D)；3. 1728000；4. 6；5. 16；6.(1) 0，(2) 64，(3)－25，(4)－34，(5)－37； 7.否，不足 45 包；8.(D)；9. c＞a＞b；10.(D)；11. 2.04；12.－1；13. 1024；

14.(1) 1944 個，(2) 81 倍；15. b＞a＞c；16.(1)－189，(2)－44，(3)－20。 心得筆記