4-3-4機率與統計(I)-分析一維數據

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(1)第四冊 3-4 機率與統計(I)-分析一維數據【方法】 1. 統計資料的的類型： (1) 連續型(continuous)資料：由測量得到的資料。如身高、體重、容量、價格、重量、長度，一般為 a < x < b 之型式。 (2) 離散型(discrete)資料：由分類計數得到的資料。如性別、宗教信仰、教育程度、比賽名次、類別資料，一般與 x = 0,1,2,3,L 成一對一對應。 2. 以下(上)累積次數： (1) 以下累積次數：以較小數值至較大數值累積次數。 (2) 以上累積次數：以較大數值至較小數值累積次數。 3. 累積次數分配表： (1) 從小而大的組別，將次數分配表內各組的次數，從上而下順次累積起來，所得的結果記在對應的組內，就得以上累積次數分配表。 (2) 若將各組的次數由下而上累加起來，則所得的表稱為以下累積次數分配表。 4. 以下(上)累積次數分配曲線： (1) 以下累積次數分配折線圖：以較小數值至較大數值累積，並以(以下累積次數，各組上限)為坐標點繪圖，並將各點以及第一組下限點相連成折線圖。 (2) 以上累積次數分配折線圖：以較大數值至較小數值累積，並以(以上累積次數，各組下限)為坐標點繪圖，並將各點以及最後一組上限點相連成折線圖。 5. 離散型資料之次數分配表： (1) 資料分類。 (2) 歸類畫記。 (3) 統計次數(frequency)。 6. 連續型資料之次數分配表： (1) 資料排序(sort)。 (2) 決定組數： 7～15 組。 (3) 決定組距： H −L (通常取整數)。組距=(最大資料-最小資料)/組數 = k (4) 決定組界：規定含下界，不含上界。 (5) 歸類畫記：計算各組次數。 7. 基本假設：原始資料分組歸類後，假設為均勻分佈於組距上或集中於組中點處較為合理，如此的平均值即為組中點，故取組中點代表之。通常最大組或最小組之次數為零時則去掉不計，中間組之次數為零時則不去掉。. 第四冊第三章. 機率與統計(I) — P7.

(2) 8.. 離散型資料圖： (1) 長條圖：用分離的長條，以(類別資料，次數)為坐標點繪圖，以長條的長短來表示分類資料中各類次數的分配情形。優點：便於比較各類別的大小。 (2) 圓形圖(派圖)：以圓區域內的扇形區域的大小，來表示資料所占比例的圖形，扇型面積與百分比成正比。優點：可以表現一個整體的分配概念。 9. 連續型資料圖： (1) 直方圖：以(分組資料，次數)為坐標點繪圖，以連接的長方形面積來表示數值資料中，各組數值之次數分配的情形。 (2) 折線圖：在直方圖上，將各長方形頂邊的中點(即橫坐標為組中值，縱坐標為該組次數)用線段連接起來，就可做成一折線圖，這個折線圖稱為次數分配折線圖。【問題】 1. 為何以各組上界為橫坐標，而不以各組組中點為橫坐標？ 2. 以下累積次數折線圖為增函數？斜率越小表示數增加越少？【名詞】 1. 統計量中形容集中程度的有： (1) 算數平均數(Mean)。 (2) 加權平均數(Weight)。 (3) 去頭尾平均數。 (4) 幾何平均數(G.M.)(geometry mean)。 (5) 中位數(Me)(median)。 (6) 眾數(Mo)(mode)。 2. 統計量中形容分散程度的有： (1) 全距(R)(range)。 (2) 四分位差(Q.D.)(quartile deviation)。 (3) 平均絕對離差(M.A.D.)(mean absolute deviation)。 (4) 變異數(Variance)。 (5) 標準差(S)(standard deviation)。 3. 比較兩筆資料的分散程度：變異係數(C.V.)(coefficient of variance)。 4. 比較兩筆資料的相關程度：相關係數(R)(relation coefficient)。註： 1. 統計量有很多種，適用於各種不同類型的資料，並不是一種統計量就可以解釋所有的各種資料，而要針對不同的資料選取不同的統計量來用。 2. 數據的集中趨勢：常用的有算數平均數、中位數、眾數，它是表達數據的集中位置。 3. 數據的離散趨勢：常用的有全距、四分位差、樣本標準差，它是表達數據之差異。. 第四冊第三章. 機率與統計(I) — P8.

(3) 【定義】 1. 平均數： (1) 未分組資料：設 n 筆資料為 x1 , x 2 ,L , x n ，則其算數平均數定義為 n x + x2 + L + xn x X = 1 =∑ i 。 n i =1 n (2) 已分組資料： k fx 算數平均數定義為 X = ∑ i i ，其中 x1 , x 2 ,L , x n 為各組組中值， n i =1 f1 , f 2 ,L, f n 為各組次數。 2. 優點： (1) 簡單易算，適於代數處理。 (2) 表質量重心。 3. 缺點： (1) 易受極端值影響。 (2) 資料要有相等重要性。 (3) 看不出資料實際內涵。 4. 性質： (1) 設兩變數 X 與 Y 的關係為 Y = aX + b ，其中 a, b 為兩定數，則兩變數的算術平均數 x 與 y 的關係為 y = a x + b 。 n. (2). ∑ (x i =1. i. − X ) = 0。. (3) yi = axi + b ⇒ Y = a X + b 。 (4) 已分組資料用組中點代表。【問題】 1. 至少一半或一半以上資料 ≥ X ？ 2. 至少一半或一半以上資料 > X ？ 3. 至少一半資料 ≥ X ？ 4. 至少一筆資料 ≥ X ？ 5. 分組資料為何以各組組中點代表？是否會有誤差？. 第四冊第三章. 機率與統計(I) — P9.

(4) 【定義】 1. 中位數： (1) 未分組資料：設 n 筆資料由小到大排序後為 x (1) , x ( 2 ) ,L , x ( n ) ，則排序最中間的數(或中間兩數的平均)，稱中位數。分 n 奇數與偶數討論如下： (a) 若 n 為奇數，則 Me = x n +1 。 2. xn + xn (b) 若 n 為偶數，則 Me =. 2. 2. 2. (2) 已分組資料：設資料分組後如下: 組別次數 L1 ~ U1 f1 L2 ~ U 2 f2 M M Li ~ U i fi M Lk ~ U k. +1. 。. 累積次數 S1 = f1 S 2 = f1 + f 2 M S i = f1 + f 2 + L + f i. M S k = f1 + f 2 + L + f k n 設某一組滿足 S i −1 = f1 + f 2 + L + f i −1 < 2 n 及 S i = f1 + f 2 + L + f i −1 + f i ≥ ， 2 則 Me 落於此組中，又已假設各組內之資料均勻分布於各組內， Me − Li 故 = U i − Li. M fk. n − Si −1 2. fi. 亦可得 Me = U i − 2. 3.. ，得 Me = Li + Si −. fi. n 2. n − Si −1 2. fi. (U i − Li ) ，. (U i − Li ) 。. 優點：不受極端值影響，較不敏感。注意： (1) 未分組資料找中間的資料。. n (2) 已分組資料(設資料平均分布)，用相似三角形概念以位置求之。 2 【問題】 1. 至少一半或一半以上資料 ≥ Me ？ 2. 至少一半或一半以上資料 ≤ Me ？ 3. 至少有一個資料 ≥ Me ？. 4.. n. n. i =1. i =1. 證明： ∑ ( xi − Me) 2 ≤ ∑ ( xi − p ) 2 ， p 為任意實數。. 第四冊第三章. 機率與統計(I) — P10.

(5) 【定義】 1. 眾數： (1) 未分組資料：資料中出現次數最多的數。 (2) 已分組資料：分組中次數最多那一組的組中點。 2. 意義：表多數決之意。 3. 注意： (1) 資料越對稱，眾數越靠近平均數與中位數。 (2) 分組資料以次數最多的那組的組中點當眾數。 (3) 若出現次數最多，不只一次，規定以最小者為眾數。【問題】 1. 眾數必大於平均數？ 2. 眾數必大於中位數？【問題】 1. 若全班每人成績加 3 分，則何種統計量增加 3 分？ 2. 若全班每人成績乘 3 倍，則何種統計量變 3 倍？ 3. 當資料對稱、左偏與右偏時，試分別討論平均數、中位數與眾數的大小關係？ (右偏：平均數<中位數<眾數，左偏：眾數<中位數<平均數) 【定義】 1. 全距： (1) 未分組資料：最大值與最小值之間的差距，即 R = Max xi − Min xi 。 (2) 已分組資料： R = (最大組上限)-(最小組下限)。 2. 優點： (1) 只由兩個資料決定。 (2) 易於瞭解、計算簡單。 3. 缺點： (1) 感應不靈敏、受樣本數的影響很大。 (2) 忽視了中間數值變動情形。. 第四冊第三章. 機率與統計(I) — P11.

(6) 【定義】 1. 第一四分位數( Q1 )：所有小於中位數資料的中位數。 2. 第二四分位數( Me )：也就是中位數。 3. 第三四分位數( Q3 )：所有大於中位數資料的中位數。 4. 四分位距：(第三四分位數)減去(第一四分位數)，即 Q.D. = Q3 − Q1 。 (1) 未分組資料： n = 2m + 1 或 n = 2 m ⎪⎧Q1 = x( k +1) (1) m = 2k + 1 ⇒ ⎨ 。 ⎪⎩Q3 = x( n − k ) x( k ) + x( k +1) ⎧ Q = ⎪⎪ 1 2 (2) m = 2k ⇒ ⎨ 。 ⎪Q = x( n − k ) + x( n − k +1) ⎪⎩ 3 2 (2) 已分組資料： n 2n 3n 用 , , 位置求 Q1 , Q2 , Q3 。 4 4 4 Q1 求法：設資料分組後如下: 組別次數累積次數 L1 ~ U1 f1 S1 = f1 L2 ~ U 2 f2 S 2 = f1 + f 2 M M M Li ~ U i fi S i = f1 + f 2 + L + f i M Lk ~ U k. M S k = f1 + f 2 + L + f k n 設某一組滿足 S i −1 = f1 + f 2 + L + f i −1 < 4 n 及 S i = f1 + f 2 + L + f i −1 + f i ≥ 4 則 Q1 落於此組中，又已假設各組內之資料均勻分布於各組內，. Q − Li = 故 1 U i − Li 得 Q1 = Li +. M fk. n − Si −1 4. fi n − Si −1 4. fi. 亦可得 Q1 = U i −. ，. (U i − Li ) ， Si −. fi. n 4. (U i − Li ) 。. 第四冊第三章. 機率與統計(I) — P12.

(7) Q3 求法：設資料分組後如下: 組別次數 L1 ~ U1 f1 L2 ~ U 2 f2 M M Li ~ U i fi M Lk ~ U k. 累積次數 S1 = f1 S 2 = f1 + f 2 M S i = f1 + f 2 + L + f i. M S k = f1 + f 2 + L + f k 3n 設某一組滿足 S i −1 = f1 + f 2 + L + f i −1 < 4 3n 及 S i = f1 + f 2 + L + f i −1 + f i ≥ ， 4 則 Q3 落於此組中，又已假設各組內之資料均勻分布於各組內，. Q − Li = 故 3 U i − Li. M fk. 3n − Si −1 4. fi. 亦可得 Q3 = U i − 5.. ，得 Q3 = Li + Si −. 3n 4. fi. 3n − Si −1 4. fi. (U i − Li ) ，. (U i − Li ) 。. 意義：四分位差表示將資料排序後，位於中間百分之五十數值分布的範圍大小，可以粗略的顯示資料的離散程度，不像全距會受到極端值影響。對於大於 Q3 的. 百分之二十五的資料、小於 Q1 的百分之二十五的資料及介於 Q1 ,Q3 之間的百分之五十資料的散佈情形則沒有訊息。 6. 優點： (1) 簡單明瞭，易於瞭解，而且計算容易。 (2) 受隨機抽樣不確定性的影響較小，不受極端值影響。 7. 缺點： (1) 感應不靈敏。 (2) Q1 , Q2 , Q3 都至多使用兩個資料決定。 (3) Q.D. 至多使用 4 個資料決定。 (4) 只觀察中央 50%資料分散的情形。【問題】 1. 求資料 3,5,6,6,9,11,12,14,16,17,21 之 Q1 , Q2 , Q3 , Q.D. 。 (解： Q1 = 6, Q2 = 11, Q3 = 16, Q.D. = 10 。) 2. 求料 3,5,6,6,9,11,12,14,16,17 之 Q1 , Q2 , Q3 , Q.D. 。 (解： Q1 = 6, Q2 = 10, Q3 = 14, Q.D. = 8 。). 第四冊第三章. 機率與統計(I) — P13.

(8) 【定義】 1. 母體平均數：設樣本有 n 個資料 x1 , x 2 ,L , x n ，則 µ = 2.. 1 n ∑ xi = E ( X ) 稱為母體平均數。 N i =1. 母體變異數：設樣本有 n 個資料 x1 , x 2 ,L , x n ，則 σ 2 =. 3.. 1 n 2 ∑ ( xi − µ ) 稱為母體變異數。 N i =1. 母體標準差：. 1 n 2 ∑ ( xi − µ ) 稱為母體標準差。 N i =1 註：如此定義是為了要知道 µ = E ( X ) 的代表性。 4. 優點： (1) 以算術平均數為中心的標準差，較任何其它平均數為中心的標準差小。 (2) 標準差的特性與算術平均數相同。 (3) 標準差易於做代數運算。【討論】 1. 從母體中抽樣後，如何估計母體平均數及母體變異數？ 1 n (1)母體平均數 µ 已知：用 ∑ ( xi − µ ) 2 估計 σ 2 。 n i =1 1 n 1 n 2 2 (2)母體平均數 µ 未知：用 X = ∑ xi 估計 µ ，再用 ∑ ( xi − X ) 估計 σ 。 n i =1 n − 1 i =1 原因一(直觀原因)：設樣本有 n 個資料 x1 , x 2 ,L, x n ，則 σ =. n. n. i =1 n. i =1 n. 因 ∑ ( xi − µ ) 2 = ∑ ( xi − X + X − µ ) 2 n. = ∑ ( xi − X ) 2 + 2∑ ( xi − X )( X − µ ) + ∑ ( X − µ ) 2 i =1 n. i =1. i =1. = ∑ ( xi − X ) 2 + 0 + n( X − µ ) 2 i =1. 1⎛ n 1 n 1 n 2 2⎞ 2 2 2 ∑ ( xi − µ ) = ⎜ ∑ ( xi − X ) + n( X − µ ) ⎟ = ∑ ( xi − X ) + ( X − µ ) ⎠ n i =1 n ⎝ i =1 n i =1 說明： 1 n 理論上應該用 ∑ ( xi − µ ) 2 來計算變異數，但實務上來說，通常 µ 是未知數， n i =1 n 1 n 1 故用 X = ∑ xi 來估計 µ 並代入變異數公式得 ∑ ( xi − X ) 2 ， n i =1 n i =1 1 n 1 n 由上等式結果可知 ∑ ( xi − X ) 2 比理論上的變異數 ∑ ( xi − µ ) 2 較小， n i =1 n i =1 1 n 1 n 即 ∑ ( xi − µ ) 2 ≥ ∑ ( xi − X ) 2 ， n i =1 n i =1 n 1 1 n 2 所以適當修正 ∑ ( xi − X ) 2 為 ∑ ( xi − X ) 以調大數值。 n i =1 n − 1 i =1 1 n 2 2 ∴用 ∑ ( xi − X ) 估計 σ 。 n − 1 i =1 ⇒. 第四冊第三章. 機率與統計(I) — P14.

(9) 原因二(理論原因)： ⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ E ⎜⎜ ∑ ( xi − µ ) 2 ⎟⎟ = E ⎜⎜ ∑ ( xi − X ) 2 ⎟⎟ + nE ( X − µ ) 2 ， ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠ n ⎛ ⎞ 則 nS 2 = E ⎜⎜ ∑ ( xi − X ) 2 ⎟⎟ + nE ( X − µ ) 2 ， ⎝ i =1 ⎠ 其中 ⎛ n x −µ 2⎞ 1 ⎛ n ⎞ ) ⎟⎟ = 2 E ⎜⎜ ∑ ( xi − µ ) 2 ⎟⎟ E ( X − µ ) 2 = E ⎜⎜ ∑ ( i n ⎠ ⎝ i =1 ⎠ n ⎝ i =1. (. (. (. 1 = 2 n. ). ). ). ⎛ n ⎞ 1 E ⎜⎜ ∑ ( xi − µ ) 2 ⎟⎟ = S 2 。 ⎝ i =1 ⎠ n. 第四冊第三章. 機率與統計(I) — P15.

(10) 【定義】 1. 樣本平均數： 1 n ∑ xi 稱為樣本平均數。 n i =1. 設樣本有 n 個數據 x1 , x 2 ,L , x n ，則 X = 2.. 樣本變異數：設樣本有 n 個數據 x1 , x 2 ,L , x n ，則 S 2 =. 3.. 1 n 2 ∑ ( xi − X ) 稱為樣本變異數。 n − 1 i =1. 樣本標準差：. 1 n 2 ∑ ( xi − X ) 稱為樣本標準差。 n − 1 i =1. 設樣本有 n 個數據 x1 , x 2 ,L , x n ，則 S =. 註： (1) 當變異數小時， X 對資料更具代表性。 (2) 將樣本變異數適當放大，才能更適當推測全體數值的變異數。 (3) 將變異數開根號後，如此單位才會一致，在意義上的解釋也才有實際意義。【性質】 1. 離差平方和： n. n. n. n. n. S XX = ∑ ( xi − X ) 2 = ∑ xi 2 − 2∑ xi X + ∑ X = ∑ xi 2 − 2n X + n X i =1. SX = 3. 4.. i =1. i =1. i =1. 2. 2 1 2 2 = ∑ xi − n X = ∑ xi − ⎛⎜ ∑ xi ⎞⎟ 。 i =1 n ⎝ i =1 ⎠ i =1 樣本標準差： n. 2.. i =1. 2. n. n. 1 n 2 ∑ ( xi − X ) = n − 1 i =1. 1 ⎛ n 2 1 ⎛ n ⎞2 ⎞ ⎜ ∑ xi − ⎜ ∑ xi ⎟ ⎟⎟ 。 n − 1 ⎜⎝ i =1 n ⎝ i =1 ⎠ ⎠. 當未說明是母體或樣本資料時，皆視為樣本資料。伸縮平移：設 yi = axi + b ⇒ Y = a X + b 且 S Y =| a | S X 。證明：. SY =. 1 n 2 ∑ ( yi − Y ) = n − 1 i =1. 1 ⎛n 2⎞ ⎜ ∑ ((axi + b) − (a X + b)) ⎟ ⎠ n − 1 ⎝ i =1. 1 n 1 n 2 2 ∑ (a( xi − X )) =| a | ∑ ( xi − X ) =| a | S X 。 n − 1 i =1 n − 1 i =1 【問題】 1. 平移：若 yi = xi + b 時，則各種統計量如何變化？ 2. 伸縮：若 y i = axi 時，則各種統計量如何變化？ 3. 伸縮平移：若 y i = axi + b 時，則各種統計量如何變化？ =. 第四冊第三章. 機率與統計(I) — P16. 2. 2.

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