数据结构（C++版）（第二版）习题解答及实训指导 - 万水书苑-出版资源网

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(1)第 5 章多维数组和广义表. 5.1. 基本概念及运算. 5.1.1 多维数组的概念及存储多维数组是向量（一维数组）的推广，例如，二维数组 Amn 可以看成是 m 个行向量组成的向量，也可以看成是 n 个列向量组成的向量。因此，二维数组中的元素最多有两个直接前驱，最多有两个直接后继。这种规则可以推广到三维和三维以上的数组（多维数组）。由上可知，多维数组是一种典型的非线性结构。多维数组在计算机中有两种存储形式：行优先存放、列优先存放。行优先存放的规则是：最左边的下标变化最慢，最右边的下标变化最快，右边的下标从小到大变化一遍，与之相邻的左边下标才变化一次。C/C++语言中按此方式存储。列优先存放的规则是：最右边的下标变化最慢，最左边的下标变化最快，左边的下标从小到大变化一遍，与之相邻的右边下标才变化一次。FORTRAN 语言中按此方式存储。 5.1.2 特殊矩阵及压缩存储所谓特殊矩阵，是指矩阵中的元素分布呈现某种规律，或者一批元素的值完全相同。为了能节约内存空间，可以使特殊矩阵中多个元素共用一个内存单元，即可以将特殊矩阵压缩存储到一个存储空间比矩阵小的一维数组中，称这种存储为压缩存储。常用的特殊矩阵有对称矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵、对角矩阵等。 5.1.3 稀疏矩阵及压缩存储若矩阵的阶数很大，非零元的个数很少，非零元的分布无任何规律，称这样的矩阵为稀疏矩阵。为了节约内存空间，稀疏矩阵中的零元无需存储，只需存储矩阵中的非零元，称为稀疏矩阵的压缩存储。但稀疏矩阵中的非零元分布无任何规律，故在存储元素值时，还需要存储对应的位置（包含行号、列号）。常用的稀疏矩阵的压缩存储有三元组表法、带行指针的辅助链表法、十字链表法等。 5.1.4 广义表的存储及运算广义表可以看成是线性表的推广，与线性表不同的是表中的元素可以是原子，也可以是子表，即广义表中的元素可以是原子、子表的混合，而线性表中的元素只能是原子。因此，广义表是线性表的推广。线性表是一种线性结构，广义表是一种非线性结构，常用的广义表的存储方法有：单链表表示法、双链表表示法。广义表的运算有：建立广义表、取表头、取表尾、求广义表的深度、输出广义表等。.

(2) 第一部分习题与解答. 5.2. 69. 习题及解答. 5.2.1 配套教材中的习题 5-1．按行优先存储方式，写出三维数组 A[3][2][4]在内存中的排列顺序及地址计算公式（假设每个数组元素占用 L 个字节的内存单元，a[0][0][0]的内存地址为 Loc(a[0][0][0])）。解：A[3][2][4]按行优先的排列顺序为：A[0][0][0]、A[0][0][1]、A[0][0][2]、A[0][0][3]、 A[0][1][0]、A[0][1][1]、A[0][1][2]、A[0][1][3]、A[1][0][0]、A[1][0][1]、A[1][0][2]、A[1][0][3]、 A[1][1][0]、A[1][1][1]、A[1][1][2]、A[1][1][3]、A[2][0][0]、A[2][0][1]、A[2][0][2]、A[2][0][3]、 A[2][1][0]、A[2][1][1]、A[2][1][2]、A[2][1][3]。 A[i][j][k]的地址计算公式为： Loc(a[i][j][k])=Loc(a[0][0][0]+(i24+j4+k) L 5-2．按列优先存储方式，写出三维数组 A[3][2][4]在内存中的排列顺序及地址计算公式（假设每个数组元素占用 L 个字节的内存单元，a[0][0][0]的内存地址为 Loc(a[0][0][0])）。解：A[3][2][4]按列优先的排列顺序为：A[0][0][0]、A[1][0][0]、A[2][0][0]、A[0][1][0]、 A[1][1][0]、A[2][1][0]、A[0][0][1]、A[1][0][1]、A[2][0][1]、A[0][1][1]、A[1][1][1]、A[2][1][1]、 A[0][0][2]、A[1][0][2]、A[2][0][2]、A[0][1][2]、A[1][1][2]、A[2][1][2]、A[0][0][3]、A[1][0][3]、 A[2][0][3]、A[0][1][3]、A[1][1][3]、A[2][1][3]。 A[i][j][k]的地址计算公式为： Loc(a[i][j][k])=Loc(a[0][0][0]+(k32+j3+i) L 5-3．设有上三角矩阵 Ann，它的下三角部分全为 0，将其上三角元素按行优先存入数组 B[m]中（m 足够大），使得 B[k]=a[i][j]，且有 k=f1(i)+f2(j)+c。试推出函数 f1、f2 及常数 c（要求 f1 和 f2 中不含常数项）。解：将上三角矩阵 Ann 按行优先存放到一维数组 B[m]中，使得 B[k]=a[i][j]，这时 k 与 i、 j 的对应关系为： 1 1 1 - i2+ (n- )i+j （i≤j） 2 2 2 k= n ( n  1) （i>j） 2 1 1 因此，当 i≤j 时，f1(i)= - i2+(n- )i，f2(j)=j，c=0； 2 2 n(n  1) 当 i>j 时，f1(i)=0，f2(j)=0，c= 。 2 5-4．若矩阵 Amn 中的某个元素 A[i][j]是第 i 行中的最小值，同时又是第 j 列中的最大值，则称此元素为该矩阵中的一个马鞍点。假设以二维数组存储矩阵 Amn，试编写求出矩阵中所有马鞍点的算法，并分析你的算法在最坏情况下的时间复杂度。解：算法描述如下： void chap5_4(int a[m][n]) { int i,j,k,flag1,flag2,min,col; flag2=0;.

(3) 数据结构（C++版）（第二版）习题解答及实训指导. 70. for(i =0; i <m; i ++) { min=a[i][0]; for(j=0;j<n;j++) if(a[i][j]<min) {min=a[i][j]; col=j;} for(k=0,flag1=1;k<m&&flag1;k++) if(min<a[k][col]). flag1=0;. if(flag1) { cout<< i<<"行"<<col<< "列是马鞍点，值为"<<min; "flag2=1; } } if(!flag2) cout<< "矩阵中无马鞍点"<<endl; }. 该算法在最坏情形下的时间复杂度为 O(nm)。 5-5．试写一个算法，查找十字链表中某一非零元素 x。解：算法描述如下： linknode *find(linknode *hm,elemtype x) { linknode *p,*q; p=hm->k.next; while(p->k.next!=hm) { q=p->rptr; while(q!=p) if(q->k.v==x) return q; else q=q->rptr; p=p->k.next; } return NULL; //找不到 }. 5-6．给定矩阵 A 如图 5-1 所示，写出它的三元组表和十字链表。解：A 的三元组表如图 5-2 所示。. 1 0  0  0 0. 图 5-1. 0 0 0 0 0 2 3 0  4 0 0 5  0 0 0 0 0 0 0 6 . 一个矩阵 A. A 的十字链表如图 5-3 所示。. i 0 1 1 2 2 4. 图 5-2. j 0 2 3 1 4 4. v 1 2 3 4 5 6. 矩阵 A 的三元组表.

(4) 第一部分习题与解答. hm. 5 5. 0 0. 0 0. 0 0 1. 0 0. 71. 0 0. 0 0. 1 2 2. 1 3 3. 0 0. 0 0. 2 1 4. 0 0. 2 4 5. 0 0. 0 0. 4 4 6. 图 5-3. 矩阵 A 的十字链表. 5-7．对上题的矩阵，画出它的带行指针的链表，并给出算法来建立它。解：带行指针的链表如图 5-4 所示。行指针 0. 0. 0. 1. 1. 1. 2. 2. 2. 1. 4. . 4. 4. 6. . 2 3. 1. 3. 3. . 0. 0. 1. . . 4 图 5-4. 矩阵 A 的带行指针的链表表示. 算法描述如下： struct linknode { int i,j; elemtype v ; linknode *next; }; struct node { linknode *link; }a[6];. . //行列号 //非零元的值.

(5) 数据结构（C++版）（第二版）习题解答及实训指导. 72. void create(int n) { int i,j,k; for(j=1;j<=n;j++) a[j].next=NULL; for(k=1;k<=t;k++) //t 为三元组中非零元个数 { cin>>i>>j>>v; //输入一个三元组 s=new linknode; s->i =i ; s->j=j ; s->v=v; s->next=a[i].next; a[i].next=s; } }. 5-8．试编写一个以三元组形式输出、用十字链表表示的稀疏矩阵中非零元素及其下标的算法。解：算法描述如下： void output(linknode *hm) { linknode *p,*q; p=hm->k.next; while(p->k.next!=hm) { q=p->rptr; while(q!=p) { cout<<q->i<<" "<<q->j<< " "<<q->v<<endl; q=q->rptr; } p=p->k.next; } }. 5-9．给定一个稀疏矩阵，如图 5-5 所示。 11 0 0 23 0 0 0 0 1 6 0 0 0 0. 0 0 5 0 0 4 0. 0 0 9 0 0 7 0 0 8 0 0 2 0 0 0 0 33 88 0 0 0 0 0 0 0 0 0 99. 65. 78. 0. 0. 图 5-5. 0. 86. 0. 一个稀疏矩阵. 用快速转置实现该稀疏矩阵的转置，写出转置前后的三元组表及开始的每一列第一个非零元的位置 pot[col]的值。解：转置前后的三元组表分别如下：.

(6) 第一部分习题与解答. 转置前. 转置后. i j v i j v 0 0 11 0 0 11 0 5 -9 0 4 1 1 1 23 0 7 65 1 4 7 1 1 23 2 2 5 1 4 6 2 3 8 2 2 5 2 6 2 2 5 4 4 0 1 2 7 78 4 1 6 3 2 8 4 3 33 3 4 33 4 4 88 4 1 7 5 2 4 4 4 88 6 6 99 5 0 -9 7 0 65 5 7 86 7 2 78 6 2 2 7 5 86 6 6 99 转置开始时的每一列第一个非零元的位置 pot[col]为： pot[0]=0; pot[1]=3; pot[2]=5; pot[3]=8; pot[4]=10; pot[5]=12; pot[6]=14; pot[7]=16 5-10．广义表是线性结构还是非线性结构？为什么？解：广义表是非线性结构，因为表中的元素可以是子表。 5-11．求下列广义表的运算结果：（1）HEAD((p,h,w)) （2）TAIL ((b,k,p,h)) （3）HEAD(((a,b),(c,d))) （4）TAIL (((b),(c,d))) （5）HEAD (TAIL(((a,b),(c,d)))) （6）TAIL (HEAD (((a,b),(c,d)))) （7）HEAD (TAIL (HEAD(( (a,d),(c,d) ) ) ) ) （8）TAIL (HEAD (TAIL (((a,b),(c,d) ) ) ) ) 解：（1）HEAD((p,h,w))=p （2）TAIL ((b,k,p,h))=(k,p,h) （3）HEAD(((a,b),(c,d)))=(a,b). 73.

(7) 数据结构（C++版）（第二版）习题解答及实训指导. 74. （4）TAIL (((b),(c,d)))=((c,d)) （5）HEAD (TAIL(((a,b),(c,d))))=(c,d) （6）TAIL (HEAD (((a,b),(c,d))))=(b) （7）HEAD (TAIL (HEAD(( (a,d),(c,d) ) ) ) )=b （8）TAIL (HEAD (TAIL (((a,b),(c,d) ) ) ) )=(d) 5-12．画出下列广义表的图形表示：（1）A(b,(A,a,C(A)),C(A)) （2）D(A( ),B(e),C(a,L(b,c,d) ) ) 解：（1）的广义表的图形表示如图 5-6 所示。 A. b. B. a 图 5-6. C （1）的广义表的图形表示. （2）的广义表的图形表示如图 5-7 所示。 D A. B. e. a. C. L b. 图 5-7. c. d. （2）的广义表的图形表示. 5-13．画出第 12 题的广义表的单链表表示法和双链表表示法。解：（1）的广义表的单链表表示法如图 5-8 所示。 C hc 1. 0. b. 0. 0. 图 5-8. . 1. a. （1）的广义表的单链表表示法. （2）的广义表的单链表表示法如图 5-9 所示。. 0. .

(8) 第一部分习题与解答 A hc. 0. B. . 75. C. 0. 0.  L. 1. e. 1. . a. 0. 1. 图 5-9. . b. 1. c. 1. d. . （2）的广义表的单链表表示法. （1）的广义表的双链表表示法如图 5-10 所示。. hc. . b. A. 图 5-10. . A. . C. . a. C. . A. . （1）的广义表的双链表表示法. （2）的广义表的双链表表示法如图 5-11 所示。 hc. . A. B. . e. C. . . . L. a. . . b. 图 5-11 （2）的广义表的双链表表示法. 5-14．假设一个准对角矩阵. . c. . d. .

(9) 数据结构（C++版）（第二版）习题解答及实训指导. 76.  a11 a12 a  21 a 22           . a 33. a 34. a 43. a 44 … a ij … a 2m 1,2m 1 a 2m,2m 1.            a 2m 1,2m   a 2m,2m . 按 a11,a12,a21,a22,a33,a34,a43,a44,…,a2m-1,2m-1,a2m-1,2m,a2m,2m-1,a2m,2m 的顺序存放到一维数组 B[4m]中，试写出二维数组的下标(i,j)与一维数组下标 k 的对应公式。解：当 i 为奇数时，k=i+j-1；当 i 为偶数时，k=i+j。合并成一个公式，可以有 4 种形式的写法： k=i+j-i%j 或 k=2*(i/2)+j 或 k=i+j+((-1)i-1)/2 或 k=2*i-1+(1+(-1)j)/2 5.2.2 综合题 5-1．设数组 R[n]的 n（n>1）个元素中有多个零元素，试设计一个算法，将 R 中所有非零元素依次移动到 R 数组的前端。解：算法描述如下： int move( elemtype R[n]) { int k , j; k=-1; for(j=0;j<n;j++) if(R[j]!=0) { k++; R[k]=R[j]; if(k!=j) R[j]=0; } return 1; }. 5-2．已知 R[n+1]为整型数组，R[0]元素不用，试设计实现下列运算的递归算法：（1）求数组 R 中的最大整数。（2）求 n 个整数之和。（3）求 n 个整数的平均值。解：算法描述如下：（1）求数组 R 中的最大整数的递归算法： int {. maxdata( int r[ ] , int n).

(10) 第一部分习题与解答. 77. if(n==1) return r[1]; else if(r[n]>maxdata(r , n-1 )) return r[n]; else return maxdata(r , n-1 ) ; }. （2）求 n 个整数之和的递归算法： int count( int r[ ] , int n) { if(n<0) return 0; else return count(r,n-1)+r[n] ; }. （3）求 n 个整数的平均值的递归算法： float average(int r[ ] , int n) { if(n==1) return r[1]; else return 1.0*r[n]/n+(1-1.0/n)*average(r , n-1) ; }. 5-3．试设计构造一个 n（n>1，n 为奇数）阶魔方阵的算法，所谓魔方阵是这样的一个方阵，它的每一行、每一列和对角线元素之和都相等，例如， 8 1 6 三阶魔方阵如图 5-12 所示。 3 5 7 解：算法描述如下： 4 9 2 void mf( int r[16][16] , int n) {. 图 5-12 int j,k,p,m,n; for(k=1;k<=n;k++) for(j=1;j<=n;j++) r[k][j]=0; j=n/2+1; r[1][j]=1; p=1; for(k=2;k<=n*n;k++) { p--; j++; if((p<1)&&(j>n)) { p+=2;j--; } else { if(p<1) p=n; if(j>n) j=1; } if(r[p][j]==0) r[p][j]=k; else { p+=2; j--; r[p][j]=k; }. }. 一个三阶魔方阵.

(11) 78. 数据结构（C++版）（第二版）习题解答及实训指导 for(p=1;p<=n;p++) { for(j=1;j<=n;j++) cout<<r[p][j]<< " "; cout<<endl; } }. 5-4．试设计算法将数组 a[n]中的所有奇数移到所有偶数之前。要求不另外增加存储空间，且时间复杂度为 O(n)。解：算法描述如下： void oddbefore( int a[ ] , int n) { int c,k,j; k=0;j=n-1; while(k<j) { while((a[k]%2==1)&&(k<j)) k++; while((a[k]%2==0)&&(k<j)) j--; if(k<j) { c=a[k]; a[k]=a[j]; a[j]=c; k++; j--; } } }. 5-5．设有三对角矩阵 A，用一维数组 B 存放 A 中的对角线上的元素 aij（按行优先存放）。试设计由 A 确定 B 中元素的算法。解：算法描述如下： void exstorge( int a[n][n ], int n) { int b[3*n]; int p,j,k; for(p=0;p<n;p++) for(j=0;j<n;j++) if(a[p][j]!=0) { k=2*p+j-2; b[k]=a[p][j]; } }. 5-6．稀疏矩阵只存放其非零元素的行号、列号和数值，以一维数组顺序存放之（按行优先存放），行号为-1 作为结束，试写出两个稀疏矩阵相加的算法。 0 3 0 5 2 0 0 4 解：设有一个稀疏矩阵如图 5-13 所示。    0 2 0 0  显然，要将上述矩阵用一维数组存放，应存放非零元的行号、列号和值（共 16 个存储单元），存放形式为：0，1，3，0，3，5，图 5-13 一个稀疏矩阵.

(12) 第一部分习题与解答. 1，0，2，1，3，4，2，1，2，-1。算法描述如下： void addmatrix( int a[ ], int b[ ], int c[ ] ) { int p,j,k,sum; p=j=k=0; while((a[p]!=-1)&&(b[j]!=-1)) if(a[p]==b[j]) { if(a[p+1]==b[j+1]) { sum=a[p+2]+b[j+2]; if(sum!=0) { c[k]=a[p]; c[k+1]=a[p+1]; c[k+2]=sum; k+=3; } p+=3; j+=3; } else if(a[p+1]<b[j+1]) { c[k]=a[p]; c[k+1]=a[p+1]; c[k+2]=a[p+2]; k+=3; p+=3; } else { c[k]=b[j]; c[k+1]=b[j+1]; c[k+2]=b[j+2]; k+=3; j+=3; } } else if(a[p]<b[j]) { c[k]=a[p]; c[k+1]=a[p+1]; c[k+2]=a[p+2]; k+=3; p+=3; } else { c[k]=b[j]; c[k+1]=b[j+1]; c[k+2]=b[j+2];. 79.

(13) 数据结构（C++版）（第二版）习题解答及实训指导. 80. k+=3; j+=3; } if((a[p]==-1)&&(b[j]!=-1)) { c[k]=b[j]; c[k+1]=b[j+1]; c[k+2]=b[j+2]; k+=3; j+=3; } if((a[p]!=-1)&&(b[j]==-1)) { c[k]=a[p]; c[k+1]=a[p+1]; c[k+2]=a[p+2]; k+=3; p+=3; } c[k]=-1; }. 5-7．设有两个多项式 f(x)=fnxn+fn-1xn-1+…+f1x+f0 和 g(x)=gmxm+gm-1xm-1+…+g1x+g0，若采用数组来存储多项式的系数，即用数组的第 k 个元素存储多项式的 k 次幂项系数，例如 f(x)=7x6-9x2+5x+3，则用数组存储可表示为如图 5-14 所示的形式。 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. …. …. 3. 5. -9. 0. 0. 0. 7. …. …. 图 5-14. 一元多项式的存储表示. 试写出两个多项式相乘的算法。解：算法描述如下： struct multipoly { int power; float coef[m]; }; void multi(multipoly f , multipoly g , { int k,j,low,n,high; float temp; n=f.power+g.power; for(k=0;k<=n;k++) { if(k>=f.power) low=k-f.power; else low=0; if(k>=g.power) high=g.power; else high=k; temp=0; for(j=low;j<=high;j++). multipoly. p).

(14) 第一部分习题与解答. 81. temp=f.coef[k-j]*g.coef[j]+temp; p.coef[k]=temp; } p.power=f.power+g.power; }. 5-8．已知 A 和 B 是两个 n×n 的对称矩阵，输入时，对称矩阵只输入下三角部分的元素，并按行优先存入一个一维数组中，编写一个计算对称矩阵 A 和 B 乘积的算法（A 与 B 直接看成一维数组，得到的乘积看成二维数组，数组的下标都从 1 开始）。解：根据对称矩阵的压缩存储，一维数组的下标 k 与二维数组的下标 i 和 j 的对应关系为： i(i-1)/2+j （i≥j） k= j(j-1)/2+i （i<j）于是，算法描述如下： void mult( int a[ ], int b[ ], int c[n][ ], int n) { int i,j,k,t1,t2,s; for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=n;j++) { s=0; for(k=1;k<=n;k++) { if(i>=k) t1= i*(i-1)/2+k; else t1= k*(k-1)/2+i; if(k>=j) t2= k*(k-1)/2+j; else t2= j(j-1)/2+k; s+=a[t1]*b[t2]; } c[i][j]=s; } }. 5-9．设有 succ(a)=a+1，pred(a)=a-1，即 succ(a)和 pred(a)分别是 a 的后继函数和前驱函数，利用 succ 函数和 pred 函数写出两个非负整数 x 和 y 相加的递归算法。解：递归算法描述如下： int add( int x , int y ) { if( y==0) return x; else return succ(add( x , pred(y) ) ; }.

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